第 08 章时间序列与统计套利策略

前几章搭好了研究、组合、回测和执行的骨架，本章把它们用在几类最经典的时间序列策略上：时间序列动量与均值回复、波动率择时、配对交易和统计套利组合。理论基础分散在前面各册：ARMA 与单位根见第 06 册第 02a、02b 章，GARCH 见第 06 册第 03a、03b 章，协整与配对交易见第 06 册第 08b 章，Kalman 滤波与时变 β 见第 06 册第 11a、11b 章，多重检验见第 03 册第 10b 章。本章不重复推导，重点是每类策略的收益从哪里来、怎样检验它是否存在、实现时最容易犯什么错。

学习目标

读完本章，你应当能够：

用方差比检验区分短期反转和长期趋势，实现波动率缩放的时间序列动量（TSMOM），并理解跨资产汇总为什么能发现单个资产上检验不出来的效应。
用 EWMA 和 GJR-GARCH 的事前波动预测构造目标波动策略，解释它在什么条件下提高 Sharpe，并评估其杠杆和换手代价。
在大规模配对筛选中控制多重检验，识别"单腿看似平稳"造成的伪配对。
用 AR(1) 拟合 OU 过程、估计半衰期，设计阈值交易规则；用 Kalman 滤波跟踪时变对冲比，并理解静态对冲比失效时会发生什么。
实现一个 PCA 残差 + s-score 的统计套利组合，分析其成本敏感度和收益来源。

读前导读

这一章在解决什么问题。 本章把前几章搭好的研究、回测和执行框架，用在四类你在买方机构多半见过的策略上，每一类都能对应到一个熟悉的业务：时间序列动量对应 CTA／管理期货基金的趋势跟踪；波动率择时对应资产配置里的"风险预算"和风险平价产品的目标波动机制；配对交易对应相对价值交易台做的 AH 股溢价、期现基差、新旧券利差；PCA 统计套利对应市场中性量化基金。对每一类，本章都问同样三个问题：收益从哪里来（价格可预测，还是风险可预测）；怎样用统计检验确认它存在，而不是被噪声骗；落到实盘时成本、对冲比漂移、伪发现会怎样把它吃掉。

你在 CFA 里学过的简单回归、\(t\) 检验、相关系数、多因子模型和 Sharpe 比率是本章的基础；你可能没系统学过的是时间序列模型（AR(1)、GARCH、协整、Kalman 滤波）和主成分分析。本章不推导这些模型本身（推导在第 06 册），而是讲怎样用它们。读的时候，可以把每一个模型都当作"一种估计某个随时间变化的量的方法"：GARCH 估计今天的波动，Kalman 估计今天的对冲比，AR(1) 估计价差回到均值有多快。

需要先想起来的数学。

AR(1) 与半衰期。 \(X_{t+1}=a+bX_t+\zeta_t\)，\(0<b<1\) 时序列围绕均值 \(m=a/(1-b)\) 波动。偏离每期缩小为原来的 \(b\) 倍，缩到一半需要 \(\ln0.5/\ln b\) 期。例：\(b=0.9\) 时 \(0.9^{6.6}\approx0.5\)，半衰期 6.6 天。\(b=1\) 就是随机游走，永不回复。
和的方差与自相关。 \(\operatorname{Var}(r_1+r_2)=\operatorname{Var}(r_1)+\operatorname{Var}(r_2)+2\operatorname{Cov}(r_1,r_2)\)。收益正自相关时，多期收益的方差大于单期方差的倍数；负自相关时小于。方差比检验只用到这一条。参见第 00 册第 07 章概率中的分析工具。
Jensen 不等式。 对凸函数 \(g\)，\(\mathbb E[g(X)]\ge g(\mathbb E[X])\)（\(\mathbb E\) 表示期望）。例：\(g(x)=1/x\) 是凸的，若 \(\sigma\) 一半时间是 10%、一半是 30%，则 \(\mathbb E[1/\sigma]=6.67\)，而 \(1/\mathbb E[\sigma]=5\)。这是波动择时能提高 Sharpe 的数学根源。
特征值与特征向量、主成分分析。 对相关矩阵 \(C\)，若 \(Cv=\lambda v\)，\(v\) 是一个"方向"（一组股票权重），\(\lambda\) 是沿这个方向的方差。最大特征值对应的方向通常就是"市场因子"。PCA 就是按方差从大到小找出这些正交方向。参见第 00 册第 06 章线性代数速成。
多重检验。 做 \(m\) 次 5% 水平的检验，纯噪声下预期有 \(0.05m\) 次"显著"。Bonferroni 把每次的门槛降到 \(0.05/m\)；BH 方法控制的是"选出来的结果里假发现的比例"，更宽松。

怎么读这一章。 8.1 节的两句话（价格可预测、风险可预测）是全章的骨架，先记住。8.2 节动量与 8.3 节波动择时可以按任意顺序读，代码后的逐项解读比代码本身重要。8.4 节配对交易是本章最长、也最实用的部分：8.4.2 节的多重检验陷阱必读；8.4.3 节 OU 与半衰期必读；8.4.4 节 Kalman 滤波第一次可以只看结论（对冲比会漂移，要用自适应方法跟踪），配合讲解框理解滤波公式。8.5 节统计套利需要 PCA 背景，线性代数生疏的读者可以先读 8.5.1 的流程和代码后的三条解读，跳过代码细节。

8.1 问题与动机

时间序列策略的收益来源只有两种：价格变化的可预测性（自相关、协整关系带来的均值回复、慢变漂移带来的趋势），以及风险的可预测性（波动聚集让我们能在风险低时多承担、风险高时少承担）。前者对应第 06 册第 02a 章的条件均值建模，后者对应第 03a 章的条件方差建模。

这两种可预测性在真实市场里都很弱，而且会变化。所以本章的每一节都有同样的结构：先用统计检验确认效应存在，再设计交易规则，然后用样本外和成本检验它能不能变成收益。合成数据在这里的局限尤其要说明：我们人为地放进了趋势、反转、协整和均值回复，所以策略在模拟中有效是设计使然，它只能说明方法在效应存在时能否把它找出来、在效应不存在时会不会被噪声骗。真实市场里这些效应是否存在、有多大，必须用真实数据和本册第 06 章的方法检验。

8.2 时间序列动量与均值回复

8.2.1 方差比检验

若收益序列不相关，\(q\) 期收益的方差是单期方差的 \(q\) 倍。Lo 和 MacKinlay（1988）的方差比

VR(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+\dots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}\approx1+2\sum_{k=1}^{q-1}\Big(1-\frac kq\Big)\rho_k

在随机游走下等于 1；\(VR(q)>1\) 说明 \(q\) 期内正自相关占优（趋势），\(VR(q)<1\) 说明负自相关占优（均值回复）。它把多个阶的自相关汇总成一个统计量，比逐阶检验自相关（第 06 册第 02a 章的 Ljung–Box）更有针对性：你可以直接问"在 1 周、1 个月、1 年的尺度上，价格是趋势还是回复"。同方差下的 \(z\) 统计量见代码；厚尾和波动聚集下应使用异方差稳健版本或 bootstrap。

推导拆解：近似式 \(VR(q)\approx1+2\sum(1-k/q)\rho_k\) 的来历与第 06 章 Lo 的 Sharpe 调整完全相同。\(q\) 期收益是 \(q\) 个日收益之和，和的方差 \(=\) 所有两两协方差之和：对角线 \(q\) 个 \(\sigma^2\)，相隔 \(k\) 天的配对有 \(2(q-k)\) 个，每个 \(\rho_k\sigma^2\)。于是 \(\operatorname{Var}=\sigma^2\big(q+2\sum_{k=1}^{q-1}(q-k)\rho_k\big)\)，除以 \(q\sigma^2\) 即得。权重 \(1-k/q\) 说明：离得越近的自相关，在 \(q\) 期窗口里出现的次数越多，权重越大。数值例：只有 \(\rho_1=-0.05\)（代码 8.1 的短期反转量级）时，\(VR(2)=1+2\times\tfrac12\times(-0.05)=0.95\)，与输出的 0.956 一致。代码 variance_ratio 里的 np.convolve(x, np.ones(q), "valid") 是在算所有重叠的 \(q\) 日累计收益（相当于滚动求和）；分母里的 (1 - q / n) 是对重叠造成的小样本偏差做的修正。

8.2.2 时间序列动量

Moskowitz、Ooi 和 Pedersen（2012）的 TSMOM 很简单：对每个资产，看它过去 12 个月的收益符号，做多或做空，持仓规模按事前波动率缩放到同一目标波动：

w_{i,t}=\operatorname{sgn}\Big(\sum_{k=1}^{L}r_{i,t-k}\Big)\cdot\frac{\sigma_{\text{target}}}{\hat\sigma_{i,t}} .

波动缩放有两个作用：让不同波动的资产（国债和原油）贡献相近的风险；并且在高波动时自动降杠杆，这正是下一节波动率择时的内容。

与之对照，横截面动量（本册第 03 章的因子研究）比较的是资产之间的相对强弱，做多赢家、做空输家，与市场整体涨跌无关；TSMOM 比较的是资产与自己的过去，可以整体偏多或偏空。

8.2.3 代码：方差比与 TSMOM

代码 8.1 生成 20 个资产 15 年的日收益：每个资产有一个缓慢变化的漂移（半衰期约 140 天的 AR(1)，制造趋势），收益一阶负自相关（制造短期反转），GARCH 波动和 \(t(5)\) 冲击，资产间相关 0.2。

# 代码 8.1  时间序列动量与均值回复：方差比检验与 TSMOM（合成多资产期货）
import numpy as np
import pandas as pd

def make_futures(T=252 * 15, N=20, seed=0, trend=True):
    """N 个资产的日收益：GARCH(1,1)+t(5) 波动；慢变漂移 mu_t（AR(1), φ=0.995）制造趋势；
    一阶负自相关 -0.05 制造短期反转。各资产年化波动 10%–40%，资产间相关 0.2。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    vol_ann = rng.uniform(0.10, 0.40, N); h = (vol_ann / np.sqrt(252)) ** 2
    omega = h * 0.03; a, b = 0.06, 0.91
    L = np.linalg.cholesky(0.2 + 0.8 * np.eye(N))
    mu = np.zeros(N); r = np.zeros((T, N)); e_prev = np.zeros(N)
    for t in range(T):
        z = L @ (rng.standard_t(5, N) / np.sqrt(5 / 3))
        e = np.sqrt(h) * z
        if trend:
            mu = 0.995 * mu + np.sqrt(1 - 0.995**2) * 0.04 * (vol_ann / np.sqrt(252)) * rng.standard_normal(N)
        r[t] = mu + e - 0.05 * e_prev
        h = omega + a * e**2 + b * h; e_prev = e
    return pd.DataFrame(r, index=pd.bdate_range("2008-01-01", periods=T))

def variance_ratio(x, q):
    """Lo–MacKinlay 方差比 VR(q) 与同方差下的 z 统计量（重叠 q 期收益）。"""
    x = np.asarray(x); n = len(x); m = x.mean()
    s1 = np.sum((x - m) ** 2) / (n - 1)
    xq = np.convolve(x, np.ones(q), "valid")
    sq = np.sum((xq - q * m) ** 2) / (q * (n - q + 1) * (1 - q / n))
    vr = sq / s1
    z = (vr - 1) / np.sqrt(2 * (2 * q - 1) * (q - 1) / (3 * q * n))
    return vr, z

R = make_futures()
print("方差比（20 个资产的中位数）及 z 统计量中位数")
for q in [2, 5, 20, 60, 250]:
    v = np.array([variance_ratio(R[c], q) for c in R])
    print(f"  q={q:3d}: VR={np.median(v[:, 0]):.3f}  z={np.median(v[:, 1]):+.2f}")

def tsmom(R, look=252, target=0.40, cost=3e-4, skip=0):
    """Moskowitz–Ooi–Pedersen 式 TSMOM：sign(过去 look 日收益) × 目标波动 / 事前波动，月度调仓。"""
    sig = np.sign(R.rolling(look).sum().shift(1 + skip))
    vol = np.sqrt((R**2).ewm(com=60).mean().shift(1) * 252)          # 事前年化波动（EWMA）
    m = R.index.to_period("M"); month_end = m != m.shift(-1)          # 每月最后一个交易日
    w = (sig * target / vol)[month_end].reindex(R.index).ffill().fillna(0) / R.shape[1]   # 月末定仓，等权分配
    pnl = (w.shift(1) * R).sum(axis=1) - cost * w.diff().abs().sum(axis=1)
    return pnl.iloc[look + 60:]

print("\n回看期   年化收益   年化波动   Sharpe")
for look in [5, 21, 63, 126, 252]:
    p = tsmom(R, look)
    print(f"{look:6d}   {p.mean()*252:8.3f}   {p.std()*np.sqrt(252):8.3f}   {p.mean()/p.std()*np.sqrt(252):6.2f}")
p0 = tsmom(make_futures(trend=False), 252)
print(f"无趋势成分的对照市场：252 日 TSMOM Sharpe {p0.mean()/p0.std()*np.sqrt(252):.2f}")

输出：

方差比（20 个资产的中位数）及 z 统计量中位数
  q=  2: VR=0.956  z=-2.69
  q=  5: VR=0.910  z=-2.53
  q= 20: VR=0.929  z=-0.88
  q= 60: VR=0.992  z=-0.05
  q=250: VR=1.258  z=+0.87

回看期   年化收益   年化波动   Sharpe
     5     -0.071      0.113    -0.63
    21      0.018      0.114     0.15
    63      0.060      0.114     0.52
   126      0.051      0.118     0.43
   252      0.085      0.120     0.71
无趋势成分的对照市场：252 日 TSMOM Sharpe -0.33

方差比清楚地显示了两个尺度上的结构：\(q=2,5\) 时 VR 显著小于 1（短期反转），\(q=250\) 时 VR 为 1.26（趋势）。但注意 \(q=250\) 的 \(z\) 只有 0.87，在单个资产上并不显著：15 年里只有 15 个不重叠的年度观测，长尺度的检验功效很低。
而 20 个资产汇总后的 TSMOM（252 日回看）Sharpe 是 0.71。单个资产检验不出来、组合层面却很明显，原因是 20 个资产的趋势相互独立，组合把信噪比提高了约 \(\sqrt{20}\) 倍（扣除相关后略少）。这也是 TSMOM 在实务中总是做成几十个品种的组合的原因。
回看期从 5 天到 252 天，Sharpe 从 −0.63 变到 0.71：5 天回看撞上了短期反转。回看期是一个参数，几个回看期的结果都要报告，并计入本册第 06 章的试验数。

白话解释：tsmom 函数的每一行都在防止前视或控制风险，值得逐行看。R.rolling(look).sum().shift(1 + skip)：过去 look 天累计收益，再整体后移一天，保证 \(t\) 日的信号只用到 \(t-1\) 日及以前（skip 用于练习 2 跳过最近一个月）。(R**2).ewm(com=60).mean().shift(1)：用指数加权的平方收益估计方差，也后移一天，是"事前"波动；com=60 对应衰减系数 \(1/61\)，有效记忆大约两三个月。month_end 挑出每月最后一个交易日，只在这些日子定仓，ffill 把仓位一直沿用到下个月末，这样换手只发生在月末。最后除以 R.shape[1] 是把 20 个资产等权分配。损益一行里 w.shift(1) * R 再次后移，因为月末收盘定的仓位只能赚下一天的收益。 金融直觉：target / vol 这一步就是 CTA 行业里说的"风险平价式加权"：国债波动 5%、原油波动 35%，若都按名义金额等权，组合风险几乎全部来自原油；按波动缩放后，每个品种对组合的风险贡献大致相当。

对照市场（只有反转、没有趋势）中 TSMOM 的 Sharpe 为 −0.33。14 年样本的 Sharpe 标准误约 0.27，这个负值还在噪声范围内，但它提醒我们：趋势策略在没有趋势的市场里不是"不赚不赔"，而是会因为成本和反转持续亏损。

8.2.4 短期均值回复为什么难以变现

代码 8.1 里的短期反转在统计上比长期趋势更显著（\(q=2\) 时 \(z=-2.69\)），但用它交易却难得多。原因有三个。第一，短期反转的预测期只有一两天，信号每天都在变，换手极高，单位换手能赚的钱只有几个基点，与价差和冲击同一量级（本册第 07 章）。第二，真实数据中相当一部分短期负自相关来自买卖价差反弹（第 07 册第 14 章的 Roll 模型）：成交价在买价和卖价之间跳动，看起来像均值回复，但它恰恰是交易者要付出的成本，而不是可以赚到的收益。用收盘成交价检验出的反转，要用中间价重新检验一次。第三，短期反转往往是流动性提供的报酬：在别人急于卖出时买入，承担的是库存风险，在市场压力时期会集中亏损。所以短期反转更适合作为执行层的信号（本册第 07 章 7.7 节限价单的挂单时机），或者作为降低动量策略换手的过滤条件，而不是单独的策略。

8.3 波动率择时

8.3.1 为什么目标波动策略可能提高 Sharpe

设资产的条件期望收益为 \(\mu_t\)，条件波动为 \(\sigma_t\)。持仓 \(w_t=c/\hat\sigma_t\) 的策略，其 Sharpe 取决于 \(\mu_t/\sigma_t\) 与 \(1/\sigma_t\) 的关系。如果期望收益不随波动上升（或上升得比方差慢），那么高波动时期的单位风险回报更低，在这些时期降杠杆、低波动时期加杠杆，就能提高整体 Sharpe。Moreira 和 Muir（2017）在美国股票和多个因子上发现了这种现象。反过来，如果高波动时期的期望收益同比例甚至更大幅度地上升（风险溢价随风险上升），波动择时就没有好处。这是一个关于风险–收益权衡的经验问题，不是数学必然。

推导拆解：在"期望收益恒定"这个最有利的情形下，可以把好处算出来。设日收益 \(r_t=\mu+\sigma_tz_t\)，\(z_t\) 均值 0、方差 1，且假设波动预测完全准确。买入持有：均值 \(\mu\)，方差 \(\mathbb E[\sigma_t^2]\)（\(\mu\) 很小，忽略），Sharpe \(=\mu/\sqrt{\mathbb E[\sigma_t^2]}\)。目标波动：持仓 \(c/\sigma_t\)，收益 \(c\mu/\sigma_t+cz_t\)，均值 \(c\mu\,\mathbb E[1/\sigma_t]\)，方差约 \(c^2\)，Sharpe \(\approx\mu\,\mathbb E[1/\sigma_t]\)。比较两者：由 Jensen 不等式（\(1/x\) 是凸函数）\(\mathbb E[1/\sigma]\ge1/\mathbb E[\sigma]\)，又 \(\mathbb E[\sigma]\le\sqrt{\mathbb E[\sigma^2]}\)，所以目标波动的 Sharpe 不低于买入持有，波动变化越剧烈，差距越大。若期望收益与方差成正比（\(\mu_t=k\sigma_t^2\)），目标波动的均值变成 \(ck\,\mathbb E[\sigma_t]\)，买入持有的 Sharpe 是 \(k\,\mathbb E[\sigma^2]/\sqrt{\mathbb E[\sigma^2]}=k\sqrt{\mathbb E[\sigma^2]}\)，后者反而更高，这就是练习 3 的答案方向。 金融直觉：这和 CFA 里讲的"恒定比例组合保险""风险预算"同源。如果市场在动荡时并没有给你更高的补偿，那么动荡时少承担风险就是白捡的 Sharpe；如果动荡时风险溢价同步上升（例如危机后的高期望收益），降仓就会错过最赚钱的时候。

工程上要回答三个问题：用什么预测波动（EWMA、GARCH 族、已实现波动，见第 06 册第 03a、03b 章），杠杆上限设多少，换手成本有多高。

8.3.2 代码：EWMA 与 GJR-GARCH

代码 8.2 用 GJR-GARCH(1,1) 加 \(t(5)\) 冲击生成 20 年的股指日收益，期望收益恒定（年化 6%）。目标波动 15%，杠杆上限 2 倍。GARCH 参数每季度用扩展窗口重估一次，然后用固定参数逐日滤波——这保证 \(\hat\sigma_t\) 只用到 \(t-1\) 及以前的数据。

# 代码 8.2  波动率择时：EWMA 与 GARCH 预测下的目标波动策略
import numpy as np
import pandas as pd
from arch import arch_model

T = 252 * 20
def make_index(seed):
    """股指日收益：GJR-GARCH(1,1)（负收益抬高波动更多）+ t(5) 冲击；期望收益恒定（年化 6%）。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    omega, a, g, b = 2e-6, 0.03, 0.10, 0.90
    h = omega / (1 - a - g / 2 - b); r = np.empty(T)
    for t in range(T):
        e = np.sqrt(h) * rng.standard_t(5) / np.sqrt(5 / 3)
        r[t] = 0.06 / 252 + e
        h = omega + (a + g * (e < 0)) * e**2 + b * h
    return pd.Series(r, index=pd.bdate_range("2004-01-01", periods=T))
r = make_index(7)

# 事前波动预测（只用 t-1 及以前的信息）
ewma = np.sqrt((r**2).ewm(alpha=0.06).mean().shift(1))
garch = pd.Series(np.nan, index=r.index)
for start in range(756, T, 63):                                     # 每季度用扩展窗口重估一次
    res = arch_model(r.iloc[:start] * 100, mean="Constant", vol="GARCH", p=1, o=1, q=1, dist="t").fit(disp="off")
    end = min(start + 63, T)
    # 用固定参数对后续 63 天做逐日一步预测（滤波），不使用这些天之后的数据
    am = arch_model(r.iloc[:end] * 100, mean="Constant", vol="GARCH", p=1, o=1, q=1, dist="t")
    sig = am.fix(res.params).conditional_volatility / 100            # 条件波动 σ_t 只依赖 t-1 及以前
    garch.iloc[start:end] = sig[start:end]

def target_vol(sig_hat, target=0.15, cap=2.0, cost=2e-4, r=r):
    w = (target / (sig_hat * np.sqrt(252))).clip(upper=cap)
    pnl = w * r - cost * w.diff().abs()
    return pnl, w

out = {}
mask = garch.notna()
for name, sh in [("买入持有", None), ("EWMA 目标波动", ewma), ("GJR-GARCH 目标波动", garch)]:
    if sh is None:
        pnl, w = r.copy(), pd.Series(1.0, index=r.index)
    else:
        pnl, w = target_vol(sh)
    p, ww = pnl[mask], w[mask]
    nav = np.exp(np.cumsum(p))
    out[name] = dict(年化收益=p.mean() * 252, 年化波动=p.std() * np.sqrt(252), Sharpe=p.mean() / p.std() * np.sqrt(252),
                     最大回撤=(1 - nav / nav.cummax()).max(), 峰度=p.kurt() + 3,
                     平均杠杆=ww.mean(), 年换手=ww.diff().abs().sum() / (len(ww) / 252))
print(pd.DataFrame(out).T.round(3))
# 波动预测本身的质量：对已实现平方收益的 MSE 与 Mincer–Zarnowitz 回归斜率
for name, sh in [("EWMA", ewma), ("GJR-GARCH", garch)]:
    x, y = sh[mask] ** 2, r[mask] ** 2
    print(f"{name:9s} 预测方差对实现平方收益的回归斜率 {np.polyfit(x, y, 1)[0]:.2f}（无偏预测应为 1）")

# 单条路径的 Sharpe 差别可能是运气：在 30 条独立路径上比较（只用 EWMA，计算快）
d = []
for s in range(30):
    rr = make_index(100 + s)
    pnl, _ = target_vol(np.sqrt((rr**2).ewm(alpha=0.06).mean().shift(1)), r=rr)
    d.append([rr[756:].mean() / rr[756:].std(), pnl[756:].mean() / pnl[756:].std()])
d = np.array(d) * np.sqrt(252)
print(f"30 条路径：买入持有平均 Sharpe {d[:, 0].mean():.2f}，EWMA 目标波动 {d[:, 1].mean():.2f}，"
      f"后者更高的路径 {np.sum(d[:, 1] > d[:, 0])}/30")

输出：

                 年化收益   年化波动  Sharpe   最大回撤      峰度   平均杠杆     年换手
买入持有            0.020  0.163   0.122  0.704  15.369  1.000   0.000
EWMA 目标波动       0.063  0.160   0.391  0.441   8.780  1.270   9.407
GJR-GARCH 目标波动  0.051  0.154   0.331  0.456   7.798  1.216  11.431
EWMA      预测方差对实现平方收益的回归斜率 0.87（无偏预测应为 1）
GJR-GARCH 预测方差对实现平方收益的回归斜率 0.98（无偏预测应为 1）
30 条路径：买入持有平均 Sharpe 0.35，EWMA 目标波动 0.41，后者更高的路径 26/30

在这条路径上，两种目标波动策略的 Sharpe（0.39、0.33）都明显高于买入持有（0.12），最大回撤从 70% 降到 45%，峰度从 15 降到 8 左右。买入持有的 Sharpe 偏低是这条路径的运气（真实 Sharpe 约 0.37）。
30 条路径的平均更能说明问题：目标波动策略的平均 Sharpe 是 0.41，买入持有 0.35，26/30 条路径上前者更高。改进是真实的，但幅度比单条路径显示的小得多。
GJR-GARCH 的波动预测更准（Mincer–Zarnowitz 斜率 0.98，EWMA 为 0.87），策略的 Sharpe 却略低。预测精度与策略收益不是一回事：策略对预测误差的敏感度是非线性的（\(1/\hat\sigma\)），GARCH 对冲击的反应更快，换手也更高（年换手 11.4 对 9.4）。选模型时应当直接比较策略层面的指标，而不只是预测误差。
平均杠杆 1.2–1.3 倍。实盘中需要融资或用期货实现，融资成本和保证金约束会吃掉一部分改进。

白话解释：代码 8.2 中 GARCH 部分为什么写得这么绕？直接对全样本拟合一次 GARCH 再取条件波动，参数里就含有未来 20 年的信息，这是第 06 章 6.3 节"全样本预处理"的前视。正确做法分两层：参数每季度用"截至当时"的数据重估一次（r.iloc[:start]）；在下一个季度里，参数固定不动，只让 GARCH 的递推式逐日往前走（am.fix(res.params)）。GARCH 的条件波动 \(\sigma_t\) 本来就只依赖 \(t-1\) 及以前的收益，所以只要参数不含未来信息，滤波出来的 \(\sigma_t\) 就是当天开盘前真正能算出的预测。这和公司每季度更新一次预算假设、季度内按假设滚动预测是同一种做法。 Mincer–Zarnowitz 回归是检验预测是否无偏的标准工具：把实现值对预测值回归，好的预测应当截距为 0、斜率为 1。EWMA 斜率 0.87 说明它的预测在高位时偏高、低位时偏低，即对波动的变化反应过度。

8.3.3 实现细节

目标波动策略在实盘中还要处理几件事。杠杆上限：低波动时期预测波动很小，\(1/\hat\sigma\) 会给出很高的杠杆，代码里设了 2 倍上限；实务中还会给预测波动设一个下限（例如长期平均的一半），避免在"风平浪静"的末尾加满杠杆。调仓阈值：预测波动每天都在变，逐日调到目标会产生大量小额换手；可以只在目标仓位偏离当前仓位超过一定比例（例如 10%）时才调仓，这就是本册第 05 章 5.5 节的不交易区间。波动跳升时的反应速度：EWMA 的衰减参数和 GARCH 的参数决定了遇到冲击时降仓的速度，反应太慢会在危机初期承受最大的损失，反应太快会在噪声中频繁进出。组合层面：对多资产组合做波动目标时，应该用组合的协方差预测（本册第 04 章、第 06 册第 10 章），而不是对每个资产单独缩放，否则资产间相关性上升时（危机中常见）组合波动会超出目标。

8.4 配对交易

8.4.1 流程

配对交易的理论框架见第 06 册第 08b 章 8.11 节：若两只股票的对数价格协整，价差 \(w_t=p_{1t}-\gamma p_{2t}\) 平稳并均值回复，价差偏离时做空高估的一腿、做多低估的一腿。工程上的完整流程是：

候选池：同行业、同类资产（ETF 与成分、AH 股、期现、跨期）。经济上有理由的配对，先验成立概率高。
筛选：Engle–Granger 两步法或 Johansen 检验（第 05 册第 17b 章、第 06 册第 08b 章 8.9 节）。
估计：对冲比、价差的均值回复速度和波动。
交易规则：入场阈值、出场阈值、止损、最长持有期。
监控：协整关系是否破裂。

8.4.2 筛选中的多重检验

\(N\) 只股票有 \(N(N-1)/2\) 个配对。40 只股票就是 780 对，在 5% 水平下纯噪声也会产生约 39 个"显著"配对。这是第 03 册第 10b 章的标准多重检验问题，但配对筛选还有两个特殊的陷阱：

检验前提：Engle–Granger 检验假设两条腿都是 I(1)。如果某只股票在筛选期内恰好"看起来平稳"（随机游走在有限样本中常常如此），它和几乎任何股票的回归残差都可能显得平稳，于是一只股票制造出一大串伪配对。
检验不独立：同一只股票出现在 \(N-1\) 个配对中，检验统计量高度相关。Bonferroni 在相关检验下仍然控制 FWER（只是保守），但上面这种"一只坏股票污染一串配对"的情形，会让多个伪配对的 p 值同时极小，这时任何多重检验校正都挡不住，必须从源头剔除。

代码 8.3 生成 40 只股票（市场因子、8 个行业因子、特异随机游走），其中 4 对是真协整（价差为半衰期约 4 天的 OU 过程）。前 2 年筛选，第 3 年检验。

# 代码 8.3  配对筛选中的多重检验：780 对股票里找 4 对真协整
import warnings
import numpy as np
from itertools import combinations
from statsmodels.tsa.stattools import coint, adfuller
warnings.filterwarnings("ignore", category=FutureWarning)   # statsmodels 0.15 对 adfuller 返回类型的提示

rng = np.random.default_rng(11)
N, T = 40, 756                                     # 40 只股票，3 年：前 2 年筛选，第 3 年检验
mkt = np.cumsum(0.012 * rng.standard_t(5, T) / np.sqrt(5 / 3))
ind = np.repeat(np.arange(8), 5)                   # 8 个行业
indf = np.cumsum(0.008 * rng.standard_normal((T, 8)), axis=0)
logp = np.empty((T, N))
for i in range(N):
    logp[:, i] = 3 + rng.uniform(0.7, 1.3) * mkt + indf[:, ind[i]] + np.cumsum(0.015 * rng.standard_normal(T))
true_pairs = [(0, 1), (10, 11), (20, 21), (30, 31)]
for a, b in true_pairs:                            # b = 1.0·a + OU 价差（半衰期约 4 天）
    s = np.zeros(T)
    for t in range(1, T):
        s[t] = 0.85 * s[t - 1] + 0.012 * rng.standard_normal()
    logp[:, b] = logp[:, a] + 0.2 + s

form, trade = logp[:504], logp[504:]
pairs = list(combinations(range(N), 2))
pv = np.array([coint(form[:, i], form[:, j])[1] for i, j in pairs])
m = len(pairs)
print(f"检验对数 {m}；5% 水平下单独显著 {np.sum(pv < 0.05)} 对（纯噪声预期约 {0.05 * m:.0f} 对）")

def bh(p, q=0.05):
    o = np.argsort(p); k = np.where(p[o] <= q * np.arange(1, len(p) + 1) / len(p))[0]
    sel = np.zeros(len(p), bool)
    if len(k): sel[o[:k.max() + 1]] = True
    return sel

def report(tag, idx):
    """idx：参与检验的配对下标。对三种选择规则报告命中数与样本外表现。"""
    p = pv[idx]
    print(f"--- {tag}：检验 {len(idx)} 对 ---")
    for name, sel in [("未校正 p<0.05", p < 0.05), ("Bonferroni", p < 0.05 / len(idx)), ("BH (FDR 5%)", bh(p))]:
        chosen = [pairs[idx[k]] for k in np.flatnonzero(sel)]
        hit = sum(c in true_pairs for c in chosen)
        oos_ok = 0                                   # 样本外：用筛选期 OLS 对冲比，检查交易期价差是否平稳
        for i, j in chosen:
            beta = np.polyfit(form[:, j], form[:, i], 1)[0]
            oos_ok += adfuller(trade[:, i] - beta * trade[:, j])[1] < 0.05
        print(f"{name:14s} 选出 {len(chosen):3d} 对，其中真协整 {hit}/4；交易期价差仍平稳的 {oos_ok} 对")

report("全部配对", np.arange(m))
# 协整检验的前提是两条腿都是 I(1)。筛选期内单独看已经"平稳"的个股，会和许多股票组成伪配对
adf_leg = np.array([adfuller(form[:, i])[1] for i in range(N)])
print(f"筛选期内 ADF 拒绝单位根（p<0.05）的个股: {np.flatnonzero(adf_leg < 0.05).tolist()}")
ok = [k for k, (i, j) in enumerate(pairs) if adf_leg[i] >= 0.05 and adf_leg[j] >= 0.05]
report("剔除这些个股后", np.array(ok))
report("只在同行业内配对", np.array([k for k, (i, j) in enumerate(pairs) if ind[i] == ind[j]]))

输出：

检验对数 780；5% 水平下单独显著 76 对（纯噪声预期约 39 对）
--- 全部配对：检验 780 对 ---
未校正 p<0.05     选出  76 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 6 对
Bonferroni     选出  13 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 4 对
BH (FDR 5%)    选出  28 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 4 对
筛选期内 ADF 拒绝单位根（p<0.05）的个股: [4, 9, 12, 28, 33, 34]
--- 剔除这些个股后：检验 561 对 ---
未校正 p<0.05     选出  39 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 6 对
Bonferroni     选出   4 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 4 对
BH (FDR 5%)    选出   5 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 4 对
--- 只在同行业内配对：检验 80 对 ---
未校正 p<0.05     选出   8 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 4 对
Bonferroni     选出   4 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 4 对
BH (FDR 5%)    选出   5 对，其中真协整 4/4；交易期价差仍平稳的 4 对

不做校正时选出 76 对，比纯噪声的预期（39 对）还多：伪配对不仅来自"5% 的运气"，还来自上面说的结构性原因。76 对里只有 4 对是真的，第 3 年价差仍平稳的只有 6 对。
Bonferroni 选出 13 对、BH 选出 28 对，多重检验校正之后仍有 9 到 24 个伪配对。检查后发现，Bonferroni 选出的 9 个伪配对全部包含 12 号股票：它在筛选期内的 ADF 检验 p 值只有 0.006，看起来是平稳的。
先剔除筛选期内单独看来平稳的个股（这里有 6 只，比 5% 的名义水平高，部分原因是有限样本中 ADF 检验的水平扭曲），再做校正，Bonferroni 和 BH 分别选出 4 对和 5 对，4 个真配对全部命中。
只在同行业内配对，检验数从 780 降到 80，多重检验的负担减小一个数量级，未校正时也只选出 8 对。经济先验是最有效的多重检验校正：它在看数据之前就把检验数降了下来。

白话解释：两种校正方法的区别，用代码里的 bh 函数说明最直接。Bonferroni：每个 p 值都要小于 \(0.05/m\)，\(m=780\) 时门槛是 0.000064，目标是"780 次里一次都不错"（控制 FWER，即至少犯一次错的概率）。BH：把 p 值从小到大排序，第 \(k\) 小的 p 值与 \(0.05\cdot k/m\) 比较，找到最后一个满足条件的位置，它和它之前的全部入选。门槛随排名放宽，目标是"选出来的里面假的比例不超过 5%"（控制 FDR，错误发现率）。前者像审计里"零容忍"的重大错报标准，后者像"允许少量可容忍错报"的抽样标准。为什么一只"看起来平稳"的股票能制造一串伪配对？Engle–Granger 第一步回归 \(p_i=\alpha+\gamma p_j+u\)，第二步检验残差 \(u\) 是否平稳。若 \(p_i\) 本身在样本期内恰好平稳，取 \(\gamma\approx0\)，残差就几乎等于 \(p_i\)，检验自然"通过"，和谁配对都一样。所以检验前要先确认每条腿单独是 I(1)（不平稳、差分后平稳），这就是"检验前提"的含义。

8.4.3 OU 过程、半衰期与交易阈值

价差的连续时间模型通常取 Ornstein–Uhlenbeck 过程 \(dX_t=\kappa(m-X_t)dt+\sigma dW_t\)（与第 08 册第 31 章的 Vasicek 利率模型是同一个过程）。以日为单位离散采样，它就是 AR(1)：

X_{t+1}=a+bX_t+\zeta_t,\quad b=e^{-\kappa},\quad m=\frac{a}{1-b},\quad \sigma_{\text{eq}}=\frac{\operatorname{sd}(\zeta)}{\sqrt{1-b^2}},\quad h_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln b}.

半衰期决定了持仓时间、交易频率和资金周转：半衰期 5 天的价差一年能做几十次，半衰期 60 天的一年只能做几次，而且每次都要承受很长时间的风险。半衰期也是判断协整是否可信的标尺：如果估计出的半衰期接近或超过估计窗口长度，所谓"均值回复"就无法与随机游走区分。

推导拆解：OU 过程与 AR(1) 参数的对应关系。第一步，OU 的含义：\(dX=\kappa(m-X)dt+\sigma dW\)，偏离均值 \(m\) 时，有一个大小与偏离成正比的"拉力"把它拉回来，\(\kappa\) 是拉力强度。不看噪声时，偏离按 \(X_t-m=(X_0-m)e^{-\kappa t}\) 指数衰减（这是微分方程 \(\frac{d}{dt}(X-m)=-\kappa(X-m)\) 的解）。第二步，间隔 1 天采样：\(X_{t+1}-m=e^{-\kappa}(X_t-m)+\text{噪声}\)，展开得 \(X_{t+1}=m(1-e^{-\kappa})+e^{-\kappa}X_t+\zeta_t\)。对照 AR(1) 就有 \(b=e^{-\kappa}\)，\(a=m(1-b)\)，反解 \(m=a/(1-b)\)。第三步，平衡标准差：平稳时 \(\operatorname{Var}(X_{t+1})=\operatorname{Var}(X_t)=V\)，代入 AR(1) 得 \(V=b^2V+\operatorname{Var}(\zeta)\)，所以 \(V=\operatorname{Var}(\zeta)/(1-b^2)\)。第四步，半衰期：偏离缩小到一半，\(b^h=0.5\)，取对数得 \(h=\ln0.5/\ln b\)。 金融直觉：这和 CFA 固定收益里 Vasicek 模型的利率均值回复是同一个过程（正文已提到）。\(\kappa\) 越大，价差回来得越快，同样的资金一年能周转更多次，这就是为什么半衰期比"价差偏离了多少"更决定配对交易的赚钱能力。

阈值规则在价差的 \(z\) 分数 \((X_t-m)/\sigma_{\text{eq}}\) 超过入场阈值时开仓、回到出场阈值时平仓。阈值越宽，单次利润越大，但次数越少；第 06 册第 08b 章 8.11.2 节说明了"单次利润 \(2\Delta\) 必须超过往返成本 \(\eta\)"。Bertram（2010）在 OU 假设下推导了使单位时间期望收益最大的阈值，但在实践中，参数估计误差和模型误设通常比阈值的精细优化重要得多。

8.4.4 静态对冲比失效与 Kalman 滤波

协整关系会漂移：公司业务结构、资本结构、指数权重的变化都会让对冲比改变。用固定的对冲比交易，价差会出现趋势，均值回复策略会在趋势中一直加仓或长期被套。

把对冲比写成状态变量，就得到第 06 册第 11b 章 11.11.1 节的时变系数回归：

y_t=\alpha_t+\beta_tx_t+\varepsilon_t,\qquad\begin{pmatrix}\alpha_{t+1}\\\beta_{t+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{pmatrix}+\eta_t .

Kalman 滤波给出 \(\beta_{t|t-1}\)（今天开盘前对今天对冲比的最优估计）和一步预测误差 \(e_t\) 及其方差 \(F_t\)。\(e_t/\sqrt{F_t}\) 就是一个自动标准化、对冲比自适应的价差 \(z\) 分数。状态噪声方差 \(Q\) 与观测噪声方差 \(R\) 之比决定了 \(\beta\) 的调整速度：比值太大，\(\beta\) 追着噪声跑，价差被"吸收"掉，没有交易机会；比值太小，就退化成静态回归。\(Q\) 和 \(R\) 可以用预测误差分解的极大似然估计（第 06 册第 11a 章 11.9 节），但实务中常把比值当作超参数在验证集上选，这又是一次试验。

白话解释：Kalman 滤波每天做两件事，对应代码 kalman_pair 的循环。预测：昨天对 \((\alpha,\beta)\) 的估计原样带到今天，但不确定性变大一点（P = P + Q），因为对冲比可能在一夜之间漂移了。用这个估计预测今天的 \(y_t\)，与实际值相比得到预测误差 \(e_t\)，并算出这个误差"应该有多大"：\(F_t=H P H^\top+R\)，即参数不确定性带来的误差加上观测噪声。更新：新估计 \(=\) 旧估计 \(+K_t e_t\)。卡尔曼增益 \(K_t=PH^\top/F_t\) 决定了"今天的意外有多少被归因为对冲比变了"：参数越不确定（\(P\) 大）、观测噪声越小（\(R\) 小），\(K\) 越大，估计调整得越多。 金融直觉：这就像分析师更新对一家公司盈利的估计：新季报出来与预测不符时，调整幅度取决于你对原有估计有多大把握、以及这次季报本身有多少噪声。\(Q/R\) 大，相当于"相信每次意外都反映基本面变化"，估计追着噪声跑，价差的偏离被对冲比吸收，交易机会消失；\(Q/R\) 小，相当于"认定基本面不变"，退化成静态回归。注意代码里 betas[t] = th[1] 放在更新之前：交易用的是看到今天价格之前的对冲比，否则就是前视。\(e_t/\sqrt{F_t}\) 已经按自身的预期大小标准化，可以直接当 \(z\) 分数用。

8.4.5 代码：静态 OLS 与 Kalman

代码 8.4 生成一对股票，第 1 年对冲比恒为 1，后 2 年对冲比做缓慢随机游走；真实价差是半衰期 6.6 天的 OU 过程。比较"第 1 年估计静态 OLS 对冲比"和"Kalman 滤波时变对冲比"两种做法，单边成本 5bp。

# 代码 8.4  配对交易：OU 半衰期、阈值规则与 Kalman 时变对冲比
import warnings
import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
warnings.filterwarnings("ignore", category=FutureWarning)

rng = np.random.default_rng(21)
T, F = 756, 252                                    # 3 年；第 1 年估计，后 2 年交易
x = 3 + np.cumsum(0.015 * rng.standard_t(5, T) / np.sqrt(5 / 3))      # 腿 2 的对数价格
beta_t = 1.0 + np.r_[np.zeros(F), np.cumsum(0.003 * rng.standard_normal(T - F))]   # 交易期 β 缓慢漂移
s = np.zeros(T)
for t in range(1, T):
    s[t] = 0.90 * s[t - 1] + 0.01 * rng.standard_normal()             # 真实价差：OU，半衰期约 6.6 天
y = 0.5 + beta_t * x + s

def ou_fit(z):
    """离散 AR(1) 拟合 OU：z_t = a + b z_{t-1} + e。返回均值、平衡标准差、半衰期。"""
    b, a = np.polyfit(z[:-1], z[1:], 1)
    e = z[1:] - a - b * z[:-1]
    return a / (1 - b), e.std() / np.sqrt(1 - b**2), np.log(0.5) / np.log(b)

# 1) 静态 OLS：第 1 年估计 β，后 2 年沿用
bh, ah = np.polyfit(x[:F], y[:F], 1)
spr = y - ah - bh * x
mu, sd, hl = ou_fit(spr[:F])
print(f"静态 OLS β={bh:.3f}；估计半衰期 {hl:.1f} 天（真实 {np.log(0.5)/np.log(0.9):.1f}）；"
      f"交易期价差 ADF p={adfuller(spr[F:])[1]:.3f}")

# 2) Kalman 滤波：状态 (α_t, β_t) 随机游走，观测 y_t = α_t + β_t x_t + ε_t（第 06 册第 11b 章 11.11.1 节）
def kalman_pair(y, x, q=1e-5, r=1e-4):
    th = np.array([0.0, 1.0]); P = np.eye(2); Q = np.diag([q, q])
    e, Fv, betas = np.zeros(len(y)), np.zeros(len(y)), np.zeros(len(y))
    for t in range(len(y)):
        P = P + Q                                   # 预测步
        H = np.array([1.0, x[t]])
        e[t] = y[t] - H @ th                        # 一步预测误差（只用 t-1 的状态估计）
        Fv[t] = H @ P @ H + r
        K = P @ H / Fv[t]
        betas[t] = th[1]                            # 交易用的是更新前的 β_{t|t-1}
        th = th + K * e[t]; P = P - np.outer(K, H) @ P
    return e, np.sqrt(Fv), betas

e, sF, beta_kf = kalman_pair(y, x)
print(f"Kalman：交易期 β 估计误差的均方根 {np.sqrt(np.mean((beta_kf[F:] - beta_t[F:])**2)):.3f}，"
      f"静态 OLS {np.sqrt(np.mean((bh - beta_t[F:])**2)):.3f}")

def trade(z, hedge, entry=1.5, exit_=0.0, cost=5e-4):
    """z>entry 做空价差、z<-entry 做多价差，回到 exit_ 平仓。价差持仓 1 单位 = 多 1 份 y、空 hedge 份 x。"""
    pos = np.zeros(T)
    for t in range(F, T - 1):
        p = pos[t - 1]
        if p == 0 and z[t] > entry: p = -1
        elif p == 0 and z[t] < -entry: p = 1
        elif p == -1 and z[t] <= exit_: p = 0
        elif p == 1 and z[t] >= -exit_: p = 0
        pos[t] = p
    dy, dx = np.diff(y), np.diff(x)
    pnl = pos[:-1] * (dy - hedge[:-1] * dx)                          # t 日收盘定仓，赚 t→t+1
    turn = np.abs(np.diff(np.r_[0, pos[:-1]])) * (1 + np.abs(hedge[:-1]))
    net = (pnl - cost * turn)[F:]
    return net.sum(), net.mean() / net.std() * np.sqrt(252) if net.std() > 0 else 0, int((np.diff(pos) != 0).sum() / 2)

z_static = (spr - mu) / sd
z_kf = e / sF
for name, z, hdg in [("静态 OLS + OU 阈值", z_static, np.full(T, bh)), ("Kalman 预测误差 z", z_kf, beta_kf)]:
    tot, sr, n = trade(z, hdg)
    print(f"{name:18s} 两年累计对数收益 {tot:+.3f}，净 Sharpe {sr:5.2f}，交易次数约 {n}")
# 阈值的敏感度
for ent in [1.0, 1.5, 2.0, 2.5]:
    tot, sr, n = trade(z_kf, beta_kf, entry=ent)
    print(f"Kalman，入场阈值 {ent}: 累计 {tot:+.3f}，Sharpe {sr:5.2f}，交易 {n} 次")

输出：

静态 OLS β=1.090；估计半衰期 7.9 天（真实 6.6）；交易期价差 ADF p=0.353
Kalman：交易期 β 估计误差的均方根 0.070，静态 OLS 0.135
静态 OLS + OU 阈值     两年累计对数收益 -0.279，净 Sharpe -0.65，交易次数约 1
Kalman 预测误差 z      两年累计对数收益 +0.133，净 Sharpe  0.70，交易次数约 34
Kalman，入场阈值 1.0: 累计 +0.119，Sharpe  0.43，交易 73 次
Kalman，入场阈值 1.5: 累计 +0.133，Sharpe  0.70，交易 34 次
Kalman，入场阈值 2.0: 累计 -0.000，Sharpe -0.00，交易 6 次
Kalman，入场阈值 2.5: 累计 +0.013，Sharpe  0.83，交易 1 次

静态 OLS 在第 1 年的估计还算合理（β=1.09，半衰期 7.9 天对真实的 6.6 天），但交易期的价差已经不平稳（ADF p=0.35）。阈值策略在价差偏离后开仓，价差再也没回来，两年只做了一笔交易，亏损 28%。这是配对交易最典型的失败方式：关系破裂时，均值回复策略的仓位恰好开在错误的方向上，而且没有自然的出场点。必须有止损和最长持有期。
Kalman 的对冲比误差（均方根 0.07）是静态的一半，策略做了 34 笔交易，净 Sharpe 0.70。
阈值敏感度：入场阈值 1.0 时交易 73 次、Sharpe 0.43（成本侵蚀），2.0 时只有 6 次，2.5 时只有 1 次——Sharpe 0.83 是一笔交易的结果，没有统计意义。阈值的选择要同时看交易次数，交易次数太少时任何 Sharpe 都不可信。

8.5 统计套利组合

8.5.1 从配对到组合

配对交易的问题是分散度不够：一对股票的关系破裂就是一次大亏损。统计套利把同样的思想推广到整个股票池：用因子模型（本册第 04 章）剥离每只股票的系统性收益，对特异收益的累计值建模，在它偏离均值时做反向交易，同时对冲因子暴露。Avellaneda 和 Lee（2010）给出了一个标准化的流程：

用过去 252 天收益的相关矩阵做 PCA，取前 \(K\) 个特征向量，按 \(v_{ij}/\sigma_i\) 构造特征组合（第 06 册第 09 章 9.4 节）。
对每只股票，在过去 60 天上把收益对特征组合收益回归，得到残差 \(\varepsilon_{i,t}\) 和因子暴露。
累计残差 \(X_{i,t}=\sum\varepsilon_{i,s}\) 视为 OU 过程，用 AR(1) 估计 \(m_i,\sigma_{\text{eq},i},\kappa_i\)；只交易均值回复时间足够短（\(\kappa_i>252/30\)）的股票。
计算 s-score \(s_i=(X_{i,t}-m_i)/\sigma_{\text{eq},i}\)；\(s<-1.25\) 开多，\(s>1.25\) 开空，多头在 \(s>-0.5\) 时平仓，空头在 \(s<0.75\) 时平仓。
每只股票的仓位用因子暴露对冲，组合整体近似因子中性。

白话解释：五步流程逐步翻译。第 1 步，对 60 只股票的相关矩阵做特征分解，前 3 个特征向量是 3 个"最能解释共同波动"的方向，第一个通常近似市场组合。为什么权重是 \(v_{ij}/\sigma_i\)？因为 PCA 是在相关矩阵（标准化后的收益）上做的，第 \(i\) 只股票的标准化收益是 \(r_i/\sigma_i\)，要把方向换算回真实资金权重，就得除以各自的波动。第 2 步，就是 CFA 里熟悉的多因子回归：把个股收益对这 3 个因子组合的收益回归，截距和残差就是"因子解释不了的部分"。第 3 步，把每日残差累加起来，得到一条"剔除了因子影响的个股价格"，如果它均值回复，就用 AR(1) 估计回复速度，\(\kappa>252/30\) 等价于平均回复时间短于 30 个交易日（代码中写成 \(b<e^{-1/30}\approx0.967\)）。第 4 步，s-score 就是这条累计残差的 \(z\) 分数；入场 \(\pm1.25\)、出场阈值不对称，是 Avellaneda–Lee 的经验设定。第 5 步，买入残差偏低的股票时，同时卖出相应数量的因子组合，组合对市场和行业的涨跌近似免疫。所以统计套利本质上是"在多因子模型的残差上做配对交易"：配对交易用一只股票对冲另一只，统计套利用因子组合对冲每一只。

第 07 册第 17 章从微观结构角度讨论了套利者的风险：模型风险、执行风险、以及在拥挤交易中被迫同时平仓的风险。

8.5.2 代码：PCA 残差 + s-score

代码 8.5 生成 60 只股票 6 年的日收益：3 个因子（GARCH 波动），特异对数价格中前 40 只为 OU（半衰期 3–15 天），后 20 只为随机游走。损益按"多/空残差、因子精确对冲"计算，成本按股票腿和对冲腿各计一次。

# 代码 8.5  统计套利组合：PCA 残差 + OU s-score（Avellaneda–Lee 式）
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(31)
N, T, K = 60, 252 * 6, 3
# 收益 = 3 个因子 + 特异部分；特异对数价格中，2/3 的股票为 OU（半衰期 3–15 天），1/3 为随机游走
B = np.c_[rng.uniform(0.6, 1.4, N), rng.normal(0, 0.5, (N, 2))]
h = np.full(K, 1e-4); f = np.zeros((T, K))
for t in range(T):                                          # 因子：GARCH(1,1) + t(5)
    f[t] = np.sqrt(h) * rng.standard_t(5, K) / np.sqrt(5 / 3) * np.array([1.0, 0.6, 0.5])
    h = 1e-6 + 0.07 * f[t] ** 2 / np.array([1.0, 0.36, 0.25]) + 0.92 * h
hl = rng.uniform(3, 15, N); phi = np.where(np.arange(N) < 40, 0.5 ** (1 / hl), 1.0)
Xi = np.zeros((T, N))
for t in range(1, T):
    Xi[t] = phi * Xi[t - 1] + 0.012 * rng.standard_t(5, N) / np.sqrt(5 / 3)
R = f @ B.T + np.diff(np.r_[np.zeros((1, N)), Xi], axis=0) + 0.003 * rng.standard_normal((T, N))

W_pca, W_res = 252, 60
s_open, s_close_long, s_close_short = 1.25, -0.50, 0.75     # Avellaneda–Lee 的阈值
pos = np.zeros(N); pnl, turn, n_pos, by_group = [], [], [], []
Q = None
for t in range(W_pca, T - 1):
    if (t - W_pca) % 21 == 0:                                # 每月重估一次特征组合
        Rw = R[t - W_pca:t]; sd = Rw.std(0)
        C = np.corrcoef(Rw, rowvar=False)
        val, vec = np.linalg.eigh(C)
        Q = vec[:, ::-1][:, :K] / sd[:, None]                # 特征组合权重：v_j / σ_i
    Fw = R[t - W_res:t] @ Q                                  # 窗口内特征组合收益
    Xd = np.c_[np.ones(W_res), Fw]
    coef = np.linalg.lstsq(Xd, R[t - W_res:t], rcond=None)[0]   # 60 只股票一起回归
    eps = R[t - W_res:t] - Xd @ coef
    X = np.cumsum(eps, axis=0)                               # 累计残差 ≈ 特异对数价格
    x0, x1 = X[:-1], X[1:]
    b = ((x0 - x0.mean(0)) * (x1 - x1.mean(0))).sum(0) / ((x0 - x0.mean(0)) ** 2).sum(0)
    a = x1.mean(0) - b * x0.mean(0)
    zeta = x1 - a - b * x0
    ok = (b > 0) & (b < 0.967)                               # 均值回复时间 < 30 天才交易
    m = a / (1 - b); s_eq = zeta.std(0) / np.sqrt(1 - b**2)
    sc = np.where(ok, (X[-1] - m) / s_eq, 0.0)
    new = pos.copy()
    new[(pos == 0) & ok & (sc < -s_open)] = 1
    new[(pos == 0) & ok & (sc > s_open)] = -1
    new[(pos == 1) & ((sc > s_close_long) | ~ok)] = 0
    new[(pos == -1) & ((sc < s_close_short) | ~ok)] = 0
    # 次日损益：多/空残差，因子暴露用 beta 对冲（这里假设对冲按特征组合精确执行）
    r_next = R[t + 1]; F_next = r_next @ Q
    resid_next = r_next - coef[0] - F_next @ coef[1:]
    w = new / N                                              # 每个持仓 1/N 资金
    by_group.append([w[:40] @ resid_next[:40], w[40:] @ resid_next[40:], np.abs(new[40:]).sum()])
    pnl.append(w @ resid_next); turn.append(np.abs(new - pos).sum() / N); n_pos.append(np.abs(new).sum())
    pos = new
pnl, turn = np.array(pnl), np.array(turn)
for c in [0, 5e-4, 1e-3, 2e-3]:
    net = pnl - c * 2 * turn                                 # 股票腿 + 对冲腿
    print(f"单边成本 {c*1e4:4.0f}bp: 年化收益 {net.mean()*252:.3f}，年化波动 {net.std()*np.sqrt(252):.3f}，Sharpe {net.mean()/net.std()*np.sqrt(252):5.2f}")
print(f"平均持仓股票数 {np.mean(n_pos):.1f}/{N}，日均换手 {turn.mean():.3f}")
g = np.array(by_group)                                       # 损益来自哪里：真 OU 股票 vs 随机游走股票
print(f"毛损益年化：OU 股票 {g[:, 0].mean()*252:.3f}，随机游走股票 {g[:, 1].mean()*252:.3f}；"
      f"持仓中随机游走股票占比 {g[:, 2].sum() / np.sum(n_pos):.1%}（它们占股票池的 1/3）")

输出：

单边成本    0bp: 年化收益 0.069，年化波动 0.015，Sharpe  4.75
单边成本    5bp: 年化收益 0.050，年化波动 0.015，Sharpe  3.46
单边成本   10bp: 年化收益 0.031，年化波动 0.015，Sharpe  2.17
单边成本   20bp: 年化收益 -0.006，年化波动 0.015，Sharpe -0.41
平均持仓股票数 18.2/60，日均换手 0.074
毛损益年化：OU 股票 0.068，随机游走股票 0.000；持仓中随机游走股票占比 40.1%（它们占股票池的 1/3）

毛 Sharpe 4.75 很高，这是因为我们放进了强而稳定的均值回复。真实市场中，Avellaneda 和 Lee 报告的这类策略在 2000 年代中期以后表现明显变弱，通常的解释是资金涌入后的拥挤。
成本敏感度极高：日均换手 7.4%（年换手约 19 倍），单边成本从 0 增加到 10bp，Sharpe 从 4.75 降到 2.17；到 20bp 时变为负值。统计套利的盈亏几乎完全由执行质量决定，本册第 07 章的内容在这里直接决定策略的生死。
收益来源的归因：随机游走股票占股票池的 1/3，却占持仓的 40%，它们贡献的毛损益是 0。"均值回复时间 < 30 天"的过滤在 60 天窗口上没能有效排除随机游走——60 个点估计的 AR(1) 系数噪声很大，随机游走经常被估计成"快速回复"。这些持仓不赚钱，却付出了一半的换手成本。改进方向有：用更长的窗口或贝叶斯收缩估计 \(b\)；对每只股票的历史 s-score 交易表现做跟踪，淘汰长期无效的股票；或把 \(b\) 的估计不确定性纳入仓位大小。

8.5.3 实盘中的额外问题

因子对冲的执行：特征组合包含所有股票，实际对冲常用行业 ETF 或股指期货近似，带来残余的因子暴露。
融券：空头腿的融券可得性和费率，在 A 股市场是很强的约束。
事件：财报、并购、指数调整会造成特异收益的跳跃，均值回复假设在事件附近失效。常见做法是在事件窗口内不开新仓。
拥挤与去杠杆：同类策略的资金同时撤出时，残差会朝不利方向大幅偏离（2007 年 8 月美国量化基金的集体回撤是常被引用的例子）。仓位的风险预算要考虑这种同步平仓的尾部情形，本册第 11 章会讨论压力测试。

8.5.4 与组合构建的衔接

代码 8.5 用的是"每个信号等额持仓"的简化规则。更完整的做法是把 s-score 当作 alpha 信号（例如 \(\alpha_i\propto-s_i\cdot\sigma_{\text{eq},i}\cdot\kappa_i\)，偏离越大、回复越快，预期收益越高），交给本册第 05 章的优化器：目标里有风险模型、因子中性约束和交易成本惩罚，优化器会自动在信号强度、风险和成本之间权衡，并在不交易区间内保持仓位不动。这样做的好处是成本和风险被统一处理，坏处是多了一层模型（alpha 的量纲、风险厌恶系数），需要用本册第 06 章的方法重新验证。无论采用哪种方式，信号、组合和执行三层用同一套成本假设，是统计套利能否在实盘中复现回测的关键。

8.6 常见陷阱与检查清单

陷阱

把模拟或单一样本里的效应当成稳定规律：动量、反转、均值回复的强度都随时间变化，并会因拥挤而衰减。
长尺度检验的功效很低：单个资产 15 年数据检验年度趋势几乎没有功效，汇总多个资产才可能看清，但汇总要考虑资产之间的相关。
只看预测精度选波动模型：策略层面的 Sharpe、换手和杠杆才是目标。
波动预测有前视：GARCH 用全样本参数、EWMA 未滞后。
配对筛选不做多重检验，或者做了多重检验但没有检查单腿的平稳性。
静态对冲比和没有止损：关系破裂时，均值回复策略会在错误方向上越套越深。
从极少的交易次数中得出结论。
忽略换手成本：统计套利的毛 Sharpe 看起来再高，也可能被 10–20bp 的成本完全吃掉。
残差模型把随机游走当作均值回复：短窗口的 AR(1) 估计噪声很大。

检查清单

[ ] 效应检验：方差比、自相关或协整检验，样本外重做一次。
[ ] 所有参数（回看期、阈值、窗口、\(Q/R\) 比）都计入试验数，报告参数敏感度。
[ ] 波动预测、对冲比、OU 参数只用决策时刻之前的数据。
[ ] 配对筛选：先用经济先验缩小候选，检查单腿 I(1)，再做多重检验校正。
[ ] 每笔交易有止损和最长持有期；监控价差的平稳性。
[ ] 报告交易次数、平均持有期、换手和不同成本假设下的净 Sharpe。
[ ] 做收益归因：收益来自哪些资产、哪些时段，是否集中在少数交易。

本章小结

方差比把多阶自相关汇总成"某个时间尺度上是趋势还是回复"的判断。合成数据里短期反转与长期趋势同时存在，回看期的选择决定了 TSMOM 是赚是亏。
单资产上检验不出来的弱趋势，可以在多资产 TSMOM 组合里显现，代价是要正确处理资产间相关和多重检验。
目标波动策略在期望收益不随波动同比上升时提高 Sharpe，改进幅度要用多条路径或长样本评估；波动预测越准不等于策略越好。
配对筛选的伪发现来自两方面：大量检验的运气，以及单腿看似平稳造成的结构性伪配对。经济先验和单腿 I(1) 检查与多重检验校正同样重要。
OU/AR(1) 给出半衰期和 z 分数；对冲比会漂移，Kalman 滤波提供自适应的对冲比和标准化价差；没有止损的均值回复策略在关系破裂时损失最大。
PCA 残差统计套利把配对思想推广到组合，盈亏对成本极其敏感，且短窗口的残差模型会把随机游走误判为均值回复。

练习

异方差稳健的方差比。 实现 Lo–MacKinlay 的异方差稳健 \(z^*(q)\) 统计量，在代码 8.1 的数据上与同方差版本比较。GARCH 波动下，哪个版本的拒绝率更接近名义水平？（提示：用无趋势、无反转的数据做模拟检验。）
跳过最近一个月。 横截面动量常常跳过最近一个月以避开短期反转。在代码 8.1 的 tsmom 中设置 skip=21，比较 63、126、252 日回看的 Sharpe。
波动择时与风险溢价。 修改代码 8.2 的数据生成过程，使期望收益与条件方差成正比（GARCH-M，第 06 册第 03a 章 3.7 节）。目标波动策略还有优势吗？期望收益与条件波动成正比时呢？
剔除伪配对的其他方法。 在代码 8.3 中，不剔除单腿平稳的股票，而是对两个方向（\(y\) 对 \(x\)、\(x\) 对 \(y\)）都做 Engle–Granger 检验并要求都显著，或改用 Johansen 检验（第 06 册第 08b 章 8.9 节）。伪配对数量怎样变化？
止损与最长持有期。 在代码 8.4 的 trade 函数中加入止损（\(|z|>4\) 时平仓）和最长持有期（3 倍半衰期），重新比较静态 OLS 和 Kalman 两种做法。
Kalman 的噪声比。 在代码 8.4 中把 \(Q/R\) 的比值从 \(10^{-3}\) 扫到 \(10\)，画出交易次数和 Sharpe 的变化。然后用第 06 册第 11a 章 11.9 节的预测误差分解，用第 1 年的数据极大似然估计 \(Q\) 和 \(R\)，看估计值落在哪里。
残差模型的改进。 在代码 8.5 中把残差窗口从 60 天改为 120 天，或对 AR(1) 系数做向 1 的收缩（例如 \(\tilde b=0.7\hat b+0.3\)），观察随机游走股票的持仓占比和净 Sharpe。
统计套利的容量。 给代码 8.5 加上本册第 06 章代码 6.3 的平方根冲击模型（假设每只股票 ADV 为 5000 万元），画出资金规模与年净利润的关系，找出容量。

第 08 章 时间序列与统计套利策略