第 28 章 鞅与测度

到目前为止，我们在给期权定价时几乎总是假设利率不变，风险中性估值的含义也就非常清楚：(a) 假设标的资产的期望收益率等于无风险利率，算出期望收益；(b) 用无风险利率贴现。

利率随机时，这两句话立刻变得含糊。"期望收益率等于无风险利率"——是每天等于当天的 1 天利率，每年等于当年的 1 年利率，还是 5 年期初就等于今天的 5 年利率？5 年后的期望收益能否用今天的 5 年利率贴现？对股票期权，这些问题影响不大；对利率衍生品，它们是定价的全部难点：利率既决定收益，又决定贴现。

本章回答这些问题，并给出整个衍生品定价理论的统一框架。核心结论只有一句话：

选任何一个可交易资产作为计价单位（numeraire），都存在一个对应的"风险中性世界"，在其中所有资产以该计价单位表示的价格都是鞅。

传统风险中性世界只是其中一个特例（计价单位是货币市场账户）。不同的定价问题选不同的计价单位，可以把复杂的期望化简为 Black 型公式。第 29 章的利率上限和互换期权、第 30 章的凸性与 quanto 调整、第 32 章的 LIBOR 市场模型，全部建立在本章之上。第 26a 章的交换期权公式和二元期权中 \(N(d_1)\) 与 \(N(d_2)\) 的区别，也将在本章得到解释。

本章的数学工具是第 14 章的伊藤引理，概率论背景（条件期望、测度）可参考第 02 册第 07b 章。

学习目标

1. 推导风险的市场价格 \(\lambda=(\mu-r)/\sigma\)，理解它为什么与衍生品无关，以及多变量情形下 \(\mu-r=\sum\lambda_i\sigma_i\) 与 APT、多因子模型的关系。
2. 理解"选择风险市场价格 = 选择概率测度"：换测度只改变漂移、不改变波动率（Girsanov 定理）。
3. 掌握等价鞅测度结果：以可交易证券 \(g\) 为计价单位、取 \(\lambda=\sigma_g\) 时，任何 \(f/g\) 是鞅，\(f_0=g_0E_g[f_T/g_T]\)；能独立写出证明。
4. 熟练使用三种计价单位：货币市场账户、零息债（\(T\)-远期测度）、年金（互换测度），知道各自下什么量是鞅。
5. 用计价单位方法推导随机利率下的 Black 模型和 Margrabe 交换期权公式，并解释 \(N(d_1)\) 是以资产为计价单位时的行权概率。
6. 会用计价单位变换的漂移调整公式 \(\alpha_v=\rho\sigma_v\sigma_w\) 在不同测度之间转换随机过程。

读前导读

这一章在解决什么问题

这是全册最抽象的一章，但核心想法可以用一句大白话说完：给衍生品定价，就是对未来各种情形的收益求一个加权平均；"测度"就是那套权重，"换测度"就是换一种加权方式求期望，而计价单位决定了用哪套权重最省事。

先回忆 CFA 的单步二叉树。股票今天 100，一年后涨到 120 或跌到 90，利率 5%。现实中上涨的概率也许是 0.7，但定价时你并不用 0.7，而是用让股票"期望收益恰好等于无风险利率"的那个概率 \(q=(105-90)/(120-90)=0.5\)。这个 \(q\) 不是你对未来的预测，它只是一套能让"加权平均再贴现"给出无套利价格的计算权重。这套权重构成的世界就是"风险中性世界"。风险中性世界是计算工具，不是真实世界：没人相信投资者真的不要风险溢价，我们只是发现，用这套权重算出的价格恰好与复制成本一致。

本章把这个想法推到底。第一，那个 0.5 不是唯一可用的权重。如果你不用"美元"记账，而是用"5 年期国债"或"一股股票"记账，就会有另一套权重，使得所有资产以这种单位计的价格都是"公平游戏"（鞅）。第二，不同的权重算出的价格完全一样，所以可以挑最好算的那一套。例如利率随机时，用美元记账要把随机贴现因子放在期望里面，很难算；改用 \(T\) 年到期的零息债记账，贴现因子 \(P(0,T)\) 直接可以从今天的收益率曲线上读出来，提到期望外面，剩下的就是一个普通的 Black 公式。

和你熟悉的知识连接：

• 风险的市场价格 \(\lambda=(\mu-r)/\sigma\) 就是夏普比率；多变量版本 \(\mu-r=\sum\lambda_i\sigma_i\) 就是多因子模型。
• 远期价格是"某种加权下的期望未来价格"，期货价格是"另一种加权下的期望未来价格"，两者的差就是你在 CFA 里学过的期货—远期价差的来源。
• 远期利率可以从收益率曲线算出来（CFA 一级就做过 \((1+s_2)^2=(1+s_1)(1+f_{1,1})\)）。本章告诉你：这个远期利率恰好是某种加权下"未来实际利率的期望"，所以可以直接拿来当 Black 公式的输入。
• 互换的年金因子 \(A(t)\) 就是互换的 PVBP（DV01 除以 0.0001），互换期权在年金测度下变成对互换利率的普通期权。

需要先想起来的数学

1. 期望就是加权平均，权重可以换。 \(\mathbb{E}_P[X]=\sum_i p_iX_i\)。若换一套权重 \(q_i\)，可以写成 \(\mathbb{E}_Q[X]=\sum_i p_i\cdot\frac{q_i}{p_i}X_i=\mathbb{E}_P\big[\frac{q}{p}X\big]\)。比值 \(q_i/p_i\) 就是本章的 Radon–Nikodym 导数 \(dQ/dP\)（"每个情形的权重被放大了几倍"）。例：两种情形 \(X=120,90\)，\(p=(0.7,0.3)\)，\(q=(0.5,0.5)\)，则 \(dQ/dP=(0.714,1.667)\)，好情形被调低、坏情形被调高。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

2. 条件期望与塔性质。 \(\mathbb{E}[X\mid\mathcal F_t]\)（\(\mathcal F_t\) 读作"到 \(t\) 为止已知的全部信息"）是"站在 \(t\) 时、利用当时已知信息对 \(X\) 的最好预测"。塔性质：先预测"明天的预测"，再求今天的期望，等于直接在今天预测。鞅就是"对未来的最好预测等于现在的值"的过程。同见第 07 章。

3. 伊藤引理与 \(-\sigma^2/2\)。 若 \(dS/S=\mu\,dt+\sigma\,dz\)，则 \(d\ln S=(\mu-\sigma^2/2)dt+\sigma\,dz\)。\(-\sigma^2/2\) 来自 \(\ln\) 的二阶导 \(-1/S^2\) 乘以方差 \(\sigma^2S^2dt\) 的一半。这和"算术平均收益 > 几何平均收益，差约 \(\sigma^2/2\)"是同一件事。本章的核心证明只用这一条。可回顾第 14 章与 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开（伊藤引理就是保留到二阶的泰勒展开）。

4. 积分记号 \(\int_0^Tr\,dt\)。 就是把每一小段时间的利率加起来，等于 \(T\times\)平均短期利率 \(\bar r\)。\(e^{-\int_0^Tr\,dt}\) 是"沿这条利率路径滚动投资"的贴现因子。见 第 00 册第 03 章 积分 连续复利一节。

5. 协方差与相关系数。 \(\mathrm{cov}=\rho\sigma_1\sigma_2\)。28.8 节的结论"漂移调整 = 协方差"只用到这个关系。

怎么读这一章

建议顺序：28.1（风险市场价格，前半节是熟悉的无套利论证）→ 28.1 末的"不同的世界"和"补充：为什么只有漂移能变"（全章的概念核心，务必读懂）→ 28.3 的等价鞅测度结果（先看结论 (28.15)，证明第二遍再推）→ 28.4 三种计价单位（本章最实用的部分，配合小结表格读）→ 28.6 Black 模型（看懂"两步魔法"即可）→ 28.8 计价单位变换（第 30 章要用，看懂 Vasicek 例子）。

第一次可以跳过：28.2 多变量的细节（知道是多因子模型即可）、28.5 多因子推广（结论与单因子相同）、28.7 交换期权中有收益的情形。\(N(d_1)\) 的测度解释很有启发性，建议读。读完后最好能用自己的话回答：为什么同一个期权可以在不同的世界里算出相同的价格？

28.1 风险的市场价格

推导

考虑一个只依赖单一变量 \(\theta\) 的衍生品，\(\theta\) 服从

设 \(f_1,f_2\) 是两个只依赖 \(\theta\) 和 \(t\)、期间不产生收益的衍生品的价格。由伊藤引理，它们服从

改写为

两个细节

\(\sigma\) 可以为负。 当 \(f\) 与 \(\theta\) 负相关（\(\partial f/\partial\theta<0\)）时，\(\sigma<0\)；\(f\) 的波动率是 \(|\sigma|\)。因为 \(dz\) 与 \(-dz\) 的统计性质相同，符号只是一个约定，但这个约定很重要：它让所有衍生品共用同一个 \(dz\)，(28.8) 才能对所有衍生品使用同一个 \(\lambda\)。

\(\theta\) 本身是否满足 (28.8)？ 第 5 章区分了投资资产与消费资产。(28.8) 对所有不提供收益、只依赖 \(\theta\) 的投资资产成立。若 \(\theta\) 本身就是这样的投资资产，则 \(\frac{m-r}{s}=\lambda\)；若 \(\theta\) 是利率、气温或消费资产（如原油）的价格，一般不成立。

例 28.1　某衍生品价格与油价正相关，没有其他随机变量，期望收益 12%/年，波动率 20%，\(r=8\%\)。油价风险的市场价格为 \((0.12-0.08)/0.2=0.2\)。注意，油是消费资产，不能把"投资于油的期望收益"和油价波动率代入 (28.8) 计算油的风险市场价格（持有油有储存成本和便利收益）。

例 28.2　两种证券都与 90 天利率正相关。第一种期望收益 3%/年、波动率 20%，第二种波动率 30%，瞬时无风险利率 6%。利率风险的市场价格为 \((0.03-0.06)/0.2=-0.15\)。第二种证券的期望收益为 \(0.06-0.15\times0.3=0.015\)，即 1.5%/年。利率风险的市场价格为负，因为与利率正相关的证券（如做空债券）在利率上升时赚钱，而利率上升往往是股市下跌、典型投资者财富缩水的时候，这类证券起到保险作用，投资者愿意为它接受更低的回报。

不同的世界

衍生品价格满足 \(df=\mu f\,dt+\sigma f\,dz\)，其中 \(\mu\) 取决于投资者的风险偏好。

• 若风险的市场价格为 0，则 \(\mu=r\)，\(df=rf\,dt+\sigma f\,dz\)。这就是第 13、15a 章的传统风险中性世界。
• 任取一个 \(\lambda\)，都定义了另一个内部一致的世界，其中 \(\mu=r+\lambda\sigma\)：
  \[df=(r+\lambda\sigma)f\,dt+\sigma f\,dz.\tag{28.10}\]

某一个 \(\lambda\) 对应现实世界，即我们实际观察到的证券期望收益。其他 \(\lambda\) 对应假想的世界，它们在定价上同样有用。从一个风险市场价格换到另一个时，所有证券的期望增长率改变，波动率不变。这就是 Girsanov 定理的内容（第 13.7 节在二叉树中演示过：从现实世界到风险中性世界，二叉树的上涨、下跌幅度不变，只有概率改变）。选择风险的市场价格，也称为定义概率测度（defining the probability measure）。

白话解释：这一段是全章的地基，换成大白话是这样的。 "测度"（measure）在这里就是"一套给未来各种情形分配概率的方式"，你可以直接把它读成"概率权重"。现实世界用的是真实概率 \(P\)；风险中性世界用的是另一套概率 \(Q\)。换测度，就是换一种加权方式求期望：未来的情形还是那些情形，股价路径还是那些路径，只是每条路径被算进平均时的分量变了。 为什么换权重能改漂移而改不了波动率？用导读里的二叉树：涨到 120、跌到 90，这两个数字（也就是波动幅度）没变，变的只是 0.7 换成 0.5。权重变了，"平均往哪走"（漂移）就变了，期望收益从 \(0.7\times20\%+0.3\times(-10\%)=11\%\) 降到 \(5\%\)；但"每一步能走多远"由树的形状决定，与权重无关。 为什么要有这么多世界？因为定价只需要"一套与无套利一致的权重"，至于哪一套，可以挑计算最方便的。风险中性世界是计算工具，不是真实世界：在其中算出的"期望收益率等于 \(r\)"、"违约概率 2%"都不是预测，只是计算用的权重。真实的期望收益要在 \(\lambda\) 取现实值的那个世界里讨论。

补充：为什么只有漂移能变。 测度变换的本质是：路径还是那些路径，只是给它们分配不同的概率。波动率由路径本身决定（在极短时间内对价格变动的平方求和，就得到 \(\sigma^2\) 乘以时间，这是路径的"二次变差"，与概率无关），所以换测度改不了它；漂移则是"平均往哪走"，换一套概率就能改变。对常数 \(\lambda\)，从现实测度 \(P\) 到风险中性测度 \(Q\) 的密度（Radon–Nikodym 导数）是

推导拆解：\(dQ/dP\) 读作"\(Q\) 相对 \(P\) 的权重放大倍数"，用法是 \(\mathbb{E}_Q[X]=\mathbb{E}_P\big[\frac{dQ}{dP}X\big]\)：在现实世界里求期望，但每个情形先乘上放大倍数。 为什么是这个指数形式？\(z_T\) 在 \(P\) 下服从 \(N(0,T)\)，密度正比于 \(e^{-z^2/(2T)}\)。想让它在 \(Q\) 下变成 \(N(-\lambda T,T)\)（均值左移，对应 \(z^Q=z+\lambda t\) 是标准布朗运动），新密度正比于 \(e^{-(z+\lambda T)^2/(2T)}\)。两者相除：\(\exp\big(-\frac{(z+\lambda T)^2-z^2}{2T}\big)=\exp(-\lambda z-\tfrac12\lambda^2T)\)，正是上式。所以这个"神秘"公式只是"把正态分布平移"所需的权重比。 代入：\(\mu\,dt+\sigma\,dz=\mu\,dt+\sigma(dz^Q-\lambda\,dt)=(\mu-\lambda\sigma)dt+\sigma\,dz^Q\)，而 \(\mu-\lambda\sigma=r\) 正是 (28.9)。波动率 \(\sigma\) 原封不动。 金融直觉：\(\lambda>0\) 时，\(z_T\) 越小（市场越差），放大倍数越大。这和 CFA 里"状态价格"或"随机贴现因子"的思想一致：同样 1 元钱，在经济衰退时到手比在繁荣时到手更值钱，定价时就要给衰退情形更大的权重。

28.2 多个状态变量

设有 \(n\) 个变量服从

例 28.3　某股票价格依赖油价、金价和股指，三者的风险市场价格分别为 0.2、−0.1、0.4，股票收益中对应的 \(\sigma_i\) 分别为 0.05、0.1、0.15。股票的超额期望收益为

(28.13) 与 Ross（1976）的套利定价理论（APT）密切相关。连续时间 CAPM 是它的特例：CAPM 认为投资者只为与股市收益相关的风险（系统性风险）要求超额回报。若 CAPM 成立，\(\lambda_i\) 与 \(\theta_i\) 的变化和市场收益之间的相关系数成正比；与市场不相关的变量 \(\lambda_i=0\)。

对量化研究者，(28.13) 就是多因子模型的连续时间版本："超额收益 = \(\sum\) 因子暴露 × 因子风险溢价"。\(\sigma_i\) 是因子载荷（beta），\(\lambda_i\) 是因子的夏普比率。区别在于：多因子选股模型是在现实世界里估计 \(\lambda_i\)，衍生品定价则是把所有 \(\lambda_i\) 设定成某个便于计算的值。

28.3 鞅与等价鞅测度

鞅

鞅（martingale）是零漂移的随机过程：

金融直觉："鞅"就是"公平赌局"：不管过去怎么走，下一步的期望盈亏都是 0。 注意一个容易混淆的点：股价本身在现实世界中不是鞅，因为它有正的期望收益；在风险中性世界中也不是，它以 \(r\) 的速度增长。是鞅的是"股价除以货币市场账户"，即以货币市场账户为单位记账的股价。这正是下面"计价单位"概念的由来：一个量是不是鞅，取决于两件事——用什么单位记账、用哪套概率权重。两件事要配套选择。

等价鞅测度结果

设 \(f\) 和 \(g\) 是依赖同一不确定性来源、期间不产生收益的两个可交易证券的价格（有收益的情形见习题 28.8）。定义

等价鞅测度结果（equivalent martingale measure result）：在无套利条件下，存在某个风险市场价格，使 \(\phi=f/g\) 是鞅；而且对给定的 \(g\)，同一个风险市场价格使所有证券 \(f\) 的 \(f/g\) 都是鞅。这个风险市场价格就是 \(g\) 的波动率 \(\sigma_g\)。（风险市场价格与波动率量纲相同，都是"每单位时间的平方根"，所以 \(\lambda=\sigma_g\) 是有意义的。）

证明。 在 \(\lambda=\sigma_g\) 的世界中，由 (28.10)，

推导拆解：证明分四步，每一步用的工具如下。 第一步，写出 \(\lambda=\sigma_g\) 世界里的过程：由 (28.10)，\(f\) 的漂移是 \(r+\lambda\sigma_f=r+\sigma_g\sigma_f\)；\(g\) 也是可交易证券，漂移是 \(r+\sigma_g\cdot\sigma_g\)。 第二步，取对数（伊藤引理，导读第 3 项）：每个漂移减去各自波动率平方的一半。 第三步，相减。漂移 \(=(r+\sigma_g\sigma_f-\tfrac12\sigma_f^2)-(r+\tfrac12\sigma_g^2)\)，\(r\) 消掉，剩下 \(-\tfrac12(\sigma_f^2-2\sigma_f\sigma_g+\sigma_g^2)=-\tfrac12(\sigma_f-\sigma_g)^2\)，这是完全平方公式。 第四步，从 \(\ln(f/g)\) 回到 \(f/g\)：对 \(e^x\) 用伊藤引理，漂移要加回"波动率平方的一半"\(\tfrac12(\sigma_f-\sigma_g)^2\)，正好与第三步的负号抵消。 关键在于：只有选 \(\lambda=\sigma_g\)，第三步才能凑成完全平方，从而被第四步精确抵消。换别的 \(\lambda\) 会多出一项 \((\lambda-\sigma_g)(\sigma_f-\sigma_g)\)，\(f/g\) 就有漂移了。

把 \(\lambda=\sigma_g\) 的世界称为关于 \(g\) 的远期风险中性世界（a world that is forward risk neutral with respect to \(g\)），记其期望为 \(E_g\)。由鞅性质：

白话解释：把 (28.15) 读成三步操作： (1) 把期权在 \(T\) 时的收益换算成"多少份 \(g\)"：\(f_T/g_T\)。好比把一笔美元收入换算成"多少盎司黄金"。 (2) 在与 \(g\) 配套的那套概率权重下求平均：\(E_g[\cdot]\)。 (3) 把"多少份 \(g\)"按今天 \(g\) 的价格换回美元：乘 \(g_0\)。 你在 CFA 里学的"风险中性期望再贴现"是 \(g\) 取银行存款时的特例：收益除以存款的终值就是贴现，乘 \(g_0=1\) 不变。(28.15) 说的是：换成任何可交易资产当"记账单位"，这个三步操作都成立，只要配套使用它的那套权重。 一个常见误解是"不同测度给出不同价格"。不会。\(f_0\) 是同一个数，只是拆成"\(g_0\) × 期望"的方式不同，就像同一笔资产可以用美元或欧元计价，换算回来是一样的。本章代码中三种方法都得到 0.0288 就是验证。

为什么叫"等价"。 不同的 \(\lambda\) 对应的测度认同哪些事件"不可能发生"（概率为 0），只是在可能事件上分配的概率不同，数学上称为等价测度。所以无论在哪个世界中，"不可能亏钱且可能赚钱"的套利组合都不存在，价格才能一致。

这个结果意味着什么

(28.15) 是一个定价公式家族：选不同的 \(g\)，得到不同但等价的定价方法。它把定价问题变成了两个选择：

1. 选计价单位 \(g\)，使 \(f_T/g_T\) 尽量简单；
2. 在对应的世界里写出相关变量的过程（漂移会因 \(g\) 而变），计算期望。

下面看三个最重要的计价单位。

28.4 计价单位的不同选择

货币市场账户：传统风险中性测度

货币市场账户（money market account）在 0 时价值 $1，此后以瞬时无风险利率 \(r\) 增长，\(r\) 可以随机。可以把它想象成每个 \(\Delta t\) 都按当时的 \(\Delta t\) 期利率滚动再投资（取极限）。其过程为

金融直觉：为什么"贴现在期望里面"会成为麻烦？因为一般 \(\hat E[e^{-\bar rT}f_T]\ne\hat E[e^{-\bar rT}]\cdot\hat E[f_T]\)，两者相差一个协方差项 \(\mathrm{cov}(e^{-\bar rT},f_T)\)。 对股票期权，利率路径和股价关系不大，协方差很小，可以拆开。对利率衍生品则不行：例如一个利率上限（cap）在利率高时赔钱给持有人，而利率高的路径贴现因子小，两者负相关。直接把"期望收益"乘"今天的贴现因子"会高估价格。 下面的 \(T\)-远期测度正是用来把这个协方差"吸收进权重里"，让贴现因子可以干净地提到外面。

零息债：\(T\)-远期测度

记 \(P(t,T)\) 为 \(t\) 时到期日 \(T\) 支付 $1 的无风险零息债的价格。取 \(g=P(t,T)\)，对应的世界称为 \(T\)-远期测度（\(T\)-forward measure），期望记为 \(E_T\)。因为 \(g_T=P(T,T)=1\)，\(g_0=P(0,T)\)，(28.15) 变为

远期价格是 \(T\)-远期测度下的期望。 考虑一个非利率变量 \(\theta\) 的远期合约，在 \(T\) 时支付 \(\theta_T-K\)。其价值为 \(f_0=P(0,T)[E_T(\theta_T)-K]\)。远期价格是使 \(f_0=0\) 的 \(K\)：

于是，只在 \(T\) 支付的证券可以这样定价：在 \(T\)-远期测度下计算期望收益（计算时令标的变量的期望等于其远期价格），再用 \(T\) 期无风险利率贴现。 这一原则是 Black 模型和第 29 章所有标准市场模型的基础。

白话解释：\(T\)-远期测度就是"以 \(T\) 年到期、面值 1 元的零息国债为记账单位"时配套的那套权重。它的好处可以从债券定价的角度理解：\(P(0,T)\) 就是收益率曲线上 \(T\) 年期的贴现因子，比如 5 年即期利率 3% 时 \(P(0,5)=e^{-0.15}\approx0.861\)，查曲线就有，不需要模拟。 和 (28.19) 比，这个测度做了一笔"交易"：把随机贴现与收益之间的协方差从公式里挪进了概率权重里。权重变了，所以利率和其他变量的漂移会变（28.8 节给出变多少）；换来的好处是定价公式变成"今天查得到的贴现因子 × 一个期望"。 (28.21) 的直觉：远期合约在 \(T\) 交割、今天成本为 0。用零息债记账，合约价值 \(=P(0,T)\times E_T[\theta_T-F]=0\)，所以 \(F=E_T[\theta_T]\)。远期价格是这套权重下的"平均未来价格"，但不是真实世界里对未来价格的预测，也不是传统风险中性世界里的期望（后者是期货价格）。

\(T\)-远期测度下的利率。 远期利率的定义与其他变量的远期价格不同，需要单独处理。记 \(R(t,T,T^*)\) 为 \(t\) 时看到的 \(T\) 到 \(T^*\) 的远期利率，复利频率与期限 \(T^*-T\) 一致（如 \(T^*-T=0.5\) 年则为半年复利）。\(T\) 到 \(T^*\) 零息债的远期价格是 \(P(t,T^*)/P(t,T)\)，远期利率由它隐含：

金融直觉：远期利率的公式你在 CFA 里见过，就是用两个即期贴现因子之比反推：例如 1 年贴现因子 0.97、1.5 年贴现因子 0.955，则 1 年后起息的 6 个月远期利率 \(=\frac{1}{0.5}\cdot\frac{0.97-0.955}{0.955}\approx3.14\%\)。 (28.22) 的含义是：这个从收益率曲线上算出来的 3.14%，恰好等于"以 1.5 年零息债记账"时对 1 年后实际 6 个月利率的平均预期。所以给一个在 1.5 年付款、按 1 年后 6 个月利率计算的 caplet 定价时，可以直接把 3.14% 当作期望输入 Black 公式。 为什么记账单位必须是付款日 \(T^*\) 的零息债？因为利率在 \(T\) 观察、在 \(T^*\) 付款，\(f\) 的构造（\(P(t,T)-P(t,T^*)\) 除以 \(T^*-T\)）恰好是"\(T\) 收 1 元、\(T^*\) 付 1 元"的组合，它除以 \(P(t,T^*)\) 才等于远期利率。换成 \(P(t,T)\) 记账就不是鞅了，差额就是第 30 章的"时间调整"。

令 \(T^*\to T\)，(28.22) 的极限形式是：瞬时远期利率 \(f(0,T)\) 等于 \(T\)-远期测度下 \(r(T)\) 的期望。本章代码在 Vasicek 模型中验证了这一点。

年金：互换测度

考虑一个 \(T\) 开始、付款日为 \(T_1,\dots,T_N\) 的 LIBOR 换固定利率互换（\(T_0=T\)，本金 $1）。\(t\) 时的远期互换利率 \(s(t)\) 是使该远期互换价值为 0 的固定利率。固定端价值为 \(s(t)A(t)\)，其中

假设用 LIBOR 贴现：在最后付款日加上本金后，浮动端在起始日价值等于本金（第 7.7 节，LIBOR 浮动利率票据按 LIBOR 贴现价值为面值）。所以 \(T_N\) 加上 $1 后，浮动端在 \(T_0\) 价值 $1，\(t\) 时浮动端价值为 \(P(t,T_0)-P(t,T_N)\)。令固定端等于浮动端：

小结：三个计价单位

选计价单位的经验规则：收益只在单一日期 \(T\) 支付，选 \(P(t,T)\)；收益是"互换利率之差乘以年金"，选 \(A(t)\)；收益以某种资产为单位（如"用 \(U\) 换 \(V\)"、"收到一股股票"），选这个资产本身。原则只有一个：让 \(f_T/g_T\) 变得简单，最好只依赖一个在该测度下是鞅的量。

28.5 推广到多因子

设有 \(n\) 个独立因子（不独立时可以正交化）。在传统风险中性世界中

28.6 再论 Black 模型

第 18.8 节在常数利率下推导了用远期（期货）价格给欧式期权定价的 Black 模型。现在证明：随机利率下，用远期价格表示的 Black 模型仍然成立。

考虑执行价 \(K\)、到期 \(T\) 的欧式看涨。由 (28.20)：

注意推导中的两步"魔法"：第一步选 \(P(t,T)\) 为计价单位，把随机贴现因子提到期望外面；第二步利用"远期价格在 \(T\)-远期测度下是鞅"，把期望值换成今天可观察的 \(F_0\)。剩下的只是对数正态分布的计算。第 29 章的三个标准市场模型都是这个模板的变体。

本章代码在 Vasicek 随机利率模型中给一个 2 年期、标的为 5 年零息债的看涨期权定价：在传统风险中性测度下按路径贴现的蒙特卡洛、在 2 年远期测度下的蒙特卡洛、以及 Black 公式三者一致。在 Vasicek 模型中远期债券价格的波动率是确定的，所以 Black 公式是精确的。

28.7 资产交换期权

考虑用价值为 \(U\) 的投资资产交换价值为 \(V\) 的投资资产的期权（第 26.14 节），两者的波动率为 \(\sigma_U,\sigma_V\)，相关系数为 \(\rho\)。先假设两者都不产生收益。

取 \(g=U\) 作为计价单位，\(f=V\)，由 (28.15)：

同一个想法解释 \(N(d_1)\)

第 26.10 节说资产或无看涨的价值是 \(S_0e^{-qT}N(d_1)\)。用计价单位方法很容易看清原因。取 \(g_t=S_te^{qt}\)（股票加上股息再投资，是一个不产生收益的可交易资产）为计价单位，资产或无看涨的收益是 \(f_T=S_T\mathbf 1\{S_T>K\}\)：

所以 BSM 公式 \(c=S_0e^{-qT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\) 的两项是两个不同测度下的同一事件的概率：\(N(d_1)\) 是以股票计价时 \(S_T>K\) 的概率，\(N(d_2)\) 是以现金计价时的概率。本章代码用模拟验证了这一点。

白话解释：看涨期权到期时做两件事：收到一股股票（如果 \(S_T>K\)），付出 \(K\) 元现金（如果 \(S_T>K\)）。 付现金那一腿，用现金记账最自然：期望付出 \(K\times\)"现金权重下行权的概率"，再贴现，即 \(Ke^{-rT}N(d_2)\)。 收股票那一腿，用股票记账最自然：收到的是"一股"，换算成股票单位就是 1，期望值 \(=1\times\)"股票权重下行权的概率"，再乘今天的股价，即 \(S_0e^{-qT}N(d_1)\)。 为什么股票权重下行权概率更高（\(N(d_1)>N(d_2)\)）？股票权重按"那个情形下股票值多少"加权，股价高的情形被放大，所以 \(S_T>K\) 的概率变大。这也解释了一个常见误读：\(N(d_1)\) 是 delta，但它不是真实世界里期权到期实值的概率，\(N(d_2)\) 也不是。两者都是计算用的权重下的概率。

28.8 计价单位变换

前面每次换计价单位，我们都要重新推导变量的漂移。本节给出一个通用公式。

可交易证券 \(f\) 在第 \(i\) 个因子风险市场价格为 \(\lambda_i\) 的世界中服从

对不是可交易证券价格的变量 \(v\)（如利率、波动率、汇率的某个函数），Technical Note 20 证明，其期望增长率对风险市场价格变化的反应与可交易证券相同，增加

现在从计价单位 \(g\) 换到计价单位 \(h\)：\(\lambda_i=\sigma_{g,i}\)，\(\lambda_i^*=\sigma_{h,i}\)。定义计价单位比率（numeraire ratio）\(w=h/g\)，由伊藤引理 \(\sigma_{w,i}=\sigma_{h,i}-\sigma_{g,i}\)（习题 28.13），于是

结论非常简洁：从计价单位 \(g\) 换到 \(h\) 时，变量 \(v\) 的期望增长率增加"\(v\) 的百分比变化与计价单位比率 \(h/g\) 的百分比变化之间的瞬时协方差"。 若 \(v\) 的波动是以绝对量（而非百分比）表示的，比如 Vasicek 模型中的短期利率 \(dr=\dots+\sigma\,dz\)，则绝对漂移增加 \(\text{cov}(dv,\,dw/w)/dt\)。

特例：从现实世界到传统风险中性世界（所有风险市场价格变为 0），由 (28.33)，\(v\) 的增长率改变 \(-\sum_i\lambda_i\sigma_{v,i}\)，与可交易证券的 (28.13) 一致。一般而言，非可交易变量在不同世界之间转换的方式与可交易证券相同。

例：Vasicek 模型中从风险中性测度换到 \(T\)-远期测度

Vasicek 模型在传统风险中性世界中为 \(dr=a(b-r)dt+\sigma\,dz\)，零息债价格 \(P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r}\)，\(B(t,T)=(1-e^{-a(T-t)})/a\)。由伊藤引理，\(P(t,T)\) 的（百分比）波动率为 \(-\sigma B(t,T)\)。从货币市场账户换到 \(P(t,T)\)，计价单位比率 \(w=P(t,T)/e^{\int r}\) 的波动率也是 \(-\sigma B(t,T)\)（货币市场账户没有波动）。所以短期利率的漂移增加

推导拆解：三个小步骤。 (1) \(P(t,T)=Ae^{-Br}\)，对 \(r\) 求导 \(\partial P/\partial r=-BP\)。由伊藤引理，\(dP\) 的随机部分 \(=-BP\cdot\sigma\,dz\)，所以百分比波动率为 \(-\sigma B\)。这就是久期的连续时间版本：\(B(t,T)\) 扮演修正久期的角色，利率上升 1 单位，债券价格下降约 \(B\) 倍。 (2) \(w=P/(\text{货币市场账户})\)，分母没有随机项，所以 \(w\) 的百分比波动率仍是 \(-\sigma B\)。 (3) \(r\) 的波动是绝对量 \(\sigma\,dz\)，所以用原文的绝对版公式：漂移增加 \(\mathrm{cov}(dr,dw/w)/dt=\sigma\cdot(-\sigma B)=-\sigma^2B\)。 白话解释：换到 \(T\)-远期测度，就是"按 \(T\) 年零息债的价值来加权"各条利率路径。利率高的路径上零息债便宜，权重被调低；利率低的路径权重被调高。于是这套权重下的"平均利率"比传统风险中性下低。被调低的幅度取决于利率波动 \(\sigma\) 和债券对利率的敏感度 \(B\)（久期），两者相乘就是 \(\sigma^2B\)。

第 30 章的时间调整（timing adjustment）和 quanto 调整都是 (28.35) 的直接应用：前者是从 \(P(t,T)\) 换到 \(P(t,T^*)\)，后者是从一种货币的测度换到另一种货币的测度。

量化实战

本章内容在量化交易中的用途

1. 定价引擎的测度一致性。蒙特卡洛定价时，贴现方式必须与模拟所用的测度匹配：在传统风险中性测度下模拟时，每条路径按 \(e^{-\int r}\) 贴现；在 \(T\)-远期测度下模拟时，用 \(P(0,T)\) 在期望外部贴现，同时把漂移改为 (28.35) 调整后的值。两者混用（例如在风险中性测度下模拟却用 \(P(0,T)\) 在外部贴现）是利率定价代码里最常见的错误之一，误差恰好是凸性调整。
2. 选对计价单位就是选对模型。caplet 用 \(t_{k+1}\)-远期测度、互换期权用年金测度、交换期权用资产测度、跨币种产品用外币测度。工业界的利率模型（LIBOR 市场模型、SABR）都是在"让某个市场可观测量成为鞅"的测度下建立的。
3. P 测度与 Q 测度的分工。式 (28.13) 与多因子模型同构：\(\lambda_i\) 是因子的风险溢价。量化研究中，预测期望收益（alpha 研究、因子择时）是在现实测度 \(P\) 下的问题；衍生品定价、无套利一致性检验是在 \(Q\) 测度下的问题。期权隐含的概率（如隐含的崩盘概率、隐含的利率路径）是 \(Q\) 概率，它等于 \(P\) 概率加上风险溢价的扭曲，不能直接当作预测。反过来，从 \(Q\) 和 \(P\) 的差可以提取风险溢价（如方差风险溢价、期限溢价），这本身是有用的因子。
4. 期货与远期。期货价格是 \(\hat E\) 下的鞅，远期价格是 \(E_T\) 下的鞅。对长期利率期货（如欧洲美元期货）、与利率高度相关的商品期货，两者差别不可忽略，影响基差交易和展期收益的建模（第 6 章、第 30 章）。

Python 示例：同一个价格，三种计价单位

代码依次完成：(1) 在 Vasicek 模型的传统风险中性测度下模拟短期利率，按路径贴现给零息债期权定价；(2) 在 2 年远期测度下（漂移加 \(-\sigma^2B(t,T)\)）模拟，用 \(P(0,T)\) 在外部贴现；(3) 用随机利率下的 Black 公式定价，三者比较；(4) 验证远期债券价格只在 \(T\)-远期测度下是鞅；(5) 验证瞬时远期利率等于 \(T\)-远期测度下的期望短期利率；(6) 交换期权在 \(Q\) 测度与 \(U\) 测度下分别定价，并检验 \(V/U\) 的鞅性；(7) 验证 \(N(d_2)\) 与 \(N(d_1)\) 分别是现金测度和股票测度下的行权概率。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

N = norm.cdf

# ===== Vasicek 模型：dr = a(b - r)dt + sigma dz（传统风险中性世界）=====
a, b, sig, r0 = 0.15, 0.05, 0.015, 0.03

def B(t, T):
    return (1 - np.exp(-a*(T - t)))/a

def P(t, T, r):
    A = np.exp((B(t, T) - (T - t))*(a**2*b - sig**2/2)/a**2 - sig**2*B(t, T)**2/(4*a))
    return A*np.exp(-B(t, T)*r)

T, s, K = 2.0, 5.0, 0.87          # 2 年后到期的期权，标的为 5 年零息债，执行价 0.87
n, m = 200_000, 400
dt = T/m
rng = np.random.default_rng(42)
Z = rng.standard_normal((m, n//2))
Z = np.hstack([Z, -Z])            # 对偶变量：一半路径用 -Z，降低抽样误差

def simulate(drift_adj):
    """Euler 模拟 r；drift_adj(t) 是测度变换带来的漂移修正"""
    r = np.full(n, r0); integral = np.zeros(n)
    for i in range(m):
        t = i*dt
        r_new = r + (a*(b - r) + drift_adj(t))*dt + sig*np.sqrt(dt)*Z[i]
        integral += 0.5*(r + r_new)*dt
        r = r_new
    return r, integral

# --- 1) 计价单位 = 货币市场账户（传统风险中性测度 Q）：贴现在期望内部 ---
rQ, intQ = simulate(lambda t: 0.0)
disc = np.exp(-intQ)
payoff = np.maximum(P(T, s, rQ) - K, 0)
print("Q 测度  : P(0,T) 模拟 %.5f  解析 %.5f" % (disc.mean(), P(0, T, r0)))
print("Q 测度  : 债券期权 E[e^{-∫r} max(P(T,s)-K,0)] = %.5f ± %.5f"
      % ((disc*payoff).mean(), (disc*payoff).std()/np.sqrt(n)))

# --- 2) 计价单位 = 零息债 P(t,T)（T-远期测度）：漂移修正 = cov(dr, dP/P)/dt = sigma*(-sigma*B(t,T)) ---
rT, _ = simulate(lambda t: -sig**2*B(t, T))
payoffT = np.maximum(P(T, s, rT) - K, 0)
print("T-远期测度: P(0,T) * E_T[max(P(T,s)-K,0)] = %.5f ± %.5f"
      % (P(0, T, r0)*payoffT.mean(), P(0, T, r0)*payoffT.std()/np.sqrt(n)))

# --- 3) 随机利率下的 Black 模型：F0 = 远期债券价格，sigma_F*sqrt(T) = 远期价格对数的标准差 ---
F0 = P(0, s, r0)/P(0, T, r0)
sigP = sig/a*(1 - np.exp(-a*(s - T)))*np.sqrt((1 - np.exp(-2*a*T))/(2*a))
d1 = (np.log(F0/K) + 0.5*sigP**2)/sigP
black = P(0, T, r0)*(F0*N(d1) - K*N(d1 - sigP))
print("Black 公式: F0 = %.5f, sigma_F*sqrt(T) = %.5f, 价格 = %.5f" % (F0, sigP, black))

# --- 4) 鞅性质检验：远期价格 P(t,s)/P(t,T) 在 T-远期测度下是鞅，在 Q 下不是 ---
print("E_T[P(T,s)] = %.5f,  E_Q[P(T,s)] = %.5f,  远期价格 F0 = %.5f"
      % (P(T, s, rT).mean(), P(T, s, rQ).mean(), F0))

# --- 5) 远期利率 = T-远期测度下的期望未来即期利率（瞬时版本的式 28.22）---
h = 1e-4
fwd = -(np.log(P(0, T + h, r0)) - np.log(P(0, T - h, r0)))/(2*h)
print("瞬时远期利率 f(0,T) = %.5f,  E_T[r(T)] = %.5f,  E_Q[r(T)] = %.5f"
      % (fwd, rT.mean(), rQ.mean()))

# ===== 交换期权：以 U 为计价单位时 V/U 是鞅 =====
rng = np.random.default_rng(7)
sV, sU, rho, r, TT = 0.30, 0.20, 0.6, 0.05, 1.0
z1 = rng.standard_normal(1_000_000)
z2 = rho*z1 + np.sqrt(1 - rho**2)*rng.standard_normal(1_000_000)
# Q 测度下的终值
VQ = 100*np.exp((r - .5*sV**2)*TT + sV*np.sqrt(TT)*z1)
UQ = 100*np.exp((r - .5*sU**2)*TT + sU*np.sqrt(TT)*z2)
# U 测度：风险市场价格 = U 的波动率，各资产漂移加上 cov(资产, U) = rho_iU*sigma_i*sigma_U
VU = 100*np.exp((r + rho*sV*sU - .5*sV**2)*TT + sV*np.sqrt(TT)*z1)
UU = 100*np.exp((r + sU**2 - .5*sU**2)*TT + sU*np.sqrt(TT)*z2)
print("E_Q[V_T/U_T] = %.4f,  E_U[V_T/U_T] = %.4f  (V0/U0 = 1)" % ((VQ/UQ).mean(), (VU/UU).mean()))
pQ = np.exp(-r*TT)*np.maximum(VQ - UQ, 0).mean()
pU = 100*np.maximum(VU/UU - 1, 0).mean()
sh = np.sqrt(sU**2 + sV**2 - 2*rho*sU*sV)
d1 = 0.5*sh*np.sqrt(TT)
print("交换期权: Q 测度 %.4f, U 测度 U0*E_U[max(V/U-1,0)] %.4f, Margrabe %.4f"
      % (pQ, pU, 100*(N(d1) - N(d1 - sh*np.sqrt(TT)))))

# ===== 资产或无期权：N(d1) 是以股票为计价单位时的行权概率 =====
S0, Kc, sg = 100., 105., 0.25
zz = rng.standard_normal(1_000_000)
ST_Q = S0*np.exp((r - .5*sg**2)*TT + sg*zz)            # Q 测度
ST_S = S0*np.exp((r + .5*sg**2)*TT + sg*zz)            # 股票测度：漂移多 sigma^2
dd1 = (np.log(S0/Kc) + (r + .5*sg**2)*TT)/sg; dd2 = dd1 - sg
print("Q(S_T>K) = %.4f vs N(d2) = %.4f ;  P^S(S_T>K) = %.4f vs N(d1) = %.4f"
      % ((ST_Q > Kc).mean(), N(dd2), (ST_S > Kc).mean(), N(dd1)))

输出：

Q 测度  : P(0,T) 模拟 0.93688  解析 0.93688
Q 测度  : 债券期权 E[e^{-∫r} max(P(T,s)-K,0)] = 0.02882 ± 0.00007
T-远期测度: P(0,T) * E_T[max(P(T,s)-K,0)] = 0.02882 ± 0.00007
Black 公式: F0 = 0.89433, sigma_F*sqrt(T) = 0.04444, 价格 = 0.02879
E_T[P(T,s)] = 0.89434,  E_Q[P(T,s)] = 0.89361,  远期价格 F0 = 0.89433
瞬时远期利率 f(0,T) = 0.03485,  E_T[r(T)] = 0.03485,  E_Q[r(T)] = 0.03519
E_Q[V_T/U_T] = 1.0041,  E_U[V_T/U_T] = 1.0001  (V0/U0 = 1)
交换期权: Q 测度 9.5789, U 测度 U0*E_U[max(V/U-1,0)] 9.5784, Margrabe 9.5846
Q(S_T>K) = 0.4524 vs N(d2) = 0.4522 ;  P^S(S_T>K) = 0.5518 vs N(d1) = 0.5517

读输出时注意：

• 三种方法给出的债券期权价格分别为 0.02882、0.02882、0.02879，在蒙特卡洛误差（±0.00007）范围内一致。同一个价格，可以在不同的世界里用不同的方法算出来，这就是等价鞅测度的含义。
• \(E_T[P(T,s)]=0.89434\) 与远期价格 \(F_0=0.89433\) 一致，而 \(\hat E[P(T,s)]=0.89361\) 不等于远期价格：远期价格只在 \(T\)-远期测度下是鞅。
• 瞬时远期利率 3.485% 等于 \(T\)-远期测度下的期望短期利率，而传统风险中性世界中的期望短期利率为 3.519%，高出 3.4 个基点。这 3.4 个基点的差是凸性调整，期限越长、波动越大，差距越大。
• 交换期权：\(Q\) 测度下 \(E[V_T/U_T]=1.0041\)，不是鞅；\(U\) 测度下 \(E_U[V_T/U_T]=1.0001\)，是鞅（误差来自抽样）。两种测度下的期权价格与 Margrabe 公式一致。
• \(Q(S_T>K)=N(d_2)=0.452\)，\(P^S(S_T>K)=N(d_1)=0.552\)：同一事件在两个测度下的概率相差 10 个百分点。

本章小结

依赖同一个变量 \(\theta\) 的所有衍生品具有相同的风险—收益比 \((\mu-r)/\sigma=\lambda\)，称为 \(\theta\) 的风险市场价格；多个变量时 \(\mu-r=\sum\lambda_i\sigma_i\)，与 APT 和多因子模型同构。选择一组风险市场价格就是选择一个概率测度，换测度只改变漂移、不改变波动率。传统风险中性世界中所有风险市场价格为 0，但它只是众多有用世界之一。等价鞅测度结果说明：以任何可交易证券 \(g\) 为计价单位、令风险市场价格等于 \(g\) 的波动率，所有证券以 \(g\) 计的价格都是鞅，\(f_0=g_0E_g[f_T/g_T]\)。货币市场账户对应传统风险中性世界，贴现在期望内部；零息债 \(P(t,T)\) 对应 \(T\)-远期测度，贴现在外部，远期价格和以 \(T\) 为付款日的远期利率是鞅；年金对应互换测度，远期互换利率是鞅；资产本身对应资产测度，用于交换期权和资产或无期权。由此可推出随机利率下的 Black 模型和 Margrabe 公式，并理解 \(N(d_1)\) 与 \(N(d_2)\) 的含义。换计价单位时，变量漂移的调整等于该变量与计价单位比率的瞬时协方差 \(\rho\sigma_v\sigma_w\)，这是第 30 章凸性、时间和 quanto 调整的基础。

练习

基础

1. 如何定义一个不是投资资产价格的变量（如利率）的风险市场价格？（原书习题 28.1） 提示：取任何只依赖该变量、不产生收益的投资资产（衍生品），计算其 \((\mu-r)/\sigma\)；由 28.1 节，结果与选哪个衍生品无关。

2. 黄金是投资资产，储存成本为每年 1%，无风险利率 5%。若黄金价格风险的市场价格为 0，黄金价格的期望增长率是多少？（原书习题 28.2） 提示：持有黄金的总收益 = 价格增长率 − 储存成本，风险市场价格为 0 时总收益应等于 \(r\)，所以价格期望增长率为 6%。

3. 两种证券都只依赖同一个变量，第一种期望收益 8%、波动率 25%，第二种期望收益 12%，无风险利率 4%。第二种证券的波动率是多少？（原书习题 28.3 类型） 提示：\(\lambda=(0.08-0.04)/0.25=0.16\)，\(\sigma_2=(0.12-0.04)/0.16=50\%\)。

4. 某石油勘探公司的价值主要依赖于"探明储量"，这一变量与市场无关。它的风险市场价格应为多少？（原书习题 28.4） 提示：探明储量的不确定性是可分散的特质风险，按 CAPM 风险市场价格为 0；用该变量的现实世界过程直接在风险中性世界中使用即可。

5. 说明期货价格和远期价格分别在哪个测度下是鞅，并由此解释利率与标的价格正相关时期货价格高于远期价格（原书习题 28.17）。 提示：期货价格是 \(\hat E\) 下的鞅，远期价格是 \(E_T\) 下的鞅；从 \(\hat E\) 换到 \(E_T\)，标的漂移增加 \(\text{cov}(dS/S,\,dP/P)\)，与利率正相关时该协方差为负，所以 \(E_T(S_T)<\hat E(S_T)\)，即远期 < 期货（与第 5.8 节一致）。

进阶

6. 用两个依赖同一变量 \(\theta\) 的可交易证券构造无风险组合，推导衍生品价格 \(f(\theta,t)\) 满足的偏微分方程（原书习题 28.5）。 提示：结果为 \(\frac{\partial f}{\partial t}+(m-\lambda s)\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}+\frac12s^2\theta^2\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}=rf\)。\(\theta\) 的漂移从 \(m\) 变为 \(m-\lambda s\)，这就是"风险中性世界中的过程"。

7. 证明多因子情形下，取 \(\lambda_i=\sigma_{g,i}\) 时 \(f/g\) 零漂移（原书习题 28.12），并证明 \(w=h/g\) 的波动率分量为 \(\sigma_{h,i}-\sigma_{g,i}\)（习题 28.13）。 提示：对 \(\ln f-\ln g\) 用伊藤引理，漂移为 \(\sum_i[\sigma_{g,i}\sigma_{f,i}-\frac12\sigma_{f,i}^2-\frac12\sigma_{g,i}^2]=-\frac12\sum_i(\sigma_{f,i}-\sigma_{g,i})^2\)，再取指数。

8. 证明：若 \(X\) 是任意随机变量，则条件期望过程 \(Y_t=E(X\mid\mathcal F_t)\) 是鞅（原书习题 28.14）。说明这与 (28.15) 的关系。 提示：塔性质 \(E[E(X\mid\mathcal F_t)\mid\mathcal F_s]=E(X\mid\mathcal F_s)\)。(28.15) 中 \(f_t/g_t=E_g[f_T/g_T\mid\mathcal F_t]\) 正是这样的过程。

9. 一项资产在美元风险中性世界中服从 \(dS/S=(r_{USD}-q)dt+\sigma dz\)。写出它在以下世界中的过程：(a) 关于美元 \(T\) 期零息债的远期风险中性世界；(b) 欧元风险中性世界（汇率 \(X\) 为每欧元的美元数，波动率 \(\sigma_X\)，与 \(S\) 相关 \(\rho\)）（原书习题 28.10、28.16 类型）。 提示：(a) 漂移加 \(\text{cov}(dS/S,dP/P)\)，利率确定时不变；(b) 欧元货币市场账户以美元计的价值为 \(Xe^{r_{EUR}t}\)，以它为计价单位，漂移加 \(\rho\sigma\sigma_X\)。这就是第 30 章的 quanto 调整。

10. 用本章 Vasicek 代码，把期权期限 \(T\) 从 2 年改为 5 年、标的零息债改为 10 年，计算 \(\hat E[r(T)]-f(0,T)\)，并与解析值 \(\frac{\sigma^2}{2a^2}(1-e^{-aT})^2\) 比较。 提示：在 Vasicek 中，\(\hat E[r(T)]\) 与 \(E_T[r(T)]=f(0,T)\) 之差等于 \(\int_0^T\sigma^2B(t,T)e^{-a(T-t)}dt=\frac{\sigma^2}{2a^2}(1-e^{-aT})^2\)。2 年时约 3.4 个基点，5 年时显著更大。

原书推荐习题：28.2、28.3、28.15（风险市场价格基本计算）；28.5（用可交易证券推导 PDE）；28.8、28.12、28.13（等价鞅测度推广与比率波动率）；28.10、28.16（不同测度下过程的转换，最能检验对测度变换的理解）；28.17（期货与远期价格的测度解释，连接第 5 章）；28.6（平方根利率过程在风险中性世界中的过程）；28.9（风险中性世界与现实世界中利率期望的比较）。

原书对照

"为什么只有漂移能变"的 Radon–Nikodym 说明、\(N(d_1)\) 的测度解释、Vasicek 模型中的测度变换例子为本教材补充。延伸阅读：Baxter & Rennie (1996)《Financial Calculus》（本章内容最好的入门读物）；Harrison & Kreps (1979)；Harrison & Pliska (1981)；Duffie (2001)；Cox, Ingersoll & Ross (1985)。