第 27b 章 数值方法补充：可转债、路径依赖、障碍、多资产与美式蒙特卡洛

第 21a–21c 章介绍了二叉树、三叉树、蒙特卡洛和有限差分三类基本数值方法。它们各有所长：树和有限差分擅长处理提前行权，蒙特卡洛擅长处理路径依赖和多个随机变量。真实的产品往往同时具有好几种特征：可转债既有提前转换又有发行人赎回还有信用风险；美式亚式期权既路径依赖又可提前行权；百慕大互换期权既有提前行权又依赖整条曲线。本章介绍把这些方法推广到复杂产品的五种技术：

1. 在二叉树中加入违约分支给可转债定价；
2. 在树的每个节点为路径函数选代表值并插值，处理路径依赖；
3. 让树的节点落在障碍上，解决障碍期权收敛慢的问题；
4. 为两个相关资产建树的三种方法；
5. 用最小二乘回归或行权边界参数化让蒙特卡洛处理美式期权。

这些技术在今天的定价库中依然是标准做法，尤其是第 5 种（Longstaff–Schwartz 方法），几乎所有带提前终止条款的结构化产品都靠它定价。

学习目标

1. 会构造带违约分支的股价二叉树，理解节点规则 \(\max[\min(Q_1,Q_2),Q_3]\)，复现例 27.1 的可转债价值 106.93。
2. 理解 Hull–White 路径依赖树的两个适用条件，会用"代表值 + 插值"给美式回望和美式亚式期权定价。
3. 解释树方法给障碍期权定价时收敛慢的原因（内障碍与外障碍），会用"节点落在障碍上"的三叉树修正。
4. 了解两相关资产建树的三种方法：变量变换、非矩形树、调整概率。
5. 掌握 Longstaff–Schwartz 最小二乘蒙特卡洛的每个细节，理解为什么它给出的是下界，以及行权边界参数化方法。

读前导读

这一章在解决什么问题

你在 CFA 里见过单步二叉树：用无套利定出风险中性概率，再把期末收益按这个概率求平均、按无风险利率贴现。第 21a–21c 章把它扩展成多步树、蒙特卡洛和有限差分。本章不再引入新理论，只做一件事：把这几种工具"改装"一下，去对付真实世界里条款复杂的产品。

可以把本章看成五个独立的"改装案例"。可转债的难点是同时存在三方选择（持有人转股、发行人赎回、公司可能违约），办法是在树上加一个"违约分支"，并在每个节点比较三种价值。亚式、回望期权的难点是收益取决于整条路径，办法是让每个节点多记一个"路径摘要"（平均价或最高价）。障碍期权的难点是树上的节点不恰好落在障碍上，导致误差很大，办法是调整步长让节点踩在障碍上。两资产期权的难点是相关性，办法是变量变换或调整分支概率。美式期权用蒙特卡洛的难点是"继续持有值多少"是一个条件期望，办法是用回归来估它，这就是业界最常用的 Longstaff–Schwartz（LSM）。

和你熟悉的知识对照：LSM 里的回归就是 CFA 二级的多元回归，只不过因变量是"继续持有后实际拿到的贴现现金流"，自变量是当前股价的多项式；回归的拟合值被当作"继续持有的公允价值"。可转债的 \(\lambda\) 就是信用分析里的违约强度，和 CDS 利差大致满足"利差 ≈ \(\lambda\times(1-\)回收率\()\)"。

需要先想起来的数学

1. 矩匹配。 树的分支概率和步长不是随便选的，而是让树上一步的均值和方差等于连续模型在 \(\Delta t\) 内的均值和方差。例如二叉树要求 \(pu+(1-p)d=e^{r\Delta t}\)（均值对上）。本章的可转债树、障碍三叉树都是这样解两三个方程得到概率。可回顾 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具 中期望与矩的部分。

2. 大 O 记号。 \(O(\sqrt{\Delta t})\) 表示"误差大约和 \(\sqrt{\Delta t}\) 成正比"。步数翻 4 倍，\(\Delta t\) 变成 1/4，\(\sqrt{\Delta t}\) 只减半，误差也大致只减半，所以收敛慢。见 第 00 册第 07 章 中大 O 小 o 一节。

3. 线性插值。 已知 \(x_1\) 处值 \(y_1\)、\(x_2\) 处值 \(y_2\)，求中间 \(x\) 处的值：\(y=\dfrac{(x-x_1)y_2+(x_2-x)y_1}{x_2-x_1}\)，即按距离反比加权。例：\(x_1=0,y_1=10\)，\(x_2=4,y_2=18\)，则 \(x=1\) 处为 \((1\times18+3\times10)/4=12\)。

4. 方差与协方差的运算。 \(\mathrm{Var}(aX+bY)=a^2\mathrm{Var}X+b^2\mathrm{Var}Y+2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)\)。这和组合方差公式完全一样，27.7 节的变量变换就靠它验证"新变量不相关"。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成 的协方差矩阵部分。

5. 条件期望与回归。 "继续持有价值"\(=\mathbb{E}[\text{未来贴现现金流}\mid \text{当前股价}]\)（\(\mathbb{E}[\cdot\mid\cdot]\) 读作"在已知……的条件下的期望"）。最小二乘回归的拟合值正是条件期望的最佳近似（在所选函数族中）。见 第 00 册第 07 章 条件期望一节。

怎么读这一章

核心必读是 27.4（可转债）和 27.8 的最小二乘法（LSM）。这两部分在 A 股转债和雪球类产品中天天用到，建议对照原文的数值例子手算一两个节点。27.6 只需理解"为什么普通树对障碍不准"和"让节点落在障碍上"这个思路，三叉树概率公式第一次可以只看结论。27.5 的代表值插值法思路简单，看懂节点 X 的计算即可。27.7 两资产树第一次可只读方法三（调整概率），方法一、二留待需要时再看。行权边界参数化和上界部分，理解"为什么是下界"这一个结论就够了。

27.4 可转换债券

产品特征

可转换债券（convertible bond）的持有人可以在未来某些时间把债券换成发行公司的股票。转换比率（conversion ratio）为每张债可换的股数，可以随时间变化。可转债几乎总是可赎回的：发行人可以在某些时间按预定价格买回。被赎回时持有人总有权先转换，所以赎回条款的实际作用是迫使持有人比自愿更早地转换。有时赎回权以股价高于某水平为前提（A 股转债的"强赎"条款就是这一类）。

信用风险很重要。 忽略信用风险会高估票息和本金的价值。Ingersoll（1977）用类似 Merton（1974，第 24 章）的模型：假设发行人的总资产服从几何布朗运动，把股权、可转债和其他债务都当作公司资产的或有索取权。这在理论上完美，但公司资产不可观测，实务中很少用。

实务常用的简化模型

直接对股价建模：股价服从几何布朗运动，但在每个 \(\Delta t\) 内有 \(\lambda\Delta t\) 的概率违约，违约时股价跌到 0，债券获得回收值。\(\lambda\) 是第 24.2 节的风险中性违约强度（hazard rate）。修改后的二叉树每个节点有三个分支：

1. 概率 \(p_u\) 上涨比例 \(u\)；
2. 概率 \(p_d\) 下跌比例 \(d\)；
3. 概率 \(\lambda\Delta t\)（更准确地，\(1-e^{-\lambda\Delta t}\)）违约，股价变为 0。

匹配股价分布的前两阶矩可得

推导拆解：\(p_u\)、\(p_d\) 来自两个条件。 第一，三个分支概率加起来为 1，违约概率是 \(1-e^{-\lambda\Delta t}\)，所以不违约的两个分支合计 \(p_u+p_d=e^{-\lambda\Delta t}\)。 第二，风险中性下股价的期望增长率必须是 \(r-q\)，即 \(p_u\cdot uS+p_d\cdot dS+(1-e^{-\lambda\Delta t})\cdot 0=aS\)。违约时股价为 0，这一项直接消失。 两式联立：由第一式 \(p_d=e^{-\lambda\Delta t}-p_u\)，代入第二式得 \(p_u u+(e^{-\lambda\Delta t}-p_u)d=a\)，整理即 \(p_u=\dfrac{a-de^{-\lambda\Delta t}}{u-d}\)；\(p_d\) 同理。 直观上，违约分支把股价打到 0，拉低了期望，所以不违约时股价要"涨得更多一点"来补偿，\(p_u\) 因此比普通树略大。这正是信用风险高的公司股票隐含更高的漂移。

树的期限等于可转债的期限。末端节点按持有人的转换权估值；倒推时，在允许转换的节点检查转换是否最优，并检查发行人赎回能否改善自己的地位（若赎回，再检查持有人是否转换）。这等价于节点价值

金融直觉：把每个节点想成一个两人回合。发行人先手：如果"继续持有价值"\(Q_1\) 高于赎回价 \(Q_2\)，发行人就赎回，把债券价值压到 \(Q_2\)，否则不动，所以先取 \(\min(Q_1,Q_2)\)。持有人后手：无论发行人做什么，他都能选择转股拿 \(Q_3\)，所以再取 \(\max(\cdot,Q_3)\)。 这和你熟悉的"可赎回债券价值 = 普通债 − 发行人看涨期权"、"可转债 ≈ 纯债 + 看涨期权"是同一件事，只是树把这些期权在每个节点上逐一兑现，而不是假设它们可以简单相加。 例 27.1 的节点 B、D 就是"强赎逼转股"：持有人本想继续持有（118.31 > 115.19），发行人用 113 赎回逼他转股，价值从 118.31 降到 115.19。A 股转债发强赎公告后转债价格向转股价值收敛，就是这个机制。

例 27.1　XYZ 公司发行 9 个月期零息可转债，面值 $100，可随时换 2 股，发行人可随时以 $113 赎回。股价 $50，波动率 30%，无股息，违约强度 \(\lambda=1\%\)/年，无风险利率 5%，违约时债券值 $40（回收率 40%）。

用三步树（\(\Delta t=0.25\)）：\(u=e^{\sqrt{(0.09-0.01)\times0.25}}=1.1519\)，\(d=0.8681\)，\(a=e^{0.0125}=1.0126\)，\(p_u=0.5167\)，\(p_d=0.4808\)，每步违约概率 \(1-e^{-0.0025}=0.002497\)。

原书图 27.2 各节点（股价 / 可转债价值）：A 50.00 / 106.93；B 57.60 / 115.19；C 43.41 / 101.20；D 66.34 / 132.69；E 50.00 / 106.36；F 37.68 / 98.61；G 76.42 / 152.85；H 57.60 / 115.19；I 43.41 / 100.00；J 32.71 / 100.00。

• 末端节点：G、H 转换（价值为 2 倍股价）；I、J 不转换（价值 100）。
• 节点 E：转换价值 100；不转换的价值 \((0.5167\times115.19+0.4808\times100+0.002497\times40)e^{-0.0125}=106.36>100\)，不转换；发行人也不会以 113 赎回一张只值 106.36 的债券。
• 节点 B：转换价值 \(2\times57.596=115.19\)，不转换价值 118.31，持有人本不愿转换；但发行人会以 113 赎回，此时持有人宁可转换（115.19 > 113），节点价值 115.19。
• 节点 D：不转换价值 132.79，但赎回迫使转换，价值降为 132.69。

可转债价值为节点 A 的 106.93。

扩展。 有票息时，在不转换情形下的估值中加入下一步应付票息的现值；\(\lambda\) 可以从公司债券价格或 CDS 利差估计（第 24、25 章）；若 \(\sigma,\lambda,r\) 是时间的函数，改用三叉树（第 21.4 节）。这个模型的缺点是违约概率与股价无关，而现实中股价越低越容易违约。有研究者建议用隐式有限差分实现，并让 \(\lambda\) 依赖股价和时间，例如 Andersen & Buffum（2003/04）假设 \(\lambda\propto S^{-\alpha}\)。

27.5 路径依赖衍生品

问题与条件

路径依赖（path-dependent，或历史依赖）衍生品的收益取决于标的的整条路径，不只是终值，亚式和回望期权就是例子。没有解析解时，可以用蒙特卡洛（第 21b 章）：在风险中性世界中抽样路径，计算收益，按无风险利率贴现，取平均。但它有两个问题：达到所需精度的计算时间可能很长；美式路径依赖产品难以处理。

Hull & White（1993）把二叉树推广到一类路径依赖衍生品，能处理美式，对欧式也比蒙特卡洛高效。适用的两个条件：

1. 收益只依赖于路径的单一函数 \(F\)（如最高价、平均价）；
2. \(F\) 可以递推：\(\tau+\Delta t\) 时的 \(F\) 能由 \(\tau\) 时的 \(F\) 和 \(\tau+\Delta t\) 时的标的价格算出。

最高价满足 \(F_{new}=\max(F,S_{new})\)，平均价满足 \(F_{new}=\frac{iF+S_{new}}{i+1}\)，都符合。

白话解释：条件 2 的意思是"只要记住一个数，就不用记住整条历史"。好比算年化平均收益时，你只需要"已有期数"和"当前平均值"，新来一期数据就能更新，不用翻回每一期。 平均价公式 \(\frac{iF+S_{new}}{i+1}\) 的约定是：旧平均 \(F\) 由 \(i\) 个价格算出，\(iF\) 就是旧总和，加上新价格再除以新个数 \(i+1\)。代码里第 \(i\) 步的平均含 \(S_0,\dots,S_i\) 共 \(i+1\) 个价格，所以写成 \(\frac{(i+1)F+S_{new}}{i+2}\)。两种写法只是计数起点不同，做法一样：旧总和加新价格，再除以新个数。 树能处理它的原因是：给每个节点再加一个维度 \(F\)，"(股价, \(F\))"这一对就完整描述了未来所需的全部信息，倒推照常进行。

例：美式浮动回望看跌

无股息股票，\(S_0=50\)，\(\sigma=40\%\)，\(r=10\%\)，期限 3 个月，三步树：\(\Delta t=0.08333\)，\(u=1.1224\)，\(d=0.8909\)，\(a=1.0084\)，\(p=0.5073\)。在 \(\tau\) 行权时得到 0 到 \(\tau\) 的最高价超过当前价的部分。这里 \(F\) 为至今的最高价。

原书图 27.3 中每个节点列出股价、到达该节点时所有可能的最高价，以及每个最高价对应的衍生品价值。末端价值 = 最高价 − 股价。以节点 A（\(t=2\Delta t\)、股价 50 的节点，经"先涨后跌"到达时最高价为 56.12，经"先跌后涨"到达时为 50）为例：

• 最高价为 50：上涨则最高价变为 56.12、价值 0；下跌则最高价仍为 50、价值 5.45。不提前行权的价值 \((0\times0.5073+5.45\times0.4927)e^{-0.1\times0.08333}=2.66\)；此时行权收益为 0，不行权。
• 最高价为 56.12：不行权价值 \((0\times0.5073+11.57\times0.4927)e^{-0.008333}=5.65\)；行权得 \(56.12-50=6.12>5.65\)，应提前行权。

倒推得到美式浮动回望看跌的价值 $5.47。（更高效的美式回望方法见 Technical Note 13。）

一般化：代表值与插值

回望的例子里，\(n\) 步树每个节点最高价的可能取值不超过 \(n\) 个，可以全部列出。但平均价的可能取值随步数指数增长，无法穷举。Hull & White 的办法是在每个节点只对少量代表值计算，其他值用插值：

1. 正向遍历树，确定每个节点 \(F\) 的最大值和最小值（由条件 2 可以递推）；
2. 在每个节点选代表值，简单规则是最大值、最小值以及两者之间的若干等距值；
3. 倒推时对每个代表值估值；需要的其他 \(F\) 值用相邻代表值插值。

例：算术平均价格看涨

沿用例 26.3：\(S_0=K=50\)，\(r=10\%\)，\(\sigma=40\%\)，\(T=1\)。用 20 步树：\(\Delta t=0.05\)，\(u=1.0936\)，\(d=0.9144\)，\(p=0.5056\)。平均值包含初始价和当前价。

原书图 27.4 展示了节点 X（0.2 年处的中心节点，股价 50）：到达 X 的所有路径的平均值范围为 46.65–53.83。X 可以上行到 Y（股价 54.68，平均值范围 47.99–57.39）或下行到 Z（股价 45.72，平均值范围 43.88–52.48）。每个节点取 4 个等距代表值：X 为 46.65、49.04、51.44、53.83；Y 为 47.99、51.12、54.26、57.39；Z 为 43.88、46.75、49.61、52.48。

以 X 处平均值 51.44 为例：

• 上行到 Y，新平均值 \((5\times51.44+54.68)/6=51.98\)（X 处平均含 5 个价格，加上新价格共 6 个）。它落在 Y 的代表值 51.12（价值 8.101）与 54.26（价值 8.635）之间，线性插值得
  \[\frac{(51.98-51.12)\times8.635+(54.26-51.98)\times8.101}{54.26-51.12}=8.247.\]
• 下行到 Z，新平均值 \((5\times51.44+45.72)/6=50.49\)，在 Z 的代表值间插值得 4.182。
• X 处的价值为 \((0.5056\times8.247+0.4944\times4.182)e^{-0.1\times0.05}=6.206\)。

推导拆解：节点 X 在 0.2 年，即第 4 步，平均值包含 \(S_0\) 到 \(S_4\) 共 5 个价格。走到 Y 后多了一个价格 54.68，新平均 \(=(5\times51.44+54.68)/6\)：先把旧平均还原成总和（乘 5），加上新价格，再除以 6。 插值那一步：51.98 离 51.12 有 0.86，离 54.26 有 2.28，越近的代表值权重越大，所以 54.26 对应的 8.635 拿到权重 \(0.86/3.14\)，51.12 对应的 8.101 拿到 \(2.28/3.14\)，加权得 8.247。 最后一步就是普通二叉树：上下两个价值按风险中性概率加权，再贴现一步。和普通树唯一的区别是，"下一节点的价值"不是一个数，而要先按新平均值去查表（插值）。

全树（20 步、每节点 4 个代表值）给出 7.17；60 步、每节点 100 个代表值时收敛到 5.58（例 26.3 的连续平均矩匹配近似为 5.62，第 26a 章的蒙特卡洛为 5.57）。美式版本只需在每个节点对每个代表值检验提前行权（行权决策同时依赖路径函数值和标的价格）：20 步 4 个代表值为 7.77，60 步 100 个代表值为 6.17。用二次插值代替线性插值可以提高效率。本章代码完整实现了这一算法，所有数字与原书一致。

27.6 障碍期权的数值方法

为什么普通树收敛慢

原则上可以用二叉树或三叉树给障碍期权定价：以向上敲出期权为例，按普通期权倒推，但遇到障碍以上的节点时把价值设为 0。三叉树比二叉树好，但这种简单做法收敛非常慢，需要大量步数才能得到合理的精度。

Boyle & Lau（1994）指出了原因：树隐含的障碍与真实障碍不同。 定义内障碍为紧靠真实障碍内侧的一排节点，外障碍为紧靠外侧的一排节点（原书图 27.5）。通常的树计算隐含地把外障碍当作真实障碍，因为障碍条件首先作用在外障碍节点上。时间步长为 \(\Delta t\) 时节点的纵向间距为 \(O(\sqrt{\Delta t})\)，所以误差也是 \(O(\sqrt{\Delta t})\)，而且随步数变化呈锯齿状跳动：步数稍变，外障碍的位置就跳到另一排节点。

白话解释：树上的股价只能取离散的几个值，比如某个时点的节点是 …、92、100、108、…（数字仅作示意）。真实障碍 95 落在 92 和 100 之间。树只能在节点上检查"是否敲出"，股价在 100 时没敲出，到 92 才敲出，相当于把障碍挪到了 92。障碍低了，向下敲出期权更难被敲掉，所以树给的价格偏高（例中 8.12 远高于 5.50）。 节点间距 \(\approx S\sigma\sqrt{\Delta t}\)，所以"挪动的距离"最多一个间距，误差和 \(\sqrt{\Delta t}\) 同阶，这就是 \(O(\sqrt{\Delta t})\)（读作"与 \(\sqrt{\Delta t}\) 同一量级"）。普通欧式期权的树误差是 \(O(\Delta t)\)，障碍期权慢了一个量级。 锯齿的原因：步数从 100 变到 200，节点网格整体移动，离 95 最近的外侧节点可能从 93 跳到 94.8，误差忽大忽小，所以"多加步数"不是可靠的解决办法。

本章代码给出一个直观的例子：向下敲出看涨（\(S_0=K=100\)，\(H=95\)，\(\sigma=30\%\)，\(r=5\%\)，\(T=1\)），解析值 5.498。普通二叉树在 50、100、200、400 步时分别给出 8.12、6.25、6.55、6.25，误差超过 13% 且不随步数单调下降。

改进方法

方法一：内外障碍插值。 分别假设内障碍、外障碍是真实障碍，计算两个价格，再按真实障碍的位置在两者之间插值。

方法二：让节点恰好落在障碍上。 三叉树中价格每步上升比例 \(u\)、不变、或下降比例 \(d=1/u\)。选择 \(u\) 使 \(H=S_0u^N\)（\(N\) 为正或负整数），即 \(\ln H=\ln S_0+N\ln u\)。第 21.4 节建议 \(\ln u=\sigma\sqrt{3\Delta t}\)，这里让 \(\ln u\) 尽量接近这个值，同时满足上面的整数条件：

推导拆解：设对数价格每步变化 \(X\in\{+\ln u,0,-\ln u\}\)，概率 \(p_u,p_m,p_d\)。要求三件事： (1) 概率和为 1；(2) 均值 \(\mathbb{E}[X]=(p_u-p_d)\ln u=(r-q-\sigma^2/2)\Delta t\)（这是 \(\ln S\) 在风险中性下的漂移）；(3) 二阶矩 \(\mathbb{E}[X^2]=(p_u+p_d)(\ln u)^2=\sigma^2\Delta t\)（忽略 \(\Delta t^2\) 的小项）。 由 (3) 得 \(p_u+p_d=\sigma^2\Delta t/(\ln u)^2\)，代入 (1) 得 \(p_m\)；由 (2) 得 \(p_u-p_d=(r-q-\sigma^2/2)\Delta t/\ln u\)。和与差各除以 2 就是 \(p_u\)、\(p_d\)。 这里的关键是：\(\ln u\) 可以自由选，只要 \(p_m\ge0\)（即 \(\ln u\ge\sigma\sqrt{\Delta t}\)）就行。所以可以把 \(\ln u\) 从推荐值 \(\sigma\sqrt{3\Delta t}\) 稍微挪一点，让 \(\ln(H/S_0)\) 恰好是它的整数倍。注意向下障碍时 \(N\) 为负，\(\ln u\) 公式里的分子分母都是负数，\(\ln u\) 仍为正。

方法三：自适应网格模型。 方法二在初始价不靠近障碍时效果很好。初始价非常接近障碍时，即使节点落在障碍上，障碍附近的格点也太稀疏。Figlewski & Gao（1999）的自适应网格模型（adaptive mesh model，第 21.4 节已介绍）在粗树上需要的区域"嫁接"细树（原书图 27.7）：在障碍附近用细网格，几何安排使节点落在障碍上，分支概率照常匹配前两阶矩。计算时先在粗树上照常倒推，再计算附加节点的价值，最后在细树上倒推。

27.7 两个相关资产的期权

对依赖两个相关资产的美式期权，需要三维树（时间 + 两个价格）。原书介绍三种方法。

方法一：变量变换（Hull & White 1990）。两个不相关变量很容易建三维树：各建一棵二维树（如 CRR），合并后每个节点有 4 个分支，概率为各自概率的乘积：\(p_1p_2\)（都上）、\(p_1(1-p_2)\)、\((1-p_1)p_2\)、\((1-p_1)(1-p_2)\)。对相关资产，风险中性过程为 \(dS_i=(r-q_i)S_i\,dt+\sigma_iS_i\,dz_i\)，相关系数 \(\rho\)，\(d\ln S_i=(r-q_i-\sigma_i^2/2)dt+\sigma_idz_i\)。定义

方法二：非矩形树（Rubinstein 1994）。从节点 \((S_1,S_2)\) 出发，以各 0.25 的概率移动到 \((S_1u_1,S_2A)\)、\((S_1u_1,S_2B)\)、\((S_1d_1,S_2C)\)、\((S_1d_1,S_2D)\)，其中

方法三：调整概率（Hull & White 1994，最初用于两因子利率树）。先假设不相关，对两个资产都用等概率（0.5）二叉树，合并后四个分支概率均为 0.25（原书表 27.2）；再按相关系数调整（表 27.3）：两者同向（都上或都下）的概率为 \(0.25(1+\rho)\)，反向的概率为 \(0.25(1-\rho)\)。这样两资产对数价格增量的协方差恰好为 \(\rho\sigma_1\sigma_2\Delta t\)。方法三最容易编程，本章代码用它给交换期权定价，200 步时结果 9.5825，与 Margrabe 公式 9.5846 一致。

推导拆解：等概率树里每个资产的对数增量为 \(\pm\sigma_i\sqrt{\Delta t}\)（扣掉漂移后）。两者乘积在同向时为 \(+\sigma_1\sigma_2\Delta t\)，反向时为 \(-\sigma_1\sigma_2\Delta t\)。于是协方差 \(=[2\times0.25(1+\rho)-2\times0.25(1-\rho)]\sigma_1\sigma_2\Delta t=\rho\sigma_1\sigma_2\Delta t\)，正好是目标值。 同时每个资产单独看，上涨概率仍是 \(0.25(1+\rho)+0.25(1-\rho)=0.5\)，边缘分布没有被改动。这是它最方便的地方：单资产的树完全不用动，只改联合概率。\(\rho=\pm1\) 时有两个分支概率为 0，仍然合法；只有 \(|\rho|>1\) 才会出现负概率，所以实务中更要注意的是 \(\rho\) 估计值的合理性。

27.8 蒙特卡洛模拟与美式期权

蒙特卡洛适合路径依赖和多变量问题，树和有限差分适合美式期权。两者兼具时怎么办？27.5 节的树方法是一种答案，但它受限于"单一路径函数"。许多研究者（最早是 Tilley 1993）寻求用蒙特卡洛给美式期权定价，以下两种方法最重要。

最小二乘法（Longstaff–Schwartz）

在每个可以提前行权的时点，持有人要在"立即行权"与"继续持有"之间选择。行权价值容易计算；难点在于继续持有的价值，它是一个条件期望。Longstaff & Schwartz（2001）的最小二乘法（least-squares Monte Carlo，LSM）用横截面回归来估计它：在每个决策时点，用所有（实值）路径上"继续持有实际得到的贴现现金流"对"当前状态变量的函数"做回归，回归的拟合值就是继续持有价值的估计。

白话解释：在树上，同一个节点后面有很多分支，可以直接把它们平均来求继续持有价值。蒙特卡洛的每条路径都是一条"单线"，在 \(t=2\) 股价 0.97 的只有一条路径，它后面只有一个结果，拿它当期望太嘈杂。 LSM 的办法是"借邻居的信息"：把所有路径在 \(t=2\) 的股价放在横轴、各自继续持有后实际拿到的贴现现金流放在纵轴，画一张散点图，拟合一条二次曲线。曲线在 \(S=0.97\) 处的高度，就是"股价为 0.97 时继续持有的平均价值"的估计。 这和 CFA 里的回归完全一样：拟合值是"给定 \(X\) 时 \(Y\) 的条件均值"的估计。只不过这里 \(Y\) 是单条路径的现金流（噪声很大），\(X\) 是 \(1,S,S^2\)。

例（取自 Longstaff–Schwartz 论文）。 3 年期美式看跌，无股息，只能在第 1、2、3 年末行权，\(r=6\%\)（连续复利），\(S_0=1.00\)，\(K=1.10\)。8 条样本路径（原书表 27.4，时刻 1/2/3 的股价）：

（实务中要抽样多得多的路径。）

1. 第 3 年：只在到期行权的现金流（表 27.5）——路径 3、4、6、7 分别为 0.07、0.18、0.20、0.09，其余为 0。
2. 第 2 年：实值路径为 1、3、4、6、7，股价 \(S\) 为 1.08、1.07、0.97、0.77、0.84；继续持有得到的现金流贴现到第 2 年为 0、\(0.07e^{-0.06}\)、\(0.18e^{-0.06}\)、\(0.20e^{-0.06}\)、\(0.09e^{-0.06}\)。回归 \(V=a+bS+cS^2\) 得
   \[V=-1.070+2.983S-1.813S^2.\]
   拟合的继续价值为 0.0369、0.0461、0.1176、0.1520、0.1565，行权价值为 0.02、0.03、0.13、0.33、0.26。所以路径 4、6、7 在第 2 年行权（表 27.6：路径 3 第 3 年得 0.07；路径 4、6、7 第 2 年分别得 0.13、0.33、0.26，它们第 3 年的现金流作废）。
3. 第 1 年：实值路径为 1、4、6、7、8，股价 1.09、0.93、0.76、0.92、0.88；继续持有的现金流贴现到第 1 年为 0、\(0.13e^{-0.06}\)、\(0.33e^{-0.06}\)、\(0.26e^{-0.06}\)、0。回归得 \(V=2.038-3.335S+1.356S^2\)，继续价值 0.0139、0.1092、0.2866、0.1175、0.1533；行权价值 0.01、0.17、0.34、0.18、0.22。所以路径 4、6、7、8 在第 1 年行权（表 27.7）。
4. 期权价值：
   \[\frac18\big(0.07e^{-0.18}+0.17e^{-0.06}+0.34e^{-0.06}+0.18e^{-0.06}+0.22e^{-0.06}\big)=0.1144,\]
   大于立即行权的 0.10，所以今天不行权。

两个关键细节。 第一，回归只用实值路径：虚值路径不会行权，把它们放进回归只会降低拟合在关键区域的精度。第二，回归值只用来决定是否行权，计入的现金流是路径上实际实现的现金流，而不是拟合值。如果把拟合值当作价值往回传，回归误差会逐期累积并产生向上的偏差。

扩展。 可行权时点很多时（真正的美式），用大量离散行权点近似；回归函数可以更复杂（三次多项式、Laguerre 多项式等）；多个状态变量时，假设继续价值是它们的某个函数形式，用最小二乘估计参数——这正是 LSM 对多因子问题的优势所在。

行权边界参数化（Andersen 2000）

另一种思路是把提前行权边界参数化，从期末向前迭代，逐期选出最优参数。看跌期权在 \(t\) 时的边界可以由一个临界价 \(S^*(t)\) 表示：\(S<S^*(t)\) 时行权。\(S^*(3)=1.10\)。

• 确定 \(S^*(2)\)：若 \(S^*(2)<0.77\)，第 2 年都不行权，8 条路径第 2 年的价值为 0、0、\(0.07e^{-0.06}\)、\(0.18e^{-0.06}\)、0、\(0.20e^{-0.06}\)、\(0.09e^{-0.06}\)、0，均值 0.0636。\(S^*(2)=0.77\) 时（路径 6 行权得 0.33）均值 0.0813；\(S^*(2)\) 取 0.84、0.97、1.07、1.08 时均值为 0.1032、0.0982、0.0938、0.0963。最优 \(S^*(2)=0.84\)（准确地说 \(0.84\le S^*(2)<0.97\)），此时各路径第 2 年价值为 0、0、0.0659、0.1695、0、0.33、0.26、0。
• 确定 \(S^*(1)\)：若 \(S^*(1)<0.76\)，都不行权，第 1 年价值 \(0.1032e^{-0.06}=0.0972\)；\(S^*(1)=0.76\) 时均值 0.1008；取 0.88、0.92、0.93、1.09 时均值为 0.1283、0.1202、0.1215、0.1228。最优 \(S^*(1)=0.88\)。
• 0 时刻不行权的价值 \(0.1283e^{-0.06}=0.1208\)，大于立即行权的 0.10。

实务中先用数万次模拟确定边界，然后丢弃这些路径，用一组新的独立路径按该边界估值。原因是：在同一组路径上优化边界会"过拟合"这组路径，产生向上的偏差（本例中 0.1208 高于 LSM 的 0.1144，部分就是这个原因）。复杂情形需要对边界的参数形式作假设。

上界

两种方法都使用一个次优的行权策略（真实最优策略未知），而任何行权策略产生的价值都不超过最优策略的价值，所以在样本外估值时它们给出的是下界。Andersen & Broadie（2004）提出了原始–对偶（primal–dual）方法给出上界，可以与任何产生下界的算法结合，把真实价值夹在一个区间内。区间越窄，说明行权策略越接近最优。

金融直觉：美式期权的价值是"用最聪明的行权策略能拿到的最多钱"。你用回归得到的策略只是一个"还不错"的策略，按它执行拿到的钱只会少不会多，所以是下界。 为什么一定要用新路径估值？如果在同一组路径上既定策略又估值，策略会"看到"这批路径的未来（例如恰好在某条路径后来跌了之前选择不行权），相当于偷看答案，估值会虚高。这和回测里的"样本内过拟合"是同一个问题：参数在样本内优化，业绩必须在样本外检验。 上界的直观是：假设持有人能预知未来（事后看每条路径最佳的行权时点），价值一定偏高；原始–对偶方法在这个"先知价值"里减去一个用鞅构造的惩罚项，把它压低到尽量接近真实值。

本章代码用 20 万条路径（含对偶变量）、50 个行权点给一个美式看跌定价（\(S_0=36\)、\(K=40\)、\(\sigma=20\%\)、\(r=6\%\)、\(T=1\)），LSM 得 4.469，2000 步二叉树得 4.487。差距一部分来自只有 50 个行权点（百慕大 vs 美式），一部分来自回归带来的次优策略，两者都使 LSM 偏低，与"下界"的结论一致。

量化实战

本章内容在量化交易中的用途

1. 可转债量化。A 股可转债市场的定价模型、"双低"等策略的理论价值计算，都以本章的违约分支树为雏形。实务中还要加入下修条款（转股价下调）、回售条款（持有人在股价低时按价回售，相当于一个看跌期权）、强赎触发条件（"连续 30 个交易日中至少 15 日收盘价不低于转股价的 130%"，这是巴黎期权式的条件，需要路径依赖技术）。
2. 雪球、凤凰等自动敲出产品。这类产品是离散观测的障碍期权加路径依赖票息，通常用蒙特卡洛定价；涉及发行人提前赎回或投资者选择权时，用 LSM。障碍附近的收敛问题在 PDE/树方法中要用"节点落在障碍上"或自适应网格处理。
3. 利率产品。百慕大互换期权、可赎回债券是 LSM 在固定收益中的主要应用，在 LIBOR 市场模型（第 32 章）中只能用蒙特卡洛，LSM 几乎是唯一选择。
4. 系统实现要点。LSM：只对实值路径回归、传递实现现金流、定边界与估值用不同路径、报告下界与上界。路径依赖树：代表值数量决定精度，插值方法决定效率。两资产树：调整概率法最容易实现，但 \(|\rho|\) 接近 1 时注意概率非负。
5. LSM 的思想迁移。"用横截面回归估计条件期望"本身就是一种近似动态规划，在最优执行、库存管理、最优止损等最优停止问题上同样适用。

Python 示例：五种数值技术

代码依次完成：(1) 复现例 27.1 可转债树；(2) 实现 Hull–White 代表值插值法，复现图 27.4 的节点范围与 7.17、7.77、5.58、6.17；(3) 复现 LSM 的 8 路径例子；(4) 大样本 LSM 与二叉树对比；(5) 障碍期权：普通二叉树与"节点落在障碍上"的三叉树对比；(6) 用调整概率的两资产树给交换期权定价。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

N = norm.cdf

# ---------- 1) 可转债树：例 27.1 ----------
def convertible(S0=50., sig=.30, lam=.01, r=.05, T=.75, steps=3, face=100., ratio=2.,
                call_px=113., recovery=40.):
    dt = T/steps
    u = np.exp(np.sqrt((sig**2 - lam)*dt)); d = 1/u; a = np.exp(r*dt)
    pu = (a - d*np.exp(-lam*dt))/(u - d); pd = (u*np.exp(-lam*dt) - a)/(u - d)
    pdef = 1 - np.exp(-lam*dt)
    S = S0*u**np.arange(steps, -steps - 1, -2)              # 末端股价（从高到低）
    V = np.maximum(ratio*S, face)                            # 末端：转换或拿面值
    for i in range(steps - 1, -1, -1):
        S = S0*u**np.arange(i, -i - 1, -2)
        Q1 = (pu*V[:-1] + pd*V[1:] + pdef*recovery)*np.exp(-r*dt)   # 继续持有
        V = np.maximum(np.minimum(Q1, call_px), ratio*S)            # max[min(Q1,Q2),Q3]
    return u, d, pu, pd, pdef, V[0]

u, d, pu, pd, pdef, v = convertible()
print("例27.1 u=%.4f d=%.4f pu=%.4f pd=%.4f 违约概率=%.6f  可转债价值=%.2f" % (u, d, pu, pd, pdef, v))

# ---------- 2) 路径依赖树：Hull-White 代表值 + 插值，算术平均价格看涨（例 26.3 参数）----------
def asian_tree(S0, K, r, sig, T, steps, nrep, american=False):
    dt = T/steps; u = np.exp(sig*np.sqrt(dt)); d = 1/u
    p = (np.exp(r*dt) - d)/(u - d); disc = np.exp(-r*dt)
    price = lambda i, j: S0*u**j*d**(i - j)                 # j = 上涨次数
    # 正向：每个节点平均值（含 S0 与当前价，共 i+1 个价格）的最大、最小值
    amax = [np.array([S0])]; amin = [np.array([S0])]
    for i in range(1, steps + 1):
        s = price(i, np.arange(i + 1))
        mx = np.full(i + 1, -np.inf); mn = np.full(i + 1, np.inf)
        for j in range(i + 1):
            for jp in (j - 1, j):                              # 前驱节点
                if 0 <= jp <= i - 1:
                    mx[j] = max(mx[j], (i*amax[i-1][jp] + s[j])/(i + 1))
                    mn[j] = min(mn[j], (i*amin[i-1][jp] + s[j])/(i + 1))
        amax.append(mx); amin.append(mn)
    reps = lambda i, j: np.linspace(amin[i][j], amax[i][j], nrep) if amax[i][j] > amin[i][j] + 1e-12 \
        else np.full(nrep, amin[i][j])
    A = [reps(steps, j) for j in range(steps + 1)]
    V = [np.maximum(a - K, 0) for a in A]
    for i in range(steps - 1, -1, -1):
        newA, newV = [], []
        for j in range(i + 1):
            a = reps(i, j)
            au = ((i + 1)*a + price(i + 1, j + 1))/(i + 2)
            ad = ((i + 1)*a + price(i + 1, j))/(i + 2)
            vu = np.interp(au, A[j + 1], V[j + 1]); vd = np.interp(ad, A[j], V[j])
            v = disc*(p*vu + (1 - p)*vd)
            if american:
                v = np.maximum(v, a - K)
            newA.append(a); newV.append(v)
        A, V = newA, newV
    return V[0][0], (amin[4][2], amax[4][2])

v, rngX = asian_tree(50, 50, .1, .4, 1, 20, 4)
print("亚式看涨树: 20步/4个代表值 = %.2f (美式 %.2f)；节点X平均范围 = %.2f–%.2f" % (
    v, asian_tree(50, 50, .1, .4, 1, 20, 4, american=True)[0], *rngX))
for steps, nrep in ((60, 100),):
    print("  %d步/%d个代表值: 欧式 %.2f, 美式 %.2f" % (
        steps, nrep, asian_tree(50, 50, .1, .4, 1, steps, nrep)[0],
        asian_tree(50, 50, .1, .4, 1, steps, nrep, american=True)[0]))

# ---------- 3) 最小二乘蒙特卡洛（LSM）：原书 8 条路径的例子 ----------
paths = np.array([[1.09, 1.08, 1.34], [1.16, 1.26, 1.54], [1.22, 1.07, 1.03], [0.93, 0.97, 0.92],
                  [1.11, 1.56, 1.52], [0.76, 0.77, 0.90], [0.92, 0.84, 1.01], [0.88, 1.22, 1.34]])

def lsm_put(paths, K, r, dt, basis_deg=2, verbose=False):
    n, m = paths.shape
    cash = np.maximum(K - paths[:, -1], 0)          # 现金流（以发生时刻计）
    t_cash = np.full(n, m)                          # 现金流发生的时点
    for t in range(m - 1, 0, -1):                   # 时点 t = m-1, ..., 1（索引 t-1）
        S = paths[:, t - 1]
        itm = K - S > 0
        Y = cash[itm]*np.exp(-r*dt*(t_cash[itm] - t))   # 用实现的现金流（不是拟合值）
        X = np.vander(S[itm], basis_deg + 1, increasing=True)
        beta = np.linalg.lstsq(X, Y, rcond=None)[0]
        cont = X @ beta
        ex = (K - S[itm]) > cont
        if verbose:
            print("  t=%d 回归系数 a,b,c = %s, 行权路径 %s" % (t, np.round(beta, 3), np.where(itm)[0][ex] + 1))
        idx = np.where(itm)[0][ex]
        cash[idx] = K - S[idx]; t_cash[idx] = t
    return np.mean(cash*np.exp(-r*dt*t_cash))

print("LSM 8 条路径:")
print("  期权价值 = %.4f" % lsm_put(paths, 1.10, .06, 1.0, verbose=True))

# ---------- 4) LSM 大样本 vs 二叉树：美式看跌 ----------
def binomial_american_put(S0, K, r, sig, T, steps=2000):
    dt = T/steps; u = np.exp(sig*np.sqrt(dt)); d = 1/u
    p = (np.exp(r*dt) - d)/(u - d); disc = np.exp(-r*dt)
    S = S0*u**np.arange(steps, -steps - 1, -2); V = np.maximum(K - S, 0)
    for i in range(steps - 1, -1, -1):
        S = S0*u**np.arange(i, -i - 1, -2)
        V = np.maximum(disc*(p*V[:-1] + (1 - p)*V[1:]), K - S)
    return V[0]

S0, K, r, sig, T, m = 36., 40., .06, .2, 1., 50
rng = np.random.default_rng(0)
z = rng.standard_normal((100_000, m))
z = np.vstack([z, -z])                                       # 对偶变量
P = S0*np.exp(np.cumsum((r - .5*sig**2)*T/m + sig*np.sqrt(T/m)*z, axis=1))
print("美式看跌 S0=36,K=40: LSM(50个行权点,20万路径,基函数1,S,S^2) = %.3f, 二叉树(连续行权) = %.3f"
      % (lsm_put(P/S0, K/S0, r, T/m)*S0, binomial_american_put(S0, K, r, sig, T)))

# ---------- 5) 障碍期权：普通二叉树的锯齿收敛 vs 节点落在障碍上的三叉树 ----------
def do_call_exact(S, K, H, T, r, sig):
    lam = (r + .5*sig**2)/sig**2; sT = sig*np.sqrt(T)
    y = np.log(H**2/(S*K))/sT + lam*sT
    d1 = (np.log(S/K) + (r + .5*sig**2)*T)/sT
    c = S*N(d1) - K*np.exp(-r*T)*N(d1 - sT)
    cdi = S*(H/S)**(2*lam)*N(y) - K*np.exp(-r*T)*(H/S)**(2*lam - 2)*N(y - sT)
    return c - cdi

def do_call_binomial(S0, K, H, T, r, sig, steps):
    dt = T/steps; u = np.exp(sig*np.sqrt(dt)); d = 1/u
    p = (np.exp(r*dt) - d)/(u - d); disc = np.exp(-r*dt)
    S = S0*u**np.arange(steps, -steps - 1, -2)
    V = np.where(S > H, np.maximum(S - K, 0), 0.0)
    for i in range(steps - 1, -1, -1):
        S = S0*u**np.arange(i, -i - 1, -2)
        V = np.where(S > H, disc*(p*V[:-1] + (1 - p)*V[1:]), 0.0)
    return V[0]

def do_call_trinomial_on_barrier(S0, K, H, T, r, sig, steps):
    dt = T/steps
    Nb = int((np.log(H) - np.log(S0))/(sig*np.sqrt(3*dt)) - 0.5)   # 负整数，取整使 ln u 接近 σ√(3Δt)
    lnu = (np.log(H) - np.log(S0))/Nb
    nu = r - .5*sig**2
    pu = nu*dt/(2*lnu) + sig**2*dt/(2*lnu**2)
    pd = -nu*dt/(2*lnu) + sig**2*dt/(2*lnu**2)
    pm = 1 - sig**2*dt/lnu**2
    disc = np.exp(-r*dt)
    k = np.arange(steps, -steps - 1, -1)
    S = S0*np.exp(k*lnu)
    V = np.where(S > H*(1 + 1e-12), np.maximum(S - K, 0), 0.0)
    for i in range(steps - 1, -1, -1):
        k = np.arange(i, -i - 1, -1); S = S0*np.exp(k*lnu)
        V = disc*(pu*V[:-2] + pm*V[1:-1] + pd*V[2:])
        V = np.where(S > H*(1 + 1e-12), V, 0.0)
    return V[0]

S0, K, H, T, r, sig = 100., 100., 95., 1., .05, .3
print("向下敲出看涨 S0=100,K=100,H=95 解析值 = %.4f" % do_call_exact(S0, K, H, T, r, sig))
for n in (50, 100, 200, 400):
    print("  N=%4d  普通二叉树 %.4f   节点落在障碍上的三叉树 %.4f" % (
        n, do_call_binomial(S0, K, H, T, r, sig, n), do_call_trinomial_on_barrier(S0, K, H, T, r, sig, n)))

# ---------- 6) 两相关资产：先假设独立再调整概率（方法三），给交换期权定价 ----------
def exchange_tree(V0, U0, sV, sU, rho, r, T, steps):
    dt = T/steps; disc = np.exp(-r*dt)
    def grid(S0, s, i):
        j = np.arange(i + 1)
        return S0*np.exp((r - .5*s**2)*i*dt + (2*j - i)*s*np.sqrt(dt))   # 等概率二叉树
    Vt, Ut = grid(V0, sV, steps), grid(U0, sU, steps)
    W = np.maximum(Vt[:, None] - Ut[None, :], 0)
    pp, pm = .25*(1 + rho), .25*(1 - rho)                        # 同向 / 反向
    for i in range(steps - 1, -1, -1):
        W = disc*(pp*W[1:, 1:] + pp*W[:-1, :-1] + pm*W[1:, :-1] + pm*W[:-1, 1:])
    return W[0, 0]

sh = np.sqrt(.3**2 + .2**2 - 2*.6*.3*.2)
d1 = (np.log(1.0) + .5*sh**2)/sh
print("交换期权: 两资产树(200步) %.4f, Margrabe %.4f" % (
    exchange_tree(100, 100, .3, .2, .6, .05, 1, 200), 100*N(d1) - 100*N(d1 - sh)))

输出：

例27.1 u=1.1519 d=0.8681 pu=0.5167 pd=0.4808 违约概率=0.002497  可转债价值=106.93
亚式看涨树: 20步/4个代表值 = 7.17 (美式 7.77)；节点X平均范围 = 46.65–53.83
  60步/100个代表值: 欧式 5.58, 美式 6.17
LSM 8 条路径:
  t=2 回归系数 a,b,c = [-1.07   2.983 -1.814], 行权路径 [4 6 7]
  t=1 回归系数 a,b,c = [ 2.038 -3.335  1.356], 行权路径 [4 6 7 8]
  期权价值 = 0.1144
美式看跌 S0=36,K=40: LSM(50个行权点,20万路径,基函数1,S,S^2) = 4.469, 二叉树(连续行权) = 4.487
向下敲出看涨 S0=100,K=100,H=95 解析值 = 5.4981
  N=  50  普通二叉树 8.1193   节点落在障碍上的三叉树 5.5002
  N= 100  普通二叉树 6.2473   节点落在障碍上的三叉树 5.4966
  N= 200  普通二叉树 6.5454   节点落在障碍上的三叉树 5.4948
  N= 400  普通二叉树 6.2470   节点落在障碍上的三叉树 5.4977
交换期权: 两资产树(200步) 9.5825, Margrabe 9.5846

读输出时注意：

• 可转债价值 106.93、各树参数与原书完全一致。
• 亚式期权树复现了节点 X 的平均值范围 46.65–53.83，以及 20 步 4 个代表值的 7.17（美式 7.77）、60 步 100 个代表值的 5.58（美式 6.17）。20 步时误差很大，说明代表值太少时线性插值的误差很显著。
• LSM 两次回归的系数与原书一致（\(c\) 的 −1.814 与原书 −1.813 的差别来自四舍五入），行权路径和最终价值 0.1144 完全一致。
• 障碍期权：普通二叉树在 400 步时仍有约 14% 的误差，而且步数翻倍误差不降反升；节点落在障碍上的三叉树在 50 步时误差已不到 0.05%。
• 两资产树与 Margrabe 公式相差约 0.002。

本章小结

本章把基本数值方法推广到更复杂的产品。可转债用加了违约分支的股价二叉树定价，违约强度 \(\lambda\) 使非违约分支的方差变为 \(\sigma^2-\lambda\)，倒推时节点值为 \(\max[\min(Q_1,Q_2),Q_3]\)，同时反映持有人的转换权和发行人的赎回权。路径依赖衍生品只要收益依赖单一、可递推的路径函数，就能在树的每个节点为该函数选代表值、倒推时插值，并能处理美式行权。障碍期权在普通树上收敛慢且呈锯齿状，原因是树隐含的障碍（外障碍）与真实障碍不同；让节点落在障碍上、在内外障碍间插值或在障碍附近嫁接细网格都可以解决。两个相关资产的树可以通过变量变换、非矩形节点安排或调整概率来构造。蒙特卡洛处理美式期权有两种方法：最小二乘法用横截面回归估计继续持有价值，行权边界参数化则从后向前优化边界；两者都给出下界，可用原始–对偶方法求上界。

练习

基础

1. 在例 27.1 中，如果没有赎回条款，可转债价值是多少？赎回条款对持有人价值多少？ 提示：把代码中的 call_px 设为一个很大的数重新计算；差值就是发行人赎回权的价值。无赎回条款时价值约 108.55，赎回权使持有人损失约 1.62。

2. 为什么可转债树中 \(u=e^{\sqrt{(\sigma^2-\lambda)\Delta t}}\) 而不是 \(e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)？ 提示：违约分支（股价跳到 0）本身贡献了约 \(\lambda\Delta t\) 的对数方差贡献（在小 \(\Delta t\) 下的近似匹配），为使总方差仍为 \(\sigma^2\Delta t\)，非违约分支的方差要减去 \(\lambda\Delta t\)。

白话解释：提示里"对数方差"的说法只能当作启发式理解：违约时股价为 0，\(\ln 0\) 没有定义，严格说无法算对数收益的方差。更准确的说法是匹配股价相对变化\(S_{t+\Delta t}/S_t\) 的二阶矩：违约分支让这个比值以约 \(\lambda\Delta t\) 的概率取 0（偏离均值约 1），贡献约 \(\lambda\Delta t\) 的方差，于是非违约分支只需提供 \((\sigma^2-\lambda)\Delta t\)。结论不变。

3. 下列哪些衍生品可以用 27.5 节的路径依赖树方法定价？（a）收益依赖最后 3 个月平均价的期权；（b）收益依赖期间最高价与最低价之差的期权；（c）几何平均价格的美式看跌。 提示：(a) 可以但需要特别处理平均窗口开始前的节点（原书习题 27.13）；(b) 需要两个路径函数，不满足条件 1；(c) 可以，几何平均可递推（原书习题 27.12）。

4. 在 LSM 中，为什么回归只用实值路径？为什么计入实现的现金流而不是回归拟合值？ 提示：见 27.8 节"两个关键细节"。

5. 解释为什么 LSM 和行权边界参数化给出的是美式期权价值的下界。 提示：任何可行的行权策略产生的价值都不超过最优策略；样本外估值消除了"偷看未来"的偏差。

进阶

6. 用原书 8 条路径，把执行价改为 \(K=1.13\)，重做 LSM 和行权边界参数化（原书习题 27.15、27.21 的重做）。 提示：直接调用代码中的 lsm_put(paths, 1.13, .06, 1.0, verbose=True)；边界参数化需要自己写一个对候选 \(S^*(t)\) 的枚举。

7. 修改可转债代码：债券每 3 个月付 $2 票息、转换比率在第 6 个月后变为 1.8，重新定价（原书习题 27.18、27.23 类型）。 提示：在不转换的继续价值中加入下一期票息的现值；在转换价值中使用当时有效的转换比率。

8. 把本章的障碍三叉树推广到双障碍（同时有上下障碍），使节点同时落在两个障碍上需要满足什么条件？（原书习题 27.17） 提示：需要 \(\ln(H_u/H_d)\) 是 \(\ln u\) 的整数倍，同时 \(\ln(H_u/S_0)\) 也是整数倍；通常要牺牲"\(S_0\) 在节点上"或在第一步用特殊分支。

9. 用 LSM 给一个两资产的百慕大"最大值看涨"期权定价：收益 \(\max(\max(S_1,S_2)-K,0)\)，回归基函数用 \(1,S_1,S_2,S_1^2,S_2^2,S_1S_2\)，并与本章两资产树（加上提前行权检验）比较。 提示：这是 LSM 处理多状态变量的典型场景；树方法在两资产时仍可行，三个以上资产就只能用蒙特卡洛。

10. 用回望期权的路径依赖树（3 步）复现美式浮动回望看跌的 5.47，然后把步数增加到 50，观察收敛（原书习题 27.10、27.19）。 提示：每个节点存储一个"可能最高价 → 价值"的字典；最高价可能值的个数不超过步数。

原书推荐习题：27.15、27.21（LSM 与边界参数化，强烈建议实现并扩展到大量路径）；27.18、27.23（可转债树）；27.10、27.14（路径依赖树方法，27.14 要求验证图 27.4 的数值）；27.17（双障碍）；27.12、27.13（路径依赖方法的适用性）。

原书对照

替代模型与随机波动率（27.1–27.3 节）见第 27a 章。延伸阅读：Longstaff & Schwartz (2001)；Andersen (2000)；Andersen & Broadie (2004)；Boyle & Lau (1994)；Figlewski & Gao (1999)；Hull & White (1990, 1993, 1994)；Rubinstein (1994)；Tilley (1993)；Ingersoll (1977)；Andersen & Buffum (2003/04)。