第 03 章 期货套期保值策略

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 根据敞口方向判断该做空头套期保值还是多头套期保值，并说清楚对冲锁定的到底是什么价格。
2. 定义基差（basis），推导"有效价格 \(=F_1+b_2\)"，把交叉对冲下的基差风险分解为两部分，并按经验法则选择合约月份。
3. 推导最小方差对冲比率 \(h^*=\rho\,\sigma_S/\sigma_F\)，理解它就是回归斜率、对冲有效性就是 \(R^2=\rho^2\)，并计算最优合约数（含尾随调整）。
4. 用股指期货对冲股票组合：\(N^*=\beta V_A/V_F\)；把组合 β 调到任意目标；理解如何借此分离选股 alpha。
5. 设计叠加展期（stack and roll）方案，并从德国金属公司案例认识对冲中的流动性风险。
6. 掌握 CAPM 的基本形式与假设，知道它在对冲中扮演的角色。

读前导读

这一章在解决什么问题。 手里有一笔价格风险，用期货把它抵掉，要做空还是做多、做多少张、抵掉之后还剩什么风险。CFA 三级的"用股指期货调整组合 β"公式 \(N=(\beta_T-\beta_P)/\beta_F\times V/F\)，和本章 3.5.5 节是同一件事；基差的概念你也见过。

本章比 CFA 深的地方在 3.4 节：CFA 直接给出对冲比率公式，本章把它推导出来——写出对冲后头寸的方差，它是 \(h\) 的二次函数，求导令其为零，得到 \(h^*=\rho\sigma_S/\sigma_F\)。随后说明这个 \(h^*\) 恰好是 OLS 回归斜率、对冲有效性恰好是 \(R^2\)。理解这条推导之后，你会发现最小方差对冲、CAPM 的 β、配对交易的对冲比率其实是同一个数学对象，这对量化工作非常有用。另一个 CFA 不讲的点是"尾随对冲"：期货逐日结算，合约张数要按"价值"而不是"数量"来配。

需要先想起来的数学。

• 两变量线性组合的方差。 \(\operatorname{Var}(X-hY)=\operatorname{Var}(X)-2h\operatorname{Cov}(X,Y)+h^2\operatorname{Var}(Y)\)，而 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_X\sigma_Y\)。这和 CFA 中两资产组合方差 \(w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho\sigma_1\sigma_2\) 是同一个公式，只是一个权重换成了 \(-h\)。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 用导数求二次函数的最小值。 \(f(h)=a h^2+b h+c\)（\(a>0\)）的导数是 \(f'(h)=2ah+b\)，令其为 0 得最低点 \(h=-b/(2a)\)。例：\(f(h)=h^2-4h+7\)，\(f'(h)=2h-4=0\)，\(h=2\)，最小值 3。导数可以理解为"\(h\) 动一点点时 \(f\) 变化多少"，在最低点这个变化率为零。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。
• 回归斜率与 \(R^2\)。 一元 OLS \(Y=a+bX+\varepsilon\) 的斜率 \(b=\operatorname{Cov}(X,Y)/\operatorname{Var}(X)\)；\(R^2\) 是被 \(X\) 解释的方差比例，在一元回归中等于 \(\rho^2\)。这些你在 CFA 二级学过，本章只是把它们和"对冲"对应起来。
• 期望的线性性。 \(\mathbb E[aX+bY]=a\mathbb E[X]+b\mathbb E[Y]\)。3.5.3 节用 CAPM 计算"组合预期收益"时反复使用。

怎么读这一章。 必读：3.3.2（有效价格 \(F_1+b_2\)）、3.4.1（推导，建议拿笔跟一遍）、3.5.2–3.5.5（股指期货对冲与调整 β）。3.4.3 尾随对冲第一次读可以只记结论"用价值比 \(V_A/V_F\) 而不是数量比"。3.2 是公司金融层面的讨论，浏览即可；3.7 CAPM 附录你已熟悉，可跳过。量化实战第三部分（滚动 β 对冲分离 alpha）是本章最贴近实际工作的内容。

3.1 对冲的基本原则

完美对冲（perfect hedge）是完全消除风险的对冲，现实中极少见。因此研究期货对冲，就是研究怎样让对冲尽量接近完美。本章只考虑**"对冲后不管"（hedge-and-forget）策略：期初建仓，期末平仓，中途不调整（动态对冲见本册第 19a 章，原书第 19 章）。我们先把期货当作远期处理，忽略逐日结算，最后再介绍考虑两者差异的尾随调整**（tailing）。

目标是建立一个尽可能中和风险的头寸。若公司在未来 3 个月内，商品价格每涨 1 美分就赚 $10,000、每跌 1 美分就亏 $10,000，那么它应该建立期货空头，使价格每涨 1 美分亏 $10,000、每跌 1 美分赚 $10,000，两者正好抵消。

3.1.1 空头套期保值

空头套期保值（short hedge）即持有期货空头。适用于：已经拥有资产、预期将来出售（养猪户两个月后出售生猪）；或现在没有、但将来会拥有（美国出口商 3 个月后收到欧元——欧元升值获益、贬值受损，期货空头正好反过来）。

例。 5 月 15 日，一家石油生产商签约出售 100 万桶原油，价格按 8 月 15 日的市场价确定。当前即期 $80/桶，8 月期货 $79/桶，每张合约 1,000 桶，于是做空 1,000 张。

• 8 月 15 日若即期为 $75：卖油得 $7,500 万；8 月是交割月，期货价接近即期 $75，期货每桶赚约 $4，共 $400 万。合计约 $79/桶、$7,900 万。
• 若即期为 $85：卖油得 $85/桶，期货每桶亏约 $6。合计仍约 $79/桶。

注意锁定的是期货价 $79，而不是当时的即期价 $80。

3.1.2 多头套期保值

多头套期保值（long hedge）即持有期货多头，适用于将来要买入资产、想现在锁定价格。

例。 1 月 15 日，一家铜加工商 5 月 15 日需要 100,000 磅铜。即期 340 美分/磅，5 月期货 320 美分/磅，COMEX 每张 25,000 磅，买 4 张，5 月 15 日平仓。

• 若 5 月 15 日即期 325 美分：期货赚 \(100{,}000\times(3.25-3.20)=\$5{,}000\)，买铜付 $325,000，净成本约 $320,000；
• 若即期 305 美分：期货亏 \(100{,}000\times(3.20-3.05)=\$15{,}000\)，买铜付 $305,000，净成本仍约 $320,000。

这比 1 月 15 日直接在现货市场买铜要好：后者要付 340 美分，还有利息和仓储成本。经常用铜的公司可能因为手头有货的便利（第 05 章的"便利收益"）而愿意承担这些成本，但 5 月才需要铜的公司宜用期货。

上面两个例子都假设在交割月平仓；如果允许交割，效果基本相同，但交割成本高且不方便，对冲者通常在交割期前平仓。例子还忽略了逐日结算——实际中收益在整个对冲期内逐日实现，对效果有小的影响。

3.2 该不该对冲

支持的理由。 大多数非金融企业的专长是制造、零售、批发或服务，不擅长预测利率、汇率、商品价格。对冲这些风险，可以专注主业、避免不愉快的意外。

"股东自己会对冲"？ 有人认为股东能自己对冲，不需要公司代劳。这个论点站不住：股东对公司风险的信息不如管理层；它忽略了交易成本——大额交易每美元对冲成本更低；期货合约规模常常让个人无法对冲。股东更容易做到的是分散化：同时持有用铜企业和铜生产商的股票，对铜价的总体敞口就很小。所以若公司为充分分散化的股东着想，许多情况下确实可以不对冲。

竞争者都不对冲时。 竞争压力会让产品价格随原材料成本、利率、汇率波动。原书表 3.1 比较了两家金饰制造商：TakeaChance 不对冲（与行业一致），SafeandSure 用期货对冲未来 18 个月的黄金采购成本。

不对冲的公司利润率反而稳定，"对冲"的公司利润率在波动，极端情况下甚至为负。启示：设计对冲要看价格变化对公司盈利的全部影响，而不是只盯一项成本。

对冲可能让结果看起来更差。 在石油生产商的例子里，若油价涨到 $89，期货每桶亏 $10，共亏 $1,000 万，而经营上多赚了 $1,000 万。原书设计了一段总裁与财务主管的对话：总裁只看到期货亏损，认为财务主管在"玩期货"，要扣他的奖金。对冲降低了公司风险，却可能增加执行者的个人风险。唯一的解决办法是事前让所有高管充分理解对冲方案，最好由董事会制定并向管理层和股东清楚传达。

商业快照：金矿公司的对冲。 开采一座金矿要数年，投产后对金价敞口巨大。不对冲的公司吸引那些想从金价上涨获益、愿意承担下跌风险的股东；对冲的公司估计未来几年每月产量，用远期或期货空头锁定全部或部分价格。如果你是投行，金矿要在 1 年后以固定价卖给你大量黄金，你可以：从央行借入黄金，立即在现货市场卖出，所得按无风险利率投资；1 年后从金矿买金归还央行。你给出的远期价反映可赚的无风险利率与付给央行的黄金租借利率（lease rate）。

3.3 基差风险

现实中的对冲不那么完美，原因有三：(1) 被对冲资产与期货标的不完全相同；(2) 买卖资产的确切日期不确定；(3) 可能需要在交割月之前平仓。这些不确定性统称基差风险（basis risk）。

3.3.1 基差的定义

（金融期货中有时反过来定义为期货价减即期价。）如果被对冲资产与期货标的相同，到期时基差应为零（第 02 章的收敛性），之前可正可负。基差增大称基差走强（strengthening），减小称基差走弱（weakening）。2013 年 5 月 14 日，黄金的基差为负，玉米、大豆近月合约的基差为正。

3.3.2 对冲锁定的有效价格

记号：\(t_1\) 建立对冲，\(t_2\) 平仓；\(S_1,S_2\) 为即期价，\(F_1,F_2\) 为期货价；\(b_1=S_1-F_1\)，\(b_2=S_2-F_2\)。

空头对冲者在 \(t_2\) 卖出资产得 \(S_2\)，期货盈利 \(F_1-F_2\)，有效价格

多头对冲者在 \(t_2\) 买入资产付 \(S_2\)，期货亏损 \(F_1-F_2\)，有效支付同样是 \(F_1+b_2\)。

这个式子揭示了对冲的本质：\(F_1\) 在 \(t_1\) 已知；如果 \(b_2\) 也已知，就是完美对冲。对冲把价格风险换成了基差风险——剩下的不确定性只有 \(b_2\)。

推导拆解：空头的式子逐步写开： 第一步，卖资产收到 \(S_2\)。 第二步，期货空头在 \(t_1\) 以 \(F_1\) 卖出、\(t_2\) 以 \(F_2\) 买回平仓，盈利 \(F_1-F_2\)。 第三步，两者相加 \(S_2+F_1-F_2\)，再把 \(S_2-F_2\) 合并成 \(b_2\)，得 \(F_1+b_2\)。 多头同理：买资产付 \(S_2\)，期货多头盈利 \(F_2-F_1\)，净支付 \(S_2-(F_2-F_1)=F_1+(S_2-F_2)=F_1+b_2\)。 关键是看哪些量在 \(t_1\) 已知。\(S_2\) 和 \(F_2\) 各自都波动很大，但它们的差 \(b_2\) 通常波动小得多，因为两者受同一批供需因素驱动。对冲的作用就是把"一个大的未知数 \(S_2\)"换成"一个小的未知数 \(b_2\)"。如果被对冲资产就是期货标的、并且恰好在交割时平仓，收敛性保证 \(b_2\approx0\)，有效价格就是 \(F_1\)。这也解释了 3.1.1 节为什么锁定的是期货价 $79 而不是即期价 $80。

数例：\(S_1=2.50,\ F_1=2.20,\ S_2=2.00,\ F_2=1.90\)，则 \(b_1=0.30,\ b_2=0.10\)，有效价格 \(2.20+0.10=\$2.30\)。

由此可见：空头对冲者遇到基差意外走强是好事（卖得更高），走弱是坏事；多头对冲者正好相反。

3.3.3 交叉对冲时的基差分解

若被对冲资产与期货标的不同，设 \(S_2^*\) 为 \(t_2\) 时期货标的资产的价格，则

第一项是即使两资产相同也存在的基差，第二项来自两资产的差异。交叉对冲时基差风险更大。

3.3.4 选择合约

选择分两部分：标的资产和交割月份。

• 资产：被对冲资产与期货标的完全匹配时很简单；否则要分析哪种期货价格与被对冲资产价格的相关性最高。
• 月份：即使对冲到期日恰好落在某交割月内，通常也选更晚的月份——交割月内期货价有时很不稳定，多头持有至交割月还有被迫接收实物的风险。基差风险随"对冲到期日与交割月的时间差"增大而增大。经验法则：选择尽可能接近、但晚于对冲到期日的交割月。 例如交割月为 3、6、9、12 月时，对冲在 12、1、2 月到期用 3 月合约，在 3、4、5 月到期用 6 月合约，依此类推。前提是这些合约流动性足够；实践中近月合约流动性最好，有时对冲者会用近月合约并展期（3.6 节）。

例 3.1（空头，日元）。 3 月 1 日，美国公司预计 7 月底收到 5,000 万日元。CME 日元期货交割月为 3、6、9、12 月，每张 1,250 万日元，于是做空 4 张 9 月合约。3 月 1 日期货价 0.9800 美分/日元；平仓时即期 0.9200，期货 0.9250。期货盈利 0.0550 美分/日元，平仓基差 \(-0.0050\)。有效价格

共收到 \(50\times0.00975\) 百万美元 = $487,500。

例 3.2（多头，原油）。 6 月 8 日，公司将在 10 或 11 月某时买 20,000 桶原油。NYMEX 原油每月都有交割，每张 1,000 桶，选 12 月合约做多 20 张，期货价 $88.00。11 月 10 日准备购买并平仓，即期 $90.00，期货 $89.10。期货盈利 $1.10/桶，最终基差 $0.90，有效价格

共 $1,778,000。

3.4 交叉对冲与最小方差对冲比率

期货标的与被对冲资产不同就是交叉对冲（cross hedging）。例如航空公司担心航空燃油价格，但航空燃油期货交易不活跃，于是用取暖油（heating oil）期货对冲。

对冲比率（hedge ratio）是期货头寸规模与风险敞口规模之比。标的相同时自然取 1.0（例 3.2：敞口 20,000 桶，期货恰好 20,000 桶）。交叉对冲时 1.0 未必最优，应选择使对冲后头寸价值方差最小的比率。

3.4.1 推导

记 \(\Delta S\) 为对冲期内即期价的变化，\(\Delta F\) 为对冲期内期货价的变化，\(\sigma_S,\sigma_F\) 为它们的标准差，\(\rho\) 为相关系数。对每单位资产卖出 \(h\) 单位期货（空头对冲），对冲期内头寸价值变化为 \(\Delta S-h\,\Delta F\)，其方差

推导拆解：这个式子来自方差的展开。把 \(X=\Delta S\)，\(Y=\Delta F\)： \(\operatorname{Var}(X-hY)=\mathbb E\big[(X-hY-\mathbb E[X-hY])^2\big]\)。记 \(x=X-\mathbb E X\)，\(y=Y-\mathbb E Y\)（去掉均值后的偏差），括号里就是 \(x-hy\)。 展开平方：\((x-hy)^2=x^2-2hxy+h^2y^2\)。 取期望，用期望的线性性逐项拿出来：\(\mathbb E[x^2]-2h\,\mathbb E[xy]+h^2\,\mathbb E[y^2]=\sigma_S^2-2h\operatorname{Cov}(\Delta S,\Delta F)+h^2\sigma_F^2\)。 最后把协方差写成 \(\rho\sigma_S\sigma_F\) 即得原式。你会认出这就是 CFA 的两资产组合方差公式，只不过"第二个资产"的权重是 \(-h\)（做空）。

这是 \(h\) 的开口向上的二次函数（原书图 3.3 的 U 形曲线）。令 \(v'(h)=-2\rho\sigma_S\sigma_F+2h\sigma_F^2=0\)，得

\(h^*\) 恰好是 \(\Delta S\) 对 \(\Delta F\) 做线性回归的斜率（原书图 3.2）：\(\operatorname{Cov}(\Delta S,\Delta F)/\operatorname{Var}(\Delta F)=\rho\sigma_S\sigma_F/\sigma_F^2\)。直观上，它就是"期货变动一单位时即期平均变动多少"。

推导拆解：求导这一步逐项看。\(v(h)\) 里 \(\sigma_S^2\) 与 \(h\) 无关，导数为 0；\(-2h\rho\sigma_S\sigma_F\) 是 \(h\) 的一次项，导数是系数 \(-2\rho\sigma_S\sigma_F\)；\(h^2\sigma_F^2\) 的导数是 \(2h\sigma_F^2\)（用了 \((h^2)'=2h\)）。令导数为零，移项、两边除以 \(2\sigma_F^2\) 就得到 (3.1)。 为什么这是最小值而不是最大值？二次项系数 \(\sigma_F^2>0\)，抛物线开口向上，唯一的驻点（导数为零的点）就是最低点。也可以不用导数，用配方：\(v(h)=\sigma_F^2\big(h-\rho\sigma_S/\sigma_F\big)^2+\sigma_S^2(1-\rho^2)\)，第一项非负，只有在 \(h=h^*\) 时等于零。配方的写法同时给出了最小方差 \(\sigma_S^2(1-\rho^2)\)，也就是下面的对冲有效性结论。 与回归的对应：OLS 就是在选斜率 \(b\) 使残差平方和 \(\sum(\Delta S_i-a-b\,\Delta F_i)^2\) 最小，而最小方差对冲是在选 \(h\) 使 \(\operatorname{Var}(\Delta S-h\Delta F)\) 最小。两个问题的目标函数本质相同（残差的离散程度），所以答案相同。

两个特例：\(\rho=1,\ \sigma_F=\sigma_S\) 时 \(h^*=1\)，期货是即期的完美镜像；\(\rho=1,\ \sigma_F=2\sigma_S\) 时 \(h^*=0.5\)，期货变动总是即期的两倍。

对冲有效性（hedge effectiveness）定义为对冲消除的方差比例。把 \(h^*\) 代回：

也就是回归的 \(R^2\)。若 \(\rho=0\)，\(h^*=0\)，最小方差对冲就是不对冲。

金融直觉：\(\rho^2\) 的"平方"让对冲效果对相关性非常敏感。\(\rho=0.928\) 时有效性 0.86，剩余标准差是原来的 \(\sqrt{1-0.86}\approx37\%\)；\(\rho=0.7\) 时有效性只有 0.49，剩余标准差约为原来的 71%，对冲只把风险降了不到三成。所以交叉对冲时，相关系数从 0.9 降到 0.7 看起来变化不大，实际效果却差很多。航空公司用取暖油对冲航油、用沪深 300 期货对冲一个小盘股组合，都要先看这个数字。另外注意：\(h^*\) 与 \(\rho\) 都是用历史数据估计的，估计本身有误差，样本外的有效性通常低于样本内的 \(R^2\)。

参数估计。 \(\rho,\sigma_S,\sigma_F\) 通常用历史数据估计，隐含假设"未来在某种意义上像过去"。做法是取若干等长、不重叠的时间区间，观察每个区间的 \(\Delta S,\Delta F\)。理想的区间长度等于对冲期长度，但这常常让观测数太少，实践中会用更短的区间。

3.4.2 最优合约数

设 \(Q_A\) 为被对冲头寸的规模（单位数），\(Q_F\) 为一张期货合约的规模，期货应覆盖 \(h^*Q_A\) 单位：

例 3.3（航空燃油）。 航空公司 1 个月后要买 200 万加仑航空燃油，用取暖油期货对冲。原书表 3.2 给出 15 个月的月度数据（\(\Delta F\) 为取暖油期货价变化，\(\Delta S\) 为航空燃油价变化，美元/加仑）：

计算得 \(\sigma_F=0.0313\)，\(\sigma_S=0.0263\)，\(\rho=0.928\)，

CME 取暖油期货每张 42,000 加仑，

（本表的负号在精读笔记抽取时曾丢失，本教材已用 \(\sigma_F,\sigma_S,\rho\) 的原书数值反算恢复，"量化实战"中的代码给出了验证。）

3.4.3 尾随对冲

以上分析对远期是正确的。期货逐日结算，实际上是一连串的一日对冲。因此分析者有时改用一日百分比变化：设 \(\hat\rho\) 为即期与期货一日收益率的相关系数，\(\hat\sigma_S,\hat\sigma_F\) 为其标准差。当前即期价 \(S\)、期货价 \(F\)，则一日价格变化的标准差为 \(S\hat\sigma_S\) 和 \(F\hat\sigma_F\)，一日对冲比率为 \(\hat\rho\,S\hat\sigma_S/(F\hat\sigma_F)\)，次日所需合约数为

其中 \(V_A=SQ_A\) 是被对冲头寸的美元价值，\(V_F=FQ_F\) 是一张期货的美元价值。理论上应每天按最新的 \(V_A,V_F\) 调整头寸，这就是尾随调整（tailing the hedge）；实践中每天变化很小，常被忽略。

白话解释：(3.3) 只是做了一次单位换算。\(\hat\sigma_S\)、\(\hat\sigma_F\) 是百分比变化的标准差，乘上当前价格才变成美元变化的标准差：\(S\hat\sigma_S\) 和 \(F\hat\sigma_F\)。把它们代入 (3.1) 得到"每单位资产对应多少单位期货"，再乘 \(Q_A/Q_F\) 换成张数，整理后就是 \(\hat h\cdot SQ_A/(FQ_F)=\hat h\,V_A/V_F\)。 和 (3.2) 相比，差别在于多了因子 \(S/F\)。在数例中 \(S/F=28/27\approx1.037\)，张数从 11.2 变成 11.6。当期货价明显偏离即期价时（比如期限长、利率高，第 05 章的 \(F=Se^{rT}\)），这个因子才会明显不等于 1。 为什么要"每天调整"？因为期货每天结算一次，今天的盈亏只取决于今天的价格变动，所以"一份对冲"实际上是"一连串一日对冲"，每一天都应按当天的价值比配张数。这和后面第 19 章期权的 delta 对冲需要动态调整是同一种思想。

数例（原书习题 3.26 思路）：\(\hat h=0.95\times0.43/0.40=1.021\)，敞口 55,000 单位、每张期货 5,000 单位，即期 28、期货 27。不尾随：\(1.021\times55{,}000/5{,}000\approx11.2\)，取 11 张；尾随：\(1.021\times(55{,}000\times28)/(5{,}000\times27)\approx11.6\)，取 12 张。

3.5 股指期货与组合 β 管理

3.5.1 股票指数

股票指数跟踪一个假想股票组合的价值变化。某时点个股权重等于假想组合投资于该股的比例。指数通常不含股息，跟踪的是资本利得（全收益指数 total return index 例外，它假设股息再投资）。即使假想组合固定，权重也会变：涨得多的股票权重自动上升。价格加权指数由每只股票各一股构成，权重与股价成正比，拆股时要调整；市值加权指数的权重与市值成正比，自动反映拆股、股票股利和增发。

原书表 3.3（2013 年 5 月 14 日 CME 股指期货）中的三个代表：

• 道琼斯工业平均指数（DJIA）：30 只蓝筹股，价格加权；$10 × 指数和 Mini DJIA（$5 × 指数），Mini 最活跃。
• S&P 500：500 只股票，市值加权；$250 × 指数和 Mini S&P 500（$50 × 指数），Mini 最活跃。6 月 Mini 前结算 1630.75，最新 1646.00，成交 1,397,446；9 月 1625.00；12 月 1618.50。
• Nasdaq-100：$100 × 指数和 Mini（$20 × 指数）。

股指期货现金结算；S&P 500 合约按交割月第三个星期五的开盘价结算。

3.5.2 对冲合约数

设 \(V_A\) 为组合现值，\(V_F\) 为一张期货的现值（期货价 × 合约乘数）。若组合就是指数本身，对冲比率取 1.0，由 (3.3) 应做空

例：$5,050,000 的组合复制 S&P 500，期货价 1,010，每张 $250 × 指数，\(V_F=252{,}500\)，做空 20 张。

组合不复制指数时，用 CAPM（见 3.7 节）。贝塔（\(\beta\)）是组合超额收益对指数超额收益回归的斜率。\(\beta=2\) 的组合，超额收益约为指数的两倍，就需要两倍的合约：

这里假设期货到期日接近对冲到期日。与 (3.3) 对比可知 \(\hat h=\beta\)：前者是组合一日收益对期货一日收益回归的斜率，后者是组合收益对指数收益回归的斜率，含义一致。

3.5.3 完整数例：检验公式

用 4 个月期 S&P 500 期货对冲未来 3 个月组合价值。指数 1,000，期货价 1,010，组合 $5,050,000，无风险利率 4%/年，指数股息率 1%/年，组合 \(\beta=1.5\)。

若 3 个月后指数为 900、期货为 902：

• 期货盈利 \(30\times(1010-902)\times250=\$810{,}000\)；
• 指数跌 10%，加上 3 个月股息 0.25%，指数投资者收益 \(-9.75\%\)；3 个月无风险收益约 1%；
• CAPM：组合预期收益 \(-\) 无风险收益 \(=1.5\times\)（指数收益 \(-\) 无风险收益），所以组合预期收益 \(=1.0+1.5\times(-9.75-1.0)=-15.125\%\)；
• 组合预期价值（含股息）\(5{,}050{,}000\times(1-0.15125)=\$4{,}286{,}187\)，加上期货盈利，总价值 $5,096,187。

原书表 3.4 对五种情景做了同样计算：

无论指数怎么走，头寸总价值都约为 $5,100,000，相当于 3 个月赚了约 1% 的无风险收益。表中的期货价与第 05 章的定价公式 \(F=Se^{(r-q)T}\) 一致（剩 1 个月时 \(900\,e^{0.03/12}\approx902\)）。表 3.4 假设股息率可预测、利率不变、组合收益与指数收益完全相关，现实中这些都不完全成立，对冲效果会差一些。

推导拆解：为什么总价值总是约 $5,100,000，即恰好赚到无风险利率？把两条腿用符号写出来。记指数收益（含股息）为 \(R_M\)，3 个月无风险收益为 \(r_f\)（约 1%）。 组合腿：按 CAPM，组合收益 \(=r_f+\beta(R_M-r_f)\)，所以组合价值 \(=V_A\big[1+r_f+\beta(R_M-r_f)\big]\)。 期货腿：期货价里已经包含了"利率减股息"的持有成本（第 05 章），所以空头期货的盈利近似等于 \(-\beta V_A(R_M-r_f)\)，即"指数收益超过无风险收益的部分"被反向抵掉。 两者相加，含 \(\beta(R_M-r_f)\) 的项正好消去，剩下 \(V_A(1+r_f)\approx5{,}050{,}000\times1.01=5{,}100{,}500\)。表中各情景与此相差几千美元，来自期货价取整和期货还剩 1 个月未到期。 这里的要点是：期货空头对冲掉的是超额收益 \(R_M-r_f\)，不是总收益 \(R_M\)。这就是为什么对冲后得到的是无风险利率而不是零，也是为什么 3.5.4 节说对冲后组合收益 = 无风险利率 + alpha。

3.5.4 为什么要对冲股票组合

既然对冲后只赚无风险利率，为什么不直接卖掉组合买国债？两个理由：

1. 对冲者相信自己选股好。 他不确定大盘表现，但相信组合（经 β 调整后）能跑赢市场。指数期货对冲消除市场风险，只留下相对市场的表现——也就是 alpha。
2. 长期持有、短期保护。 打算长期持有组合，只需要在不确定的市场中获得短期保护，卖出再买回的交易成本太高。

3.5.5 改变组合的 β

继续上例：完全对冲（β → 0）需做空 30 张；把 β 从 1.5 降到 0.75，做空 15 张；把 β 升到 2.0，做多 10 张。一般地，把 β 从 \(\beta\) 调到 \(\beta^*\)：

锁定选股收益的例子。 4 月持有某股票 20,000 股，每股 $100，β 估计为 1.1，用 8 月 S&P 500 期货（价格 1,500，$250 × 指数）对冲 3 个月。\(V_A=2{,}000{,}000\)，\(V_F=375{,}000\)，

7 月平仓。若股价跌到 $90、期货跌到 1,300：股票亏 $200,000，期货赚 \(6\times250\times(1500-1300)=\$300{,}000\)，净赚 $100,000——因为该股跌幅小于 β = 1.1 的分散组合应有的跌幅。如果市场上涨而该股涨幅超过 β = 1.1 的组合，同样获利。

3.6 叠加与展期

当对冲到期日晚于所有可用期货的交割日时，就要平掉一个合约、在更晚交割的合约上建立相同头寸，即向前展期（rolling forward），可以多次进行，称为叠加展期（stack and roll）。对 \(T\) 时出售资产的空头对冲：

• \(t_1\)：做空合约 1；
• \(t_2\)：平合约 1，做空合约 2；
• ……
• \(t_n\)：平合约 \(n-1\)，做空合约 \(n\)；
• \(T\)：平合约 \(n\)。

例（原书表 3.5）。 2014 年 4 月，公司将在 2015 年 6 月卖出 100,000 桶油，对冲比率 1.0（不做尾随），即期 $89。只有最近 6 个交割月流动性足够。做空 100 张 2014 年 10 月合约；2014 年 9 月展期到 2015 年 3 月合约；2015 年 2 月再展期到 2015 年 7 月合约。

期货每桶收益

油价从 $89 跌到 $86，期货只补偿了 $1.70，看似不够。但期货价低于即期价时，本来就不能指望完全补偿；最多只能锁定"假如 2015 年 6 月合约活跃交易时"的期货价。每次展期时新旧合约的价差（这里分别是 87.40→87.00、86.50→86.30）就是展期收益/成本的来源。

金融直觉：把 1.70 重新分组就能看清它的来源： \(1.70=(88.20-85.90)-(87.40-87.00)-(86.50-86.30)=2.30-0.40-0.20\)。 第一项 2.30 是"第一张合约的开仓价"减"最后一张合约的平仓价"，反映整条期货曲线的下移。后两项是两次展期的成本：每次展期，空头买回近月（较贵）、卖出远月（较便宜），在反向市场（远月低于近月，本例即是）每次都要吃一点价差；在正常市场则反过来赚价差。 最终的有效售价是 \(86.00+1.70=87.70\)，比期初即期价 89 低 1.30。这 1.30 并不是对冲失败，而是期初期货曲线本身就低于即期价，再加上展期时的价差。按 1.0 对冲比率展期，能锁定的是"一串期货价"，不是"今天的即期价"。这与 CFA 中把商品期货收益拆成"即期收益 + 展期收益 + 抵押收益"的框架一致。

实践做法。 公司通常每个月都有敞口，使用流动性最好的 1 个月期货：开始时叠加足够的合约覆盖到对冲期末的全部敞口，一个月后全部平仓，滚动到新的 1 个月合约，覆盖剩余敞口，依此类推。

商业快照：德国金属公司（MG）的对冲失败。 1990 年代初，MG 向客户出售了大量 5–10 年期、固定价格的取暖油和汽油供应合约，价格比市价高 6–8 美分；它用短期期货多头滚动展期来对冲。随后油价下跌，期货多头被要求追加保证金，造成巨大的短期现金流出。策略设计者认为这些流出最终会被长期固定价合约的正现金流抵消，但高管与银行对现金消耗感到恐慌，平掉全部对冲头寸，并与客户协议放弃固定价合约，损失 $13.3 亿。教训：对冲端与被对冲端的现金流时间错配会造成流动性问题，规划对冲时必须考虑。

3.7 附录：资本资产定价模型

CAPM（capital asset pricing model）把资产的预期收益与风险联系起来。风险分为两类：系统风险（systematic risk）与整个市场的收益相关，不可分散；非系统风险（nonsystematic risk）是资产特有的，可以通过大组合分散。CAPM 认为预期收益只应取决于系统风险：

\(R_M\) 是市场组合收益（通常用 S&P 500 等分散化指数近似），\(R_F\) 是无风险收益，\(\beta\) 衡量系统风险，可用历史数据中资产超额收益对市场超额收益回归的斜率估计。\(\beta=0\) 时预期收益等于无风险利率；\(\beta=1\) 时等于市场收益。例：\(R_F=5\%\)，\(R_M=13\%\)，\(\beta=0.75\)，预期收益 \(0.05+0.75\times(0.13-0.05)=11\%\)。

推导所需的假设：(1) 投资者只关心收益的期望与标准差；(2) 两资产收益相关仅因各自与市场相关（单因子）；(3) 投资者关注单期收益且期限相同；(4) 可按同一无风险利率借贷；(5) 税收不影响决策；(6) 所有投资者对期望、标准差、相关性的估计相同。这些假设至多近似成立，但 CAPM 是组合管理与业绩评估的常用基准。

对单只股票，CAPM 并不能很好地预测实际收益；对充分分散的组合要好得多。因此"分散组合收益 \(=R_F+\beta(R_M-R_F)\)"可以作为 3.5 节对冲分散组合的基础。组合的 β 等于成分股 β 的加权平均。

量化实战

本章内容在量化交易中的用法

1. 市场中性 / alpha 组合。 \(N^*=\beta V_A/V_F\) 是股票多头组合用股指期货对冲 β 的标准公式，例如在中国市场用 IF、IH、IC、IM 合约对冲沪深 300、上证 50、中证 500、中证 1000 风格的选股组合；改变 β 的公式用于战术性仓位调整。
2. 对冲比率就是回归。 最小方差对冲比率、因子暴露（时间序列 β）、配对交易中的对冲比率，在数学上是同一件事——OLS 斜率。估计窗口长度、是否重叠、参数稳定性等问题在三处完全相同（回归方法见第 05 册第 04–07 章）。\(R^2=\rho^2\) 直接告诉你对冲能消除多少方差。
3. 基差成本必须进回测。 对冲锁定的是 \(F_1+b_2\) 而不是即期价。若股指期货长期贴水（期货低于现货），空头对冲者在基差收敛过程中持续承担成本；回测 alpha 策略时，必须用真实的期货价格序列计算对冲腿盈亏，而不是用"指数收益"代替。
4. 展期与流动性压力测试。 连续合约构造、展期时点、展期收益（roll yield）是 CTA 和商品期限结构策略的基础；MG 案例提醒必须对对冲腿的保证金现金流做压力测试。
5. 尾随调整 = 定期再平衡。 系统中需按 \(V_A/V_F\) 定期重算对冲手数，并处理合约张数取整带来的残余敞口。

Python 示例：复现例 3.3 与表 3.4，并做一次"滚动 β 对冲"

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# ---- 1. 例3.3 航空燃油交叉对冲（原书表3.2）----
dF = np.array([0.021,0.035,-0.046,0.001,0.044,-0.029,-0.026,-0.029,
               0.048,-0.006,-0.036,-0.011,0.019,-0.027,0.029])
dS = np.array([0.029,0.020,-0.044,0.008,0.026,-0.019,-0.010,-0.007,
               0.043,0.011,-0.036,-0.018,0.009,-0.032,0.023])
sF, sS = dF.std(ddof=1), dS.std(ddof=1)
rho = np.corrcoef(dF, dS)[0, 1]
h = rho * sS / sF
ols = sm.OLS(dS, sm.add_constant(dF)).fit()
print(f"sigma_F={sF:.4f} sigma_S={sS:.4f} rho={rho:.3f} h*={h:.3f} "
      f"OLS斜率={ols.params[1]:.3f} R2={ols.rsquared:.3f}")
print("N* =", round(h * 2_000_000 / 42_000, 1), "张取暖油期货")

# ---- 2. 原书表3.4：β=1.5 组合用 S&P 期货对冲三个月 ----
VA, F0, mult, beta, rf, q = 5_050_000, 1010, 250, 1.5, 0.04, 0.01
N = beta * VA / (F0 * mult)
rows = []
for S in (900, 950, 1000, 1050, 1100):
    F1 = S * np.exp((rf - q) * 1/12)                 # 3个月后期货剩1个月
    fut = N * (F0 - round(F1)) * mult               # 原书期货价取整
    mkt = (S / 1000 - 1) + q / 4                     # 指数收益+股息
    port = rf / 4 + beta * (mkt - rf / 4)            # CAPM
    rows.append((S, round(F1), fut, mkt, port, VA * (1 + port), VA * (1 + port) + fut))
t34 = pd.DataFrame(rows, columns=["指数", "期货", "期货盈亏", "市场收益", "组合收益", "组合价值", "总价值"])
print(f"N*={N:.0f}")
print(t34.round({"市场收益": 5, "组合收益": 5, "组合价值": 0, "总价值": 0}).to_string(index=False))

# ---- 3. 模拟：滚动估计β并对冲，分离 alpha ----
rng = np.random.default_rng(7)
T = 1000                                             # 交易日
m = rng.normal(0.0003, 0.012, T)                     # 指数期货日收益
alpha_d, beta_true = 0.0002, 1.3
p = alpha_d + beta_true * m + rng.normal(0, 0.008, T)  # 组合日收益
win = 120
hedged, betas = [], []
for t in range(win, T):
    b = sm.OLS(p[t-win:t], sm.add_constant(m[t-win:t])).fit().params[1]  # 只用过去数据
    betas.append(b)
    hedged.append(p[t] - b * m[t])                  # 做空 b×V_A/V_F 张期货
hedged = np.array(hedged); raw = p[win:]
ann = lambda x: (x.mean()*252, x.std()*np.sqrt(252))
print("估计β均值=%.3f 标准差=%.3f" % (np.mean(betas), np.std(betas)))
print("未对冲 年化收益=%.4f 年化波动=%.4f" % ann(raw))
print("已对冲 年化收益=%.4f 年化波动=%.4f  与指数相关=%.3f" % (*ann(hedged), np.corrcoef(hedged, m[win:])[0,1]))
print("方差降低比例=%.3f" % (1 - hedged.var()/raw.var()))

关键输出：

sigma_F=0.0313 sigma_S=0.0263 rho=0.928 h*=0.778 OLS斜率=0.778 R2=0.862
N* = 37.0 张取暖油期货
N*=30
  指数   期货      期货盈亏    市场收益     组合收益      组合价值       总价值
 900  902  810000.0 -0.0975 -0.15125 4286188.0 5096188.0
 950  952  435000.0 -0.0475 -0.07625 4664938.0 5099938.0
1000 1003   52500.0  0.0025 -0.00125 5043688.0 5096188.0
1050 1053 -322500.0  0.0525  0.07375 5422438.0 5099938.0
1100 1103 -697500.0  0.1025  0.14875 5801188.0 5103688.0
估计β均值=1.329 标准差=0.064
未对冲 年化收益=-0.0909 年化波动=0.2739
已对冲 年化收益=0.0515 年化波动=0.1307  与指数相关=0.002
方差降低比例=0.772

解读：

• 第一部分精确复现了原书的 \(\sigma_F,\sigma_S,\rho\) 和 37 张合约，并验证"最小方差对冲比率 = OLS 斜率"、"对冲有效性 = \(R^2=\rho^2\)"（\(0.928^2\approx0.862\)）。
• 第二部分逐列复现表 3.4（组合价值的个位差 1 来自原书对 0.5 的舍入方向）。
• 第三部分模拟了一个真实 β = 1.3、日 alpha = 2 个基点的组合。在这段样本里市场下跌，未对冲组合年化亏损约 9%；用过去 120 天滚动估计的 β 做空期货之后，收益约 5.2%/年，接近真实 alpha \(0.0002\times252\approx5.0\%\)，与指数的相关系数几乎为零，方差降低约 77%（理论值 \(\beta^2\sigma_m^2/(\beta^2\sigma_m^2+\sigma_\varepsilon^2)\approx0.79\)）。剩下的波动是不可对冲的特质风险——这正是 alpha 策略要承担的风险。注意代码只用 \(t\) 之前的数据估计 β，避免了前视偏差。

本章小结

对冲方向由敞口决定：资产价格上涨获益者做空期货，下跌获益者做多期货。对冲锁定的是期货价加最终基差 \(F_1+b_2\)，剩余风险是基差风险；交叉对冲时基差风险分为"同资产基差"与"资产差异"两部分。合约选择遵循"最近且晚于对冲到期日"的交割月。最小方差对冲比率 \(h^*=\rho\sigma_S/\sigma_F\) 就是回归斜率，对冲有效性为 \(\rho^2\)，合约数 \(N^*=h^*Q_A/Q_F\)；考虑逐日结算时用尾随公式 \(N^*=\hat hV_A/V_F\)。股指期货对冲合约数 \(N^*=\beta V_A/V_F\)，并可把组合 β 调到任意目标，从而分离选股 alpha 与市场 beta。长期敞口可用叠加展期覆盖，但要警惕 MG 式的现金流错配与流动性风险。是否对冲还要考虑股东分散化、竞争者行为与内部沟通。

练习

基础

1. 一家企业 3 个月后将出售 5,000 吨铜，应做空头还是多头对冲？若期货价 $7,000/吨，3 个月后平仓时即期 $6,800、期货 $6,850，有效售价是多少？（提示：空头；\(F_1+b_2=7000+(6800-6850)=6950\)。）
2. 某商品价格季度变化标准差为 $0.65，该商品期货价格季度变化标准差为 $0.81，两者相关系数 0.8。3 个月合约的最优对冲比率是多少？含义是什么？（提示：\(0.8\times0.65/0.81=0.642\)；原书 3.6。）
3. 基金持有价值 $2,000 万、β = 1.2 的组合，用 S&P 500 期货（指数期货价 1,080，乘数 250）对冲。完全对冲需要多少张？把 β 降到 0.6 呢？（提示：约 89 张、约 44 张；原书 3.7。）
4. 判断正误并说明理由："若最小方差对冲比率为 1.0，对冲一定是完美的。"（提示：错；\(h^*=1\) 只要求 \(\rho\sigma_S=\sigma_F\)，\(\rho<1\) 时仍有残余风险。原书 3.13。）
5. 为什么基差意外走强对空头对冲者有利、对多头对冲者不利？

进阶

6. 证明：在最小方差对冲比率下，对冲后头寸方差为 \(\sigma_S^2(1-\rho^2)\)；并说明当 \(\rho=0\) 时最小方差对冲就是不对冲。
7. 某组合 β 估计值的标准误为 0.1。若按估计值 \(\hat\beta\) 而非真实 β 对冲，残余的市场风险方差是多少？据此讨论 β 估计误差对 alpha 策略的影响。（提示：残余市场暴露 \((\beta-\hat\beta)\)，方差约 \(0.01\,\sigma_m^2\)。）
8. 修改"量化实战"第三部分：把滚动窗口改为 20、60、250 天，比较对冲后波动率和与指数相关性的变化，解释窗口长度的取舍。
9. 设计一个铜的多期展期对冲方案：企业未来 12 个月每月需要 100 吨铜，只有最近 3 个月合约流动性足够。写出每月的开仓与平仓安排，并讨论若铜价持续下跌需要准备多少追保资金（原书 3.32 思路）。
10. 用 CAPM 说明：一位基金经理的 β = 0.2，年收益 8%，同期市场收益 20%、无风险利率 5%，他的表现好吗？（提示：CAPM 预期收益 \(5\%+0.2\times15\%=8\%\)，表现恰好等于预期，没有 alpha。原书 3.28 思路。）

原书推荐习题： 3.6、3.16、3.26（最小方差对冲比率与合约数，含尾随）；3.7、3.30（股指期货对冲与调整 β）；3.13、3.14（"对冲比率为 1"与"完美对冲"的区别）；3.10、3.25（基差变化的影响）；3.29（用数据回归计算对冲比率，适合编程）；3.31（完整的股指对冲情景分析）；3.32（多期展期对冲与保证金管理）。

原书对照