第 14 章 买卖价差

对应 Harris《Trading and Exchanges》第 14 章 Bid/Ask Spreads 及其附录。这是本册对量化交易最重要的一章：做市报价、交易成本模型、限价单还是市价单的选择、回测中的成本假设，都建立在本章的价差理论之上。原书给出了价差的两个成分、Glosten–Milgrom 定理的简化版本、指令驱动市场的均衡价差和横截面价差预测；本教材补充了完整的序贯 Glosten–Milgrom 模型、Roll 模型和基于交易方向的价差分解回归，并配了模拟代码。补充内容会明确标出。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 把价差分解为交易成本（暂时性）成分与逆向选择（永久性）成分，写出交易商的报价公式，并说明成交后报价如何移动。
2. 从"信息视角"和"会计视角"两条路推导出相同的逆向选择价差 \(2PE\)（Glosten–Milgrom 定理），并推导序贯 Glosten–Milgrom 模型中的贝叶斯报价公式，解释价差为何随学习收窄、成交价为何是鞅。
3. 推导 Roll 模型 \(s=2\sqrt{-\mathrm{Cov}(\Delta p_t,\Delta p_{t-1})}\)，知道它在存在逆向选择时估计的是什么，并会用交易方向回归估计两个成分。
4. 解释"本书最重要的一课"：不知情交易者无论用限价单还是市价单都会输给知情交易者。
5. 推导指令驱动市场的均衡价差：理想条件下为零，现实中等于佣金差、限价单管理成本、两倍择时期权价值等的组合，并算出 Lisbet–Tim–Dieter 例子中的数字。
6. 用三个主要决定因素（信息不对称、波动率、功利性交易兴趣）及其代理变量预测横截面相对价差，并把它变成回测和组合优化中的交易成本模型。

读前导读

**这一章在解决什么问题。**你在 CFA 里把买卖价差当作一个给定的交易成本输入，本章回答它为什么是这个数、由哪几块组成、能不能从数据里估出来。答案是两块：一块是交易商的“经营成本”（暂时性成分，成交价在 bid 和 ask 之间来回跳），一块是“输给知情者的保险费”（逆向选择成分，成交后价格永久移动）。第 13 章用文字讲了逆向选择，本章用 Glosten–Milgrom 模型把它算出来，用 Roll 模型和回归把它从数据里分离出来，再用指令驱动市场的均衡分析说明：即使没有交易商，限价单交易者之间也会自发形成同样结构的价差。

对量化工作，这一章直接决定三件事：回测里的成本假设应该怎么设、做市报价的骨架是什么、为什么高换手的无 alpha 策略必然亏钱。

需要先想起来的数学。

• 贝叶斯公式与条件期望：\(P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\)，其中分母 \(P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)\)（全概率公式，\(A^c\) 表示 \(A\) 不发生）。例：疾病发病率 1%，检测准确率 90%，阳性者真有病的概率 \(=0.9\times0.01/(0.9\times0.01+0.1\times0.99)\approx8\%\)。Glosten–Milgrom 模型里，“疾病”换成“价值高”，“阳性”换成“有人来买”。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 鞅与塔性质：若 \(p_t=E[V\mid\mathcal F_t]\)（\(\mathcal F_t\) 表示到第 \(t\) 笔为止看到的全部交易历史），则 \(E[p_{t+1}\mid\mathcal F_t]=p_t\)，价格变化不可预测。第 10 章已用过同样的论证。
• 协方差的双线性：\(\mathrm{Cov}(aX+bY,\,Z)=a\,\mathrm{Cov}(X,Z)+b\,\mathrm{Cov}(Y,Z)\)，独立变量的协方差为零。Roll 模型的推导只用这一条，加上 \(\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{Var}(X)\)。
• OLS 回归系数的含义：在 \(y=\beta_1x_1+\beta_2x_2+e\) 中，若 \(x_1,x_2\) 互不相关且与 \(e\) 无关，OLS 能无偏地估出 \(\beta_1,\beta_2\)。14.5.2 的价差分解回归就是这种最简单的情形。CFA 二级多元回归的知识足够。
• 期权的视角：一张挂在 20 元的卖出限价单，等于免费送给市场一张执行价 20 的看涨期权（谁都可以按 20 买走）；买入限价单等于送出一张看跌期权。14.7 的“择时期权”就是这个意思。

**怎么读这一章。**14.3 的两个成分和报价公式 (14.1)、(14.2) 是全章骨架，必读。14.4 是核心：先读 14.4.1 的直观，再按讲解框把 14.4.2 和 14.4.3 的推导亲手走一遍，这两节读懂了，第 10 章的 Kyle 模型和第 13 章的做市逻辑会连成一体。14.5 的 Roll 模型和分解回归是微观结构计量的入门，做高频或交易成本分析的读者必读。14.6 是“最重要的一课”，务必读。14.7 的均衡价差篇幅长，第一次可以只读 14.7.1 的结论、(14.5) 式和例 14.1。14.9 的横截面预测与代码 4 合起来读，是搭建交易成本模型的直接起点。

14.1 价差是即时性的价格

买卖价差是急躁交易者为即时性支付的价格。 急躁的人在 ask 买、在 bid 卖；价差是交易商和限价单交易者提供即时性的补偿。

价差在两个决策中起核心作用：

• 交易者选择限价单还是市价单。价差宽，即时性贵，市价单成本高，限价单更有吸引力；价差窄，市价单更划算。要优化订单提交策略，就要知道在当前市况下价差算宽还是算窄，所以必须理解价差的决定因素。
• 交易商决定是否在某个市场提供流动性。价差太窄，做市无利可图，交易商退出；价差宽，新交易商进入。

本章的结论可以先列出来：价差最重要的决定因素是知情交易带来的逆向选择、波动率和市场活跃度。而 Harris 称之为"本书对多数读者最重要的一课"的结论是：不知情交易者无论用限价单还是市价单都会输给知情交易者；他们输，仅仅因为他们在交易。不想输，就尽量少交易。

14.2 交易商如何设定价差

交易商设定价差以最大化利润：要宽到足以覆盖经营成本，否则只能退出；又不能宽到没人和他交易。收入取决于往返交易的有效价差（effective spread）、存货周转频率以及输给知情者的损失；费用包括存货融资成本、人员薪酬、交易所会员费、通讯、研究、系统开发、清算结算、会计、场地等。

垄断交易商可以报宽价差。最优垄断价差满足经济学教科书上的"边际收入 = 边际成本"：价差略降带来的边际收入，等于提供由此增加的流动性的边际成本。但金融市场的交易商很少能成为垄断者：进入壁垒低，超额利润会吸引新交易商；进入的威胁本身就可能约束唯一的交易商。此外，交易商还面临公共限价单交易者的竞争，限价单本质上和交易商报价一样，都是供他人随时成交的交易要约。原书举例说，NYSE 专家是所负责股票的唯一交易商，但并非垄断者，因为他面对公共限价单和其他交易所的竞争。

竞争性市场中，自由进出使价差调整到交易商恰好赚取正常利润：收入恰好覆盖全部经济成本，即上述各项成本加上资本的公平回报和企业家努力的公平报酬。此时经济利润为零。

14.3 价差的两个成分

经济学家把价差分成两个成分，二者之和是总价差：

• 交易成本成分（transaction cost component）：补偿交易商的正常经营成本，也包括可能的垄断利润和承担存货风险所需的风险溢价。
• 逆向选择成分（adverse selection component）：补偿与知情者交易的损失，让交易商能从不知情者身上赚回输给知情者的部分。

交易商从不分开报这两个成分，只报 bid 和 ask。要估计它们，需要计量方法（14.5 节）。

14.3.1 交易成本成分：暂时性

如果所有人都确切知道价值，交易成本成分就是全部价差：价格在略低于价值的 bid 与略高于价值的 ask 之间来回跳动。竞争使它等于正常经营成本。

它又叫暂时性成分（transitory component），因为相关的价格变化是暂时的、会规律性地反转：从 bid 跳到 ask 之后，最常见的下一步是从 ask 跳回 bid。这种来回跳动叫买卖反弹（bid/ask bounce），是急躁交易者引起的一种轻微价格波动，会使成交价变化出现负自相关。

14.3.2 逆向选择成分：永久性

交易商不太了解基本面价值，所以暴露于更知情者的逆向选择。只覆盖正常成本的价差，最终会让交易商被知情者逼出市场，所以价差必须进一步加宽：一是从不知情者那里收回输给知情者的部分；二是让知情者以更差的价格成交，减少损失。这部分加宽就是逆向选择成分。

它又叫永久性成分（permanent component），因为相关的价格变化不会系统性反转。它反映交易商对价值估计的修正。若交易商有效利用了全部信息，估计的修正序列就应该不可预测（若可预测，说明早该纳入那些信息了）。不可预测变化构成的过程本质上是随机游走，每一次变化都是永久的，影响此后所有的水平。

14.3.3 交易商的报价公式

原书在"总价差"边栏中描述了交易商在原理上如何报价（实践中交易商凭经验，但会经常思考这些问题）：

1. 用全部现有信息估计价值 \(V_0\)，作为报价的中心；
2. 分别估计"下一个是买方"时的价值 \(V_B\) 和"下一个是卖方"时的价值 \(V_S\)，两者之差就是逆向选择成分 \(S_{AS}\)。若知情买卖概率相等、两种情形下的期望定价误差相等，则 \(V_B=V_0+\tfrac12 S_{AS}\)，\(V_S=V_0-\tfrac12 S_{AS}\)；
3. 再在两侧各加半个交易成本成分 \(S_{TC}\)：

成交后报价如何移动：如果下一个交易者是买方（成交价 \(P_0=\text{Ask}_0\)），而交易商没有学到别的东西，新的无条件价值估计就是之前的条件估计 \(V_1=V_B\)，于是 bid 和 ask 都上移半个逆向选择成分 \(\tfrac12 S_{AS}\)。卖方到来时对称地下移。

把这个过程写成时间序列：记 \(q_t=+1\)（买方发起）或 \(-1\)（卖方发起），\(c=\tfrac12 S_{TC}\)，\(\lambda=\tfrac12 S_{AS}\)，\(m_t\) 为第 \(t\) 笔成交后的价值估计（报价中点），则

其中 \(\varepsilon_t\) 是公共信息带来的变化。第 \(t\) 笔的成交价相对成交前中点偏离 \((\lambda+c)q_t\)，正是半个总价差。这个式子把原书的定性描述变成了可以估计的模型，14.5 节会用到。

推导拆解：(14.2) 怎样对应 (14.1)，逐项看。 第一步，约定每一期先到公共新闻、后到交易。新闻把报价中心从 \(m_{t-1}\) 移到 \(m_{t-1}+\varepsilon_t\)，这就是第 \(t\) 笔成交前的中点（相当于 (14.1) 里的 \(V_0\)）。 第二步，若第 \(t\) 笔是买单（\(q_t=+1\)），按 (14.1) 成交价是 ask \(=(m_{t-1}+\varepsilon_t)+\tfrac12S_{AS}+\tfrac12S_{TC}=(m_{t-1}+\varepsilon_t)+\lambda+c\)。 第三步，成交后，交易商把价值估计上移半个逆向选择成分：\(m_t=(m_{t-1}+\varepsilon_t)+\lambda\)，这就是 (14.2) 第一式（14.3.3 “成交后报价如何移动”那句话的公式版）。 第四步，把第三步代入第二步：成交价 \(=m_t+c\)，即 \(p_t=m_t+cq_t\)。卖单时所有符号反过来，用 \(q_t=-1\) 统一表示。 两个成分在式子里的位置揭示了它们的性质：\(\lambda q_t\) 进入了 \(m_t\)，以后每一期的 \(m\) 都带着它，所以是“永久的”；\(cq_t\) 只出现在当期成交价上，下一笔就没了，所以是“暂时的”。 注意记号：这里的 \(\lambda\) 是“每笔交易”的永久冲击（半个逆向选择成分），单位是价格；第 10 章 Kyle 模型的 \(\lambda\) 是“每股”的冲击系数。两者思想相同，量纲不同。

14.4 Glosten–Milgrom 定理

14.4.1 两种解释，同一个大小

逆向选择成分有两种解释：

• 信息视角：以下一个交易者是买方或卖方为条件，交易商价值估计之差。
• 会计视角：交易商为从不知情者那里收回预期输给知情者的损失，而必须报出的那部分价差。

两者大小相同，这就是 Glosten–Milgrom 定理。原书先给了直观理解（简化假设：知情者交易时交易商确知价值，但不知道何时是知情者在交易；结论不依赖这一假设）：

• 信息视角：与已知的不知情者交易，什么也学不到；与已知的知情者交易，就应把报价调整到正确价值，调整量是定价误差。由于不知道谁知情，每笔交易后只部分调整：逆向选择成分 = 定价误差 × 对手为知情者的概率。
• 会计视角：只有与知情者交易才会亏损，亏损额是原估计与正确价值之差，所以每笔平均损失 = 与知情者交易的损失 × 与知情者交易的概率。

当"与知情者交易的损失 = 定价误差"时两者相等，这在交易商来不及在价格反映信息之前恢复存货时成立。即使交易商能及时恢复存货，结论也基本成立：如果他没意识到与知情者交易而调价不足，知情者会反复来交易，交易商持续亏损，直到价格反映信息，累计损失恰好等于原来的定价误差。

白话解释：两种视角为什么必然相等，可以这样想。交易商像一个按“平均风险”收保费的保险公司。信息视角问的是：“看到这笔买单后，我对价值的估计应该改多少？”答案是“如果他知情我错了多少 × 他知情的概率”。会计视角问的是：“我每笔平均要赔多少？”答案是“如果他知情我赔多少 × 他知情的概率”。只要“错了多少”和“赔多少”是同一个数（定价误差），两个答案就一模一样。前者是精算师算的“期望赔付”，后者是会计记的“实际赔付的平均值”，在大数定律下它们必须相等，否则保费就定错了。

14.4.2 原书附录：单期模型的推导

设定：交易商认为证券的无条件价值为 \(V\)；下一个交易者是买方或卖方的概率各 \(\tfrac12\)；是知情者的概率为 \(P\)；若知情者想买，价值为 \(V+E\)，若想卖，价值为 \(V-E\)。交易商既不知道下一个人是否知情，也不知道他要买还是卖。

信息视角：给定下一个是买方，若他不知情，交易商学不到东西，估计仍为 \(V\)；若知情，价值为 \(V+E\)。所以

两者之差 \(2PE\) 就是逆向选择价差成分。

推导拆解：上面这一行省掉了一个关键步骤：为什么“看到买单”之后，对手是知情者的概率仍然是 \(P\)？ 第一步，用贝叶斯公式：\(P(\text{知情}\mid\text{买})=\dfrac{P(\text{买}\mid\text{知情})\,P}{P(\text{买})}\)。 第二步，设定里“知情者想买或想卖”各占一半（价值高、低等可能），所以 \(P(\text{买}\mid\text{知情})=\tfrac12\)；不知情者也是买卖各半，\(P(\text{买}\mid\text{不知情})=\tfrac12\)。全概率公式给出 \(P(\text{买})=\tfrac12P+\tfrac12(1-P)=\tfrac12\)。 第三步，代回：\(P(\text{知情}\mid\text{买})=\tfrac12P/\tfrac12=P\)。正因为两类人买的倾向一样，“看到一笔买单”本身不改变“他是知情者”的概率，只改变“如果知情，价值在哪一边”的判断。 第四步，用全期望公式（把期望按情形拆开再加权）：\(E[V\mid\text{买}]=P(\text{知情}\mid\text{买})\cdot E[V\mid\text{买},\text{知情}]+P(\text{不知情}\mid\text{买})\cdot E[V\mid\text{买},\text{不知情}]=P(V+E)+(1-P)V\)。第二项里，不知情者的买单与价值无关，所以条件期望还是 \(V\)。 第五步，同理 \(E[V\mid\text{卖}]=V-PE\)，相减得 \(2PE\)。 如果第二步的对称性不成立（比如知情者更可能是买方），\(P(\text{知情}\mid\text{买})\) 就不等于 \(P\)，ask 与 bid 也不再关于 \(V\) 对称，这就是练习 7 要处理的推广。

会计视角（忽略经营成本，求使交易商期望盈亏平衡的价差）：

• 下一个是卖方，交易商以 bid \(B\) 买入：卖方不知情时期望利润 \(V-B\)，知情时 \((V-E)-B\)。加权得 \((1-P)(V-B)+P(V-E-B)=V-B-PE\)。
• 下一个是买方，交易商以 ask \(A\) 卖出：不知情时 \(A-V\)，知情时 \(A-(V+E)\)。加权得 \(A-V-PE\)。（原书正文此处把知情买方对应的价值误印为 \(V-E\)，按设定应为 \(V+E\)；原书给出的结果 \(A-V-PE\) 是正确的。）
• 买卖等概率，期望利润为

令其为零，得盈亏平衡价差 \(A-B=2PE\)，与信息视角相同。

这个结果还说明了钱的流向：报价 \(A=V+PE\)、\(B=V-PE\) 时，交易商在每笔不知情交易上赚半价差 \(PE\)（概率 \(1-P\)），在每笔知情交易上亏 \(E-PE\)（概率 \(P\)），期望为 \((1-P)PE-P(E-PE)=0\)。不知情者支付的半价差，原封不动地转移给了知情者，交易商只是中介。逆向选择成分与知情者比例 \(P\) 和信息价值 \(E\) 都成正比。

推导拆解：把上面那个期望展开验算一遍：\((1-P)PE-P(E-PE)=PE-P^2E-PE+P^2E=0\)。知情者每笔平均赚 \(E-PE=(1-P)E\)，不知情者每笔平均亏 \(PE\)；按人数加权，知情者总收益 \(P(1-P)E\)，不知情者总损失 \((1-P)PE\)，两者相等。 数值例（与代码 1 第一行相同）：\(V=100\)、\(E=2\)、\(P=0.25\)。报价 \(100.5/99.5\)，价差 1。不知情者每笔亏 0.5，知情者每笔赚 1.5；每 100 笔里 75 笔不知情、25 笔知情，\(75\times0.5=25\times1.5=37.5\)。

金融直觉：这一模型也解释了为什么零售订单流值钱（第 13 章 PFOF）：如果批发商能确定某批订单的 \(P\) 接近 0，他报出的价差就可以接近只覆盖经营成本的 \(S_{TC}\)，比交易所里面对全体订单流的报价更好，同时还有利可图。

14.4.3 补充：序贯 Glosten–Milgrom 模型

（本小节是对原书附录的扩展，原模型见 Glosten 和 Milgrom 1985 年发表于 Journal of Financial Economics 的论文。）

原书的单期模型回答了"价差有多大"，但没有回答"价差如何随交易演化"。序贯模型把它推广到多笔交易。

设定：证券的真实价值 \(V\in\{V_L,V_H\}\)，在交易开始前确定，交易结束后公开。交易商当前认为 \(V=V_H\) 的概率为 \(\delta\)。每次到来一个交易者，交易一单位：以概率 \(\mu\) 是知情者，\(V=V_H\) 时买、\(V=V_L\) 时卖；以概率 \(1-\mu\) 是不知情者，买卖各半。交易商是竞争性的、风险中性的，期望利润为零。

条件概率：

报价 = 条件期望：零利润意味着 ask 必须等于"给定有人来买"时的价值期望，bid 等于"给定有人来卖"时的价值期望。由贝叶斯公式，

推导拆解：(14.3) 的每一块从哪里来。 第一步（似然）：先算“价值为高/低时出现买单的概率”。价值高时，知情者（概率 \(\mu\)）一定买，不知情者（概率 \(1-\mu\)）一半买，合计 \(\mu+\tfrac{1-\mu}{2}=\tfrac{1+\mu}{2}\)；价值低时知情者一定卖，只有不知情者的一半买，合计 \(\tfrac{1-\mu}{2}\)。这就是上面的“条件概率”。 第二步（全概率）：交易商眼中出现买单的总概率 \(P(\text{买})=\delta\cdot\tfrac{1+\mu}{2}+(1-\delta)\cdot\tfrac{1-\mu}{2}\)。 第三步（贝叶斯）：\(\delta^+=P(V_H\mid\text{买})=\dfrac{P(\text{买}\mid V_H)\,\delta}{P(\text{买})}=\dfrac{\delta\cdot\frac{1+\mu}{2}}{\delta\cdot\frac{1+\mu}{2}+(1-\delta)\cdot\frac{1-\mu}{2}}\)，分子分母同乘 2，约掉 \(\tfrac12\)，即得正文公式。\(\delta^-\) 把“买”的似然换成“卖”的似然 \(\tfrac{1-\mu}{2}\)、\(\tfrac{1+\mu}{2}\) 即可。 第四步（条件期望）：\(V\) 只有两个取值，\(E[V\mid\text{买}]=V_H\delta^++V_L(1-\delta^+)=V_L+(V_H-V_L)\delta^+\)。零利润竞争使 Ask 等于它。Bid 同理。 数值例：\(V_L=99\)、\(V_H=101\)、\(\mu=0.2\)、\(\delta=0.5\)。\(\delta^+=\frac{0.5\times1.2}{0.5\times1.2+0.5\times0.8}=0.6\)，Ask \(=99+2\times0.6=100.2\)；\(\delta^-=0.4\)，Bid \(=99.8\)。这与第 13 章导读里的数值例一致。

白话解释：贝叶斯更新还有一个更好记的“赔率”写法。把概率换成赔率 \(\delta/(1-\delta)\)（价值高对价值低的赔率），由第三步直接得到

\[\frac{\delta^+}{1-\delta^+}=\frac{\delta}{1-\delta}\times\frac{1+\mu}{1-\mu},\qquad \frac{\delta^-}{1-\delta^-}=\frac{\delta}{1-\delta}\times\frac{1-\mu}{1+\mu}.\]

也就是说，每看到一笔买单，赔率乘以固定倍数 \(\tfrac{1+\mu}{1-\mu}\)；每看到一笔卖单，除以这个倍数。\(\mu=0.2\) 时倍数是 1.5。一买一卖正好抵消，回到原来的信念。所以交易商的信念只取决于“净买单笔数”，这和第 12 章“永久冲击只依赖累计净订单流”的无操纵条件是一致的。 继续上面的数值例：一笔买单后 \(\delta=0.6\)（赔率 1.5）。下一次报价时，\(\delta^+\) 对应赔率 \(2.25\)，即 \(\delta^+=0.692\)，Ask \(=100.385\)；\(\delta^-\) 对应赔率 1，即 0.5，Bid \(=100.0\)。价差从 0.4 缩到 0.385，中心上移到约 100.19。

与原书的对应：在 \(\delta=\tfrac12\) 时，\(\delta^{\pm}=\tfrac{1\pm\mu}{2}\)，所以

令 \(V=\tfrac{V_L+V_H}{2}\)、\(E=\tfrac{V_H-V_L}{2}\)、\(P=\mu\)，这正是 \(2PE\)。

更新规则：成交后，交易商把信念更新为 \(\delta^{+}\)（若是买）或 \(\delta^{-}\)（若是卖），然后按 (14.3) 重新报价。由此得到模型的四个重要性质：

1. 交易商零期望利润。每一笔的成交价都是"给定这笔交易及以往全部历史"的价值条件期望。
2. 成交价是鞅。因为成交价 \(p_t=E[V\mid\mathcal F_t]\)，由迭代期望 \(E[p_{t+1}\mid\mathcal F_t]=p_t\)，价格变化不可预测，相邻价格变化不相关。这正是 14.3.2 节"永久性成分是随机游走"的严格表述。
3. 价差随学习收窄。价差是 \(\delta\) 的函数，在 \(\delta=\tfrac12\)（最不确定）时最大；交易越多，信念越接近 0 或 1，价差越窄。知情者比例 \(\mu\) 越大，初始价差越宽，但学习也越快。
4. 知情者的盈利 = 不知情者的亏损。交易商只是中介。

推导拆解：性质 2 和性质 3 的细节。 性质 2（鞅）：记 \(\mathcal F_t\) 为到第 \(t\) 笔为止的全部交易记录。第 \(t\) 笔成交价是在“已知此前历史 + 本笔方向”下的价值期望，即 \(p_t=E[V\mid\mathcal F_t]\)。对下一笔：\(E[p_{t+1}\mid\mathcal F_t]=E\big[E[V\mid\mathcal F_{t+1}]\mid\mathcal F_t\big]=E[V\mid\mathcal F_t]=p_t\)，中间一步是塔性质（信息只增不减，用少的信息去预测“多的信息下的预测”，等于直接用少的信息预测）。所以价格变化的条件期望为零，相邻变化不相关，代码 1 中“中间价变化自相关”约为 0 验证了这一点。 性质 3（价差收窄）：价差 \(=(V_H-V_L)(\delta^+-\delta^-)\)。由上面的赔率写法，\(\delta\) 越接近 0 或 1，乘以或除以同一个倍数造成的概率变化越小（赔率 99 乘以 1.5 是 148.5，对应概率只从 0.990 变到 0.993），\(\delta^+-\delta^-\) 越小。\(\delta=\tfrac12\) 时同样的赔率变化造成的概率变化最大，价差最宽。真实价值为 \(V_H\) 时，买单出现得更频繁（概率 \(\tfrac{1+\mu}{2}>\tfrac12\)），净买单数随交易笔数稳定增长，赔率按指数趋于无穷，\(\delta\to1\)，价差趋于零。 一个读模型时容易混淆的地方：性质 1 说交易商“每笔都不亏”，是以交易商自己掌握的信息为条件的期望：对每一笔，与不知情者成交的期望盈利正好抵消与知情者成交的期望亏损。站在知道真实价值的旁观者角度，在某一条具体路径上交易商可能明显盈利或亏损，只是在所有他无法区分的路径上平均为零。

极端情形与市场失灵：当 \(\mu\to1\) 时，价差趋于 \(V_H-V_L\)，ask 等于最高可能价值、bid 等于最低可能价值，不知情者没有任何理由交易，市场不复存在。这就是 14.9 节"市场失灵"的模型版本。

14.5 区分两个成分：Roll 模型与交易方向回归

原书指出，计量经济学家能估计两个成分，因为它们赋予价格不同的统计性质：交易成本成分使价格在 bid 与 ask 之间反弹，带来负自相关；逆向选择成分带来随机游走式的不可预测变化。最常见的方法是用每笔交易是买方还是卖方发起（交易方向，trade sign）去解释当前和未来的价格变化。原书的结论是：多数市场中，逆向选择成分占总价差的比例大于交易成本成分。 原书没有给出具体模型，下面两小节为补充内容。

14.5.1 补充：Roll 模型

Roll（1984）给出了一个只用成交价就能估计价差的方法。假设：

• 有效价格 \(m_t\) 是随机游走，其变化与交易方向无关（即没有逆向选择，\(\lambda=0\)）；
• 成交价 \(p_t=m_t+c\,q_t\)，\(q_t\) 独立同分布，以各 \(\tfrac12\) 的概率取 \(\pm1\)；半价差 \(c=s/2\)。

于是

由于 \(\Delta m_t\) 与所有 \(q\) 独立、\(\mathrm{Var}(q)=1\)，

所以

推导拆解：中间那一步只用了协方差的双线性和独立性，逐项写出来。 第一步，写出两期价格变化：\(\Delta p_t=\Delta m_t+c\,q_t-c\,q_{t-1}\)，\(\Delta p_{t-1}=\Delta m_{t-1}+c\,q_{t-1}-c\,q_{t-2}\)。 第二步，按双线性把 \(\mathrm{Cov}(\Delta p_t,\Delta p_{t-1})\) 展开成 \(3\times3=9\) 项。凡是含 \(\Delta m\) 的项都为零：\(\Delta m_t\) 与 \(\Delta m_{t-1}\) 不相关（随机游走的增量独立），\(\Delta m\) 与所有 \(q\) 独立（假设没有逆向选择）。 第三步，剩下 4 项：\(c^2[\mathrm{Cov}(q_t,q_{t-1})-\mathrm{Cov}(q_t,q_{t-2})-\mathrm{Cov}(q_{t-1},q_{t-1})+\mathrm{Cov}(q_{t-1},q_{t-2})]\)。不同时刻的 \(q\) 独立，只有第三项不为零，它是 \(-\mathrm{Var}(q_{t-1})=-1\)（\(q\) 取 \(\pm1\)，均值 0，方差 1）。 第四步，所以 \(\mathrm{Cov}=-c^2\)，\(c=\sqrt{-\mathrm{Cov}}\)，价差 \(s=2c\)。 直观上：\(q_{t-1}\) 同时出现在两期价格变化里，在前一期带正号（价格从中点跳到 ask），在后一期带负号（从 ask 跳回中点），这个“共享的一跳”造成负自协方差。用数字看：中点不动、半价差 0.05 时，一笔从 bid 到 ask 的变化 \(+0.10\) 后，下一笔变化只可能是 0（又一笔买）或 \(-0.10\)（一笔卖），平均 \(-0.05\)，确实倾向于反转。

推导拆解：有逆向选择时的协方差 \(-c(c+\lambda)\)。由 (14.2)，\(\Delta p_t=\Delta m_t+c(q_t-q_{t-1})=(\lambda+c)q_t-c\,q_{t-1}+\varepsilon_t\)，同理 \(\Delta p_{t-1}=(\lambda+c)q_{t-1}-c\,q_{t-2}+\varepsilon_{t-1}\)。两式中唯一共享的随机变量是 \(q_{t-1}\)，系数分别是 \(-c\) 和 \(\lambda+c\)，所以 \(\mathrm{Cov}=-c(\lambda+c)\mathrm{Var}(q_{t-1})=-c(c+\lambda)\)。Roll 估计量 \(2\sqrt{c(c+\lambda)}\) 是 \(2c\) 与 \(2(c+\lambda)\) 的几何平均，必然夹在两者之间。代码 2 中 \(c=0.03\)、\(\lambda=0.02\)，得 \(2\sqrt{0.0015}\approx0.0775\)。

它估计的到底是什么：若存在逆向选择，按 (14.2) 有 \(\Delta p_t=(\lambda+c)q_t-c\,q_{t-1}+\varepsilon_t\)，此时

Roll 估计量变成 \(2\sqrt{c(c+\lambda)}\)，介于暂时性价差 \(2c\) 与总有效价差 \(2(c+\lambda)\) 之间。也就是说，Roll 模型主要捕捉买卖反弹，系统性地低估存在逆向选择时的总价差。另一个实际问题是：样本自协方差为正时，公式无定义，这在日频数据中很常见。

14.5.2 补充：用交易方向回归分解价差

若能观察到交易方向 \(q_t\)（有逐笔数据时可用 Lee–Ready 等算法推断），可以直接对 (14.2) 做回归：

于是 \(\hat c=-\hat\beta_2\)，\(\hat\lambda=\hat\beta_1+\hat\beta_2\)，逆向选择占半价差的比例为 \(\hat\lambda/(\hat\lambda+\hat c)\)。这是 Glosten–Harris（1988）、Huang–Stoll（1997）等一类模型的最简形式；实际研究中还会加入交易规模、订单流自相关等项。

推导拆解：回归系数为什么能读出两个成分，以及方向误判为什么造成衰减。 第一步，上一个讲解框已得到 \(\Delta p_t=(\lambda+c)q_t-c\,q_{t-1}+\varepsilon_t\)。把它与回归式逐项对照，\(\beta_1=\lambda+c\)，\(\beta_2=-c\)，误差项就是公共信息 \(\varepsilon_t\)。 第二步，OLS 能正确估计这两个系数，需要自变量与误差项无关：\(q_t\)、\(q_{t-1}\) 与 \(\varepsilon_t\) 独立，且 \(q_t\) 与 \(q_{t-1}\) 互不相关（这里假设交易方向独立同分布）。 第三步，解出 \(c=-\beta_2\)，\(\lambda=\beta_1-c=\beta_1+\beta_2\)。 第四步（误判）：若观察到的方向 \(\tilde q_t\) 以概率 \(f\) 与真实方向相反，则 \(\mathrm{Cov}(\tilde q_t,q_t)=(1-f)\cdot1+f\cdot(-1)=1-2f\)，而 \(\mathrm{Var}(\tilde q_t)=1\)。用 \(\tilde q\) 回归时，每个系数都乘以 \(\mathrm{Cov}(\tilde q,q)/\mathrm{Var}(\tilde q)=1-2f\)。\(f=0.2\) 时乘以 0.6，正是代码 2 最后一行的结果。由于两个系数按同一比例缩小，\(\lambda/(\lambda+c)\) 不受影响。这与 CFA 二级回归里“自变量有测量误差导致系数向零偏”是同一种现象。

金融直觉：用这个回归可以给自己的执行做“体检”。拿自己的成交记录（方向确定、无需推断），对成交后的中间价变化回归：若永久成分 \(\lambda\) 占比很高，说明你的订单在市场眼里“像知情者”，冲击会留在价格里，大单要更耐心地拆；若暂时成分 \(c\) 占比高，说明你主要在支付流动性费用，价格会反弹，挂限价单等待更划算。

14.6 本书最重要的一课：不知情者为什么总会输

逆向选择解释了为什么不知情者无论用什么订单都会输给知情者。

用限价单：

• 如果 bid 定得过高或 offer 定得过低，订单很快成交，因为知情者急于和它交易，事后不知情者后悔成交（像交易商一样直接遭受逆向选择）；
• 如果和知情者站在同一侧竞争，限价单常常不成交；知情者通常判断正确，价格会远离限价单，不知情者后悔没成交。

用市价单：保证成交，但交易商已经把价差加宽了，以便从不知情者身上收回输给知情者的部分。逆向选择价差实际上是交易商向市价单交易者收取的、承担逆向选择风险的费用。

不知情者输，并不是因为系统性地站错了边：即使抛硬币决定方向，也有一半时间是对的，但成交成本使他们平均亏损。

表 14-1 不知情者无论如何交易都倾向于输给知情者

结论：不知情者唯一避免输钱的办法是不交易。 对量化交易者，这条结论的含义很具体：一个没有 alpha 的再平衡交易，期望收益就是负的半价差加冲击成本；换手本身就是成本，任何策略都要先证明其信号的期望收益能覆盖它。

14.7 指令驱动市场中的均衡价差

在连续指令驱动拍卖市场里，没有专门的交易商，价差由交易者自己选择限价单还是市价单决定。分析基础是 Cohen、Maier、Schwartz 和 Whitcomb（1981）关于均衡价差的论文。回顾第 04a 章：市价单立即成交但支付价差；限价单若成交则价格好，但市场离开时可能不成交，届时若仍想交易，只能改用更激进的订单，结果可能比一开始就用市价单更差。

14.7.1 理想情形：均衡价差为零

先做一组极不现实的假设：所有交易者本质相同（交易规模相同，无人更知情，无人风险厌恶，不看重时间，不急于交易）；人人瞬间得知价值变化但无人能预测；可瞬间、零成本地下单和撤单；佣金与订单类型无关。唯一的差别是有人想买、有人想卖。

两个推论：

1. 选择订单策略时只关心期望交易成本；
2. 每笔成交价都等于当前价值：限价单交易者知道价值并可免费撤改单，会持续调整限价；市价单交易者无法以偏离价值的价格成交。

于是市价单的期望成本恰为半个价差（择时无利可图）。均衡要求两种策略同样有吸引力，否则人人都选更好的那种：价差太窄，人人用市价单，没人挂单；太宽，人人挂单，没人成交。

结论：此时均衡价差为零。 推理是：交易是零和的，限价单交易者的期望成本恰等于市价单交易者的期望利润；均衡要求两种策略的期望成本相等，所以都为零；市价单的期望成本是半个价差，所以价差为零。

推导拆解：把这个论证写成两行代数。记半价差为 \(h\)。市价单交易者相对价值多付 \(h\)，成本为 \(+h\)；与之成交的限价单交易者相对价值多赚 \(h\)，成本为 \(-h\)（零和）。均衡要求两种策略成本相等：\(h=-h\)，所以 \(h=0\)。 加入佣金差后同样做：市价单成本 \(h+C_M\)，限价单成本 \(-h+C_L\)（\(C_M\)、\(C_L\) 分别为市价单和限价单佣金），令两者相等得 \(2h=C_L-C_M\)，价差 \(S^*=2h=C_L-C_M\)，即下面 14.7.2 的第一个公式。 这种“让两个可选策略的期望成本相等”的论证，与 CFA 里用“无差异”求解远期价格、利率平价的思路相同：如果一边更便宜，所有人都会涌向那一边，直到价格调整到两边无差异。

原书在这里插了一个"经济学家与开罐器"的笑话：荒岛上三个饥饿的人要开罐头，化学家建议加热，工程师建议用石头砸，经济学家说"假设我们有一个开罐器……"。不现实的假设是为了构造一个能完全理解的基准，然后逐一替换成现实的假设，看结果如何变化。下面就这样做。

14.7.2 逐一放松假设

差别佣金：若限价单佣金高于市价单，没有补偿就没人挂单。均衡时价差必须扩大，使两类交易者平摊佣金差：市价单成本为半个价差，须等于佣金差的一半，所以

原书的边栏"对报价价差的操纵"由此推出：只对市价单收佣金的市场，报价价差会恰好收窄"佣金差"那么多，但这不改变交易者的实际成本。只有能控制全体买卖双方佣金的市场（经营自己市场的经纪人、能规定佣金的交易所）才能这样做。当时 Cantor Fitzgerald 的子公司 eSpeed 在政府债券市场只对市价单收佣金；Archipelago 等 ECN 也对两类订单收不同费用。这就是今天 maker-taker 收费模式的雏形。

现状补充：maker-taker（对挂单方返佣、对吃单方收费）已是美国股票交易所的主流收费模式。Reg NMS 规则 610 长期把访问费上限定为每股 0.3 美分；2024 年 SEC 修订 Reg NMS，下调了这一上限，并对部分报价价差很窄的股票引入半美分的最小报价单位。按本节的逻辑，比较不同交易所的报价价差时，应使用含费后的价差。

昂贵的限价单管理：现实中撤单重下有成本（撤单费、注意力的机会成本），限价单交易者只在价值显著偏离限价时才调整。更重要的是，不持续更新的限价单向市价单交易者赠送了有价值的择时期权（timing option）：想买的市价单交易者可以等着看，若价值涨过某张卖出限价单的限价，就按限价买入赚差价；若价值下跌，就等卖方降价。择时期权让限价单交易者遭受一种逆向选择：成交时后悔没改价，没成交时后悔没成交。从这个意义上，市价单交易者"更知情"，因为他们掌握的信息比限价单交易者设定限价时更新。

择时期权在两种情况下最有价值：市价单交易者反应快于限价单交易者；竞争行使同一期权的市价单交易者少。均衡价差为

因为价差是用两笔市价单完成一次往返的总成本，均衡必须补偿限价单交易者赠出的择时期权，并让两类交易者平摊管理成本。现实中限价单交易者无法在最优时刻瞬间改价：注意力成本、下单路由延迟都使择时期权更值钱。所以撤单越慢，均衡价差越宽；品种越波动，择时期权越值钱，均衡价差也越宽。

金融直觉：(14.5) 中的“2 倍”来自期权的两条腿。一张挂在 ask 的卖出限价单，等于向全市场免费卖出一张执行价为 ask 的看涨期权（价值涨过 ask 时，谁都可以按 ask 买走）；挂在 bid 的买入限价单，等于免费卖出一张执行价为 bid 的看跌期权。价差是一次完整往返的成本，覆盖买卖两边，所以要补偿两张期权。期权价值随波动率和期限上升：期限在这里就是“限价单交易者发现价值变化、撤单改价所需的时间”。撤单延迟从 1 秒降到 1 毫秒，相当于把期权期限缩短了 1000 倍，期权价值大约按 \(\sqrt{T}\) 缩小（布朗运动下价值偏离的幅度与 \(\sqrt{T}\) 成正比），这就是做市商愿意为低延迟花大钱的原因。

例 14.1（简单择时期权）：合约价值 20 美元，接下来 5 分钟价值可能不变、涨 12 美分或跌 12 美分，各 \(\tfrac13\)。

• Lisbet 挂了限价 20 的卖单；
• Mark 是对价格不敏感的市价单买方，5 分钟内到达的概率为 \(\tfrac12\)，与价值变化无关；
• Tim 伺机行使择时期权：若价值上涨而 Mark 未先到，就从 Lisbet 处买入；
• Dieter 是交易商，总愿以低于当前价值 6 美分的价格买入；5 分钟后若 Lisbet 未成交，她就卖给 Dieter。

无 Tim：\(\tfrac12\) 概率卖给 Mark 得 20；否则卖给 Dieter，价值跌、不变、涨时分别得 19.82、19.94、20.06，平均 19.94。期望卖价 \((20+19.94)/2=19.97\)。

有 Tim：Mark 不来时，价值跌得 19.82（Dieter），不变得 19.94（Dieter），涨则被 Tim 以 20.00 买走，平均 19.92。期望卖价 \((20+19.92)/2=19.96\)。

Tim 的期望利润是 \(\tfrac13\times\tfrac12\times12=2\) 美分。其中 1 美分来自 Lisbet：她在 \(\tfrac16\) 的时间里（价值上涨且 Mark 未到）以 20 而不是 20.06 成交，\(\tfrac16\times6=1\) 美分。（原书此处误写为"Mark arrives"。）另 1 美分来自 Dieter：无 Tim 时 Dieter 以 \(\tfrac12\) 的概率成交、每次赚 6 美分，期望 3 美分；有 Tim 时只在 Mark 不来且价值跌或不变时成交（概率 \(\tfrac13\)），期望 2 美分。也就是说，Tim 一半是在对 Lisbet 行使择时期权，一半是在 Dieter 的报价前面做报价匹配。

时间价值与风险厌恶：交易者看重时间时，限价单策略更费时、更贵，均衡价差必须扩大。所以价差就是即时性的价格，交易员说"市价单交易者买时间，限价单交易者卖时间"。风险方面，限价单交易者面临不成交的执行风险，市价单交易者面临成交价意外的价格风险。对小交易者限价单风险更大，对大交易者市价单风险可能更大。内部价差处的挂单量往往很小，可以合理推断内部价差主要由小交易者设定，所以限价单执行风险对价差的影响可能更强。均衡时，最风险厌恶、最看重时间的人用市价单，最能承受风险、监控成本最低的人用限价单。

原书还介绍了两类降低限价单成本的工具：指数化（浮动）限价单（indexed / floating limit orders，按指定指数自动调整限价，今天的盯住订单 pegged orders 即此类）和自动限价单管理系统（如 ITG 的 Quantex，可编程实现"限价单在指定时间后未成交即改为市价单"等规则）。它们降低了挂单成本，从而降低均衡价差。

价值估计的共同不确定性：只要所有人总是同样知情，结论不变。唯一的例外涉及波动率：条件期望的方差不超过原变量的方差，\(\mathrm{Var}(E[V\mid\mathcal F])\le\mathrm{Var}(V)\)，所以价值估计的波动率低于价值本身的波动率，模型推出"交易者对价值了解越少，价差越小"。这与现实（价值不确定时价差通常更大）相反，差别在于现实中信息是不对称分布的。

白话解释：\(\mathrm{Var}(E[V\mid\mathcal F])\le\mathrm{Var}(V)\) 来自“总方差分解”：\(\mathrm{Var}(V)=\mathrm{Var}(E[V\mid\mathcal F])+E[\mathrm{Var}(V\mid\mathcal F)]\)，即总波动 = 可解释的波动 + 剩余的不确定性，后一项非负。和回归里“总平方和 = 回归平方和 + 残差平方和”是一回事。信息越少，你的估计越“平滑”，越少随新信息跳动；而择时期权的价值取决于估计的跳动幅度，所以在“人人同样无知”的世界里，择时期权反而更不值钱。现实中价差随不确定性扩大，说明起作用的是信息不对称，而不是不确定性本身。

信息不对称：知情者之间互相竞争，都必须快速交易，所以知情者倾向于用市价单。这使限价单交易者遭受逆向选择：站错边的限价单迅速成交，站对边的不成交。均衡价差必须为此额外扩大，这部分就是逆向选择价差。对多数品种，信息不对称程度与交易者的估值能力成反比：多数人估值很差时，能估好的人优势巨大。所以多数人难以估值的品种，价差更宽。

表 14-2 连续指令驱动市场中均衡价差的决定因素

小结：所有交易者相同时，均衡价差使他们在两种策略间无差异；交易者不同时，均衡价差使流动性供给等于需求。平均而言，限价单策略的成交价略优于市价单策略，因为市价单交易者必须补偿限价单交易者额外付出的管理时间、价格风险和择时期权。

14.8 公共交易者与交易商竞争

两者的竞争并不对等：

• 公共限价单交易者没有交易商的经营成本，可以报更激进的价格。决心成交的公共交易者可能用激进定价的限价单代替市价单，由此形成的价差可能小到交易商无法覆盖成本，把交易商挤出市场。
• 但交易商看到的订单流更多，改价通常也更快。在价差极窄的市场中，交易商可以靠分析订单流发现的投机机会生存，尤其是报价匹配、订单预期、择时等公共交易者无法识别或无法足够快实施的策略（第 11、24 章）。交易商越多地使用这些策略，限价单对公共交易者越没有吸引力，公共交易者更多改用市价单，价差反而比交易商不利用订单流时更宽。

这段分析几乎就是今天高频做市商与普通挂单者关系的写照。

14.9 横截面价差预测

14.9.1 三个主要决定因素

价差的三个主要决定因素是：交易者间的信息不对称、波动率、功利性交易兴趣（utilitarian trading interest，第 08 章：功利型交易者因交易带来的利润以外的好处而交易）。知道这三者，就能预测价差。难点在于只有波动率容易测量，另外两个都不能直接观测，必须从可观察的特征推断，这些特征称为次要决定因素。原书幽默地说，实证经济学就是经济学家努力让大家相信自己找到了好的代理变量（proxy）的竞赛。

比较不同证券时要用相对价差 = 价差 / 价格：1 美元股票 10 美分价差（10%）比 100 美元股票 1 美元价差（1%）贵得多。

• 信息不对称：知情者掌握重大信息时价差最宽。
• 波动率：波动增加限价单的期权价值；使可分散存货风险对风险厌恶的交易商更可怕，需要风险溢价；还是信息不对称的良好代理，因为基本面变化快的品种难以估值。所以波动品种的逆向选择成分一般较大。
• 功利性交易兴趣：没有功利型交易者就没有市场，纯逐利的交易者彼此交易不可能都赚钱。功利性兴趣通过两条途径收窄价差：兴趣强则市场活跃；功利型交易者不知情，稀释了订单流中的信息。市场活跃使价差变窄的原因有四：固定成本摊到更多成交量上；存货失衡能迅速转移，存货风险小；限价单成交概率高、赠出的择时期权价值低（很多人竞争行使），公共交易者更愿意挂单；不活跃市场容纳不了很多交易商，交易商可能有定价权。

三者并不独立：信息不对称高 → 价差宽 → 劝退不知情投资者 → 成交量下降 → 价差更宽。

14.9.2 次要决定因素（代理变量）

表 14-3 横截面相对价差的代理变量

几个边栏值得一提：

• 德国 GAAP 与美国 GAAP：德国公司历来使用的会计准则允许大量隐藏准备金平滑利润，分析师难以准确估值，所以其股票价差应更宽。NYSE 当时要求上市公司使用美国 GAAP 或基本相似的准则。
• 为什么美联储主席的讲话很少有意思：宏观合约价差很窄，因为很少有人对利率有可靠的私人信息；唯一可能准确预测利率的是美联储主席和 FOMC 成员，他们不能利用这些信息交易，也不想透露任何能让人预测利率走向的东西。
• 橙汁期货：寒潮南下佛罗里达时，气象学家和当地农民有信息优势，期货价差扩大。

现状补充：欧盟自 2005 年起要求上市公司合并报表采用国际财务报告准则（IFRS）；SEC 于 2007 年起允许外国私人发行人直接用 IFRS 报告而无需调节到美国 GAAP。原书的会计准则对比如今已基本成为历史，但"信息披露质量影响价差"的结论仍然成立。

原书提醒，次要因素之间常常相关，分类也有些随意（如公司规模与投资者兴趣正相关、与波动率负相关）。例如，新兴行业因信息不对称应当价差更宽，但新兴行业常有大量投资兴趣，带来大成交量和更窄的价差。因素相关时，需要用多元回归来分离相互冲突的效应，下面的量化实战会演示。

14.9.3 流动性与资本结构：市场失灵

信息不对称特别严重或功利性兴趣极小时，价差可能宽到没人交易：交易商预期输给知情者的损失（以及为避免损失而研究价值的成本）大于交易收入，就不会做市。经济学家称之为市场失灵（market failure），意思不是市场出了故障，而是市场根本不存在。这正是序贯 Glosten–Milgrom 模型中 \(\mu\to1\) 的情形。

市场失灵解释了小企业为什么很少发行公开交易的股票：投资者不会买无法交易的股票。小企业只能向银行（私人债务）和风险投资（私募股权）融资，这些机构花大量时间做尽职调查，并对管理层施加限制，最重要的是监督权，而这只有在保密、互信的私人关系中才可行。原书的例子是 Tommy 的汉堡店：单店小生意想扩张，投行朋友告诉他几乎没人会买他的股票，因为交易商害怕与更知情者交易而不会做市；最后他从为他提供结算服务的银行融到了钱，银行可以持续监控他的支票账户。

量化实战

本章是量化交易中交易成本建模的理论基础，用途至少有五个：

1. 回测中的成本假设：至少用"相对半价差 + 冲击"计算成本；高频回测中要用中间价而不是成交价计算收益，否则买卖反弹会制造虚假的负自相关和虚假的反转 alpha。
2. 交易成本模型：横截面价差预测（规模、成交量、波动率、分析师覆盖、财报窗口）可以直接作为成本模型的解释变量，用于组合优化中的成本惩罚项和策略容量估计。财报前后价差扩大，意味着事件驱动策略在这些窗口的执行成本更高。
3. 限价 vs 市价的决策：均衡价差模型给出"何时挂单、何时吃单"的框架。挂单的期望收益必须覆盖择时期权损失（被更快的人"挑走"）和不成交风险。撤单延迟和波动率决定挂单的期望 markout，这正是高频交易追求低延迟的经济原因；Tim 的例子就是"陈旧报价狙击"（stale quote sniping）。
4. 做市报价：(14.1)–(14.3) 就是做市报价的骨架：中心 = 价值估计，半价差 = 半个交易成本成分 + 半个逆向选择成分，成交后按 \(\lambda q_t\) 移动中心。Glosten–Milgrom 给出了 \(\lambda\) 的贝叶斯基础。
5. 微观结构计量：Roll 估计、交易方向回归、Hasbrouck 向量自回归、PIN/VPIN 等指标都建立在本章暂时性/永久性成分的区分之上。

代码 1：Glosten–Milgrom，从单期到序贯

import numpy as np
import pandas as pd

# ---------- (1) Harris 附录的单期模型：两种视角给出同一个价差 2PE ----------
V, E, P = 100.0, 2.0, 0.25
ask_info = (1 - P) * V + P * (V + E)          # 信息视角：E[V | 买]
bid_info = (1 - P) * V + P * (V - E)          # 信息视角：E[V | 卖]
def dealer_profit(A, B):                      # 会计视角：交易商期望利润
    sell_to_buyer = (1 - P) * (A - V) + P * (A - (V + E))
    buy_from_seller = (1 - P) * (V - B) + P * ((V - E) - B)
    return 0.5 * sell_to_buyer + 0.5 * buy_from_seller
print(f"信息视角价差 = {ask_info - bid_info:.3f}；2PE = {2*P*E:.3f}；"
      f"以 V±PE 报价时交易商期望利润 = {dealer_profit(V + P*E, V - P*E):.1e}")

# ---------- (2) 序贯 Glosten–Milgrom 模型 ----------
def gm_quotes(delta, mu, VL, VH):
    """delta = P(V=VH)。知情者比例 mu，不知情者买卖各半。
    返回 bid, ask 以及成交后的后验 P(VH|买)、P(VH|卖)。"""
    pb_H, pb_L = mu + (1 - mu) / 2, (1 - mu) / 2          # P(买|VH), P(买|VL)
    pH_buy = delta * pb_H / (delta * pb_H + (1 - delta) * pb_L)
    pH_sell = delta * (1 - pb_H) / (delta * (1 - pb_H) + (1 - delta) * (1 - pb_L))
    return VL + (VH - VL) * pH_sell, VL + (VH - VL) * pH_buy, pH_buy, pH_sell

def simulate_gm(mu, VL=99.0, VH=101.0, n_trades=60, n_paths=20000, seed=14):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    spreads = np.zeros((n_paths, n_trades))
    mids = np.zeros((n_paths, n_trades + 1))
    gain = {"知情者": [], "不知情者": []}
    for i in range(n_paths):
        Vtrue = VH if rng.random() < 0.5 else VL
        delta = 0.5
        mids[i, 0] = VL + (VH - VL) * delta
        for t in range(n_trades):
            bid, ask, pHb, pHs = gm_quotes(delta, mu, VL, VH)
            spreads[i, t] = ask - bid
            if rng.random() < mu:
                who, buy = "知情者", Vtrue == VH
            else:
                who, buy = "不知情者", rng.random() < 0.5
            price = ask if buy else bid
            gain[who].append((Vtrue - price) if buy else (price - Vtrue))
            delta = pHb if buy else pHs                         # 贝叶斯更新
            mids[i, t + 1] = VL + (VH - VL) * delta
    gi, gu = np.array(gain["知情者"]), np.array(gain["不知情者"])
    dealer = -(gi.sum() + gu.sum()) / (n_paths * n_trades)
    d = np.diff(mids, axis=1)
    rho = np.corrcoef(d[:, 1:].ravel(), d[:, :-1].ravel())[0, 1]
    sp = spreads.mean(axis=0)
    return dict(mu=mu, 价差_第1笔=sp[0], 价差_第10笔=sp[9], 价差_第40笔=sp[39],
                交易商每笔=dealer, 知情者每笔=gi.mean(), 不知情者每笔=gu.mean(),
                中间价变化自相关=rho)

pd.set_option("display.width", 200)
print(pd.DataFrame([simulate_gm(mu) for mu in [0.1, 0.3, 0.5]]).round(4).to_string(index=False))

输出：

信息视角价差 = 1.000；2PE = 1.000；以 V±PE 报价时交易商期望利润 = 0.0e+00
 mu  价差_第1笔  价差_第10笔  价差_第40笔   交易商每笔  知情者每笔  不知情者每笔  中间价变化自相关
0.1     0.2   0.1834   0.1422  0.0006 0.7024 -0.0786    0.0005
0.3     0.6   0.3044   0.0511 -0.0002 0.1737 -0.0743   -0.0014
0.5     1.0   0.1738   0.0014 -0.0000 0.0470 -0.0469   -0.0021

解读：

1. 第一行验证了原书附录：\(P=0.25\)、\(E=2\) 时两种视角都给出价差 \(2PE=1\)，以 \(V\pm PE\) 报价时交易商期望利润恰为零。
2. 首笔价差恰为 \(\mu(V_H-V_L)\)，与 \(2PE\) 对应。
3. 价差随交易收窄，知情者越多收窄越快：\(\mu=0.5\) 时第 40 笔价差几乎为零，因为交易商已基本确定了真实价值。
4. 交易商每笔利润约为零（模拟误差内），知情者赚的就是不知情者亏的：以 \(\mu=0.1\) 为例，\(0.1\times0.7024\approx0.9\times0.0786\approx0.07\)。
5. 中间价变化自相关约为零：价格是鞅，逆向选择造成的价格变化是永久的。
6. 一个容易忽略的细节：\(\mu\) 越大，不知情者的每笔平均亏损在这 60 笔里反而更小。原因是知情者多时交易商学得快，价格很快接近真实价值，后面的交易价差很窄。不知情者最吃亏的，是信息刚出现、价格还远未反映信息的那段时间。

代码 2：Roll 模型与价差分解回归

按 (14.2) 模拟逐笔数据：暂时性半价差 \(c=0.03\)，永久冲击 \(\lambda=0.02\)。

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(140)
N = 100_000
c, lam, sig = 0.03, 0.02, 0.02     # 暂时性半价差、永久冲击（逆向选择）、公共信息噪声
q = rng.choice([-1, 1], N)          # 交易方向：买 +1，卖 -1
m = 50 + np.cumsum(lam * q + rng.normal(0, sig, N))   # 有效价格（成交后的中间价）
p = m + c * q                                          # 成交价
dp = np.diff(p)

def roll(dp):
    cov = np.cov(dp[1:], dp[:-1])[0, 1]
    return 2 * np.sqrt(-cov) if cov < 0 else np.nan

print(f"真实有效价差 2(c+λ) = {2*(c+lam):.4f}；暂时性部分 2c = {2*c:.4f}")
print(f"理论 Roll 值 2√(c(c+λ)) = {2*np.sqrt(c*(c+lam)):.4f}；样本 Roll 估计 = {roll(dp):.4f}")

# 纯买卖反弹情形（λ=0）：Roll 估计应恢复 2c
m0 = 50 + np.cumsum(rng.normal(0, sig, N))
print(f"λ=0 时样本 Roll 估计 = {roll(np.diff(m0 + c*q)):.4f}（真值 {2*c:.4f}）")

# 用交易方向回归分解价差：Δp_t = (λ+c) q_t − c q_{t−1} + e_t
X = np.column_stack([q[1:], q[:-1]])
res = sm.OLS(dp, X).fit()
b1, b2 = res.params
c_hat, lam_hat = -b2, b1 + b2
print(f"\n回归系数 b1={b1:.4f} (理论 {lam+c:.3f}), b2={b2:.4f} (理论 {-c:.3f})")
print(f"估计 c = {c_hat:.4f}，λ = {lam_hat:.4f}；逆向选择占半价差比例 = {lam_hat/(lam_hat+c_hat):.2%}"
      f"（真值 {lam/(lam+c):.0%}）")

# 交易方向误判 20% 时的影响
flip = rng.random(N) < 0.20
q_obs = np.where(flip, -q, q)
res2 = sm.OLS(dp, np.column_stack([q_obs[1:], q_obs[:-1]])).fit()
print(f"20% 方向误判时：估计 c = {-res2.params[1]:.4f}，λ = {res2.params.sum():.4f}")

输出：

真实有效价差 2(c+λ) = 0.1000；暂时性部分 2c = 0.0600
理论 Roll 值 2√(c(c+λ)) = 0.0775；样本 Roll 估计 = 0.0769
λ=0 时样本 Roll 估计 = 0.0596（真值 0.0600）

回归系数 b1=0.0501 (理论 0.050), b2=-0.0300 (理论 -0.030)
估计 c = 0.0300，λ = 0.0200；逆向选择占半价差比例 = 40.02%（真值 40%）
20% 方向误判时：估计 c = 0.0178，λ = 0.0121

结论：没有逆向选择时 Roll 估计准确；有逆向选择时它落在 \(2c\) 与 \(2(c+\lambda)\) 之间，低估了总价差。交易方向回归能准确分离两个成分。最后一行提醒：交易方向推断有误差时，两个系数都会按 \(1-2\times\)误判率（这里是 0.6）被衰减，各成分的绝对值被低估，但两者的比例不受影响。实际研究中，Lee–Ready 算法的误判率不可忽视，这一点要心中有数。

代码 3：择时期权例子的精确计算

from itertools import product
from fractions import Fraction as F

# 原书"简单择时期权例子"：价值 20，5 分钟内变为 19.88 / 20 / 20.12，各 1/3；
# Mark（不看价格的市价买单）到达概率 1/2；Dieter 总以"当前价值 - 0.06"买入。
values = [F(1988, 100), F(20), F(2012, 100)]
def outcome(with_tim):
    lis = tim = die = F(0)
    for v, mark in product(values, [True, False]):
        pr = F(1, 3) * F(1, 2)
        if mark:                                   # Mark 先到，以 20 买走
            lis += pr * 20
        elif with_tim and v > 20:                  # Tim 行使择时期权
            lis += pr * 20; tim += pr * (v - 20)
        else:                                      # 5 分钟后卖给 Dieter
            lis += pr * (v - F(6, 100)); die += pr * F(6, 100)
    return lis, tim, die
for flag in [False, True]:
    lis, tim, die = outcome(flag)
    print(f"{'有' if flag else '无'} Tim：Lisbet 期望卖价 {float(lis):.4f}，"
          f"Tim 期望利润 {float(tim)*100:.1f} 美分，Dieter 期望利润 {float(die)*100:.1f} 美分")

输出：

无 Tim：Lisbet 期望卖价 19.9700，Tim 期望利润 0.0 美分，Dieter 期望利润 3.0 美分
有 Tim：Lisbet 期望卖价 19.9600，Tim 期望利润 2.0 美分，Dieter 期望利润 2.0 美分

与例 14.1 完全一致：Tim 的 2 美分中，Lisbet 和 Dieter 各贡献 1 美分。

代码 4：横截面价差模型（交易成本模型的雏形）

下面用模拟的横截面数据演示如何把 14.9 节的预测变成成本模型。数据生成机制是假设的，系数符号按本章的横截面预测设定，目的是演示方法，而不是给出真实市场的系数。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.formula.api as smf

rng = np.random.default_rng(1406)
n = 3000
log_mcap = rng.normal(9, 1.5, n)                              # 对数市值
log_vol = 0.8 * log_mcap + rng.normal(0, 0.8, n)              # 对数成交额，与规模相关
log_sigma = -3.5 - 0.15 * (log_mcap - 9) + rng.normal(0, 0.3, n)   # 对数日波动率，大公司更低
analysts = rng.poisson(np.exp(0.4 * (log_mcap - 7)))          # 分析师覆盖数
earn = rng.random(n) < 0.08                                   # 处于财报窗口
# 假设的"真实"相对价差生成机制（单位：基点），符号与第 14 章的横截面预测一致
log_rs = (2.0 - 0.25 * (log_mcap - 9) - 0.20 * (log_vol - 7.2) + 0.60 * (log_sigma + 3.5)
          - 0.10 * np.log1p(analysts) + 0.15 * earn + rng.normal(0, 0.25, n)) + np.log(10)
df = pd.DataFrame(dict(log_rs=log_rs, log_mcap=log_mcap, log_vol=log_vol,
                       log_sigma=log_sigma, log_analysts=np.log1p(analysts), earn=earn.astype(int)))

full = smf.ols("log_rs ~ log_mcap + log_vol + log_sigma + log_analysts + earn", df).fit()
only_size = smf.ols("log_rs ~ log_mcap", df).fit()
print(full.params.round(3).to_string())
print(f"R2 = {full.rsquared:.3f}；只用规模时 log_mcap 系数 = {only_size.params['log_mcap']:.3f}"
      f"（吸收了成交量、波动率、覆盖度的效应）")

# 用模型预测两只股票的相对半价差（基点），作为回测/优化中的成本输入
new = pd.DataFrame(dict(log_mcap=[11.0, 7.0], log_vol=[9.0, 5.0], log_sigma=[-3.9, -3.0],
                        log_analysts=[np.log1p(20), np.log1p(1)], earn=[0, 1]))
half_bp = np.exp(full.predict(new)) / 2
print("预测相对半价差（bp）：大盘股 %.1f，小盘股（财报窗口）%.1f" % tuple(half_bp))

输出：

Intercept       10.084
log_mcap        -0.251
log_vol         -0.197
log_sigma        0.599
log_analysts    -0.108
earn             0.171
R2 = 0.916；只用规模时 log_mcap 系数 = -0.531（吸收了成交量、波动率、覆盖度的效应）
预测相对半价差（bp）：大盘股 9.0，小盘股（财报窗口）141.3

截距的数值只是生成机制中常数项的合并，没有经济含义。要点有两个：多元回归能恢复各因素的独立效应；只用规模一个变量时，其系数（−0.531）是真实规模效应（−0.25）的两倍多，因为它吸收了与规模相关的成交量、波动率和覆盖度效应。这正是原书提醒的"次要因素彼此相关"。在真实应用中，把预测的相对半价差加上冲击项，就得到组合优化中每只股票的单位换手成本。

本章小结

价差是即时性的价格，由交易成本成分（暂时性，产生买卖反弹和负自相关）和逆向选择成分（永久性，随机游走）组成，实证上多数市场以后者为主。Glosten–Milgrom 定理指出，逆向选择成分既是"以下一笔方向为条件的价值估计之差"，也是"从不知情者收回输给知情者损失所需的价差"，简单模型中二者都等于 \(2PE\)；序贯模型中报价是贝叶斯条件期望，价差随学习收窄，成交价是鞅，知情者的盈利就是不知情者的亏损。Roll 模型用成交价负自协方差估计价差，但在存在逆向选择时会低估；交易方向回归可以分离两个成分。不知情者无论用限价单还是市价单都会输，换手本身就是成本。指令驱动市场的均衡价差在理想条件下为零，现实中由佣金差、限价单管理成本、择时期权、时间价值、风险厌恶和信息不对称共同决定，撤单速度、波动率和信息不对称最重要。横截面上，信息不对称、波动率、功利性交易兴趣通过众多代理变量决定相对价差，极端情况下市场不复存在。

练习

基础题

1. 某交易商估计 \(V_0=50\)，交易成本成分 \(S_{TC}=0.04\)，逆向选择成分 \(S_{AS}=0.06\)。写出 bid 和 ask；若下一笔是买单且交易商没学到别的，新的 bid 和 ask 是多少？ 答案要点：49.95/50.05；买单后 \(V_1=50.03\)，新报价 49.98/50.08。
2. 在原书附录模型中，\(V=40\)，\(E=1\)，知情者比例 \(P=0.2\)。求逆向选择价差。若交易商把价差定为 0.3，他的期望利润是多少？ 答案要点：\(2PE=0.4\)；期望利润 \(\tfrac12(0.3)-0.2=-0.05\)，每笔亏 5 美分。
3. 证明 Roll 模型中 \(\mathrm{Cov}(\Delta p_t,\Delta p_{t-1})=-c^2\)。若某股票日收益（价格变化）自协方差为 \(-0.0004\)，Roll 估计的价差是多少？ 答案要点：\(2\sqrt{0.0004}=0.04\)。
4. 用表 14-1 说明，一个随机决定买卖方向的交易者为什么平均亏损。
5. 在例 14.1 中，如果 Mark 到达的概率是 \(\tfrac14\)，Tim 的期望利润是多少？ 答案要点：\(\tfrac13\times\tfrac34\times12=3\) 美分。

进阶题

6. 在序贯 Glosten–Milgrom 模型中，证明 \(\delta=\tfrac12\) 时价差最大。求 \(\mu=0.2\)、\(V_H-V_L=1\) 时，连续两笔买单后的 ask。 提示：第一笔后 \(\delta^{+}=0.6\)；第二笔报价时 \(\delta=0.6\)，再算 \(\delta^{+}=\frac{0.6\times1.2}{0.6\times1.2+0.4\times0.8}=0.692\)，ask \(=V_L+0.692\)。
7. 推广附录模型：设下一笔为买方的概率为 \(\pi\ne\tfrac12\)，知情买方对应价值 \(V+E_B\)，知情卖方对应 \(V-E_S\)。求 ask、bid 和价差。 提示：推荐习题中的"附录推广"。注意此时 \(V\) 本身也要满足无条件期望一致性。
8. 在 (14.2) 中加入订单流自相关（\(q_t\) 服从 \(P(q_t=q_{t-1})=\rho>\tfrac12\) 的马尔可夫链），Roll 估计和交易方向回归会出现什么偏差？如何修正？ 提示：Huang–Stoll（1997）在回归中加入了对 \(q_t\) 的预期项，永久冲击只应作用于订单流中未预期的部分。
9. 若交易商经济利润为零，公共交易者随机在最优买价和最优卖价挂限价单，能否获利？ 提示：原书思考题 14。挂单者也承担逆向选择和择时期权损失，平均下来不会比交易商好。
10. 大的最小报价单位给价差设了下限。若做市有超额利润而价差已经等于一个 tick，新进入者如何吸引订单流？ 提示：原书思考题 7。报更大数量、订单流付费、价格改善等非价格竞争。

原书推荐习题：第 14 章思考题 2（知情交易风险在日内、季节和财报周期中的变化）、7（tick 约束下的非价格竞争）、10–13（限价单调价时机、择时期权价值的上界与波动率）、14（在最优价随机挂单能否获利）、17（同一公司股票与债券的相对价差比较）；另建议把附录模型推广到买卖概率不等或信息幅度不对称的情形。思考题共 20 题。

原书对照

原书页码按"PDF 页码 − 13"估算。