第 19b 章 广义最小二乘、工具变量与广义矩估计

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 陈述 GLS 假设，推导 \(\tilde{\boldsymbol\beta}^{GLS}=(\mathbf X'\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf Y\) 并说明它为什么是 BLUE；区分不可行 GLS 与可行 GLS，知道 WLS 是 GLS 的特例。
2. 理解 GLS 需要「严格外生」\(E(\mathbf U\mid\mathbf X)=\mathbf 0\)，而 OLS 只需 \(E(u_i\mid\mathbf X_i)=0\)；能举出 GLS 不一致而 OLS 一致的时间序列例子。
3. 用矩阵写出 TSLS 估计量 \((\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf Y\)，推导它在异方差下的渐近分布与稳健标准误。
4. 把 TSLS 放进「以 \(\mathbf Z\) 的线性组合为工具」的 IV 估计量族（即线性 GMM），理解权重矩阵的作用，证明同方差下 TSLS 是有效 GMM。
5. 构造两步有效 GMM 估计量与 GMM J 统计量，并知道时间序列中何时需要 HAC 估计 \(\mathbf H\)、何时不需要。
6. 用线性随机贴现因子模型做 GMM 估计与 J 检验，理解 GMM 在资产定价中的地位。

读前导读

这一章在解决什么问题。 本章有两条主线，都是在 19a 章的 OLS 不够用时登场。

第一条是 GLS（广义最小二乘）。OLS 默认每个观测的误差互不相关、方差相同。时间序列里误差常常前后相关，横截面里同行业股票的误差也会一起动。GLS 的办法和你熟悉的「把相关资产变换成不相关的组合」一样：先用误差协方差矩阵的逆「白化」数据，再做 OLS。第 18 章的 WLS 是它的对角特例。本章最重要的警告是：GLS 比 OLS 更挑剔，它要求误差和未来的回归元也不相关。资产价格、利率这类含有预期的变量很容易违反这一点，这时 GLS 会给出「精确但错误」的答案。

第二条是 IV（工具变量）与 GMM（广义矩估计）。回归元和误差相关（内生）时 OLS 有偏，需要找与误差无关、但与回归元相关的「工具」。你在 CFA 里见过「样本矩 = 总体矩」的矩估计思路；GMM 是它的推广：当矩条件个数多于参数时，找一个让所有矩条件「整体最接近成立」的参数。资产定价中的 \(E[m_{t+1}R^e_{t+1}]=0\) 就是一组矩条件，GMM 是检验因子模型的标准工具，2013 年 Hansen 因此获诺贝尔奖。

需要先想起来的数学。

• 矩阵平方根与「白化」。若 \(\boldsymbol\Omega\) 是协方差矩阵，存在 \(\mathbf F\) 使 \(\mathbf F\boldsymbol\Omega\mathbf F'=\mathbf I\)。用 \(\mathbf F\) 左乘随机向量，就把相关、不等方差的变量变成不相关、单位方差的变量。一维例子：\(\boldsymbol\Omega=\sigma^2\)，\(\mathbf F=1/\sigma\)，就是标准化。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。
• 二次型与正定矩阵。\(\mathbf g'\mathbf A\mathbf g\)（\(\mathbf A\) 半正定）衡量向量 \(\mathbf g\) 的「加权长度」。\(\mathbf A=\mathbf I\) 时就是各分量平方和；\(\mathbf A\) 为协方差逆时就是马氏距离。GMM 的目标函数和 J 统计量都是这种二次型。见 第 00 册第 06 章。
• 投影矩阵 \(\mathbf P_Z\)、\(\mathbf M_Z\)。19a 章 19.4.1 节已讲：\(\mathbf P_Z\mathbf X\) 是 \(\mathbf X\) 对 \(\mathbf Z\) 回归的拟合值。TSLS 的第一阶段就是一次投影。
• 对向量求导、令梯度为零。GMM 的估计量 (19.59) 来自对二次目标函数求导。规则是 \(\frac{\partial}{\partial\mathbf b}(\mathbf a-\mathbf C\mathbf b)'\mathbf W(\mathbf a-\mathbf C\mathbf b)=-2\mathbf C'\mathbf W(\mathbf a-\mathbf C\mathbf b)\)（\(\mathbf W\) 对称），这是一元 \(\frac{d}{db}w(a-cb)^2=-2cw(a-cb)\) 的直接推广。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。
• 条件期望与鞅差分。\(E(u_t\mid\text{过去信息})=0\) 的序列叫鞅差分序列，它与自己的任何过去值都不相关。有效市场下的超额收益就是典型例子。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

怎么读这一章。 核心必读：19.6.3（GLS 的变换思路）、19.6.5（严格外生警告，配合示例一）、19.7.2（TSLS 的矩阵形式）、19.7.4 中「IV 估计量族」和 19.7.6（GMM 的定义、有效权重、两步法、J 统计量）、19.7.7 的情形二和欧拉方程。可以第一次跳过的：19.7.3 渐近方差 (19.52) 的完整形式（记住「仍然是三明治，肉是 \(\mathbf H\)」即可）、附录 19.6 的全部证明。如果你的工作偏资产定价，可以先读量化实战的示例三，再回头读 19.7.6，会更有方向感。

19.6 广义最小二乘（GLS）

（第 16.5 节在分布滞后回归中已经引入 GLS；本节给出自包含的数学处理。）

19.6.1 为什么需要 GLS

i.i.d. 抽样（如简单随机抽样的个人数据）下，\(u_i\) 与 \(u_j\) 独立，\(E(\mathbf U\mathbf U'\mid\mathbf X)\) 是对角矩阵。但在时间序列中，遗漏的因素往往跨期相关，误差序列相关。这带来两个问题：

1. OLS 的稳健标准误和仅同方差标准误都无效。解决办法是 HAC 标准误（第 16.4 节）。
2. \(E(\mathbf U\mathbf U'\mid\mathbf X)\) 不再是对角阵，高斯–马尔可夫条件 (ii) 不成立，OLS 不再是 BLUE。

GLS 针对第二个问题：当误差的条件协方差矩阵不正比于单位阵时，GLS（至少渐近地）是 BLUE。第 18 章的 WLS 是 GLS 的特例：协方差矩阵对角、第 \(i\) 个对角元是 \(X_i\) 的函数。GLS 的思路与 WLS 完全相同：变换模型，使变换后的误差满足高斯–马尔可夫条件，再对变换后的模型做 OLS。

19.6.2 GLS 假设

Key Concept 19.4（GLS 假设） 在 \(\mathbf Y=\mathbf X\boldsymbol\beta+\mathbf U\) 中：

1. \(E(\mathbf U\mid\mathbf X)=\mathbf 0_n\)；（19.40）
2. \(E(\mathbf U\mathbf U'\mid\mathbf X)=\boldsymbol\Omega(\mathbf X)\)，是 \(n\times n\) 正定矩阵，可以依赖 \(\mathbf X\)；（19.41）
3. \(\mathbf X_i\) 与 \(u_i\) 满足适当的矩条件（具体条件因 \(\boldsymbol\Omega\) 的形式、是否需要估计、所研究的统计量而异，原书不细列）；
4. \(\mathbf X\) 列满秩。

假设 1 由 OLS 的假设 1、2 蕴含（见 19a 章式 19.6），但 GLS 不想保留 i.i.d. 假设，因为它的目的之一就是处理跨观测的相关。两大应用：

• 独立抽样 + 异方差：\(\boldsymbol\Omega\) 对角，第 \(i\) 个对角元为 \(\lambda h(\mathbf X_i)\)。此时 GLS 就是 WLS（18.5 节）。
• 同方差 + 序列相关：必须对序列相关建模。例如误差只与相邻项相关，\(\mathrm{corr}(u_i,u_{i-1})=\rho\ne0\)，\(|i-j|\ge2\) 时为零（MA(1) 型）。则 \(\boldsymbol\Omega\) 的对角元为 \(\sigma_u^2\)，第一副对角元为 \(\rho\sigma_u^2\)，其余为 0，且不依赖 \(\mathbf X\)。AR(1) 等其他结构见第 16.5 节与习题 19.8。

19.6.3 \(\boldsymbol\Omega\) 已知时的 GLS

取 \(\mathbf F\) 为 \(\boldsymbol\Omega^{-1}\) 的矩阵平方根：\(\mathbf F'\mathbf F=\boldsymbol\Omega^{-1}\)（附录 19.1，见 19a 章）。它满足 \(\mathbf F\boldsymbol\Omega\mathbf F'=\mathbf I_n\)（因为 \(\boldsymbol\Omega=\mathbf F^{-1}\mathbf F'^{-1}\)）。把模型左乘 \(\mathbf F\)：

关键洞见：变换后的模型满足高斯–马尔可夫条件。

• \(E(\tilde{\mathbf U}\mid\tilde{\mathbf X})=\mathbf FE(\mathbf U\mid\mathbf F\mathbf X)=\mathbf 0_n\)（\(\mathbf F\) 可逆，条件于 \(\mathbf F\mathbf X\) 与条件于 \(\mathbf X\) 相同）；
• \(E(\tilde{\mathbf U}\tilde{\mathbf U}'\mid\tilde{\mathbf X})=\mathbf FE(\mathbf U\mathbf U'\mid\mathbf X)\mathbf F'=\mathbf F\boldsymbol\Omega\mathbf F'=\mathbf I_n\)。

所以对变换模型做 OLS，\(\tilde{\boldsymbol\beta}^{GLS}=(\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf X})^{-1}\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf Y}\)，是关于 \(\tilde{\mathbf Y}\) 线性的最佳条件无偏估计量。又因为 \(\mathbf F\) 已知且可逆（\(\boldsymbol\Omega\) 正定），「关于 \(\tilde{\mathbf Y}\) 线性」的估计量类与「关于 \(\mathbf Y\) 线性」的类完全相同，因此 GLS 是 BLUE。展开 \(\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf X}=\mathbf X'\mathbf F'\mathbf F\mathbf X=\mathbf X'\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf X\)，得

推导拆解：从变换模型的 OLS 到 (19.43)。 第一步，对 (19.42) 套 OLS 公式：\((\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf X})^{-1}\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf Y}\)。 第二步，代入 \(\tilde{\mathbf X}=\mathbf F\mathbf X\)，用转置规则 \((\mathbf F\mathbf X)'=\mathbf X'\mathbf F'\)：\(\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf X}=\mathbf X'\mathbf F'\mathbf F\mathbf X\)，\(\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf Y}=\mathbf X'\mathbf F'\mathbf F\mathbf Y\)。 第三步，\(\mathbf F'\mathbf F=\boldsymbol\Omega^{-1}\) 替换进去，\(\mathbf F\) 本身消失。所以只要会算 \(\boldsymbol\Omega^{-1}\)，不必真的找平方根。 第四步，条件协方差：变换模型误差协方差为 \(\mathbf I\)，套 19a 章的同方差公式 \(\sigma^2(\tilde{\mathbf X}'\tilde{\mathbf X})^{-1}\)，其中 \(\sigma^2=1\)，得 \((\mathbf X'\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf X)^{-1}\)。 金融直觉：GLS 和最小方差组合是同一个数学结构。最小方差组合权重 \(\propto\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf 1\)：噪声大的资产少配，与其他资产高度相关的资产也少配（信息重复）。GLS 给观测「配权」也是这样：误差方差大的观测、和其他观测误差高度相关的观测，被 \(\boldsymbol\Omega^{-1}\) 压低权重。

实践中 \(\boldsymbol\Omega\) 通常未知，(19.43) 称为不可行 GLS（infeasible GLS）。

AR(1) 误差的准差分（原书习题 19.8）。若 \(u_t=\rho u_{t-1}+\tilde u_t\)，\(\tilde u_t\) 为白噪声，则不必显式求 \(\boldsymbol\Omega^{-1}\)：对 \(t\ge2\) 做准差分 \(Y_t-\rho Y_{t-1}=(\mathbf X_t-\rho\mathbf X_{t-1})'\boldsymbol\beta+\tilde u_t\)，第一个观测乘以 \(\sqrt{1-\rho^2}\)。这正是某个 \(\mathbf F\) 的作用。丢掉第一个观测就是 Cochrane–Orcutt 方法（第 16.5 节）。

推导拆解：为什么准差分有效？把 \(t\) 期方程减去 \(\rho\) 倍的 \(t-1\) 期方程：\(Y_t-\rho Y_{t-1}=(\mathbf X_t-\rho\mathbf X_{t-1})'\boldsymbol\beta+(u_t-\rho u_{t-1})\)。由 AR(1) 定义，\(u_t-\rho u_{t-1}=\tilde u_t\) 是白噪声，正好满足高斯–马尔可夫条件。 第一个观测没有「上一期」可减，只能单独处理。\(u_1\) 的方差是 AR(1) 的平稳方差 \(\sigma_{\tilde u}^2/(1-\rho^2)\)，乘以 \(\sqrt{1-\rho^2}\) 后方差恰好变成 \(\sigma_{\tilde u}^2\)，和其他变换后误差一致。这一步就是 Prais–Winsten 与 Cochrane–Orcutt 的唯一区别。

19.6.4 \(\boldsymbol\Omega\) 含未知参数时：可行 GLS

若 \(\boldsymbol\Omega\) 是少数可估参数的已知函数，可以先估计 \(\hat{\boldsymbol\Omega}\)。例如上面 MA(1) 型结构有两个参数 \(\sigma_u^2,\rho\)，用初步 OLS 残差估计：\(\sigma_u^2\) 用 \(s_{\hat u}^2\)，\(\rho\) 用所有相邻残差对的样本相关系数。一般地，

19.6.5 条件均值零假设与 GLS（重要）

这是本节最重要、也最容易被忽视的一点。

• OLS 一致需要 \(E(u_i\mid\mathbf X_i)=0\)：给定本观测的回归元，误差均值为零。
• GLS 的第一个假设是 \(E(u_i\mid\mathbf X_1,\dots,\mathbf X_n)=0\)：给定所有观测的回归元，误差均值为零。

i.i.d. 抽样（GLS 即 WLS）时，后者由前者蕴含；非 i.i.d. 时，GLS 的假设更强。时间序列中这正是第 16.5 节「过去与当期外生」与「严格外生」的区别：\(E(u_t\mid\mathbf X_1,\dots,\mathbf X_T)=0\) 就是严格外生，要求误差与未来的回归元也不相关。

对比两者的一致性论证（设同方差、\(\boldsymbol\Omega\) 已知、有非零的非对角元）。

GLS：

OLS：

白话解释：两种估计误差的差别在于「谁和谁相乘」。OLS 的误差项只把第 \(i\) 期的回归元和第 \(i\) 期的误差配对，所以只要求同期不相关。GLS 用 \(\boldsymbol\Omega^{-1}\) 把不同时期混在一起，等于把第 \(i\) 期的回归元和第 \(j\) 期的误差也配了对。准差分就是例子：变换后的回归元 \(\mathbf X_t-\rho\mathbf X_{t-1}\) 和变换后的误差 \(u_t-\rho u_{t-1}\) 相乘，里面有一项 \(\mathbf X_t\,u_{t-1}\)，即本期回归元乘上期误差。若上期的冲击会影响本期回归元（反馈），这一项均值就不为零，GLS 就偏了。 一句话：OLS 只怕「同期相关」；GLS 还怕「误差影响未来回归元」，而在金融数据里这种反馈非常普遍。

GLS 的第一假设是否苛刻？ 它要求第 \(i\) 个观测的误差与所有其他观测的回归元不相关，这在某些时间序列应用中很可疑。原书的例子是第 16.6 节冷冻橙汁期货价格变化对佛罗里达天气的回归：误差与当期和过去的天气不相关（OLS 假设成立），但很可能与未来的天气相关（GLS 假设不成立），因为今天的期货价格包含了对未来天气的预期。一般现象是：当今天的变量部分基于对未来的预期而定（如资产价格），今天的误差就依赖于对明天回归元的预测，而这个预测与明天回归元的实际值相关。

结论：GLS 的第一假设实际上比 OLS 的第一假设强得多。在某些经济时间序列应用中，GLS 不一致而 OLS 一致。这时宁可用 OLS 加 HAC 标准误，放弃效率换取一致性。本章示例一会用模拟演示这种情况。

原书复习题 19.5 要求构造一个满足 \(E(u_i\mid X_i)=0\) 但 \(E(\mathbf U\mid\mathbf X)\ne\mathbf 0\) 的例子。最简单的是自回归：\(Y_t=\beta Y_{t-1}+u_t\)，\(X_t=Y_{t-1}\)。\(u_t\) 与 \(X_t\) 不相关，但 \(u_t\) 进入 \(Y_t=X_{t+1}\)，与未来的回归元相关。

19.7 工具变量与广义矩估计（IV 与 GMM）

前提：第 12 章 Key Concept 12.3、12.4 的 IV 回归假设成立，且工具是强工具；本节所有渐近结果都在强工具假设下成立（弱工具问题见第 12 章）。数据是截面 i.i.d.，本节末尾简述时间序列推广。

本节内容：矩阵形式的 IV 模型与 TSLS，及其在异方差下的渐近分布；同方差时，TSLS 在「工具为外生变量线性组合」的 IV 估计量类中渐近有效，J 统计量渐近服从 \(\chi^2\)，自由度为过度识别约束的个数；异方差时，有效的 IV 估计量是有效 GMM 估计量（Hansen 1982）。

19.7.1 矩阵形式的 IV 模型

• \(\mathbf X\)：\(n\times(k+r+1)\)，关注方程的全部回归元，第 \(i\) 行 \(\mathbf X_i'=(1\ X_{1i}\cdots X_{ki}\ W_{1i}\cdots W_{ri})\)。其中 \(X_1,\dots,X_k\) 是内生变量，\(W_1,\dots,W_r\) 是包含的外生变量（控制变量）。
• \(\mathbf Z\)：\(n\times(m+r+1)\)，全部外生变量，即包含的 \(W\) 加上排除的工具 \(Z_1,\dots,Z_m\)，第 \(i\) 行 \(\mathbf Z_i'=(1\ Z_{1i}\cdots Z_{mi}\ W_{1i}\cdots W_{ri})\)。
• 模型：
  \[\mathbf Y=\mathbf X\boldsymbol\beta+\mathbf U;\tag{19.45}\]
  工具外生性：
  \[E(\mathbf Z_iu_i)=\mathbf 0.\tag{19.46}\]

识别要求 \(m\ge k\)：\(m=k\) 恰好识别，\(m>k\) 过度识别（过度识别约束有 \(m-k\) 个）。

19.7.2 TSLS 估计量

TSLS 用第一阶段的 OLS 拟合值作工具。\(\hat{\mathbf X}\) 的第 \(i\) 行是 \((1\ \hat X_{1i}\cdots\hat X_{ki}\ W_{1i}\cdots W_{ri})\)；由于 \(W\) 和常数都在 \(\mathbf Z\) 中，它们对 \(\mathbf Z\) 回归的拟合值就是自身。所以

白话解释：\(\mathbf P_Z\mathbf X\) 把每个回归元拆成两块：能被工具（外生变量）解释的部分，以及剩下可能和误差纠缠的部分。TSLS 只用第一块去回归，相当于只保留回归元中「干净」的变动。分子 \(\hat{\mathbf X}'\mathbf Y=\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf Y\) 也可以理解成：\(\mathbf Y\) 被投影到工具空间以后再与 \(\mathbf X\) 配对，因为 \(\mathbf P_Z\) 对称幂等，投影放在哪一边结果都一样。 外生控制变量 \(\mathbf W\) 和常数「对 \(\mathbf Z\) 回归的拟合值就是自身」，因为它们本身就是 \(\mathbf Z\) 的列，\(\mathbf P_Z\) 作用在 \(\mathbf Z\) 的列上不改变它们（19a 章的 \(\mathbf P_X\mathbf X=\mathbf X\)）。

19.7.3 TSLS 的渐近分布

代入 \(\mathbf Y=\mathbf X\boldsymbol\beta+\mathbf U\) 并展开 \(\mathbf P_Z\)：

推导拆解：(19.49) 的来源。 第一步，与 19a 章 (19.14) 同理，代入 \(\mathbf Y=\mathbf X\boldsymbol\beta+\mathbf U\)，\((\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf X=\mathbf I\)，得 \(\hat{\boldsymbol\beta}^{TSLS}-\boldsymbol\beta=(\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf U\)。 第二步，展开 \(\mathbf P_Z=\mathbf Z(\mathbf Z'\mathbf Z)^{-1}\mathbf Z'\)，于是 \(\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf X=(\mathbf X'\mathbf Z)(\mathbf Z'\mathbf Z)^{-1}(\mathbf Z'\mathbf X)\)。 第三步，在每个样本矩上配 \(1/n\)，使它们各自收敛：前面的逆矩阵里共有「\(n\cdot n^{-1}\cdot n\)」\(=n\)，所以 \(\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf X=n[\frac{\mathbf X'\mathbf Z}n(\frac{\mathbf Z'\mathbf Z}n)^{-1}\frac{\mathbf Z'\mathbf X}n]\)；后面同理 \(\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf U=n[\frac{\mathbf X'\mathbf Z}n(\frac{\mathbf Z'\mathbf Z}n)^{-1}\frac{\mathbf Z'\mathbf U}n]\)。两者相除 \(n\) 抵消，再乘 \(\sqrt n\)，把最后的 \(\frac{\mathbf Z'\mathbf U}{n}\) 变成 \(\frac{\mathbf Z'\mathbf U}{\sqrt n}\)。 第四步，除了 \(\mathbf Z'\mathbf U/\sqrt n\)（用 CLT），其余都是用 LLN 收敛到常数的样本矩，由 Slutsky 拼起来。和 OLS 相比，只是 OLS 中的 \(\mathbf X\) 被「\(\mathbf X\) 在 \(\mathbf Z\) 上的投影」替代。

TSLS 标准误。用样本矩替换总体矩得 \(\hat{\boldsymbol\Sigma}^{TSLS}\)（式 19.53），其中 \(\hat{\mathbf Q}_{XZ}=\mathbf X'\mathbf Z/n\) 等，

19.7.4 同方差时 TSLS 的性质

同方差时，TSLS 在「以 \(\mathbf Z\) 的行的线性组合为工具」的 IV 估计量类中渐近有效。这是高斯–马尔可夫定理的 IV 版本，是使用 TSLS 的重要理由。

同方差下的分布。\(E(u_i^2\mid\mathbf Z_i)=\sigma_u^2\) ⇒ \(\mathbf H=E[\mathbf Z_i\mathbf Z_i'E(u_i^2\mid\mathbf Z_i)]=\sigma_u^2\mathbf Q_{ZZ}\)，三明治塌缩：

IV 估计量族：以 \(\mathbf Z\) 的线性组合为工具。共同起点是矩方程：工具外生意味着在真值处

方式一：最小化二次型。给定 \((m+r+1)\) 阶对称半正定权重矩阵 \(\mathbf A\)，

推导拆解：(19.59) 怎么从 (19.58) 求出来。记 \(\mathbf g(\mathbf b)=\mathbf Z'(\mathbf Y-\mathbf X\mathbf b)\)，它是 \(m+r+1\) 个样本矩（的 \(n\) 倍）。目标函数是 \(\mathbf g'\mathbf A\mathbf g\)。 第一步，用导读里的求导规则（这里 \(\mathbf a=\mathbf Z'\mathbf Y\)，\(\mathbf C=\mathbf Z'\mathbf X\)，\(\mathbf W=\mathbf A\)）：梯度为 \(-2\mathbf X'\mathbf Z\mathbf A\mathbf Z'(\mathbf Y-\mathbf X\mathbf b)\)。 第二步，令其为零：\(\mathbf X'\mathbf Z\mathbf A\mathbf Z'\mathbf X\,\mathbf b=\mathbf X'\mathbf Z\mathbf A\mathbf Z'\mathbf Y\)，左乘逆即得 (19.59)。 第三步，代入 \(\mathbf A=(\mathbf Z'\mathbf Z)^{-1}\)，\(\mathbf Z\mathbf A\mathbf Z'=\mathbf P_Z\)，就回到 (19.48)。 白话解释：\(\mathbf A\) 决定「哪个矩条件更重要」。矩条件比参数多时不可能都精确为零，只能折中；\(\mathbf A\) 就是折中时的「权重表」，好比最小二乘用单位权重，WLS 用方差倒数。不同的 \(\mathbf A\) 都给出一致估计，只是精度不同，这就引出「哪个 \(\mathbf A\) 最好」的问题。

方式二：选择工具的线性组合。工具取 \(\mathbf Z\mathbf B\)，\(\mathbf B\) 是 \((m+r+1)\times(k+r+1)\) 的列满秩矩阵，恰好识别地解 \((\mathbf Y-\mathbf X\mathbf b)'\mathbf Z\mathbf B=\mathbf 0\)，得 \(\hat{\boldsymbol\beta}^{IV}=(\mathbf B'\mathbf Z'\mathbf X)^{-1}\mathbf B'\mathbf Z'\mathbf Y\)。代入 \(\mathbf B=\mathbf A\mathbf Z'\mathbf X\) 就得到 (19.59)。两种方式生成同一族估计量，惯例用方式一。

同方差下 TSLS 的渐近有效性。\(\mathbf H=\mathbf Q_{ZZ}\sigma_u^2\) 时，

19.7.5 同方差下的 J 统计量

J 统计量（Key Concept 12.6）检验全部过度识别约束是否成立。思想：约束成立时 \(u_i\) 与所有工具不相关，\(\mathbf U\) 对 \(\mathbf Z\) 回归的总体系数全为零。用 TSLS 残差 \(\hat{\mathbf U}\) 代替 \(\mathbf U\)，J 是「\(\hat{\mathbf U}\) 对 \(\mathbf Z\) 回归中 \(\mathbf Z\) 的系数全为零」的仅同方差 F 统计量乘以 \((m+r+1)\)，转成渐近卡方形式。

由第 7 章的 (7.13)：无约束回归的 \(SSR=\hat{\mathbf U}'\mathbf M_Z\hat{\mathbf U}\)，约束回归（无回归元）的 \(SSR=\hat{\mathbf U}'\hat{\mathbf U}\)，差为 \(\hat{\mathbf U}'\mathbf P_Z\hat{\mathbf U}\)，所以

金融直觉：J 检验的逻辑和「用多个资产检验 CAPM」一样。如果只有一个资产、一个参数，总能把参数调到让定价误差为零，模型永远「通过」，毫无检验力。资产（矩条件）比参数多时，参数无法同时迁就所有资产，剩下的定价误差若显著不为零，就是模型的证据不足。有 \(m+r+1\) 个矩条件、\(k+r+1\) 个参数，就有 \(m-k\) 个「多余」的方向可以拿来检验。 但 J 检验有一个盲点：它检验的是「矩条件之间是否一致」。如果所有工具都以同样方式违反外生性，它们之间仍然互相一致，J 检验可能发现不了。因此 J 不拒绝不能证明工具有效。

19.7.6 线性模型中的 GMM

异方差时，TSLS 不再是上述族中最有效的，最有效的是有效 GMM 估计量；而且 (19.63) 的 J 不再服从卡方，要用有效 GMM 构造的 J 才服从 \(\chi^2_{m-k}\)。这与「外生回归元 + 异方差」的情形完全平行：那里 OLS 不是 BLUE，仅同方差 F 即使在大样本也不服从 F，有效估计量是 WLS；IV 情形下，有效估计量是使用不同于 TSLS 的权重矩阵的有效 GMM。

GMM 的定义。广义矩方法（generalized method of moments）是估计线性或非线性模型参数的一般方法：选择参数，使多个「样本矩 = 0」的方程（称为矩条件，moment conditions）拟合得最好。这些方程一般不能同时满足，GMM 通过最小化二次目标函数折中。在线性 IV 模型中，GMM 估计量类就是 (19.58) 所有解的集合，也就是「以 \(\mathbf Z\) 线性组合为工具」的 IV 估计量类。GMM 只是这一族估计量的另一个名字。

渐近有效 GMM：族中渐近协方差矩阵最小者（按 (19.62) 的标准）。所以 (19.62) 可以重述为：同方差时，TSLS 就是线性模型的有效 GMM 估计量。

动机：同方差时 \(\mathbf H=\mathbf Q_{ZZ}\sigma_u^2\)，大样本中 \(\mathbf A=(\mathbf Z'\mathbf Z)^{-1}\) 与 \(\mathbf A=(\mathbf Q_{ZZ}\sigma_u^2)^{-1}=\mathbf H^{-1}\) 只差一个标量倍数（标量不影响 (19.59) 的解）。类推到异方差，取 \(\mathbf A=\mathbf H^{-1}\)：

直觉：权重 \(\mathbf H^{-1}\) 给噪声大（\(E(Z_{ji}^2u_i^2)\) 大）的矩条件较小的权重，给彼此相关的矩条件去重，与 GLS 用 \(\boldsymbol\Omega^{-1}\) 加权是同一个思想。

推导拆解：「肉与面包相消」具体怎么消。把 \(\mathbf A=\mathbf H^{-1}\) 代入 (19.60)，记 \(\mathbf G=\mathbf Q_{XZ}\mathbf H^{-1}\mathbf Q_{ZX}\)： 中间部分 \(\mathbf Q_{XZ}\mathbf A\mathbf H\mathbf A\mathbf Q_{ZX}=\mathbf Q_{XZ}\mathbf H^{-1}\mathbf H\mathbf H^{-1}\mathbf Q_{ZX}=\mathbf Q_{XZ}\mathbf H^{-1}\mathbf Q_{ZX}=\mathbf G\)； 两边的「面包」都是 \(\mathbf G^{-1}\)，所以 \(\boldsymbol\Sigma=\mathbf G^{-1}\mathbf G\mathbf G^{-1}=\mathbf G^{-1}\)。 这与 GLS 相同：用协方差的逆作权重时，三明治总会塌缩成一层，这正是「权重选对了」的标志。 金融直觉：\(\mathbf H\) 是各矩条件（各资产定价误差）的协方差矩阵，\(\mathbf H^{-1}\) 作权重和求切点组合时用 \(\boldsymbol\Sigma^{-1}\) 一样：噪声大的方向少看，噪声小的方向多看。量化实战中提到「有效 GMM 的经济含义不直观」，原因也在这里：它可能把权重压在某个精确但不重要的资产组合上。

可行有效 GMM（两步法）。(19.66) 依赖未知的 \(\mathbf H\)，不可行。

1. 第一步：用任一一致估计量（自然的选择是 TSLS）估计 \(\boldsymbol\beta\)，计算关注方程的残差，用 (19.54) 构造 \(\hat{\mathbf H}\)；
2. 第二步：用 \(\hat{\mathbf H}^{-1}\) 作权重矩阵，
   \[\hat{\boldsymbol\beta}^{Eff.GMM}=(\mathbf X'\mathbf Z\hat{\mathbf H}^{-1}\mathbf Z'\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\mathbf Z\hat{\mathbf H}^{-1}\mathbf Z'\mathbf Y.\tag{19.68}\]

由于 \(\hat{\mathbf H}\xrightarrow{p}\mathbf H\)，\(\sqrt n(\hat{\boldsymbol\beta}^{Eff.GMM}-\tilde{\boldsymbol\beta}^{Eff.GMM})\xrightarrow{p}\mathbf 0\)（习题 19.12），所以

异方差稳健 J 统计量（GMM J 统计量）：

19.7.7 时间序列数据中的 GMM

（形式化处理见 Hayashi 2000 第 6 章；假设变量平稳。）分两类情形：

情形一：误差 \(u_t\) 序列相关。GMM 估计量仍渐近正态，但 (19.50) 中 \(\mathbf H\) 的公式不再正确：正确的 \(\mathbf H\) 是 \(\mathbf Z_tu_t\) 的长期方差，依赖它的自协方差（类比第 16 章式 16.14 中序列相关下 OLS 的方差）。有效 GMM 仍用 \(\mathbf H\) 的一致估计构造，但必须用 HAC 方法（如 Newey–West）估计。

情形二：\(\mathbf Z_tu_t\) 序列不相关。无需 HAC，本节公式全部可以推广。这在现代金融与宏观计量中很常见：误差代表未预期、不可预测的扰动，模型本身通常意味着 \(\mathbf Z_tu_t\) 序列不相关。例如 \(Y_t=\beta_0+\beta_1X_t+u_t\)（一个内生变量、无外生变量），若理论意味着 \(u_t\) 在给定过去信息时不可预测，则有矩条件

这正是 Hansen 用 GMM 检验资产定价欧拉方程的框架。消费资本资产定价模型的欧拉方程是

白话解释：记号 \(E_t[\cdot]\) 是「给定 \(t\) 期所有已知信息的条件期望」。欧拉方程里 \(\delta(C_{t+1}/C_t)^{-\gamma}\) 就是随机贴现因子 \(m_{t+1}\)：\(\delta\) 是时间偏好（耐心程度），\(\gamma\) 是相对风险厌恶系数。方程 \(E_t[m_{t+1}R_{t+1}]=1\) 说的是「今天花 1 元买资产，明天收益用边际效用折回今天，平均仍值 1 元」，与 CFA 里「价格 = 未来现金流的风险调整贴现」是同一句话。 推导拆解：从条件矩到无条件矩，用的是迭代期望。设 \(e_{t+1}\) 为定价误差，\(E_t(e_{t+1})=0\)，\(z_t\) 在 \(t\) 期已知，则 \(E(e_{t+1}z_t)=E[z_tE_t(e_{t+1})]=E[z_t\cdot0]=0\)。任何 \(t\) 期已知的变量（股息率、利差、上期消费增长）都能生成一个矩条件，所以矩条件可以远多于参数，GMM 和 J 检验正好派上用场。

附录 19.6 IV 与 GMM 若干结果的证明

同方差下 TSLS 的有效性 (19.62)。利用 \((\mathbf Q_{XZ}\mathbf A\mathbf Q_{ZX})^{-1}\mathbf Q_{XZ}\mathbf A\mathbf Q_{ZX}=\mathbf I\)，把 \(\boldsymbol\Sigma^{TSLS}\) 写成与 \(\boldsymbol\Sigma^{IV}_A\) 相同的「外壳」：

这与附录 19.5 的高斯–马尔可夫证明如出一辙：差值是某个正交投影的二次型。

同方差下 J 统计量的渐近分布。TSLS 残差

有效 GMM 的有效性：证明与 TSLS 平行，只是把 \(\mathbf Q_{ZZ}\sigma_u^2\) 换成 \(\mathbf H\)。GMM J 统计量的分布：与同方差 TSLS 的 J 平行，把 \(\mathbf Q_{ZZ}\sigma_u^2\) 换成 \(\mathbf H\) 即可。

第 19 章总结（原书 Summary，含 19a 章）

1. 线性多元回归的矩阵形式为 \(\mathbf Y=\mathbf X\boldsymbol\beta+\mathbf U\)。
2. OLS 估计量为 \(\hat{\boldsymbol\beta}=(\mathbf X'\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\mathbf Y\)；前四条假设下一致、渐近正态；同方差时 \(\mathrm{var}(\hat{\boldsymbol\beta}\mid\mathbf X)=\sigma_u^2(\mathbf X'\mathbf X)^{-1}\)。
3. 一般线性约束写成 \(\mathbf R\boldsymbol\beta=\mathbf r\)，可用于联合检验和置信集。
4. 误差条件 i.i.d. 正态时，\(\hat{\boldsymbol\beta}\) 精确正态，仅同方差 t、F 统计量精确服从 \(t_{n-k-1}\)、\(F_{q,n-k-1}\)。
5. 高斯–马尔可夫定理：误差同方差、条件不相关、\(E(u_i\mid\mathbf X)=0\) 时，OLS 是 BLUE。
6. 误差协方差 \(\boldsymbol\Omega\) 不正比于单位阵且已知或可估时，GLS 渐近比 OLS 有效；但 GLS 一般要求 \(u_i\) 与所有观测的回归元不相关（OLS 只要求与 \(\mathbf X_i\) 不相关），应用中须审慎评估。
7. TSLS 属于线性模型的 GMM 估计量族，解 \(\min_{\mathbf b}[(\mathbf Y-\mathbf X\mathbf b)'\mathbf Z]\mathbf A[\mathbf Z'(\mathbf Y-\mathbf X\mathbf b)]\)；渐近有效 GMM 取 \(\mathbf A=[E(\mathbf Z_i\mathbf Z_i'u_i^2)]^{-1}\)；同方差时它就是 TSLS。

量化实战

1. 本章内容在量化中的用途

GLS 与横截面检验。 资产收益横截面回归中，残差协方差非对角（行业、风格相关）。GLS 用残差协方差的逆加权，这与均值–方差组合优化 \(\mathbf w\propto\boldsymbol\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu\) 的结构完全相同：GLS 斜率本质上是一个最小方差的「因子模拟组合」的收益。时间序列因子模型的 GRS 检验、横截面 GLS 回归都依赖这一框架。实务中 \(\boldsymbol\Omega\) 维数很高（几千只股票），要用因子结构 \(\mathbf B\boldsymbol\Sigma_F\mathbf B'+\mathbf D\) 来估计（17d 章），否则 \(\hat{\boldsymbol\Omega}^{-1}\) 噪声极大。

GLS 的严格外生警示。 用价格、利率、估值这类「预期驱动」的变量做回归元时，误差往往与未来回归元相关。此时 Cochrane–Orcutt、Prais–Winsten 等 GLS 修正可能不一致。原书的结论在量化中同样适用：宁可 OLS + HAC。

IV 在量化中的位置。 量化研究较少直接做因果 IV，但几个场景常见：解决变量误差（errors-in-variables，如 Fama–MacBeth 第二阶段用估计的 beta，可以用不同窗口估计的 beta 作工具）；处理同时性（交易量与波动、订单流与价格冲击）；估计市场冲击模型时以外生的指数调整、基金被动流入作工具。

GMM 是资产定价的标准估计方法。 随机贴现因子模型 \(E[m_{t+1}R^e_{i,t+1}]=0\) 是矩条件；线性 SDF \(m=1-\mathbf b'\mathbf f\) 下这些矩条件关于 \(\mathbf b\) 是线性的，可以直接套用本章的线性 GMM 公式。J 检验就是模型整体检验（各资产定价误差联合为零）；两步有效 GMM、权重矩阵的选择、误差序列相关时用 HAC 估计 \(\mathbf H\)，都直接用于因子模型定价检验和期限结构模型估计。一个实务细节：有效 GMM 的权重 \(\hat{\mathbf H}^{-1}\) 会把精力放在「容易定价的组合线性组合」上，经济含义不直观，所以许多研究同时报告单位权重（一步 GMM）的结果。

2. 示例一：GLS 何时比 OLS 好，何时不一致

误差为 MA(1)：\(u_t=e_t+0.8e_{t-1}\)，\(\boldsymbol\Omega\) 已知（三对角）。情形一，回归元严格外生；情形二，回归元对过去冲击有反馈：\(x_t\) 含 \(e_{t-1}\)，并减去 \(\theta e_t\) 使它与当期 \(u_t\) 不相关（OLS 假设成立），但 \(x_{t+1}\) 含 \(e_t\)，所以 \(u_t\) 与未来回归元相关。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(23)
T, nsim, beta, theta = 300, 2000, 1.0, 0.8

# 误差 u_t = e_t + theta*e_{t-1}（MA(1)），其协方差矩阵 Omega 已知：三对角
Omega = np.diag(np.full(T, 1 + theta**2)) + np.diag(np.full(T-1, theta), 1) + np.diag(np.full(T-1, theta), -1)
Oinv = np.linalg.inv(Omega)

def ols(X, y):
    return np.linalg.solve(X.T @ X, X.T @ y)
def gls(X, y):
    return np.linalg.solve(X.T @ Oinv @ X, X.T @ Oinv @ y)   # (X'Ω^{-1}X)^{-1} X'Ω^{-1}Y

for gamma, label in [(0.0, "严格外生 (gamma=0)"), (0.8, "x 对过去冲击有反馈 (gamma=0.8)")]:
    bo, bg = [], []
    for _ in range(nsim):
        e = rng.standard_normal(T + 1)
        u = e[1:] + theta * e[:-1]
        # x_t = z_t + gamma*e_{t-1} - gamma*theta*e_t ：与当期 u_t 不相关（OLS 假设成立），
        # 但 x_{t+1} 含 e_t，因而与 u_t 相关（GLS 需要的严格外生不成立）
        x = rng.standard_normal(T) + gamma * e[:-1] - gamma * theta * e[1:]
        X = np.c_[np.ones(T), x]
        y = X @ np.array([0.5, beta]) + u
        bo.append(ols(X, y)[1]); bg.append(gls(X, y)[1])
    print(f"{label:28s} OLS: 均值 {np.mean(bo):.3f}, sd {np.std(bo):.3f} | "
          f"GLS: 均值 {np.mean(bg):.3f}, sd {np.std(bg):.3f}")

输出：

严格外生 (gamma=0)               OLS: 均值 0.997, sd 0.075 | GLS: 均值 1.000, sd 0.036
x 对过去冲击有反馈 (gamma=0.8)       OLS: 均值 1.000, sd 0.038 | GLS: 均值 0.920, sd 0.013

严格外生时，两者都无偏，GLS 的标准差只有 OLS 的一半，效率优势明显。回归元对过去冲击有反馈时，OLS 依然无偏（只需当期外生）；GLS 却系统性偏到 0.92，而且标准差很小（0.013），也就是说它会「很自信地给出错误答案」。验证 \(\mathrm{cov}(x_t,u_t)=\gamma\theta-\gamma\theta=0\) 而 \(\mathrm{cov}(x_{t+1},u_t)=\gamma\ne0\)，正是 19.6.5 节描述的情形。

3. 示例二：TSLS、两步有效 GMM 与 J 检验

一个内生回归元、三个工具（过度识别 2 个），误差方差依赖第一个工具（异方差）。比较 TSLS 与有效 GMM 的抽样标准差，并检验 J 统计量在工具有效和存在一个无效工具时的拒绝率。

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(31)

def tsls_gmm(Y, X, Z):
    n = len(Y)
    PZ_X = Z @ np.linalg.solve(Z.T @ Z, Z.T @ X)            # Xhat = P_Z X
    b_tsls = np.linalg.solve(PZ_X.T @ X, PZ_X.T @ Y)        # (X'P_Z X)^{-1} X'P_Z Y
    u = Y - X @ b_tsls                                       # 注意用原始 X 计算残差
    H = (Z * u[:, None] ** 2).T @ Z / n                     # H_hat = (1/n) sum Z_i Z_i' u_i^2
    Hi = np.linalg.inv(H)
    A = X.T @ Z @ Hi @ Z.T
    b_gmm = np.linalg.solve(A @ X, A @ Y)                    # 两步有效 GMM (19.68)
    # 稳健方差：TSLS 用三明治 (19.52)，GMM 用 (Q_XZ H^-1 Q_ZX)^-1
    Qxz, Qzz = X.T @ Z / n, Z.T @ Z / n
    B = np.linalg.inv(Qxz @ np.linalg.solve(Qzz, Qxz.T))
    S_tsls = B @ Qxz @ np.linalg.solve(Qzz, H) @ np.linalg.solve(Qzz, Qxz.T) @ B
    S_gmm = np.linalg.inv(Qxz @ Hi @ Qxz.T)
    ug = Y - X @ b_gmm
    g = Z.T @ ug
    J = g @ Hi @ g / n                                       # GMM J (19.70)
    return b_tsls, np.sqrt(np.diag(S_tsls) / n), b_gmm, np.sqrt(np.diag(S_gmm) / n), J

n, nsim = 1000, 1000
bt, bg, Js, Js_bad = [], [], [], []
for s in range(nsim):
    Z3 = rng.standard_normal((n, 3))                       # 3 个排除工具，1 个内生回归元 => m-k = 2
    v = rng.standard_normal(n)
    x = Z3 @ np.array([0.5, 0.3, 0.2]) + v
    u = (0.6 * v + 0.8 * rng.standard_normal(n)) * np.exp(0.7 * Z3[:, 0])   # 内生 + 依赖工具的异方差
    Y = 1.0 + 2.0 * x + u
    X, Z = np.c_[np.ones(n), x], np.c_[np.ones(n), Z3]
    b1, se1, b2, se2, J = tsls_gmm(Y, X, Z)
    bt.append(b1[1]); bg.append(b2[1]); Js.append(J)
    # 一个无效工具：第三个工具直接进入 Y
    Ybad = Y + 0.15 * Z3[:, 2]
    Js_bad.append(tsls_gmm(Ybad, X, Z)[4])
    if s == 0:
        print(f"单次样本: TSLS b={b1[1]:.3f} (se {se1[1]:.3f}) | 有效GMM b={b2[1]:.3f} (se {se2[1]:.3f}) | J={J:.2f}")
print(f"抽样标准差: TSLS {np.std(bt):.4f}, 有效GMM {np.std(bg):.4f}")
crit = stats.chi2.ppf(0.95, 2)
print(f"J 统计量 5% 拒绝率: 工具全部有效 {np.mean(np.array(Js) > crit):.3f}, 含一个无效工具 {np.mean(np.array(Js_bad) > crit):.3f}")

输出：

单次样本: TSLS b=1.993 (se 0.110) | 有效GMM b=2.042 (se 0.100) | J=1.28
抽样标准差: TSLS 0.1320, 有效GMM 0.1105
J 统计量 5% 拒绝率: 工具全部有效 0.051, 含一个无效工具 0.687

异方差下有效 GMM 的抽样标准差比 TSLS 小约 16%。J 统计量在工具全部有效时拒绝率 5.1%，符合 \(\chi^2_2\) 的名义水平；有一个工具违反外生性时，拒绝率升到 69%。另外注意，严重异方差下 TSLS 单次样本的稳健标准误（0.110）低于它的实际抽样标准差（0.132），提示有限样本中稳健标准误也可能偏小。

4. 示例三：用 GMM 估计线性随机贴现因子并做 J 检验

线性 SDF \(m_t=1-bf_t\)，\(f_t\) 是市场超额收益。\(N=10\) 个组合的超额收益满足 \(E[R^e_{it}(1-bf_t)]=0\)，即样本矩 \(\mathbf g(b)=\bar{\mathbf R}^e-\overline{\mathbf R^ef}\,b\)，关于 \(b\) 线性。一步用单位权重，二步用 \(\hat{\mathbf S}^{-1}\)（\(\hat{\mathbf S}\) 是矩贡献的协方差，即本章的 \(\mathbf H\)），\(J=T\mathbf g'\hat{\mathbf S}^{-1}\mathbf g\sim\chi^2_{N-1}\)。

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(13)

def sdf_gmm(R, f):
    """线性 SDF m_t = 1 - b f_t，矩条件 E[R_t^e (1 - b f_t)] = 0（N 个方程，1 个参数）"""
    T, N = R.shape
    mu, D = R.mean(0), (R * f[:, None]).mean(0)         # g(b) = mu - D b
    def est(W):
        return (D @ W @ mu) / (D @ W @ D)
    b1 = est(np.eye(N))                                  # 第一步：单位权重
    h = R * (1 - b1 * f)[:, None]                        # 各期矩贡献（i.i.d.，无需 HAC）
    S = np.cov(h.T, bias=True)
    Si = np.linalg.inv(S)
    b2 = est(Si)                                         # 第二步：有效权重 S^{-1}
    g = mu - D * b2
    se = np.sqrt(1 / (D @ Si @ D) / T)
    J = T * g @ Si @ g                                   # ~ chi2(N-1)
    return b2, se, J, g

T, N = 600, 10                                           # 50 年月度数据，10 个组合
beta = np.linspace(0.5, 1.5, N)
def simulate(alpha):
    f = 0.6 + 4.5 * rng.standard_normal(T)              # 市场超额收益 (%)，均值 0.6
    eps = 2.0 * rng.standard_normal((T, N)) * (1 + 0.3 * np.abs(f[:, None]) / 4.5)
    return alpha + f[:, None] * beta + eps, f

R, f = simulate(np.zeros(N))
b, se, J, g = sdf_gmm(R, f)
print(f"CAPM 成立: b={b:.4f} (se {se:.4f}), J={J:.2f}, p={stats.chi2.sf(J, N-1):.3f}")
print("  理论 b = E f / E f^2 =", round(0.6 / (0.6**2 + 4.5**2), 4))
alpha = np.zeros(N); alpha[:3] = 0.35                    # 三个组合有 0.35%/月 的定价误差
R, f = simulate(alpha)
b, se, J, g = sdf_gmm(R, f)
print(f"存在 alpha: b={b:.4f} (se {se:.4f}), J={J:.2f}, p={stats.chi2.sf(J, N-1):.4f}")
print("  定价误差 g (%/月):", g.round(2))
# J 检验的水平
Js = [sdf_gmm(*simulate(np.zeros(N)))[2] for _ in range(1000)]
print("零假设下 J 的 5% 拒绝率:", np.mean(np.array(Js) > stats.chi2.ppf(0.95, N-1)).round(3))

输出：

CAPM 成立: b=0.0346 (se 0.0083), J=10.46, p=0.315
  理论 b = E f / E f^2 = 0.0291
存在 alpha: b=0.0424 (se 0.0087), J=59.63, p=0.0000
  定价误差 g (%/月): [ 0.4   0.36  0.16 -0.15 -0.21 -0.3  -0.35 -0.28 -0.21 -0.38]
零假设下 J 的 5% 拒绝率: 0.06

解读：模型成立时，\(\hat b=0.035\)，与理论值 \(E f/E f^2=0.029\) 相差不到一个标准误，J 检验不拒绝（\(p=0.32\)）。三个组合存在每月 0.35% 的 alpha 时，J 高达 59.6，强烈拒绝。注意估计出的定价误差 \(\mathbf g\) 不只集中在那三个组合上：GMM 调整 \(b\) 去「迁就」所有矩条件，把误差分摊到其他组合上（这就是为什么检验要看联合的 J，而不是逐个看 \(g_i\)）。1000 次模拟中 J 的拒绝率 6%，接近名义 5%。这里矩贡献 \(h_t\) 是 i.i.d. 的，对应 19.7.7 节的情形二，无需 HAC；如果用重叠收益或误差序列相关，\(\hat{\mathbf S}\) 必须改用 Newey–West。

本章小结

GLS 把模型左乘 \(\boldsymbol\Omega^{-1}\) 的平方根，使变换后的误差满足高斯–马尔可夫条件，得到 BLUE \((\mathbf X'\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf Y\)；\(\boldsymbol\Omega\) 未知时用可行 GLS，WLS 是对角情形的特例。但 GLS 需要严格外生 \(E(\mathbf U\mid\mathbf X)=\mathbf 0\)，在预期驱动的时间序列中常不成立，这时 GLS 不一致而 OLS 一致。IV 回归中，TSLS \(=(\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf X)^{-1}\mathbf X'\mathbf P_Z\mathbf Y\)，异方差下渐近协方差是以 \(\mathbf H=E(\mathbf Z_i\mathbf Z_i'u_i^2)\) 为「肉」的三明治，残差须用原始 \(\mathbf X\) 计算。TSLS 是权重 \((\mathbf Z'\mathbf Z)^{-1}\) 的线性 GMM；同方差下它就是有效 GMM，异方差下有效 GMM 的权重是 \(\mathbf H^{-1}\)，两步法可行且渐近有效，GMM J 统计量渐近服从 \(\chi^2_{m-k}\)。时间序列中，误差序列相关时 \(\mathbf H\) 要用 HAC 估计；误差是不可预测的冲击时则无需 HAC，这正是资产定价欧拉方程 GMM 检验的框架。

练习

基础

1. （原书复习题 19.4）什么情况下 GLS 比 OLS 更有效？为什么实践中常常不用 GLS？ 答案要点：误差协方差非球形且已知（或可一致估计）、严格外生成立时；\(\boldsymbol\Omega\) 难以正确设定，且严格外生常不成立。
2. （原书复习题 19.5）构造一个满足 \(E(u_i\mid X_i)=0\) 但 \(E(\mathbf U\mid\mathbf X)\ne\mathbf 0\) 的例子。 提示：\(X_t=Y_{t-1}\) 的自回归。
3. 证明当 \(\boldsymbol\Omega=\sigma^2\mathbf I\) 时 GLS 等于 OLS；当 \(\boldsymbol\Omega\) 对角、对角元为 \(\lambda h(X_i)\) 时 GLS 等于 WLS。
4. 恰好识别（\(m=k\)）时，证明对任意可逆的 \(\mathbf A\)，(19.59) 都等于 \((\mathbf Z'\mathbf X)^{-1}\mathbf Z'\mathbf Y\)。这说明什么？ 提示：\(\mathbf X'\mathbf Z\) 是方阵且可逆，\(\mathbf A\) 相消；恰好识别时权重无关紧要，J 恒为零。
5. 手工做两阶段回归时，为什么第二阶段软件报告的标准误是错的？ 提示：残差用了 \(\hat{\mathbf X}\) 而不是 \(\mathbf X\)，\(\hat\sigma_u^2\) 估计错误。

进阶

6. （原书习题 19.8）\(u_i=0.5u_{i-1}+\tilde u_i\)，\(\tilde u_i\) i.i.d.。写出 \(\boldsymbol\Omega\)，并给出不必显式求逆的 GLS 变换（准差分，第一个观测乘以 \(\sqrt{1-0.25}\)）。 提示：\(\Omega_{ij}=\sigma_{\tilde u}^2\,0.5^{|i-j|}/(1-0.25)\)。
7. 在示例一中，把误差改为 AR(1)（\(\rho=0.7\)），回归元反馈改为 \(x_t\) 含 \(u_{t-1}\) 的新息部分但与 \(u_t\) 不相关。重新设计 \(x_t\) 使 OLS 一致而 GLS（准差分）不一致，并用模拟验证。 提示：准差分后的误差 \(u_t-\rho u_{t-1}\) 与 \(x_t-\rho x_{t-1}\) 的相关涉及 \(\mathrm{cov}(x_t,u_{t-1})\)。
8. （原书习题 19.12）证明有效 GMM 是 (19.65) 的解；证明两步估计量与不可行有效 GMM 渐近等价；证明 \(J^{GMM}\xrightarrow{d}\chi^2_{m-k}\)。
9. （原书习题 19.14）证明 (19.63) 与 Key Concept 12.6 的 J 统计量相等。 提示：TSLS 残差与包含的外生变量 \(\mathbf W\) 和常数正交（正规方程），对 \(\mathbf Z\) 回归时它们的系数为零。
10. 在示例三中，把因子换成两个（市场与一个风格因子），SDF 为 \(m=1-b_1f_1-b_2f_2\)。写出线性 GMM 的矩阵公式，并检验「风格因子不被定价」（\(b_2=0\)）。再把收益换成 12 个月重叠收益，说明 \(\hat{\mathbf S}\) 应如何修改。 提示：\(\mathbf g(\mathbf b)=\bar{\mathbf R}^e-\mathbf D\mathbf b\)，\(\mathbf D=\frac1T\sum\mathbf R^e_t\mathbf f_t'\)；重叠时用 Newey–West，滞后至少 11。

原书推荐习题：19.8（AR(1) 误差的 GLS 与准差分）；19.12、19.14（有效 GMM 与 J 统计量）；复习题 19.4、19.5。

原书对照

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。