第 15b 章 非平稳性：随机趋势与结构突变

本章接第 15a 章，讲原书第 15 章的 15.7–15.9 节。第 15a 章的一切推断与预测都建立在平稳性之上；本章讨论平稳性被破坏的两种最常见方式——趋势与突变：它们会造成什么问题，怎样检验，怎样处理。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 区分确定性趋势与随机趋势，说明随机游走、单位根与随机趋势的关系，以及 AR(p) 平稳的条件。
2. 解释随机趋势带来的三个问题：自回归系数下偏、t 统计量非正态、伪回归，并能用模拟复现。
3. 用 Dickey–Fuller 与增广 Dickey–Fuller（ADF）检验单位根，正确选择是否含时间趋势、使用专用临界值、用 AIC 选滞后，并理解「不能拒绝 ≠ 有单位根」。
4. 用 Chow 检验（已知日期）和 QLR 检验（未知日期）检验回归系数的稳定性，查表 15.5 的临界值并估计突变日期。
5. 用伪样本外预测诊断样本末端的模型失效，知道发现突变后怎样重新估计。
6. 把这些工具用于收益与价格建模、配对交易的价差检验、因子与信号的体制变化检测。

读前导读

这一章在解决什么问题

第 15a 章所有好结论都写着一个前提：序列平稳。本章讲这个前提被打破的两种方式，以及打破后会出什么事。

第一种是趋势，尤其是随机趋势（单位根）。股价、GDP、汇率的水平值都属于这一类。你在 CFA 二级见过：「AR(1) 的 \(b_1=1\) 时序列是随机游走，没有有限的均值回复水平，要先差分」，也见过 Dickey–Fuller 检验的名字。本章讲清楚为什么 \(b_1=1\) 这么麻烦：OLS 估计系统性偏低、t 统计量不再服从正态分布、两个毫不相关的序列也会回归出「高度显著」的关系（伪回归）。量化里「对收益建模，不对价格建模」的规矩、配对交易为什么要检验价差平稳，都源于此。

第二种是结构突变：回归关系本身在某个时点变了。因子在被大量使用后失效、监管制度改变、金融危机，都属于这一类。本章给出两个检验：已知日期用 Chow 检验，未知日期用 QLR 检验（把每个可能日期都试一遍，取最大的 F）。后者特别重要，因为「看着图挑一个转折点再检验」在量化研究里极其常见，而那样做的 p 值是假的。

需要先想起来的数学

• 随机游走的方差累加：\(Y_t=u_1+u_2+\cdots+u_t\)，各 \(u\) 独立同方差，所以 \(\text{var}(Y_t)=t\sigma_u^2\)。这和「年化波动率 = 日波动率 × \(\sqrt{252}\)」是同一个道理：方差随时间线性增长，标准差随 \(\sqrt t\) 增长。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 多项式的根：AR(p) 是否平稳取决于 \(1-\beta_1z-\cdots-\beta_pz^p=0\) 的根。只需会一招：把 \(z=1\) 代进去，若结果为 0，就有单位根，等价于所有 AR 系数之和等于 1。例：\(Y_t=1.3Y_{t-1}-0.3Y_{t-2}+u_t\)，\(1.3-0.3=1\)，有单位根。
• 单侧检验与临界值：DF 检验是左侧单侧检验，拒绝域是「足够负」。你熟悉的正态 5% 单侧临界值是 −1.645；本章的新东西是，原假设成立时统计量不服从正态，临界值要查专门的表。见 第 00 册第 08 章 读懂数学证明与符号 中关于假设与结论的读法。
• 多重比较：同时做很多次检验、取最显著的那个，犯第一类错误的概率会远大于名义水平。QLR 临界值偏大就是对这一点的修正。

术语提醒：「I(1)」读作「一阶单整」，指差分一次后平稳的序列；「功效」（power）是原假设为假时正确拒绝它的概率；「鞅」（martingale）是「对未来变化的最佳预测为 0」的序列，有效市场下的价格就是鞅的典型例子。

怎么读这一章

核心必读：15.7.2（随机游走与单位根）、15.7.3（三个问题，特别是伪回归）、15.7.4（DF/ADF 检验，重点是临界值和「不能拒绝 ≠ 有单位根」）、15.8.3（QLR 与「你以为知道日期」的警告）。15.8.2 的 Chow 检验是第 8 章哑变量交互的直接应用，复习即可。15.8.4 的伪样本外诊断和 GDP 应用可以快速读，记住「一个极端季度就能左右 RMSFE」这个教训。量化实战部分关于配对交易的三条要点值得反复看。

15.7 非平稳性 I：趋势

若因变量或回归元非平稳，常规检验、置信区间和预测都可能不可靠。具体问题和对策取决于非平稳的类型。本节讲趋势，下一节讲突变；两节都按「是什么 → 忽略它的后果 → 怎样检验 → 怎样处理」展开。

15.7.1 什么是趋势

趋势（trend）是变量随时间持久的长期运动，序列围绕趋势波动。对数 GDP 有明显的上升趋势；失业率的趋势在 1960 年代末到 1980 年代初上升、之后下降、2000 年代初后又上升；美元/英镑在 1972 年后长期下降；日本工业生产（对数）的趋势先快、后慢、最后几乎为零。

• 确定性趋势（deterministic trend）是时间的非随机函数，例如对数 GDP 每季增长 0.75 个百分点，趋势为 \(0.75t\)。
• 随机趋势（stochastic trend）是随机的、随时间变化的。它可以是长时间上升后长时间下降（失业率），也可以更微妙：GDP 趋势增长率并不恒定（1960 年代快于 1970 年代，1990 年代快于 2000 年代）。

作者的观点是：经济序列更适合用随机趋势建模。确定性趋势意味着长期走势可以准确预知，这与人们年复一年面对的意外不符。1970 年代失业率的上升既不是注定永远上升，也不是注定回落，而是人口结构变化、油价冲击、生产率放缓和货币政策失误共同造成的。下文「趋势」默认指随机趋势。

15.7.2 随机游走与单位根

最简单的随机趋势模型是随机游走（random walk）：

严格定义要求 \(u_t\) i.i.d.；本书更宽泛地只要求 \(E(u_t\mid Y_{t-1},Y_{t-2},\dots)=0\)，满足 \(E(\Delta Y_t\mid Y_{t-1},\dots)=0\) 的序列又称鞅（martingale）。含义是：明天的值 = 今天的值 + 不可预测的变化，最佳预测就是今天的值。

随机游走的方差随时间增长（原书习题 15.13）：设 \(Y_0=0\)，则 \(Y_t=u_1+\cdots+u_t\)，\(E(Y_t)=0\)，\(\text{var}(Y_t)=t\sigma_u^2\)，\(\text{cov}(Y_t,Y_{t-k})=(t-k)\sigma_u^2\)。分布随 \(t\) 改变，所以非平稳。

推导拆解：协方差为什么是 \((t-k)\sigma_u^2\)。

1. 把 \(Y_t\) 拆成两段：\(Y_t=Y_{t-k}+(u_{t-k+1}+\cdots+u_t)\)，后一段是最近 \(k\) 期的新冲击。
2. 新冲击与 \(Y_{t-k}\)（由更早的冲击组成）不相关，所以 \(\text{cov}(Y_t,Y_{t-k})=\text{cov}(Y_{t-k},Y_{t-k})=\text{var}(Y_{t-k})=(t-k)\sigma_u^2\)。
3. 相关系数 \(=\frac{(t-k)\sigma_u^2}{\sqrt{t\sigma_u^2\cdot(t-k)\sigma_u^2}}=\sqrt{(t-k)/t}\)。\(t\) 很大时它接近 1，哪怕 \(k\) 不小。

第 3 步解释了随机游走的样本自相关图为什么「衰减极慢」：\(\hat\rho_1,\hat\rho_2,\dots\) 都接近 1，而平稳 AR(1) 的自相关按 \(\beta_1^j\) 几何下降。看到 ACF 几乎不衰减，就该怀疑单位根。

带漂移的随机游走（random walk with drift）：

\(\beta_0>0\) 时平均上升，最佳预测是今天的值加 \(\beta_0\)。对数股价通常就用这个模型描述。

与自回归的关系。随机游走是 AR(1) 中 \(\beta_1=1\) 的特例。\(|\beta_1|<1\) 时 AR(1) 平稳（第 15a 章）；\(\beta_1=1\) 时含随机趋势、非平稳。更一般地，AR(p) 平稳要求多项式 \(1-\beta_1z-\beta_2z^2-\cdots-\beta_pz^p\) 的根的绝对值都大于 1。若有一个根等于 1，称该 AR 有单位自回归根，简称单位根（unit root）。有单位根与含随机趋势是同一回事。

一个例子（原书习题 15.11）：若 \(\Delta Y_t=b_1\Delta Y_{t-1}+u_t\) 平稳，则 \(Y_t=(1+b_1)Y_{t-1}-b_1Y_{t-2}+u_t\)，两个 AR 系数之和为 1，多项式 \(1-(1+b_1)z+b_1z^2=(1-z)(1-b_1z)\) 在 \(z=1\) 处为零。水平值有单位根，差分后平稳——这类序列称为一阶单整，记 I(1)。

白话解释：「根的绝对值大于 1」这个条件为什么和「平稳」有关？以 AR(1) 为例，多项式 \(1-\beta_1z=0\) 的根是 \(z=1/\beta_1\)。根在 1 之外 \(\Leftrightarrow|1/\beta_1|>1\Leftrightarrow|\beta_1|<1\)，正是冲击按 \(\beta_1^j\) 衰减的条件。高阶 AR 的冲击衰减由好几个这样的「衰减因子」叠加决定（每个根贡献一个 \(1/z\)），只要所有根都在单位圆外，每个因子都在衰减，序列就平稳；有一个根恰好等于 1，对应的因子就是「1 的 \(j\) 次方」，冲击永不消失。

金融直觉：「冲击永不消失」就是单位根的经济含义。若对数股价有单位根，今天一则利空让股价下跌 5%，这 5% 在预期上永远不会「补回来」；若价格是平稳的，跌下去的部分会被预期逐步回补。有效市场假说对应前者，均值回复策略押注后者。

15.7.3 随机趋势带来的问题

问题 1：自回归系数下偏，t 统计量非正态。 回归元有随机趋势时，常规 OLS t 统计量在原假设下即使大样本也不服从正态分布，自回归系数的估计偏向 0。对预测而言，真实系数为 1 时 OLS 估计倾向小于 1，预测有系统偏差；而 t 统计量非正态，常规推断也发现不了。原书复习题 15.3 问：AR(1) 中 \(\hat\beta_1=0.88\)、SE 0.03，常规 95% CI \([0.82,0.94]\) 不含 1，能否据此排除单位根？答案是不能——在单位根附近常规置信区间不可靠，要用下面的 DF 检验。本章代码第 2 部分显示，\(T=100\) 的随机游走 AR(1) 估计的平均值只有 0.947。

问题 2：伪回归（spurious regression）。两个相互独立但都有随机趋势的序列，以很高的概率「看起来」显著相关。原书的例子：美国失业率与日本工业生产（对数）在 1960 年代中期到 1980 年代初都稳步上升。1962–1985 年：

斜率 \(t=7\)。换成 1986–2017 年：

结论完全相反。根源是两个序列都有随机趋势，前一段恰好同向，后一段反向；没有任何经济理由认为两者相关。

白话解释：伪回归为什么「数据越多越糟」？常规 t 检验的逻辑是：残差独立，样本越大，标准误越小，真实为零的系数估计值会越来越靠近 0。但两个独立随机游走回归时，残差本身也是随机游走（\(Y\) 减去一个常数倍的 \(X\)，仍是两个随机游走的组合），高度自相关。OLS 的标准误公式假设残差独立，严重低估了真实的不确定性；同时，斜率估计不会收敛到 0，而是收敛到一个随机变量（每次模拟不同）。于是 \(T\) 越大，标准误被算得越小，而系数不缩，t 值越来越大。

一个实用的识别信号：水平回归 \(R^2\) 很高、残差的 Durbin–Watson 统计量很低（残差高度正自相关），这是伪回归的典型面貌。原书习题 15.6 用蒙特卡洛说明：两个独立随机游走回归，\(|t|>1.96\) 的比例远超 5%，而且随 \(T\) 增大趋向 1，而不是趋向 5%。更多数据不能拯救伪回归。

特例：协整。如果两个序列的随机趋势相同，即存在 \(\theta\) 使 \(Y_t-\theta X_t\) 平稳，称它们协整（cointegrated）。此时水平回归是有意义的，相应方法见第 17b 章。配对交易的统计基础正是协整。

15.7.4 检验随机趋势：Dickey–Fuller 检验

先看时序图，若像有趋势，再做正式检验。

AR(1) 中的 DF 检验。原假设单位根，备择平稳：

两边减去 \(Y_{t-1}\)，令 \(\delta=\beta_1-1\)：

检验 \(\delta=0\) 的 OLS t 统计量称为 Dickey–Fuller 统计量（Dickey & Fuller 1979），用仅同方差标准误计算（单位根原假设下，这个 t 统计量其实对异方差也是稳健的，这是一个特殊结果）。

推导拆解：从 (15.30) 到 (15.31) 只做了一件事——两边同减 \(Y_{t-1}\)。左边 \(Y_t-Y_{t-1}=\Delta Y_t\)；右边 \(\beta_1Y_{t-1}-Y_{t-1}=(\beta_1-1)Y_{t-1}=\delta Y_{t-1}\)。两个回归是同一个模型，\(\hat\delta=\hat\beta_1-1\)，标准误也相同，所以 t 统计量 \(\hat\delta/SE\) 就是 \((\hat\beta_1-1)/SE(\hat\beta_1)\)。改写的好处是：原假设变成「某个系数等于 0」，和常规回归输出直接对应。

原假设为什么是「有单位根」而不是「平稳」？因为单位根是一个点（\(\delta=0\)），平稳是一个区间（\(\delta<0\)）。点原假设下统计量的分布可以算出来，才能给临界值。代价是：拒绝时结论有力（「平稳」），不拒绝时只能说「证据不足」。

为什么分布不是正态？平稳回归里，\(\sum Y_{t-1}^2\) 随 \(T\) 线性增长，中心极限定理成立；单位根下 \(Y_{t-1}\) 的方差本身随 \(t\) 增长，\(\sum Y_{t-1}^2\) 按 \(T^2\) 增长，而且始终是一个随机量，不收敛到常数。结果是 t 统计量收敛到一个用布朗运动积分表示的非标准分布，并且偏向负值。这里不必掌握推导，只需记住「要查专门的表」。

临界值。单位根原假设下 DF 统计量即使大样本也不服从正态分布，要用专用临界值；备择是平稳（\(\delta<0\)），所以是单侧（左侧）检验。

表 15.4　ADF 统计量的大样本临界值

它们比标准正态的单侧临界值（10% −1.28，5% −1.64）负得多。本章代码模拟了 \(T=100\) 时 DF 统计量的分位数，与表 15.4 吻合；如果误用 −1.64，在真实单位根下有约 46% 的概率错误地宣布「平稳」。

增广 DF（ADF）检验。AR(p) 时加入 \(p-1\) 个 \(\Delta Y_t\) 的滞后：

推导拆解：为什么 AR(p) 写成 (15.32) 后，单位根就对应 \(\delta=0\)。以 AR(2) 为例（与练习 8 相同）：

1. \(Y_t=\beta_0+\beta_1Y_{t-1}+\beta_2Y_{t-2}+u_t\)。把 \(Y_{t-2}\) 写成 \(Y_{t-1}-\Delta Y_{t-1}\)。
2. 代入：\(Y_t=\beta_0+(\beta_1+\beta_2)Y_{t-1}-\beta_2\Delta Y_{t-1}+u_t\)。
3. 两边减 \(Y_{t-1}\)：\(\Delta Y_t=\beta_0+(\beta_1+\beta_2-1)Y_{t-1}-\beta_2\Delta Y_{t-1}+u_t\)。
4. 所以 \(\delta=\beta_1+\beta_2-1\)，\(\gamma_1=-\beta_2\)。单位根 \(\Leftrightarrow\) 系数之和为 1 \(\Leftrightarrow\delta=0\)。

加入差分滞后的作用是吸收短期动态，让误差 \(u_t\) 不再自相关，否则 DF 统计量的分布会偏离表 15.4。这也是「滞后宁多勿少」的原因：少了会让检验失真，多了只是损失一点功效。

\(H_0:\delta=0\)（随机趋势），\(H_1:\delta<0\)（平稳），\(\delta\) 的 t 统计量即 ADF 统计量。\(p\) 未知，可用信息准则选；研究表明 ADF 的滞后宁多勿少，建议用 AIC 而不是 BIC（Stock 1994；Haldrup & Jansson 2006）。

以「围绕线性趋势平稳」为备择。失业率这类长期不增长的序列，备择「围绕常数均值平稳」合适；GDP、股价这类长期增长的序列，备择应为「围绕确定性线性趋势平稳」，把时间 \(t\) 加入回归：

临界值用表 15.4 第二行。

白话解释：含不含时间趋势，取决于备择假设想表达什么。对数股价长期向上，如果备择只是「围绕一个常数平稳」，那显然不对，检验会因为设定错误而几乎永远不拒绝。把 \(t\) 放进去，备择变成「围绕一条直线平稳」（趋势平稳），这才是有意义的竞争对手。代价是临界值更负（5% 从 −2.86 变成 −3.41），更难拒绝。经验规则：序列有明显长期增长就加趋势；收益率、利差、价差这类没有长期增长的序列只加截距。

美国 GDP 有随机趋势吗？ 含两阶滞后差分的 ADF 回归：

ADF \(t=-1.95\)，含趋势的 10% 临界值是 −3.12，−1.95 不够负，10% 水平不能拒绝「对数 GDP 有单位根」。原书习题 15.3 对美国工业生产（对数）做同样的检验，\(t\approx-0.0070/0.0037\approx-1.89\)，也不能拒绝，因而支持对增长率建模。

解读要点：DF 检验的功效（power）通常较低。不能拒绝单位根不等于证明了单位根，只是证据不足以排除它；一个 \(\beta_1=0.95\) 的平稳 AR(1) 在几百个观测里也常常无法与随机游走区分（见本章代码）。

15.7.5 避免随机趋势带来的问题

最可靠的办法是差分：若 \(Y_t=\beta_0+Y_{t-1}+u_t\)，则 \(\Delta Y_t=\beta_0+u_t\) 平稳。实践中很少能确定是否真有单位根，但即使根只是接近 1，把它近似为 1、改用差分（增长率、收益率）通常也是合理的（Stock & Watson 1988）。

15.8 非平稳性 II：结构突变

15.8.1 什么是突变

第二类非平稳是总体回归函数在样本期内发生变化，称为突变（break）。原因包括经济政策变化、经济结构变化、发明带来的行业变化。突变可以是某日期的离散变化（1972 年布雷顿森林体系瓦解后，美元/英镑汇率的行为彻底改变），也可以是较长时期内系数的缓慢演变。

问题：样本期内有突变时，全样本 OLS 估计的是两个时期的「平均」关系。视突变位置与大小，这个平均回归函数可能与样本末端的真实回归函数差别很大，预测就会很差。

15.8.2 已知日期的突变：Chow 检验

假设突变日期为 \(\tau\)，令 \(D_t(\tau)=0\)（\(t\le\tau\)）、\(=1\)（\(t>\tau\)）。以 ADL(1,1) 为例，加入哑变量及其与回归元的交互（第 8 章 Key Concept 8.4）：

无突变的原假设是 \(\gamma_0=\gamma_1=\gamma_2=0\)，用（稳健）F 统计量检验，称为已知日期的 Chow 检验（Chow 1960）。只关心部分系数时，只为这部分系数构造交互项。

白话解释：(15.35) 怎么读。\(t\le\tau\) 时 \(D_t=0\)，模型就是 \(Y_t=\beta_0+\beta_1Y_{t-1}+\delta_1X_{t-1}\)；\(t>\tau\) 时 \(D_t=1\)，模型变成 \(Y_t=(\beta_0+\gamma_0)+(\beta_1+\gamma_1)Y_{t-1}+(\delta_1+\gamma_2)X_{t-1}\)。所以 \(\gamma\) 们就是「突变后减突变前」的系数变化量，检验它们全为零就是检验关系没变。

金融直觉：检验「2015 年后价值因子溢价是否改变」，就是把因子收益对常数回归，加上 2015 年后的哑变量，看哑变量系数是否显著。用 CAPM 检验「某基金在换基金经理后 alpha 和 beta 是否改变」，就是对截距和市场收益都加交互项，\(q=2\)。

15.8.3 未知日期的突变：QLR 检验

突变日期通常未知，或只知道大概范围 \([\tau_0,\tau_1]\)。对区间内每个可能日期计算 Chow F 统计量，取最大者：

Key Concept 15.8　QLR 检验（Quandt likelihood ratio，又称 sup-Wald）

1. 可以检验全部或部分系数的突变；
2. 原假设下的大样本分布依赖于约束个数 \(q\)（允许突变的系数个数，含截距）和端点比例 \(\tau_0/T\)、\(\tau_1/T\)；
3. 能检测单个离散突变、多个离散突变或回归函数的缓慢演变；
4. 若有明确的离散突变，使 F 最大的日期 \(\hat\tau\) 就是突变日期的估计。

修剪（trimming）。端点太接近样本首尾时大样本近似很差，因此只在样本中间部分计算。常用 15% 修剪：\(\tau_0=0.15T\)，\(\tau_1=0.85T\)，即在中间 70% 的日期上计算 F。

表 15.5　QLR 统计量的临界值（15% 修剪）

（原书给出 \(q=1\) 到 20 的完整表；其他修剪比例见 Andrews 2003。）QLR 临界值比 \(F_{q,\infty}\) 的临界值大得多（\(q=2\) 时 5% 临界值 5.86 对 3.00），因为考察了许多日期，「碰上」一个大 F 的机会多。这与第 07 章的多重检验是同一个道理。

白话解释：为什么不能直接用 Bonferroni 修正（把 5% 除以候选日期数）？因为相邻日期的 Chow F 高度相关：在第 100 期切一刀和在第 101 期切一刀，两个子样本几乎一样，F 也差不多。真正「独立的尝试次数」远少于候选日期数，Bonferroni 会过于保守。QLR 的表是在原假设下直接模拟「最大 F」的分布得到的，自动考虑了这种相关性。

修剪的意义也可以这么理解：如果允许在第 3 期切一刀，前一段只有 3 个观测，估计出的系数几乎是乱的，F 可能极大，但毫无意义。15% 修剪保证两段都至少有 15% 的数据。

警告：即使你认为知道突变日期，你可能也并不知道。 如果「专家」知道的日期来自对这个序列本身的观察（例如在图上看到某处有跳跃），那么日期实际上已经被数据非正式地估计过了，常规 F 临界值不再适用，应使用 QLR。量化研究中，「看图选一个体制切换点再做 Chow 检验」是一种典型的数据窥探。

应用：期限利差的预测力是否稳定？ 检验第 15a 章 ADL(2,2)（式 15.15）中截距及 TSpread\(_{t-1}\)、TSpread\(_{t-2}\) 系数的稳定性，\(q=3\)，在样本中间 70% 计算。各日期的 Chow F 中，1975:Q1 为 2.07，最大值 6.47 出现在 1980:Q4，即 QLR \(=6.47\)，超过 \(q=3\) 的 1% 临界值 6.02，在 1% 水平拒绝稳定性。

15.8.4 用伪样本外预测检测突变

预测模型的终极检验是样本外表现。伪样本外预测模拟实时预测，特别适合发现样本末端附近的突变（QLR 因修剪看不到那里）。

• 最直接的做法：把样本内拟合值、伪样本外预测和实际值画在同一张图上，伪样本外期预测明显恶化是危险信号。
• 比较 \(\text{MSFE}_{POOS}\) 与在同一估计样本上算出的 \(\text{MSFE}_{FPE}\)：平稳时两者应接近，POOS 远大于 FPE 提示模型失效。
• 检验伪样本外误差的均值是否为零：模型稳定时应为零。

应用：期限利差的预测力在 2000 年代是否改变？ QLR 显示 1980 年代初有突变。那么之后是否稳定？用 1981:Q1–2002:Q4 作为初始估计样本，按 KC 15.7 生成 2003:Q1–2017:Q3 的伪样本外预测（例如 2006:Q4 实际增长 3.1%，预测 1.6%，误差 1.5）。

• 伪样本外误差均值为 −0.57，检验均值为零的 \(t=-2.00\)，5% 水平拒绝——预测平均偏高。
• 但 RMSFE\(_{FPE}\) \(=2.45\)（1981–2002），RMSFE\(_{POOS}\) \(=2.29\)（2003–2017），样本外反而略好。
• 伪样本外预测除 2008 年末到 2009 年初（金融危机期间 GDP 最剧烈的下降）外大体跟踪实际值；只剔除 2008:Q4 一个季度，RMSFE\(_{POOS}\) 就从 2.29 降到 1.85。

白话解释：误差均值的 t 检验怎么做？把 \(P\) 个伪样本外误差当作一列数据，计算均值 \(\bar e\) 和标准误 \(s_e/\sqrt P\)，\(t=\bar e/(s_e/\sqrt P)\)。这里约 59 个季度、均值 −0.57、\(t=-2.00\)，倒推 \(s_e\approx0.57\times\sqrt{59}/2\approx2.2\)，与 RMSFE 2.29 的量级一致。严格说，若误差有自相关（一步预测下通常较弱），应换用 HAC 标准误（第 16 章）。

结论：除 2008 年末的骤降外，ADL(2,2) 在 2003–2017 年的表现好于样本内。一个季度就能左右整个评价，说明 RMSFE 对极端值非常敏感。原书脚注补充：2008 年三季度费城联储调查的专业预测者对四季度 GDP 增长的中位预测为 0.7%，也远高于实际的 −8.5%。

15.8.5 避免突变带来的问题

对策取决于突变的来源。若有明确的离散突变，QLR 会以高概率检测到并给出日期；然后用指示两个子样本的哑变量（及与其他回归元的交互）重新估计；若所有系数都突变，就等价于只用突变后的数据估计。确有明确突变时，后续推断照常使用正态临界值，预测使用突变后的模型。若是参数缓慢、持续地变化，对策更复杂，超出本书范围（Hansen 2001；Hamilton 1994 第 13 章）。

15.9 第 15 章结论

时间序列变量通常与自身的过去相关，因此可以用线性回归基于当前与过去值预测未来：起点是自回归，再加入其他预测变量的滞后（第 15a 章）。平稳性是这一切的前提。随机趋势会使系数下偏、t 统计量非正态并产生伪回归，可用 ADF 检验发现、用差分消除；结构突变会使全样本估计失去意义，可用 QLR 和伪样本外预测发现，并用突变后的数据重新估计。本章的回归都是为预测服务的，系数一般没有因果解释；在适当条件下估计动态因果效应是下一章的主题。

量化实战

本章方法在量化里的位置

对收益建模，不对价格建模。 对数价格近似带漂移的随机游走（单位根），所以研究和预测几乎总在收益率（对数差分）上进行。在价格水平上做回归、算相关、做均线以外的任何统计推断，都要先想到伪回归：两个各自上涨的资产（或一个资产与一个宏观总量）在水平上的高 \(R^2\)、高 t 值可能毫无意义。

配对交易与统计套利。 价差、基差、利差是否均值回复，就是对它做 ADF 检验。若两只股票的对数价格协整，价差平稳，就可以围绕均值做反向交易；若价差本身有单位根，「偏离后回归」只是错觉。实务要点：

• 先用 ADF 确认单个价格是 I(1)，再检验价差；协整系数需要估计时，临界值要用 Engle–Granger 的版本（第 17b 章），不能用表 15.4。
• ADF 功效低：一个半衰期较长（例如 \(\beta_1=0.95\)，半衰期约 14 期）的平稳价差，在一两年日度数据里常常检验不显著。反过来，在成百上千个股票对中筛选「最显著」的配对，又会遇到多重检验问题。
• 检验通过不代表关系不会断：协整关系本身可以发生结构突变（并购、行业变迁）。

持续性预测变量。 估值比率、利差等预测变量接近单位根，用它们预测收益时系数估计有小样本偏差、t 检验失真（Stambaugh 偏差）。这是 15.7.3 节问题 1 在预测回归中的表现。

因子与信号的体制变化。 因子收益、信号的预测系数可能在某个时点改变（市场制度变化、信号被广泛使用后的拥挤、金融危机）。用 QLR 检验因子溢价或预测回归系数的稳定性，比看图挑日期再做 Chow 检验可靠。检测到突变后，可以用突变后数据重估，或者改用滚动窗口。

走步回测中的诊断。 伪样本外误差均值显著不为零、POOS RMSFE 显著高于样本内 FPE，都是信号衰减或失效的警报。2008 年第四季度这样的极端期会主导 RMSFE，报告时应同时给出剔除极端期的结果和更稳健的指标（如平均绝对误差）。

示例：伪回归、DF 分布、ADF 检验、QLR 与突变后的预测

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

rng = np.random.default_rng(6)

def ols(y, X):
    b, *_ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
    e = y - X @ b
    return b, e

# ---- 1. 伪回归：两个独立随机游走，水平回归 vs 差分回归 ----
print("T    |t|>1.96 比例(水平)  R2中位数  |t|>1.96 比例(差分)")
for T in [50, 100, 200, 400]:
    rej, r2s, rejd = 0, [], 0
    for _ in range(2000):
        y = np.cumsum(rng.standard_normal(T)); x = np.cumsum(rng.standard_normal(T))
        for (yy, xx, diff) in [(y, x, False), (np.diff(y), np.diff(x), True)]:
            X = np.column_stack([np.ones(len(xx)), xx])
            b, e = ols(yy, X)
            s2 = e @ e / (len(yy) - 2)
            se = np.sqrt(s2 * np.linalg.inv(X.T @ X)[1, 1])
            if diff: rejd += abs(b[1]/se) > 1.96
            else:
                rej += abs(b[1]/se) > 1.96
                r2s.append(1 - e @ e / np.sum((yy - yy.mean())**2))
    print(f"{T:<5d}  {rej/2000:.3f}               {np.median(r2s):.3f}     {rejd/2000:.3f}")

# ---- 2. 单位根下的 OLS：系数下偏、DF 统计量非正态 ----
T, R = 100, 20000
e = rng.standard_normal((R, T))
Y = np.cumsum(e, axis=1)                         # 真 beta1 = 1 的随机游走
ylag, dy = Y[:, :-1], np.diff(Y, axis=1)
yl_c = ylag - ylag.mean(1, keepdims=True); dy_c = dy - dy.mean(1, keepdims=True)
delta = np.sum(yl_c*dy_c, 1) / np.sum(yl_c**2, 1)          # ΔY 对 (1, Y_{t-1}) 回归的斜率
resid = dy_c - delta[:, None]*yl_c
se = np.sqrt(np.sum(resid**2, 1)/(T-1-2) / np.sum(yl_c**2, 1))
tDF = delta/se
print(f"\nT=100 随机游走: beta1_hat 均值 = {1+delta.mean():.3f}（真值 1）")
print("DF t 统计量分位数 1%/5%/10%:", np.round(np.quantile(tDF, [.01, .05, .10]), 2),
      " 表15.4(仅截距): -3.43/-2.86/-2.57;  正态: -2.33/-1.64/-1.28")
print(f"若误用正态 5% 单侧临界值 -1.64，拒绝率 = {np.mean(tDF < -1.645):.1%}")

# ---- 3. ADF 检验：对数价格、配对价差、高持续平稳序列 ----
n = 750
logp = np.cumsum(0.0003 + 0.015*rng.standard_normal(n))         # 带漂移随机游走
common = np.cumsum(0.012*rng.standard_normal(n))                # 共同随机趋势
s = np.zeros(n)
for t in range(1, n): s[t] = 0.95*s[t-1] + 0.01*rng.standard_normal()
pa, pb = common + s, 0.9*common                                 # 两只股票的对数价格：A - B/0.9 = s 平稳
ar95 = np.zeros(250)
for t in range(1, 250): ar95[t] = 0.95*ar95[t-1] + rng.standard_normal()
for name, ser, reg in [("对数价格(趋势)", logp, "ct"), ("对数收益", np.diff(logp), "c"),
                       ("A 价格水平", pa, "c"), ("价差 A - B/0.9", pa - pb/0.9, "c"),
                       ("AR(1) 0.95, T=250", ar95, "c")]:
    stat, pval, lags, *_ = adfuller(ser, regression=reg, autolag="AIC", result_object=False)
    print(f"{name:18s} ADF = {stat:6.2f}  p = {pval:.3f}  滞后 {lags}")

# ---- 4. QLR 检验：预测系数在 60% 处突变 ----
def chow_F(y, X, D, robust=True):
    """检验 [D, D*X 的指定列] 系数全为零的 F 统计量"""
    Z = np.column_stack([X, D])
    b, e = ols(y, Z)
    q = D.shape[1]
    if robust:
        ZtZi = np.linalg.inv(Z.T @ Z)
        V = ZtZi @ (Z.T * e**2) @ Z @ ZtZi * len(y)/(len(y)-Z.shape[1])
    else:
        V = np.linalg.inv(Z.T @ Z) * (e @ e)/(len(y)-Z.shape[1])
    g = b[-q:]
    return g @ np.linalg.solve(V[-q:, -q:], g) / q

def qlr(y, X, cols, trim=0.15, robust=True):
    T = len(y); taus = range(int(trim*T), int((1-trim)*T))
    Fs = []
    for tau in taus:
        Dt = (np.arange(T) >= tau).astype(float)
        D = np.column_stack([Dt] + [Dt*X[:, c] for c in cols])
        Fs.append(chow_F(y, X, D, robust))
    i = int(np.argmax(Fs)); return Fs[i], list(taus)[i]

def simulate(T, brk, d_pre=0.8, d_post=0.0):
    x = np.zeros(T); y = np.zeros(T)
    for t in range(1, T):
        x[t] = 0.85*x[t-1] + rng.normal(0, 0.6)
        d = d_pre if t < brk else d_post
        y[t] = 0.5 + 0.3*y[t-1] + d*x[t-1] + rng.normal(0, 1.5)
    return y[1:], np.column_stack([np.ones(T-1), y[:-1], x[:-1]])

T = 300
y, X = simulate(T, brk=int(0.6*T))
stat, tau = qlr(y, X, cols=[2])                  # 截距与 X_{t-1} 系数允许突变，q = 2
print(f"\n有突变: QLR = {stat:.2f}，估计突变点 = {tau}（真实 {int(0.6*T)-1}）；"
      f" q=2 临界值 10%/5%/1% = 5.00/5.86/7.78")
y0, X0 = simulate(T, brk=T+1)
print(f"无突变: QLR = {qlr(y0, X0, cols=[2])[0]:.2f}")
# 原假设下 QLR 的分布：蒙特卡洛 300 次（同方差 F 加速）
null = [qlr(*simulate(T, brk=T+1), cols=[2], robust=False)[0] for _ in range(300)]
print(f"模拟 QLR 原假设 95% 分位数 = {np.quantile(null, 0.95):.2f}"
      f"（表 15.5: 5.86；单个 F(2,∞) 5% 临界值: 3.00）")

# ---- 5. 突变后的预测：扩展窗口 vs 滚动窗口 ----
s0 = int(0.75*len(y))
for name, w in [("扩展窗口", None), ("滚动窗口 60", 60)]:
    errs = []
    for s in range(s0, len(y)):
        lo = 0 if w is None else s - w
        b, _ = ols(y[lo:s], X[lo:s])
        errs.append(y[s] - X[s] @ b)
    errs = np.array(errs)
    print(f"{name:10s} POOS RMSFE = {np.sqrt(np.mean(errs**2)):.3f}  误差均值 = {errs.mean():+.3f}")
b_pre, e_pre = ols(y[:s0], X[:s0])
print(f"估计期 FPE RMSFE = {np.sqrt((s0+3)/(s0-3)*e_pre @ e_pre/s0):.3f}")

关键输出：

T    |t|>1.96 比例(水平)  R2中位数  |t|>1.96 比例(差分)
50     0.671               0.163     0.053
100    0.774               0.182     0.046
200    0.827               0.178     0.049
400    0.893               0.179     0.051

T=100 随机游走: beta1_hat 均值 = 0.947（真值 1）
DF t 统计量分位数 1%/5%/10%: [-3.5  -2.88 -2.57]  表15.4(仅截距): -3.43/-2.86/-2.57;  正态: -2.33/-1.64/-1.28
若误用正态 5% 单侧临界值 -1.64，拒绝率 = 46.1%
对数价格(趋势)           ADF =  -2.23  p = 0.472  滞后 4
对数收益               ADF = -11.99  p = 0.000  滞后 3
A 价格水平             ADF =  -1.67  p = 0.448  滞后 9
价差 A - B/0.9       ADF =  -3.79  p = 0.003  滞后 0
AR(1) 0.95, T=250  ADF =  -2.56  p = 0.101  滞后 0

有突变: QLR = 12.02，估计突变点 = 181（真实 179）； q=2 临界值 10%/5%/1% = 5.00/5.86/7.78
无突变: QLR = 1.27
模拟 QLR 原假设 95% 分位数 = 5.56（表 15.5: 5.86；单个 F(2,∞) 5% 临界值: 3.00）
扩展窗口       POOS RMSFE = 1.608  误差均值 = +0.264
滚动窗口 60    POOS RMSFE = 1.518  误差均值 = +0.074
估计期 FPE RMSFE = 1.477

读结果：

• 伪回归：两个独立随机游走的水平回归，\(|t|>1.96\) 的比例从 \(T=50\) 的 67% 升到 \(T=400\) 的 89%，\(R^2\) 中位数约 0.17 且不随 \(T\) 下降；差分后拒绝率回到 5% 左右。
• DF 分布：真实单位根下 AR 系数平均估计为 0.947，下偏约 0.05；DF 统计量的模拟分位数与表 15.4 一致（有限样本 \(T=100\) 稍负一些），远比正态分位数负。用 −1.64 作临界值会有 46% 的错误拒绝。
• ADF 检验：含趋势的对数价格不能拒绝单位根，对数收益强烈拒绝；单只股票价格不能拒绝，而协整价差在 1% 水平拒绝——这正是配对交易所需的证据。\(\beta_1=0.95\)、\(T=250\) 的平稳序列 p 值为 0.10，在 5% 水平不能拒绝，体现了 ADF 的低功效。
• QLR：有突变时 QLR = 12.02，远超 \(q=2\) 的 1% 临界值 7.78，估计日期 181 与真实 179 几乎一致；无突变时只有 1.27。原假设下 QLR 的 95% 分位数模拟为 5.56（300 次模拟，抽样误差不小），与表 15.5 的 5.86 接近，远大于单个 F 的 3.00。
• 突变后的预测：保留期全部在突变之后。扩展窗口混用了突变前的数据，误差均值 +0.264，RMSFE 1.608 也明显高于估计期的 FPE 1.477；只用最近 60 期的滚动窗口偏差小得多，RMSFE 降到 1.518。代价是滚动窗口估计用的观测少，没有突变时方差更大——窗口长度本身是偏差与方差的权衡。

本章小结

趋势是变量持久的长期运动，经济与金融序列更适合用随机趋势建模，最简单的是（带漂移的）随机游走，它等价于 AR 模型有单位根。随机趋势使自回归系数下偏、t 统计量在原假设下非正态，并使独立序列产生伪回归——拒绝率随样本增大趋向 1。检验随机趋势用 Dickey–Fuller 或 ADF 检验：对 \(\Delta Y_t\) 回归 \(Y_{t-1}\)（及差分滞后，必要时加时间趋势），用专用临界值做左侧检验，滞后数用 AIC 选。ADF 功效低，不能拒绝不等于有单位根。消除随机趋势的方法是差分。结构突变指总体回归系数在样本期内改变：已知日期用 Chow 检验，未知日期用 QLR（中间 70% 的最大 Chow F，临界值查表 15.5），最大 F 的位置估计突变日期；不能先看图挑日期再用常规 F 临界值。伪样本外预测可以诊断样本末端的突变。发现明确突变后，用突变后的数据（或带突变哑变量的模型）重新估计。

练习

基础

1. （原书习题 15.13）随机游走 \(Y_t=Y_{t-1}+u_t\)，\(Y_0=0\)，\(u_t\) i.i.d.、方差 \(\sigma_u^2\)。求 \(E(Y_t)\)、\(\text{var}(Y_t)\)、\(\text{cov}(Y_t,Y_{t-k})\)，并说明为什么非平稳。 答案要点：\(0\)；\(t\sigma_u^2\)；\((t-k)\sigma_u^2\)；方差依赖 \(t\)。
2. （原书复习题 15.1）原书图 15.2 的四个序列（失业率、美元/英镑汇率、日本工业生产对数、Wilshire 日收益）中，哪些看起来非平稳？哪些像随机游走？ 答案要点：前三个非平稳（有趋势或体制变化），日收益看起来平稳但有波动聚集。
3. （原书习题 15.3）对数工业生产的 ADF 回归（含时间趋势、4 阶差分滞后）中，\(\ln(IP_{t-1})\) 的系数为 −0.0070（SE 0.0037）。计算 ADF 统计量并检验单位根；这对建模有什么含义？ 答案要点：\(t\approx-1.89\)，比含趋势的 10% 临界值 −3.12 大，不能拒绝；对增长率而不是水平建模。
4. （原书复习题 15.4）你怀疑 (15.15) 的截距在 1992:Q1 发生变化。(a) 怎样修改回归？(b) 怎样检验？(c) 若不知道日期呢？ 答案要点：(a) 加 \(D_t=1\{t\ge1992{:}Q1\}\)；(b) 对其系数做 t 检验（\(q=1\) 的 Chow 检验）；(c) 用 QLR，\(q=1\)，查表 15.5（5% 临界值 8.68）。
5. 一位研究员在价格图上发现 2015 年中「明显有个转折」，于是用 2015:M7 做 Chow 检验，F = 4.2（\(q=2\)），称 5% 显著。指出问题。 答案要点：日期是看数据选出来的，应使用 QLR 临界值（\(q=2\) 时 5% 为 5.86），4.2 并不显著。

进阶

6. （原书习题 15.6）用蒙特卡洛重做伪回归实验：生成两个独立的 \(T=100\) 随机游走，记录 \(R^2\) 与 t 统计量，重复 1000 次，计算 \(R^2\) 的 5%、50%、95% 分位数与 \(|t|>1.96\) 的比例；再取 \(T=50\)、200。随 \(T\) 增大拒绝率怎样变化？ 提示：见本章代码第 1 部分，拒绝率随 \(T\) 增大趋向 1。
7. （原书习题 15.10）30% 修剪、\(q=5\) 时的 QLR 5% 临界值，介于 15% 修剪的 QLR 临界值和 \(F_{5,\infty}\) 临界值之间。若 QLR 统计量分别为 3.9、1.1、3.6，能否判断拒绝与否？ 答案要点：上下界分别为 3.66 与 2.21。3.9 > 3.66，拒绝；1.1 < 2.21，不拒绝；3.6 落在两者之间，仅凭上下界无法判断，需查 Andrews (2003) 的精确临界值。
8. 证明 AR(2) \(Y_t=\beta_1Y_{t-1}+\beta_2Y_{t-2}+u_t\) 有单位根当且仅当 \(\beta_1+\beta_2=1\)，并把它改写成 ADF 形式 \(\Delta Y_t=\delta Y_{t-1}+\gamma_1\Delta Y_{t-1}+u_t\)，写出 \(\delta\)、\(\gamma_1\) 与 \(\beta_1\)、\(\beta_2\) 的关系。 答案要点：\(z=1\) 代入 \(1-\beta_1z-\beta_2z^2\) 得 \(1-\beta_1-\beta_2\)；\(\delta=\beta_1+\beta_2-1\)，\(\gamma_1=-\beta_2\)。所以检验 \(\delta=0\) 就是检验单位根。
9. 修改本章代码第 3 部分，把价差的 AR 系数从 0.95 依次改为 0.98、0.99，序列长度保持 750，各重复 500 次，统计 ADF 在 5% 水平的拒绝率（功效）。这对配对交易的样本长度要求意味着什么？ 提示：持续性越强功效越低；半衰期 \(\ln0.5/\ln\beta_1\) 越长，需要的样本越长。
10. 修改本章代码第 4–5 部分，把突变放在样本的 90% 处（落在 QLR 的修剪区之外），QLR 还能检测到吗？伪样本外诊断呢？ 提示：QLR 在中间 70% 计算，对末端突变不敏感；POOS 的误差均值与 RMSFE 能提供信号，这正是原书强调用 POOS 检测样本末端突变的原因。

原书推荐习题：15.6（伪回归蒙特卡洛，建议每位量化研究者都亲手做一遍）；15.3（ADF 实操）；15.13 与 15.11（随机游走的矩、差分 AR 与水平 AR 的关系）；15.10（QLR 临界值与修剪比例）；复习题 15.3、15.4；实证题 E15.1（通胀的单位根检验、含/不含趋势的选择、「不能拒绝 ≠ 原假设为真」、QLR 稳定性检验、2003–2017 伪样本外预测，以及 2008:Q4 油价暴跌造成的预测误差）。

原书对照

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。