第 10 章 面板数据回归

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 说明面板数据（panel data）为什么能在不观测某些遗漏变量的情况下控制它们，以及能控制哪两类遗漏变量。
2. 写出实体固定效应、时间固定效应和双向固定效应模型，用三种等价方法估计：虚拟变量回归（LSDV）、去均值（组内变换）、\(T=2\) 时的差分回归。
3. 陈述固定效应回归假设，特别是严格外生性，并解释为什么面板数据必须用聚类标准误（clustered standard errors），能推导单回归元的聚类方差公式。
4. 知道聚类数少时要用 \(t_{G-1}\) 等小样本临界值。
5. 把股票收益的因子检验看成面板回归：理解 Fama–MacBeth 两步法与时间固定效应的关系，并根据误差的相关结构在按股票聚类、按时间聚类、双向聚类和 Fama–MacBeth 之间做选择。

读前导读

这一章在解决什么问题

第 09 章说，遗漏变量是回归最常见的病。这一章给出第一种不用找到遗漏变量就能治它的办法：同一个对象看多次，只比较它自己和自己。

做财报分析时你早就这样做了。比较两家公司的毛利率，差异可能来自行业、商业模式、会计政策，没法一一控制；但比较同一家公司今年和去年的毛利率，这些不变的东西自动抵消，剩下的变化才更可能来自经营本身。面板数据回归就是把「同比分析」系统化：每个实体（州、公司、股票）给一个自己的截距（固定效应），吸收它所有不随时间变的特征；每个时期也可以给一个截距，吸收当期所有实体共同受到的冲击（如市场整体涨跌）。

本章的第二个重点是标准误。同一实体的多期观测往往相互关联（一只股票的估值暴露这个月高，下个月多半也高），看起来有几万条观测，独立信息却少得多。不修正，t 值会被严重夸大。这直接关系到因子研究：10.8 节把股票因子检验放进面板框架，解释 Fama–MacBeth 方法到底在做什么、什么时候它的标准误不可信。对做因子研究的人，这一节可能是全册最实用的内容之一。

需要先想起来的数学

1. 双重求和记号。 \(\sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^TX_{it}\) 表示把 \(n\times T\) 张表格里的每个格子都加起来，可以先按行（对 \(t\)）加再按列（对 \(i\)）加，顺序可交换。\(\bar X_i=\frac1T\sum_tX_{it}\) 是第 \(i\) 行的均值，\(\bar X_t=\frac1n\sum_iX_{it}\) 是第 \(t\) 列的均值。例：2 只股票 × 3 个月的收益表，\(\bar X_i\) 是每只股票的月均收益，\(\bar X_t\) 是每个月的截面平均收益。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。

2. 和的方差。 \(\mathrm{var}(\sum_tv_t)=\sum_t\mathrm{var}(v_t)+2\sum_{t<s}\mathrm{cov}(v_t,v_s)\)。这就是 \(T\) 项资产等权组合的方差公式（不除以 \(T^2\) 的版本）。若协方差为正，总方差大于各方差之和。10.5 节的聚类标准误整个建立在这个式子上。

3. 中心极限定理与 \(\xrightarrow{d}\)。 大量独立同分布变量的平均值近似正态。\(\xrightarrow{d}\) 读作「依分布收敛」，意思是样本量趋于无穷时，左边的分布越来越接近右边写的分布。这是所有 t 检验能用正态临界值的依据。本章关键在于：独立的单位是「实体」，所以中心极限定理是对 \(n\) 个实体用的，不是对 \(nT\) 个观测用的。见 第 00 册第 07 章。

4. 矩阵的「夹心」形式（只需认识）。 代码里的 \((Z'Z)^{-1}[\cdots](Z'Z)^{-1}\) 叫夹心（sandwich）估计量：两边的「面包」来自回归元，中间的「馅」装着误差的相关结构。异方差稳健、聚类、双向聚类标准误的区别只在馅怎么算。不需要会矩阵求逆，知道这个结构就够了。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。

怎么读这一章

10.2 和 10.3 是核心，一定要弄懂「差分 / 去均值为什么能消掉不随时间变的遗漏变量」。10.4 节的时间固定效应是自然的推广，看懂双向固定效应的思路即可。10.5 节分两层：10.5.1–10.5.2 的结论（严格外生性、为什么必须聚类）必读；10.5.3 的推导第一次可以只看 (10.24) 的「打包」思路和 (10.28) 的方差分解，跟着讲解框走一遍。10.5.4（聚类数少）很短，但对按行业、按年份聚类的人很重要。10.6 是案例，可以快速读。10.8 节是为量化读者补充的，强烈建议细读，并对照示例 2 的输出表格理解 Petersen 的结论。

10.0 动机：截面回归给出的荒唐答案

多元回归只能控制有数据的变量。没有数据的变量放不进回归，OLS 就可能有遗漏变量偏误。本章介绍一种不需要观测就能控制某些遗漏变量的方法，代价是需要面板数据：每个实体在两个或更多时期被观测。核心思路一句话：看因变量随时间的变化，那些在实体间不同、但不随时间变化的遗漏因素就自动消失了。

原书的例子是酒驾。美国每年约 4 万人死于交通事故，约四分之一的致死事故涉及饮酒司机；据 Levitt & Porter (2001) 估计，凌晨 1–3 点路上多达 25% 的司机饮过酒，法定醉酒的司机造成致死事故的概率至少是未饮酒司机的 13 倍。问题是：提高酒税能减少交通死亡吗？

数据是美国本土 48 个州 1982–1988 年的年度面板。因变量是死亡率（每万人口的年交通死亡人数），关注变量是一箱啤酒的实际税（按 1988 年美元计）。只用 1982 年的截面：

只用 1988 年：

1988 年的系数在 1% 水平显著（\(t=3.43\)）。字面意思是：啤酒税越高，交通死亡越多。这显然不能当真。许多因素影响死亡率——汽车质量、道路状况、城乡结构、车流密度、社会对酒驾的接受程度——其中任何一个都可能与啤酒税相关。有些因素（如对酒驾的文化态度）根本无法度量。但如果这些因素在一个州内不随时间变化，面板数据就能控制它们。

10.1 面板数据

面板数据又称纵向数据（longitudinal data），指 \(n\) 个实体在 \(T\) 个时期的观测。交通数据中 \(n=48\)，\(T=7\)，共 336 个观测。

Key Concept 10.1（面板数据记号） 面板数据由同一批 \(n\) 个实体在 \(T\ge2\) 个时期的观测组成，记为

\[(X_{it},Y_{it}),\quad i=1,\dots,n,\ t=1,\dots,T.\tag{10.1}\]

下标 \(i\) 表示实体，\(t\) 表示时期。

每个实体每个时期的所有变量都有观测，称为平衡面板（balanced panel）；否则为非平衡面板（unbalanced panel）。本章按平衡面板讲解，方法都可推广到非平衡面板。股票数据几乎总是非平衡的（上市、退市、停牌），实践中要注意软件如何处理。

10.2 两期面板：「前后」比较

先看最简单的 \(T=2\)。设 \(Z_i\) 是一个决定死亡率、随州不同但不随时间变化的因素（如文化态度）：

写出 1982 年和 1988 年两个方程再相减，\(Z_i\) 就被消去了：

直观上，文化态度影响死亡率的水平，但它在两年间不变，所以不会造成死亡率的变化。死亡率的变化只能来自啤酒税的变化和其他因素的变化。对变化量做回归，就控制了所有不随时间变化的因素。

推导拆解：把两年的方程写全再相减。 1988 年：\(FR_{i,88}=\beta_0+\beta_1BT_{i,88}+\beta_2Z_i+u_{i,88}\)。 1982 年：\(FR_{i,82}=\beta_0+\beta_1BT_{i,82}+\beta_2Z_i+u_{i,82}\)。 相减时 \(\beta_0\) 和 \(\beta_2Z_i\) 两项完全相同，一减就没了；\(\beta_1\) 是公共系数，可以提出来。注意：我们不需要知道 \(Z_i\) 是什么、取多少，甚至不需要知道 \(\beta_2\)，它们都被消掉了。 金融直觉：这就是做「公司内部同比」而非「公司之间横比」。横比两家银行的 ROE 时，业务结构、地区、管理层风格都会混进来；比较同一家银行加息前后 ROE 的变化，这些不变的特征就被自动剔除。代价是：同期发生的其他变化（如全行业监管调整）仍会混进来，这就是后面时间固定效应要解决的。

用 48 个州的变化量做 OLS：

截距允许啤酒税不变时死亡率也有平均变化，负截距可能反映这期间汽车安全性的改进。斜率变成了负数，在 5% 水平显著：实际啤酒税每箱提高 1 美元，每万人死亡减少 1.04 人。这个效应大得惊人——样本平均死亡率约为 2，意味着加税 1 美元就能让交通死亡减半。原书提醒先别下结论，后面会控制更多因素。

「前后」法有两个局限：它仍可能遗漏随时间变化且与啤酒税相关的因素；它只适用于两期，丢掉其余 5 年数据很可惜。下面的固定效应回归能用上所有时期。

10.3 实体固定效应回归

10.3.1 模型

把 (10.4) 推广到多期：

令 \(\alpha_i=\beta_0+\beta_2Z_i\)，得到

这就是固定效应回归模型（fixed effects regression model）。\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是每个实体自己的截距，叫实体固定效应（entity fixed effects）；所有实体共享同一个斜率 \(\beta_1\)。\(\alpha_i\) 吸收了所有「随实体变化、不随时间变化」的遗漏变量。

10.3.2 虚拟变量表示（LSDV）

等价地，用 \(n-1\) 个实体指示变量加公共截距表示。令 \(Dj_i=1\) 若 \(i=j\)，否则为 0。不能同时放入全部 \(n\) 个指示变量和截距，否则完全多重共线（虚拟变量陷阱），所以省略第一个：

两种写法的对应关系是 \(\alpha_1=\beta_0\)，\(\alpha_i=\beta_0+\gamma_i\)（\(i\ge2\)）。

Key Concept 10.2（固定效应回归模型）

\[Y_{it}=\beta_1X_{1,it}+\cdots+\beta_kX_{k,it}+\alpha_i+u_{it},\tag{10.12}\]

等价于含公共截距、\(k\) 个回归元和 \(n-1\) 个实体指示变量的回归

\[Y_{it}=\beta_0+\beta_1X_{1,it}+\cdots+\beta_kX_{k,it}+\gamma_2D2_i+\cdots+\gamma_nDn_i+u_{it}.\tag{10.13}\]

10.3.3 去均值估计：组内变换

(10.13) 有 \(k+n\) 个回归元，实体多时（几千只股票）直接跑很笨重。实际软件用实体去均值（entity-demeaned）算法。对 (10.10) 按时间取平均：\(\bar Y_i=\beta_1\bar X_i+\alpha_i+\bar u_i\)，其中 \(\bar Y_i=\frac1T\sum_tY_{it}\)。相减：

\(\alpha_i\) 被消掉了。对 (10.14) 做 OLS 得到的 \(\hat\beta_1\) 与 LSDV 回归 (10.11) 的 \(\hat\beta_1\) 完全相同。这就是第 06 章的 Frisch–Waugh 定理：把 \(Y\) 和 \(X\) 分别对实体指示变量回归取残差，残差恰好是去均值后的变量。这种变换也叫组内变换（within transformation），固定效应估计量也叫组内估计量。

推导拆解：为什么「对实体虚拟变量回归取残差」恰好等于「减去实体均值」？ 第一步，只用实体虚拟变量（加截距）去回归 \(Y_{it}\)，等于给每个实体拟合一个常数。最小化 \(\sum_t(Y_{it}-c_i)^2\) 的常数就是该实体的样本均值 \(\bar Y_i\)（平方误差最小的常数总是均值）。 第二步，所以拟合值是 \(\bar Y_i\)，残差是 \(Y_{it}-\bar Y_i=\tilde Y_{it}\)。对 \(X\) 同理得 \(\tilde X_{it}\)。 第三步，Frisch–Waugh 定理说：在多元回归中，\(X\) 的系数等于「把 \(Y\) 和 \(X\) 都先剔除其他回归元的影响（取残差）后，残差对残差回归」的系数。这里「其他回归元」就是实体虚拟变量，残差就是去均值后的变量。 小例子：某只股票 3 个月的估值暴露为 0.2、0.5、0.8，均值 0.5，去均值后为 −0.3、0、+0.3。无论这只股票长期估值高还是低，去均值后只剩「相对自己平时」的高低。

单回归元时，估计量的显式形式是

它只用到 \(X\) 在实体内部随时间的变异。由此有两个推论：不随时间变化的回归元（如性别、行业归属）完全无法估计，因为去均值后恒为 0；在实体内变化很小的回归元，估计会很不精确。

\(T=2\) 时三法等价：不含截距的「前后」差分回归 (10.7)、LSDV 回归 (10.11)、去均值回归 (10.14) 给出完全相同的 \(\hat\beta_1\)（习题 10.11）。原因是 \(T=2\) 时 \(\tilde X_{i1}=-\frac12(X_{i2}-X_{i1})\)，\(\tilde X_{i2}=\frac12(X_{i2}-X_{i1})\)，代入 (10.22) 即得差分估计量。

推导拆解：记 \(\Delta X_i=X_{i2}-X_{i1}\)，\(\Delta Y_i\) 同理。 第一步，\(\bar X_i=\frac{X_{i1}+X_{i2}}2\)，所以 \(\tilde X_{i1}=X_{i1}-\bar X_i=\frac{X_{i1}-X_{i2}}2=-\frac12\Delta X_i\)，\(\tilde X_{i2}=+\frac12\Delta X_i\)。 第二步，代入 (10.22) 分子：每个实体贡献 \(\tilde X_{i1}\tilde Y_{i1}+\tilde X_{i2}\tilde Y_{i2}=\frac14\Delta X_i\Delta Y_i+\frac14\Delta X_i\Delta Y_i=\frac12\Delta X_i\Delta Y_i\)。 第三步，分母同理每个实体贡献 \(\frac12(\Delta X_i)^2\)。 第四步，分子分母的 \(\frac12\) 约掉，得 \(\hat\beta_1=\sum_i\Delta X_i\Delta Y_i/\sum_i(\Delta X_i)^2\)，正是不含截距的差分回归斜率。

10.3.4 应用

用全部 7 年数据：

系数为负，与 (10.8) 方向一致；由于用了更多年份，标准误更小。但怀疑者会问：80 年代汽车越来越安全、系安全带的人越来越多，若这期间实际啤酒税恰好平均上升，\(BeerTax\) 就可能捕捉了全国安全改进的效应。这类「随时间变化、各州相同」的因素需要时间固定效应。

10.4 时间固定效应与双向固定效应

设 \(S_t\) 是随时间变化、但同一年各州取值相同的不可观测变量（如全国推行的汽车安全标准）：

正如 \(Z_i\) 让每个州有自己的截距，\(S_t\) 让每个时期有自己的截距。只有时间效应的模型为

\(\lambda_1,\dots,\lambda_T\) 称为时间固定效应（time fixed effects）。等价写法是截距加 \(T-1\) 个时期指示变量 \(B2_t,\dots,BT_t\)：

两类遗漏变量都存在时，同时放入两组效应，得到双向固定效应（entity and time fixed effects）模型：

估计方法：

• 直接 OLS 估计 (10.20)。

• 平衡面板中，先对 \(Y\) 和每个 \(X\) 做双向去均值 \(\ddot Y_{it}=Y_{it}-\bar Y_i-\bar Y_t+\bar Y\)，再做去均值变量的回归。

  白话解释：为什么最后要加回总均值 \(\bar Y\)（全部 \(nT\) 个观测的均值）？因为行均值 \(\bar Y_i\) 和列均值 \(\bar Y_t\) 里都含有一份总体水平，减两次就多减了一次，要补回来。检验：若 \(Y_{it}=a_i+b_t\)（只有实体效应和时间效应），则 \(\bar Y_i=a_i+\bar b\)，\(\bar Y_t=\bar a+b_t\)，\(\bar Y=\bar a+\bar b\)，代入得 \(\ddot Y_{it}=0\)，两类效应被完全清除。这一点只在平衡面板里精确成立；非平衡面板要用迭代去均值或直接放虚拟变量。

• 只去实体均值，然后把去均值的 \(Y\) 对去均值的 \(X\) 和时间指示变量回归。

• \(T=2\) 时，用含截距的「前后」差分回归即可，截距对应两期时间效应之差。所以 (10.8) 实际上就是只用 1982、1988 两年数据的双向固定效应估计。

应用：

右侧共有 \(1+47+6+1=55\) 个变量。加入时间效应后系数几乎不变，但精度下降，只在 10% 水平显著（\(t=-1.78\)）。

双向固定效应消除了「不随时间变化」和「不随州变化」两类遗漏变量。但许多重要因素同时随州和时间变化（如州经济状况、其他酒驾法律），它们仍可能造成偏误，10.6 节处理。

10.5 固定效应回归的假设与聚类标准误

10.5.1 四条假设

Key Concept 10.3（固定效应回归假设） 对 \(Y_{it}=\beta_1X_{it}+\alpha_i+u_{it}\)：

1. \(E(u_{it}\mid X_{i1},X_{i2},\dots,X_{iT},\alpha_i)=0\)；
2. \((X_{i1},\dots,X_{iT},u_{i1},\dots,u_{iT})\)，\(i=1,\dots,n\)，是来自其联合分布的 i.i.d. 抽取；
3. 不太可能出现大的离群值：\((X_{it},u_{it})\) 有非零有限四阶矩；
4. 无完全多重共线性。

假设 1 比截面假设更强。它要求 \(u_{it}\) 的条件均值不依赖于该实体过去、现在和将来任何一期的 \(X\)，称为严格外生性（strict exogeneity）。若今天的冲击会影响将来的 \(X\)（反馈），假设 1 就被违反。量化中的例子：今天的收益冲击会改变明天的估值因子（市盈率的分母不变、分子即价格变了），这正是反馈。最典型的违反是把滞后因变量放进固定效应回归（动态面板），此时组内估计量在 \(T\) 小时有偏，称为 Nickell 偏误；这超出原书范围，但做量化时要知道它的存在。

白话解释：为什么固定效应需要「过去、现在、将来」全部不相关，而截面回归只要同期不相关？因为去均值时用到了 \(\bar u_i=\frac1T\sum_tu_{it}\)，它包含该实体所有时期的误差。于是去均值后的误差 \(\tilde u_{it}=u_{it}-\bar u_i\) 和去均值后的回归元 \(\tilde X_{it}=X_{it}-\bar X_i\) 都混入了全部时期的信息。只要某期的 \(u\) 影响了另一期的 \(X\)，\(\tilde X\) 与 \(\tilde u\) 就相关。 Nickell 偏误的直觉：把 \(Y_{i,t-1}\) 放进回归，它本身就含 \(u_{i,t-1}\)，而 \(u_{i,t-1}\) 也在 \(\bar u_i\) 里，两者必然相关。这个相关只通过 \(\bar u_i\) 产生，而 \(\bar u_i\) 中每期只占 \(1/T\) 的权重，所以偏误是 \(1/T\) 量级：\(T=12\) 时不可忽略，\(T=500\) 时基本可以不管。

假设 2 只要求实体之间独立，不限制实体内部：允许 \(X_{it}\) 和 \(u_{it}\) 在同一实体内跨时相关。

在这些假设下，\(n\) 大时固定效应估计量一致且近似正态。

10.5.2 序列相关：为什么常规标准误失效

若 \(X_{it}\) 与 \(X_{is}\)（\(s\neq t\)）相关，称 \(X\) 自相关（autocorrelation）或序列相关。啤酒税就是自相关的：立法机构多数年份不改税，某年高于均值，次年多半也高。误差 \(u_{it}\) 同样可能自相关：一次地方经济衰退会连续几年减少通勤和死亡；一项大型道路工程在完工后多年都在减少事故。并非所有遗漏因素都自相关（如每年独立的冬季天气），但只要有一部分自相关，\(u_{it}\) 就自相关。

误差自相关不会使固定效应估计量有偏，但会使截面回归中常用的异方差稳健标准误失效——道理和「异方差时仅同方差标准误失效」完全相同：公式所依赖的假设不成立。在误差可能异方差、也可能在实体内跨时相关时仍然有效的标准误，称为异方差与自相关稳健（heteroskedasticity- and autocorrelation-robust, HAR）标准误。聚类标准误是 HAR 标准误的一种：它允许误差在一个聚类（cluster）内部任意相关，但假设聚类之间不相关。面板数据中每个实体就是一个聚类，这与假设 2 一致。

差别可能很大：(10.21) 中 BeerTax 系数的普通异方差稳健标准误是 0.25，聚类标准误是 0.36，对应的 \(t\) 统计量分别为 −2.51 和 −1.78——一个在 5% 水平显著，一个不显著。

10.5.3 聚类标准误的推导（原书附录 10.2）

以单回归元实体固定效应模型为例。把 \(\tilde Y_{it}=\beta_1\tilde X_{it}+\tilde u_{it}\) 代入 (10.22)：

两边乘以 \(\sqrt{nT}\) 整理：

推导拆解：从 (10.23) 到 (10.24) 只是重新分组。 第一步，(10.23) 来自把 \(\tilde Y_{it}=\beta_1\tilde X_{it}+\tilde u_{it}\) 代入 (10.22) 的分子：\(\sum\sum\tilde X_{it}(\beta_1\tilde X_{it}+\tilde u_{it})=\beta_1\sum\sum\tilde X_{it}^2+\sum\sum\tilde X_{it}\tilde u_{it}\)，除以分母后第一项正好是 \(\beta_1\)。 第二步，两边乘 \(\sqrt{nT}\)。分子 \(\frac{\sqrt{nT}}{nT}\sum_i\sum_t\tilde X_{it}\tilde u_{it}=\frac1{\sqrt n}\sum_i\Big(\frac1{\sqrt T}\sum_t\tilde X_{it}\tilde u_{it}\Big)=\frac1{\sqrt n}\sum_i\eta_i\)。这里只是把 \(\frac1{\sqrt{nT}}\) 拆成 \(\frac1{\sqrt n}\cdot\frac1{\sqrt T}\)，再把内层对 \(t\) 的求和打包。 第三步，打包的意义：同一实体内的各期可以任意相关，但不同实体的 \(\eta_i\) 相互独立。于是我们面对的是 \(n\) 个独立的 \(\eta_i\)，可以直接套用中心极限定理，而不用管实体内部的相关结构长什么样。 第四步，\(\frac1{\sqrt n}\sum\eta_i\) 近似 \(N(0,\sigma_\eta^2)\)，除以常数 \(Q_{\tilde X}\) 后方差变为 \(\sigma_\eta^2/Q_{\tilde X}^2\)，这就是 (10.25)。

关键是把每个实体的全部时期打包成一个 \(\eta_i\)。多数面板 \(n\gg T\)，所以取 \(n\to\infty\)、\(T\) 固定的近似：\(\hat Q_{\tilde X}\xrightarrow{p}Q_{\tilde X}\)；\(\eta_i\) 在实体间 i.i.d.（假设 2）、均值为 0（假设 1）、方差 \(\sigma_\eta^2\) 有限（假设 3），中心极限定理给出

用样本量代替总体量，得到聚类标准误：

（\(\hat\eta_i\) 的样本均值为 0，因为残差与回归元正交。）不论有无异方差、自相关，\(s_{\hat\eta}^2\) 都一致，所以聚类标准误是 HAR 的。多回归元时同理，用聚类方差构造的 F 统计量在 \(n\) 大时服从 \(F_{q,\infty}\)。

为什么截面的异方差稳健公式在面板中无效？ 令 \(\tilde v_{it}=\tilde X_{it}\tilde u_{it}\)：

异方差稳健公式只保留了方差项，丢掉了所有协方差项。若 \(X\) 和 \(u\) 都正自相关，协方差项为正，稳健标准误就系统性偏小，\(t\) 值虚高。

金融直觉：(10.28) 就是 \(T\) 项资产组合的方差公式。设每期 \(\mathrm{var}(\tilde v_{it})=1\)、任意两期相关系数为 \(\rho\)，则方括号内为 \(T+T(T-1)\rho\)，\(\mathrm{var}(\eta_i)=1+(T-1)\rho\)。异方差稳健公式相当于假设 \(\rho=0\)，只得到 1。 数值例子：\(T=7\)、\(\rho=0.3\) 时，真实方差是 \(1+6\times0.3=2.8\)，稳健公式低估为 1，标准误低估 \(\sqrt{2.8}\approx1.67\) 倍。正文 (10.21) 中稳健 SE 0.25 与聚类 SE 0.36 之比约 1.44，量级相符。 为什么要求 \(X\) 和 \(u\) 都自相关？\(\tilde v_{it}=\tilde X_{it}\tilde u_{it}\) 的自相关大致等于两者自相关的乘积。若 \(X\) 每期独立（例如每期重新随机分配的处理），即使 \(u\) 高度自相关，乘积也几乎不相关，常规标准误问题不大。因子研究里估值、规模等暴露几乎不变，所以问题格外严重。第二个原因较技术：\(T\) 小时，估计固定效应本身会让异方差稳健方差估计量有偏。唯一的例外是 \(T=2\)：此时固定效应回归等价于差分回归，两种标准误一致。Bertrand, Duflo & Mullainathan (2004) 发现，大量双重差分研究因忽略序列相关而严重过度拒绝原假设。

聚类的其他用途。聚类的思想不限于「实体 = 聚类」：

• 先随机抽家庭、再调查家庭内所有兄弟姐妹，误差在家庭内相关、家庭间独立，应按家庭聚类；
• 先随机抽教室、再收集教室内所有学生成绩，应按教室聚类。

只要聚类数目多，(10.27) 的推导都可照搬（Cameron & Miller, 2015）。

10.5.4 聚类数少时的推断

若实体数 \(n\) 小而 \(T\) 大，仍可用聚类标准误，但：

• \(t\) 统计量要与 \(t_{n-1}\) 分布的临界值比较；
• 检验 \(q\) 个约束的 F 统计量要与 \(\frac{n-1}{n-q}F_{q,n-q}\) 的临界值比较。

这需要关于实体内 \(X_{it}\)、\(u_{it}\) 跨时联合分布的附加假设，使 \(T\) 大时每个 \(\eta_i\) 近似正态。于是 \(\hat\beta_1\) 是 \(n\) 个正态变量 \(\eta_i\) 的缩放平均，\(s_\eta^2\) 是普通样本方差，\(t\) 统计量服从 \(t_{n-1}\)——推理与第 03 章 \(t\) 分布的推导一样，但不需要误差正态、同方差。例：\(n=10\)，\(q=4\)，\(F_{4,6}\) 的 5% 临界值是 4.53，修正后的临界值为 \(\frac{9}{6}\times4.53=6.80\)。不是所有软件都会自动做这一修正，要自己检查。若 \(n\) 和 \(T\) 都小，聚类标准误不能提供可靠推断。

这条结论在量化中很实用：如果你按 10 个行业或 8 个年份聚类，就只有 10 或 8 个聚类，用 1.96 作临界值会严重过度拒绝。

白话解释：聚类标准误本质上是在用 \(n\) 个 \(\hat\eta_i\) 估计一个方差。这和 CFA 里「用小样本估计总体方差时，t 统计量服从自由度 \(n-1\) 的 t 分布」完全同理：\(n\) 小，样本方差本身就不准，t 分布的厚尾正是对这种不准的补偿。所以真正决定临界值的是聚类个数，不是观测个数。5 万条「股票 × 月」观测按 10 个行业聚类，自由度只有 9，5% 双侧临界值 2.26，而不是 1.96。 F 检验的修正因子 \(\frac{n-1}{n-q}\) 同样来自小样本，\(n\) 很大时它趋于 1，修正自然消失。

10.6 案例：酒驾法律与交通死亡

酒税只是抑制酒驾的手段之一。严打酒驾的州可能既加税又收紧法律；税收变化也可能反映州经济状况（预算赤字导致加税），而经济状况影响驾驶量。即使有双向固定效应，遗漏这些随州和时间变化的变量也会造成偏误。

表 10.1 酒驾法律对交通死亡的影响（因变量：每万人死亡率；48 州；(1)–(6) 用 1982–1988 全部年份，(7) 只用 1982 与 1988；括号为聚类标准误）

（列 (1) 为混合 OLS，未用聚类标准误。）

列 (1)–(3)：混合 OLS 的啤酒税系数为正；加入州固定效应后变为 −0.66，\(\bar R^2\) 从 0.091 跃升到 0.889。这说明 (1) 的正系数来自遗漏变量偏误，而那些不随时间变化的州特征（历史文化、道路条件、人口密度、对酒驾的态度）解释了死亡率差异的大部分。加入时间效应变化不大。

基准设定 (4) 加入法律变量（最低饮酒年龄用 18、19、20 岁三个指示变量，省略组为 21 岁；首次酒驾是否强制监禁或社区服务）以及驾驶量和经济变量。四个发现：

1. 啤酒税系数降为 −0.45。设一个平均税率的州把税翻倍（样本平均约每箱 0.50 美元），死亡率预计下降 \(0.45\times0.50=0.23\) 人/万人，约为平均死亡率 2 的八分之一，效应很大。但估计不精确：95% 置信区间 \(-0.45\times0.50\pm1.96\times0.30\times0.50=(-0.52,0.08)\) 包含 0。
2. 最低饮酒年龄的效应被精确地估计为很小：18 岁相对 21 岁的 95% 置信区间为 \((-0.11,0.17)\)，三个系数联合检验 \(p=0.786\)。
3. 处罚变量的系数也很小，不显著。
4. 经济变量解释力很强：失业率上升 1 个百分点，死亡率下降 0.063；人均收入上升 1%，死亡率上升约 0.0182（线性–对数模型的解释）。经济好时车多、饮酒多。

敏感性分析：(5) 去掉经济变量后啤酒税效应变大并接近 5% 显著，说明经济变量应保留；(6) 把饮酒年龄换成连续变量，结论不变；(7) 用 1982→1988 的长差分，结论大体相同，啤酒税系数更大。

有效性讨论：实际啤酒税可能与其他酒税同向变动，结论应理解为「酒税」效应；更微妙的是，加税可能伴随公共教育运动，啤酒税可能捕捉了更广泛的反酒驾运动的效应。总的结论：严厉处罚和提高饮酒年龄的作用都不重要；提高酒税有一定证据能减少死亡，但估计不精确，需谨慎。原书脚注列举的后续研究中，Carpenter & Dobkin (2011) 得出相反结论，认为提高饮酒年龄显著降低了相应年龄段的死亡，但未控制表 10.1 中的其他变量。

10.7 固定效应方法的边界

本章的关键洞见是：若不可观测变量不随时间变化，因变量的任何变化必然来自别处。它的边界也很清楚：

• 无法控制同时随实体和时间变化的遗漏变量。这类问题需要工具变量（第 12 章）。
• 不随时间变化的回归元无法估计，变化很少的回归元估计不精确（习题 10.10）。
• \(T\) 固定时 \(\alpha_i\) 本身不能一致估计：每个 \(\alpha_i\) 只有 \(T\) 个观测，\(n\to\infty\) 也无济于事（习题 10.9）。这在文献中叫「伴随参数问题」（incidental parameters problem）。线性模型里它不影响 \(\hat\beta_1\) 的一致性，因为去均值把 \(\alpha_i\) 消掉了；但在第 11 章的 probit/logit 等非线性模型中，直接放入大量实体虚拟变量会让 \(\hat\beta\) 也有偏，需要专门方法。
• 严格外生性在金融中常被违反，带滞后因变量时尤其要小心。
• 若数据中还存在实体特定的时间趋势，可用 \(Y_{it}=\beta_1X_{it}+\alpha_i+\lambda_it+u_{it}\)：先差分消去 \(\alpha_i\)，差分后 \(\lambda_i\) 变成实体固定效应，再做组内估计（习题 10.8）。

10.8 从面板回归到横截面因子回归

本节是为量化读者补充的内容，用本章的工具重新审视股票收益的因子检验。

10.8.1 收益面板与三种「控制」

典型的因子检验问题是：股票 \(i\) 在 \(t\) 期的因子暴露 \(X_{it}\)（如账面市值比、动量、分析师预期修正），能否预测下一期收益 \(R_{i,t+1}\)？

这是一个「股票 × 日期」面板。用本章的语言，三种设定回答的是不同问题：

时间固定效应等价于每期把收益和暴露都做截面去均值，剔除了市场整体涨跌这类共同冲击。多因子选股模型关心的几乎总是第二行。股票固定效应则会吸收股票的长期平均收益差异；若因子的价值恰恰来自于区分「长期高收益」和「长期低收益」的股票（如很多价值、质量因子），加股票固定效应反而会把信号消掉。

10.8.2 Fama–MacBeth 两步法

Fama & MacBeth (1973) 的做法是：

1. 每期做一次截面回归：对每个 \(t\)，用当期全部股票估计 \(R_{i,t+1}=a_t+b_tX_{it}+e_{i,t+1}\)，得到一串斜率 \(\hat b_1,\dots,\hat b_T\)。每个 \(\hat b_t\) 可以理解为当期的因子收益（factor return）。
2. 对斜率序列做时间序列平均：

在资产定价的原始版本里，\(X_{it}\) 是用前期数据估计的 beta，这就引出了第 09 章的变量误差问题；在 Barra 类风险模型和特征因子研究中，\(X_{it}\) 是可直接观测的特征（市值、估值等），测量误差问题小得多。

与时间固定效应的关系。由于每期截面回归都有自己的截距，FM 天然剔除了时间效应。可以证明，加时间固定效应的混合 OLS 估计量是各期截面斜率的加权平均：

而 FM 用的是等权平均。若每期因子都做过截面标准化且股票数相同，两者完全相等。所以两种方法的点估计差别通常不大，真正的区别在标准误。

推导拆解： 第一步，加时间固定效应等于每期截面去均值，记 \(\dot X_{it}=X_{it}-\bar X_t\)，\(\dot R_{it}\) 同理。混合 OLS 斜率为 \(\hat b^{TFE}=\frac{\sum_t\sum_i\dot X_{it}\dot R_{it}}{\sum_s\sum_i\dot X_{is}^2}\)。 第二步，每期截面回归（含截距）的斜率是 \(\hat b_t=\frac{\sum_i\dot X_{it}\dot R_{it}}{\sum_i\dot X_{it}^2}\)，所以 \(\sum_i\dot X_{it}\dot R_{it}=\hat b_t\sum_i\dot X_{it}^2\)。 第三步，代回分子：\(\hat b^{TFE}=\sum_t\frac{\sum_i\dot X_{it}^2}{\sum_s\sum_i\dot X_{is}^2}\hat b_t=\sum_tw_t\hat b_t\)。 含义：截面分散度大的月份（因子暴露拉得开）权重大，因为那个月的斜率估计更精确。这就像按精度加权平均多个估计。FM 等权则把每个月当作同等可信。若每期因子已标准化为截面方差 1、股票数都是 \(N\)，每期 \(\sum_i\dot X_{it}^2\) 都相同，权重就都是 \(1/T\)。

FM 标准误的本质是把每期斜率当作一个观测，相当于「按时间聚类」：它允许同一期内所有股票的误差任意相关（市场、行业冲击），但假设不同期的 \(\hat b_t\) 相互独立。

10.8.3 误差相关结构决定标准误的选法

股票收益面板里，误差（以及因子暴露）通常有两种相关：

• 时间效应（同期截面相关）：同一天所有股票受相同的市场、行业冲击。
• 股票效应（同股跨期相关）：暴露变化缓慢（估值、规模因子），残差中也有持续的个股成分；使用重叠的多期收益（如每月计算未来 12 个月收益）时，同一股票相邻观测的误差机械地相关。

Petersen (2009) 的系统模拟结论，也是下面代码复现的内容：

双向聚类（two-way clustering）的方差估计是（Cameron, Gelbach & Miller, 2011；Thompson, 2011）：

减去 White 项是因为同一观测（同股同期）在前两项里被重复计算了。

白话解释：这是集合计数的「容斥原理」。把所有观测排成「股票 × 月份」的表格，方差的「馅」要加总所有应当计入的观测对乘积 \((x_ae_a)(x_be_b)\)。按股票聚类计入「同一行」的所有观测对，按时间聚类计入「同一列」的所有观测对。同时在同一行又在同一列的只有观测自己和自己配对，这正是 White 项。两者相加时它被算了两次，所以减掉一次。 一个实际提醒：减法可能让 \(\hat V_{\text{双向}}\) 在少数情况下出现负值（尤其是聚类数少时），软件通常会做调整，遇到时要注意。

FM 对股票效应无能为力：持续的个股成分让相邻各期的 \(\hat b_t\) 正相关，「各期独立」的假设失败。常见的补救是对 \(\hat b_t\) 序列用 Newey–West（HAC）标准误，在重叠收益或因子持续性导致 \(\hat b_t\) 短期自相关时有效；但若个股成分是永久的，自相关不衰减，Newey–West 也只能部分修正。

实践建议：

1. 报告结果时同时给出 FM（带 Newey–West 调整）和双向聚类标准误，两者差异大时要找原因。
2. 聚类数是有效样本量。按时间聚类、只有 60 个月时，就只有 60 个「观测」；按行业聚类只有 30 个行业时，应按 10.5.4 节用 \(t_{G-1}\) 临界值。
3. 用重叠收益时，相关结构由持有期机械决定，必须用对应的 HAC 或按股票聚类。
4. 标准误偏小导致 t 值虚高，是伪因子（false discovery）的重要来源之一，与多重检验问题叠加时尤其严重。

量化实战

示例 1：固定效应的三种等价估计与聚类标准误的覆盖率

模拟一个仿照酒驾案例的 48 州 × 7 年面板：州效应 \(\alpha_i\) 与税率正相关，有全国共同冲击，误差在州内服从 AR(1)。真值 \(\beta_1=-0.5\)。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

rng = np.random.default_rng(0)
n, T, beta = 48, 7, -0.5

def make_panel(rng):
    """州 x 年面板：州效应 alpha_i 与啤酒税正相关；误差在州内 AR(1)"""
    alpha = rng.normal(0, 1, n)                        # 不可观测的州特征（如酒驾文化）
    tax_level = 0.5 + 0.3 * alpha + rng.normal(0, 0.2, n)
    tax = tax_level[:, None] + np.cumsum(rng.normal(0, 0.08, (n, T)), axis=1)  # 税率持续
    year = rng.normal(0, 0.3, T)                       # 全国共同冲击（安全技术）
    u = np.zeros((n, T)); e = rng.normal(0, 0.3, (n, T))
    u[:, 0] = e[:, 0]
    for t in range(1, T):
        u[:, t] = 0.7 * u[:, t-1] + e[:, t]            # 州内序列相关
    y = 2 + beta * tax + alpha[:, None] + year[None, :] + u
    return pd.DataFrame({"state": np.repeat(np.arange(n), T),
                         "year": np.tile(np.arange(T), n),
                         "tax": tax.ravel(), "y": y.ravel()})

df = make_panel(rng)

# 1) 混合 OLS（忽略州效应）
pooled = smf.ols("y ~ tax", df).fit(cov_type="HC1")
# 2) LSDV：州虚拟变量 + 年份虚拟变量
lsdv = smf.ols("y ~ tax + C(state) + C(year)", df).fit(
    cov_type="cluster", cov_kwds={"groups": df["state"]})
# 3) 双向去均值（平衡面板）
d = df.copy()
for v in ["y", "tax"]:
    d[v + "_dd"] = (d[v] - d.groupby("state")[v].transform("mean")
                    - d.groupby("year")[v].transform("mean") + d[v].mean())
within = sm.OLS(d["y_dd"], d["tax_dd"]).fit()
# 4) T=2 的前后差分（首末两年，含截距） vs 两期双向 FE
two = df[df.year.isin([0, T-1])]
w = two.pivot(index="state", columns="year", values=["y", "tax"])
dy = w["y"][T-1] - w["y"][0]; dx = w["tax"][T-1] - w["tax"][0]
ba = sm.OLS(dy, sm.add_constant(dx)).fit(cov_type="HC1")
fe2 = smf.ols("y ~ tax + C(state) + C(year)", two).fit()

print(f"混合 OLS            : {pooled.params['tax']:+.3f}  (SE {pooled.bse['tax']:.3f})")
print(f"LSDV 双向 FE        : {lsdv.params['tax']:+.3f}  (聚类 SE {lsdv.bse['tax']:.3f})")
print(f"双向去均值 OLS      : {within.params['tax_dd']:+.3f}")
print(f"前后差分(含截距)    : {ba.params.iloc[1]:+.3f}   两期双向 FE: {fe2.params['tax']:+.3f}")

# 5) 蒙特卡洛：稳健 SE 与 聚类 SE 的实际拒绝率（真值 H0: beta=-0.5）
rej = {"HC1": 0, "cluster": 0}; R = 500
for r in range(R):
    dfr = make_panel(rng)
    for k, kw in [("HC1", {}), ("cluster", {"cov_kwds": {"groups": dfr["state"]}})]:
        f = smf.ols("y ~ tax + C(state) + C(year)", dfr).fit(cov_type=k, **kw)
        t = (f.params["tax"] - beta) / f.bse["tax"]
        rej[k] += abs(t) > 1.96
print(f"名义 5% 检验的实际拒绝率: 稳健SE {rej['HC1']/R:.3f}, 聚类SE {rej['cluster']/R:.3f}")

输出：

混合 OLS            : +1.246  (SE 0.097)
LSDV 双向 FE        : -0.728  (聚类 SE 0.299)
双向去均值 OLS      : -0.728
前后差分(含截距)    : -1.060   两期双向 FE: -1.060
名义 5% 检验的实际拒绝率: 稳健SE 0.142, 聚类SE 0.042

读法：混合 OLS 的符号与真值相反，复现了截面回归 (10.3) 的「加税增加死亡」假象；LSDV 与双向去均值给出完全相同的估计；含截距的两期差分与两期双向固定效应完全相同。最后一行最重要：误差在州内序列相关时，用普通稳健标准误做名义 5% 的检验，实际拒绝了 14% 的真原假设；聚类标准误把拒绝率拉回到 5% 附近。

示例 2：因子面板中的标准误选择（复现 Petersen 2009 的结论）

500 只股票 × 120 个月。因子暴露 \(X\) 和收益残差 \(u\) 都由「股票成分 + 时间成分 + 特质成分」组成，分三种情形：只有时间效应、只有股票效应、两者都有。每种情形模拟 200 次，比较各类标准误的平均值与估计量真实标准差之比（越接近 1 越好）。聚类方差用夹心公式手工实现。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
N, T, b = 500, 120, 0.5          # 500 只股票，120 个月，真实因子收益 0.5（单位任意）

def simulate(rng, firm_share=0.5, time_share=0.25):
    """Petersen(2009) 式设定：X 与残差都含 股票成分 + 时间成分 + 特质成分"""
    def comp(share_f, share_t):
        f = rng.normal(0, 1, (N, 1)) * np.sqrt(share_f)
        t = rng.normal(0, 1, (1, T)) * np.sqrt(share_t)
        e = rng.normal(0, 1, (N, T)) * np.sqrt(1 - share_f - share_t)
        return f + t + e
    X = comp(firm_share, time_share)        # 因子暴露：股票内持续 + 同期共同成分
    u = comp(firm_share, time_share)        # 收益残差：股票内持续 + 市场共同冲击
    Y = b * X + u
    return X, Y

def ols_and_ses(X, Y):
    firm = np.repeat(np.arange(N), T); time = np.tile(np.arange(T), N)
    x = X.ravel(); y = Y.ravel()
    Z = np.column_stack([np.ones_like(x), x])
    ZZi = np.linalg.inv(Z.T @ Z)
    coef = ZZi @ Z.T @ y
    e = y - Z @ coef
    n_obs = len(y)
    def clustered(g):
        # 夹心估计：(Z'Z)^-1 [sum_g (Z_g'e_g)(Z_g'e_g)'] (Z'Z)^-1
        s = np.zeros((len(np.unique(g)), 2))
        np.add.at(s, g, Z * e[:, None])
        G = s.shape[0]
        return ZZi @ (s.T @ s) @ ZZi * G / (G - 1)
    V_ols = ZZi * (e @ e) / (n_obs - 2)
    V_white = ZZi @ ((Z * e[:, None]).T @ (Z * e[:, None])) @ ZZi
    V_firm, V_time = clustered(firm), clustered(time)
    V_two = V_firm + V_time - V_white      # Cameron-Gelbach-Miller 双向聚类
    out = {"OLS": V_ols, "White": V_white, "聚类:股票": V_firm,
           "聚类:时间": V_time, "双向聚类": V_two}
    ses = {k: np.sqrt(v[1, 1]) for k, v in out.items()}
    # Fama-MacBeth：逐月截面回归，取斜率均值；SE = sd/sqrt(T)
    gam = np.empty(T)
    for t in range(T):
        xt = X[:, t] - X[:, t].mean(); yt = Y[:, t] - Y[:, t].mean()
        gam[t] = xt @ yt / (xt @ xt)
    ses["Fama-MacBeth"] = gam.std(ddof=1) / np.sqrt(T)
    return coef[1], gam.mean(), ses

# 蒙特卡洛：三种相关结构下，各种 SE 的平均值 / 估计量真实标准差
R = 200
names = ["OLS", "White", "聚类:股票", "聚类:时间", "双向聚类", "Fama-MacBeth"]
print("情形            " + "  ".join(f"{k:>8s}" for k in ["OLS", "White", "C股票", "C时间", "C双向", "FM"]))
for label, fs, ts in [("仅时间效应", 0.0, 0.25), ("仅股票效应", 0.5, 0.0), ("两者都有", 0.5, 0.25)]:
    est_ols, est_fm, acc = [], [], {k: [] for k in names}
    for r in range(R):
        X, Y = simulate(rng, fs, ts)
        bo, bf, s = ols_and_ses(X, Y)
        est_ols.append(bo); est_fm.append(bf)
        for k in names: acc[k].append(s[k])
    ratios = [np.mean(acc[k]) / (np.std(est_fm) if k == "Fama-MacBeth" else np.std(est_ols)) for k in names]
    print(f"{label:<10s}SE/SD " + "  ".join(f"{r:8.2f}" for r in ratios)
          + f"   | 真实SD: OLS {np.std(est_ols):.4f}, FM {np.std(est_fm):.4f}")

# 时间固定效应的混合 OLS = 按截面方差加权的 Fama-MacBeth 斜率
X, Y = simulate(rng, 0.5, 0.25)
Xd = X - X.mean(axis=0, keepdims=True); Yd = Y - Y.mean(axis=0, keepdims=True)
b_tfe = (Xd * Yd).sum() / (Xd ** 2).sum()
gam = (Xd * Yd).sum(axis=0) / (Xd ** 2).sum(axis=0)
wts = (Xd ** 2).sum(axis=0) / (Xd ** 2).sum()
print(f"\n时间FE混合OLS {b_tfe:.5f} = 加权FM {np.sum(wts*gam):.5f};  等权FM {gam.mean():.5f}")

输出：

情形                 OLS     White       C股票       C时间       C双向        FM
仅时间效应     SE/SD     0.17      0.17      0.16      0.94      0.94      1.05   | 真实SD: OLS 0.0242, FM 0.0039
仅股票效应     SE/SD     0.19      0.19      1.04      0.16      1.04      0.16   | 真实SD: OLS 0.0217, FM 0.0217
两者都有      SE/SD     0.13      0.13      0.71      0.71      1.00      0.11   | 真实SD: OLS 0.0318, FM 0.0286

时间FE混合OLS 0.47213 = 加权FM 0.47213;  等权FM 0.47222

读法：

• OLS 和 White 标准误在三种情形下都只有真实标准差的 13%–19%，t 值被放大 5 倍以上。在真实的股票面板里，这就是「到处都是显著因子」的来源。
• 只有时间效应时，按时间聚类和 FM 都正确；只有股票效应时，按股票聚类正确，FM 严重低估；两者都有时，只有双向聚类正确。与 10.8.3 节的表格一致。
• 第一种情形还显示了时间固定效应的另一个好处：FM（等价于剔除时间效应）估计量的真实标准差只有 0.0039，混合 OLS 是 0.0242。共同冲击同时出现在 \(X\) 和误差中时，不剔除它会让估计非常嘈杂。
• 最后一行验证了 10.8.2 节的等式：时间固定效应的混合 OLS 精确等于按截面方差加权的 FM 斜率，与等权 FM 只差在第四位小数。

本章小结

面板数据让我们利用同一实体的多期观测，控制那些无法度量的遗漏变量。实体固定效应吸收「随实体变化、不随时间变化」的因素，时间固定效应吸收「随时间变化、各实体相同」的因素，两者可以同时使用。估计上，LSDV、去均值和（\(T=2\) 时的）差分回归等价，本质是 Frisch–Waugh 定理。固定效应只利用实体内的时间变异，需要严格外生性，无法处理同时随实体和时间变化的遗漏变量。面板误差通常在实体内序列相关，必须用聚类标准误，聚类数少时还要用 \(t_{G-1}\) 临界值。放到因子研究里，加时间效应就是只看截面选股能力；Fama–MacBeth 是按时间聚类的一种实现，对持续的个股效应不稳健；两种相关都存在时用双向聚类。

练习

基础

1. 1000 名工人 2008–2017 年的面板，研究教育对收入的影响。举出一个同时与教育和收入相关的个人特定不可观测变量、一个时间特定变量，说明如何控制。这个回归能估计性别对收入的效应吗？全国失业率的效应呢？（原书复习题 10.2、10.3） 答案要点：能力（个人 FE）、全国经济周期（时间 FE）；性别被个人 FE 吸收，全国失业率被时间 FE 吸收，都无法估计。
2. 证明：同时放入 \(D1_i,\dots,Dn_i\) 和常数项时存在完全多重共线性。（原书习题 10.2） 提示：\(\sum_jDj_i=1\) 恒等于常数项。
3. 写出双向固定效应的两种参数化 (10.19) 与 (10.20) 之间系数的对应关系。（原书习题 10.5） 提示：取 \(i=1,t=1\) 为基准：\(\alpha_1+\lambda_1=\beta_0\)，\(\gamma_i=\alpha_i-\alpha_1\)，\(\delta_t=\lambda_t-\lambda_1\)。
4. 用表 10.1 列 (4)：一个州把实际啤酒税每箱提高 1 美元，死亡率变化的点估计和 95% 置信区间是多少？如果该州有 885 万人，大约对应每年多少条生命？ 答案要点：\(-0.45\pm1.96\times0.30=(-1.04,0.14)\)；885 万人即 885 个「万人」，点估计约减少 398 人死亡，区间包含 0。
5. 你按行业（28 个）聚类做因子回归，得到 \(t=2.10\)。用 \(t_{27}\) 和标准正态判断 5% 显著性，结论有何不同？ 提示：\(t_{27}\) 的 5% 双侧临界值约 2.05，仍显著但很勉强；若按 10 个大类行业聚类，\(t_9\) 临界值约 2.26，不再显著。

进阶

6. （原书习题 10.11）证明 \(T=2\) 时实体去均值估计量等于无截距的差分估计量。 提示：用 \(\tilde X_{i1}=-\frac12\Delta X_i\)，\(\tilde X_{i2}=\frac12\Delta X_i\)，\(\tilde Y\) 同理，代入 (10.22)。
7. （原书习题 10.9）\(n\to\infty\)、\(T\) 固定时，\(\hat\alpha_i\) 是否一致？为什么这不影响 \(\hat\beta_1\) 的一致性？ 提示：\(\hat\alpha_i=\bar Y_i-\hat\beta_1\bar X_i\)，其误差含 \(\bar u_i\)，方差 \(\sim\sigma^2/T\) 不随 \(n\) 下降。
8. 证明加时间固定效应的混合 OLS 斜率等于 \(\sum_tw_t\hat b_t\)，\(w_t\propto\sum_i(X_{it}-\bar X_t)^2\)。在什么条件下它等于 Fama–MacBeth 估计量？ 提示：分子分母都按 \(t\) 拆开；每期截面标准化且股票数相同时 \(w_t=1/T\)。
9. 用示例 2 的代码，把收益改成「未来 12 个月累计收益」并按月滚动（重叠收益），比较 FM 标准误、FM + Newey–West（滞后 11 期）和按股票聚类的结果。 提示：重叠导致 \(\hat b_t\) 序列存在 MA(11) 结构，未调整的 FM 标准误约低估 \(\sqrt{12}\) 倍量级。
10. 某研究在公司固定效应回归中放入「上期收益」作为控制变量，\(T=12\)。指出违反了哪条假设，后果是什么。 提示：严格外生性；上期收益（滞后因变量）与去均值后的误差相关，组内估计量有 \(O(1/T)\) 的 Nickell 偏误。

原书推荐习题：10.11（\(T=2\) 时的等价性）；10.2、10.5（虚拟变量陷阱与参数化）；10.9（伴随参数问题）；10.8（实体特定时间趋势）；10.6 与附录 10.2（普通稳健标准误为何失效）；复习题 10.2–10.4；实证题 E10.2（收入与民主：加入国家固定效应后效应基本消失，体会聚类与固定效应的影响）、E10.1（持枪法与暴力犯罪）。

原书对照

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。