第 07 章 多元回归的假设检验与置信区间

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 在多元回归中对单个系数做 t 检验、构造置信区间，并理解加入相关回归元如何改变系数和标准误。
2. 解释为什么不能用「逐个 t 检验」检验联合假设，算出其实际检验水平；用异方差稳健 F 统计量检验 \(q\) 个约束。
3. 用受约束/无约束回归的 SSR 或 \(R^2\) 计算仅同方差 F 统计量，并知道它为什么在实践中不能代替稳健 F。
4. 用重参数化（变换回归）把「涉及多个系数的单一约束」转化为单系数 t 检验，并求出系数线性组合的置信区间。
5. 理解多系数置信集（置信椭圆）及其形状的来源。
6. 按「基准设定 + 备选设定」的思路选择控制变量，说清 \(R^2\) 能告诉你什么、不能告诉你什么；掌握 Bonferroni 检验及其在多重检验中的意义。

读前导读

这一章在解决什么问题。 多元回归里的推断。单个系数的 t 检验和置信区间与第 5 章完全一样，本章用一节带过。重点是联合假设：同时检验多个系数。CFA 二级里你用过两种 F 检验：整体显著性 F（所有斜率是否同时为 0），以及比较「受约束/无约束」两个嵌套模型的 F（用两者的 SSR 计算）。本章在此基础上多讲了几件 CFA 没有展开的事：

• 为什么不能逐个看 t：两个约束各用 1.96，实际犯第一类错误的概率接近 10%，约束越多越离谱。这是多重检验问题最简单的形式。
• CFA 的 SSR 版 F 只在同方差下成立。本章给出异方差稳健的 F（Wald 形式），并用加州数据展示两者可以相差很大（8.01 对 5.43）。这延续了第 5 章「默认用稳健标准误」的主线。
• 涉及多个系数的单一约束（如 \(\beta_1=\beta_2\)）可以通过「变换回归」变成普通的 t 检验，这个技巧以后会反复用到。
• 置信椭圆解释了「单个都不显著、合起来却显著」这一在因子研究中很常见的现象。
• 模型设定的方法论：基准设定 + 备选设定，以及 \(R^2\) 不能告诉你的四件事。

需要先想起来的数学。

• 二次型：形如 \(v^\top Av\) 的式子，\(v\) 是向量、\(A\) 是矩阵，结果是一个数。二维时 \(v=(a,b)^\top\)、\(A=\begin{pmatrix}p&r\\r&s\end{pmatrix}\)，\(v^\top Av=pa^2+2rab+sb^2\)。稳健 F 统计量和置信椭圆都是二次型。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成 中「正定矩阵」与「协方差矩阵」。
• 协方差矩阵及其逆：\(\hat\Sigma_{\hat\beta}\) 的对角线是各系数的方差，非对角线是协方差。它的逆矩阵在 F 统计量里起「按不确定性标准化」的作用，就像一维情形除以方差。见 第 00 册第 06 章。
• 概率的并与交：\(\Pr(A\text{ 或 }B)=\Pr(A)+\Pr(B)-\Pr(A\text{ 且 }B)\)；独立时 \(\Pr(A\text{ 且 }B)=\Pr(A)\Pr(B)\)。7.2.2 和 7.7 节全靠这两条。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具 中「常用不等式」。
• 卡方与 F 分布：\(\chi^2_q\) 是 \(q\) 个独立标准正态的平方和，\(F_{q,\infty}=\chi^2_q/q\)。第 2 章 2.4 节已复习。

怎么读这一章。 7.1 快读，只需留意 7.1.4（加入生均支出后 STR 系数的变化）以及它对「保持其他不变」的解读。7.2 是核心：7.2.2 的「两次机会」、7.2.3 的稳健 F、7.2.4 中两种 F 的差异都要读懂。7.3 的变换回归技巧必读。7.4 配合讲解框理解椭圆的形状即可。7.5、7.6 是方法论，不涉及推导，但对写研究报告很有用，建议读完。7.7 Bonferroni 很短，与第 3 章 3.2.3 节和量化实战的「因子动物园」连起来读。

7.0 本章要解决的问题

上一章用多元回归缓解遗漏变量偏差。OLS 估计量仍有抽样不确定性，本章用标准误、假设检验和置信区间来量化它。

单个系数的推断与第 05 章没有本质区别。多元回归带来的新情形是联合假设（joint hypotheses）：同时涉及两个或更多系数的假设，例如「师生比和生均支出都对成绩没有影响」。这需要新的检验统计量，即 F 统计量（F-statistic）。

本章结构：7.1 节单系数推断；7.2、7.3 节涉及多个系数的假设；7.4 节多系数置信集；7.5 节如何选择回归设定；7.6 节用加州数据改进班级规模效应的估计；7.7 节介绍 Bonferroni 检验。

7.1 单个系数的假设检验与置信区间

7.1.1 标准误

单回归中，标准误由「把方差公式中的期望换成样本均值」得到（式 5.4），大数定律保证 \(\hat\sigma^2_{\hat\beta_1}/\sigma^2_{\hat\beta_1}\xrightarrow{p}1\)。多元回归完全类似：\(\hat\beta_j\) 的标准差由标准误 \(SE(\hat\beta_j)\) 估计，只是公式要用矩阵表示。异方差稳健的协方差矩阵估计为

其中 \(x_i\) 是第 \(i\) 个观测的回归元向量（含常数 1），\(SE(\hat\beta_j)\) 是其第 \(j\) 个对角元的平方根。这个「三明治」形式（原书第 19 章，即本册第 19a 章）在 \(k=1\) 时就是式 (5.4)。概念上，单回归与多元回归没有区别：关键都是估计量在大样本下近似正态，并且我们能一致地估计其抽样分布的标准差。

白话解释：这个公式看着吓人，逐块对应到式 (5.4) 就不难了。

• \(x_ix_i^\top\) 是第 \(i\) 个观测的回归元向量与自己的「外积」，得到一个 \((k+1)\times(k+1)\) 的小矩阵，元素是 \(X_{ji}X_{mi}\)。乘上 \(\hat u_i^2\) 再对 \(i\) 求和，就是 (5.4) 分子 \(\sum(X_i-\bar X)^2\hat u_i^2\) 的多变量版本：每个观测按自己的残差大小报告噪声。
• 两边的 \((X^\top X)^{-1}\) 是 (5.4) 分母 \([\sum(X_i-\bar X)^2]^2\) 的多变量版本：一边一个，所以叫「三明治」，\((X^\top X)^{-1}\) 是面包，中间是馅。
• 若误差同方差，馅里的 \(\hat u_i^2\) 可以换成常数 \(s^2_{\hat u}\)，馅变成 \(s^2_{\hat u}X^\top X\)，与一片面包相消，就得到经典公式 \(s^2_{\hat u}(X^\top X)^{-1}\)。这正是第 5 章 5.4.3 节「同方差时分子能化简」的矩阵版。

金融直觉：风险模型里组合方差写成 \(w^\top\Sigma w\)，这里系数的协方差矩阵也是类似的「两边夹」结构。\(\hat\Sigma_{\hat\beta}\) 的非对角元（系数之间的协方差）在本章非常重要：检验 \(\beta_1=\beta_2\)、算置信椭圆、算联合 F，都离不开它；只看回归表里每个系数的 SE 是不够的。

7.1.2 单系数检验与置信区间

零假设的取值来自经济理论或决策情境（例如 \(\beta_{STR}=0\)）。依据是 Key Concept 6.5：\(\hat\beta_j\) 近似正态，零假设下均值为 \(\beta_{j,0}\)，方差可以一致估计，所以照搬单回归的步骤。

Key Concept 7.1（检验 \(\beta_j=\beta_{j,0}\)）

1. 计算 \(SE(\hat\beta_j)\)；
2. 计算 \(t=\dfrac{\hat\beta_j-\beta_{j,0}}{SE(\hat\beta_j)}\)（7.2）；
3. 计算 p 值 \(p=2\Phi(-|t^{act}|)\)（7.3）；p < 0.05 或 \(|t^{act}|>1.96\) 时在 5% 水平拒绝。

Key Concept 7.2（\(\beta_j\) 的置信区间） 大样本下 95% 置信区间为

\[\left[\hat\beta_j-1.96SE(\hat\beta_j),\ \hat\beta_j+1.96SE(\hat\beta_j)\right],\tag{7.4}\]

即以 95% 概率包含真值的区间，或 5% 双侧检验不能拒绝的值的集合；90% 区间把 1.96 换成 1.64。

这些方法依赖大样本正态近似，只在大样本中有保证。

7.1.3 应用：控制英语学习者比例

检验 STR 系数为 0：\(t=-1.10/0.43=-2.54\)，\(p=2\Phi(-2.54)=1.1\%\)，在 5% 水平拒绝，但在 1% 水平不能拒绝。95% 置信区间为 \(-1.10\pm1.96\times0.43=(-1.95,-0.26)\)。师生比降 2 的效应的置信区间为 \((0.52,3.90)\) 分。

7.1.4 再加入生均支出

督学追问：雇更多教师，钱从哪里来？可以削减其他预算（不买新电脑、减少维护），也可以要求增加预算（纳税人会反对）。那么，保持生均支出不变（同时保持 PctEL 不变）时，降低师生比的效应是多少？

Expn 是生均年度总支出（千美元）。结果出人意料：STR 的系数从 −1.10 降到 −0.29，\(t=-0.29/0.48=-0.60\)，即使在 10% 水平也不能拒绝为零（\(|-0.60|<1.64\)）。也就是说，没有证据表明在生均支出不变时雇更多教师能提高成绩。

一种解读是：加州学区的预算分配是有效的。假如 STR 的系数在 (7.6) 中又大又负，学区就可以削减教材、技术、体育等开支去雇教师，在总支出不变的情况下缩小班级、提高成绩；系数小且不显著，说明这种资金转移几乎没有效果，学区已经有效地配置了资金。

还要注意 STR 的标准误从 0.43 升到 0.48。STR 与 Expn 的相关系数为 −0.62，回归元相关使估计更不精确，这就是第 06 章的不完全多重共线。

白话解释：(7.5) 与 (7.6) 中 STR 的系数回答的是不同的问题，不是一个对、一个错。(7.5) 问：「英语学习者比例相同时，班级小 1 人的学区成绩高多少？」这时小班学区往往也花钱更多，系数里包含了「多花钱」的效应。(7.6) 问：「英语学习者比例和生均支出都相同时，班级小 1 人的学区成绩高多少？」支出不变，小班只能靠挤占其他开支，系数衡量的是「同一笔钱换成教师」的效果。加入哪个控制变量，取决于你想回答哪个政策问题。

金融直觉：类似于评估交易团队扩编的效果。问「多一名交易员，盈利增加多少」，答案包含了随之而来的系统、数据、风控投入；问「总预算不变、多一名交易员（相应少买一些数据），盈利增加多少」，答案可能接近零，说明预算已经分配得比较合理。两个系数都对，但对应的决策不同。

愤怒的纳税人此时声称：\(\beta_1=0\) 且 \(\beta_2=0\)，即师生比和生均支出都无效。检验 \(\beta_2=0\) 的 \(t=3.87/1.59=2.43\)，看似可以拒绝。但这个推理有缺陷，因为这是一个联合假设，需要 F 统计量。

7.2 联合假设检验

7.2.1 联合零假设

这个零假设对系数施加了两个约束（restrictions）。一般形式为

例如 \(k=6\) 时检验 \(\beta_2=\beta_4=\beta_5=0\)，\(q=3\)。只要零假设中有一个等式不成立，联合零假设就为假。

7.2.2 为什么不能逐个检验

一个诱人的规则：「\(|t_1|\) 或 \(|t_2|\) 超过 1.96 就拒绝」。我们来算它的检验水平（size，即零假设为真时的拒绝概率）。

大样本下 \(\hat\beta_1,\hat\beta_2\) 联合正态，零假设下 \(t_1,t_2\) 服从二元正态，各自均值 0、方差 1。若 \(t_1,t_2\) 不相关（大样本下即独立），则

检验水平为 \(1-0.95^2=9.75\%\)，而不是 5%。原因是你有两次机会拒绝。若回归元相关，水平取决于相关程度，情况更复杂。\(q\) 个独立约束时，水平为 \(1-0.95^q\)：\(q=10\) 时约 40%，\(q=100\) 时超过 99%。逐个检验的水平是错的，需要新方法。

推导拆解：「拒绝」= 至少一个 \(|t_j|>1.96\)；它的反面「不拒绝」= 所有 \(|t_j|\le1.96\)。独立时「同时发生」的概率等于各自概率相乘，每个是 0.95，\(q\) 个就是 \(0.95^q\)；拒绝概率是 \(1-0.95^q\)。数值上 \(0.95^{10}\approx0.599\)，\(0.95^{100}\approx0.006\)。 相关时为什么水平反而接近 5%？极端情况下 \(t_1=t_2\)（完全正相关），两次机会其实是同一次机会，水平就是 5%。相关越强，「第二次机会」越不独立，额外的拒绝概率越小。所以独立情形是逐个检验最糟的情况，代码第 3 段 \(\rho=0.9\) 时水平降到 7.4% 印证了这一点。

金融直觉：这就是回测中「多试几个参数」的代价。一个策略在 10 个互不相关的参数组合上分别检验，只要有一个 \(|t|>1.96\) 就宣称成功，实际的假阳性概率约 40%。参数组合之间越相似（例如回看窗口 20 天和 21 天），代价越小；越是试探迥异的设定，代价越大。

一种修正是 Bonferroni 方法（7.7 节）：调大临界值，使水平不超过目标显著性水平。优点是适用面广，缺点是功效（power）可能较低，备择为真时常常不能拒绝。更好的方法是 F 统计量，尤其当回归元高度相关时，它的功效更高。

7.2.3 F 统计量

两个约束（\(q=2\)）。

\(\hat\rho_{t_1,t_2}\) 是两个 t 统计量相关系数的估计。先看特例：若已知 \(t_1,t_2\) 不相关，\(F=\frac12(t_1^2+t_2^2)\)，就是两个 t 平方的平均。零假设下它是两个独立标准正态平方之和除以 2，服从 \(F_{2,\infty}\) 分布；备择下至少一个 \(t^2\) 会很大，导致拒绝。一般情形下，(7.9) 对 t 统计量之间的相关性做了调整，使零假设下的大样本分布始终是 \(F_{2,\infty}\)。

\(q\) 个约束。 把约束写成矩阵形式 \(H_0:R\beta=r\)（\(R\) 为 \(q\times(k+1)\) 矩阵），异方差稳健 F 统计量为

其中 \(\hat\Sigma_{\hat\beta}\) 是 7.1.1 节的稳健协方差矩阵。它就是 Wald 统计量除以 \(q\)（原书 19.3 节）；\(q=2\) 时化为 (7.9)。零假设下大样本

只要使用稳健协方差矩阵，无论同方差还是异方差，大样本分布都是 \(F_{q,\infty}\)。许多软件默认使用仅同方差版本，需要选择「robust」选项。

推导拆解：从一维推广到多维。

1. \(q=1\)：\(F=t^2=\dfrac{(\hat\beta_j-\beta_{j,0})^2}{SE^2}\)，即「偏离量的平方 ÷ 方差」。
2. \(q\) 维：偏离量变成向量 \(R\hat\beta-r\)（\(q\times1\)），它的协方差矩阵是 \(R\hat\Sigma_{\hat\beta}R^\top\)（线性变换的协方差公式，类似 \(\operatorname{var}(aX)=a^2\operatorname{var}(X)\)）。「平方 ÷ 方差」的矩阵版本就是 \((R\hat\beta-r)^\top[R\hat\Sigma_{\hat\beta}R^\top]^{-1}(R\hat\beta-r)\)。
3. 为什么服从 \(\chi^2_q\)：零假设下 \(R\hat\beta-r\) 近似为均值 0 的 \(q\) 维正态。用协方差矩阵的逆做标准化，相当于先把 \(q\) 个相关的偏离量变换成 \(q\) 个独立的标准正态，再求平方和，所以是 \(\chi^2_q\)。除以 \(q\) 就是 \(F_{q,\infty}\)。
4. \(R\) 和 \(r\) 怎么写：检验 \(\beta_1=0\) 且 \(\beta_2=0\)（模型含 \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3\)）时，\(R=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\)，\(r=(0,0)^\top\)。\(R\) 的每一行「挑出」一个约束涉及的系数组合，代码第 1 段的 R 矩阵正是这样写的。 (7.9) 是 \(q=2\) 时把逆矩阵手算展开的结果：分母 \(1-\hat\rho^2\) 来自 \(2\times2\) 相关矩阵的行列式，交叉项 \(-2\hat\rho t_1t_2\) 扣掉了两个 t 统计量「重复计数」的部分。

金融直觉：这种「用协方差矩阵的逆标准化的距离」叫马氏距离（Mahalanobis distance），在风险管理里很常见：判断一组因子收益今天是否「异常」，不能只看每个因子各自偏离几个标准差，还要考虑它们平常是否同涨同跌。两个通常同向的因子今天一个大涨、一个大跌，各自偏离不算大，马氏距离却可能很大。F 统计量做的是同一件事。

p 值。

可以查 \(F_{q,\infty}\) 表，也可以查 \(\chi^2_q\) 表，因为 \(\chi^2_q\) 变量等于 \(q\) 倍的 \(F_{q,\infty}\) 变量。常用临界值：

整体回归 F 统计量（overall regression F-statistic）检验全部斜率为零：

零假设下回归元对 \(Y\) 毫无解释力，但截距（等于 \(Y\) 的均值）可以非零。大样本下它服从 \(F_{k,\infty}\)。

\(q=1\) 时，F 统计量等于 t 统计量的平方，\(F_{1,\infty}\) 的 5% 临界值 \(3.84=1.96^2\)。

应用。 在 (7.6) 中检验 \(\beta_1=\beta_2=0\)，稳健 F = 5.43。\(F_{2,\infty}\) 的 5% 临界值为 3.00，1% 临界值为 4.61；5.43 > 4.61，在 1% 水平拒绝（p = 0.005）。因此可以拒绝纳税人「师生比和生均支出都无效」的说法（在控制 PctEL 的前提下）。

7.2.4 仅同方差 F 统计量

F 检验还有一种直观的表述：放松 \(q\) 个约束之后拟合改进了多少？这个改进是否大到不太可能仅来自抽样变异？同方差时这个直觉有精确的公式。

考虑两个回归：受约束回归（restricted regression）强制零假设成立（例如删掉相应的回归元），无约束回归（unrestricted regression）允许备择成立。

\(k_{unrestricted}\) 是无约束回归的回归元个数。两式等价，因为两个回归的 TSS 相同，\(R^2=1-SSR/TSS\)（原书习题 7.10）。

同方差时它与稳健 F 的差异随 \(n\) 增大而消失，大样本下服从 \(F_{q,\infty}\)。优点：公式简单直观，只要有两个回归的 \(R^2\) 就能算，适合读论文时手算。缺点：只在同方差下有效，而经济和金融数据中同方差不可依赖，所以实践中不能代替稳健 F。

小样本。 若误差 i.i.d.、同方差且正态，仅同方差 F 精确服从 \(F_{q,\,n-k_{unrestricted}-1}\)（原书 19.4 节）。\(n\) 增大时它收敛到 \(F_{q,\infty}\)。

应用。 无约束回归 (7.6) 的 \(R^2=0.4366\)；受约束回归为

\(q=2\)，\(n=420\)，\(k_{unrestricted}=3\)：

8.01 超过 1% 临界值 4.61，拒绝零假设。但它与稳健 F 值 5.43 相差很大。这正是仅同方差 F 的主要缺点：可以用计算器算，但可能与更可靠的稳健值相去甚远。

白话解释：(7.13) 的读法：分子是「放开 \(q\) 个约束后，每个约束平均让 SSR 降了多少」；分母是无约束模型里「每个自由度平均剩多少残差平方」，也就是 \(s^2_{\hat u}\)。两者相比，看拟合的改进是否明显大于噪声水平。问题出在分母：它用一个平均噪声水平衡量所有观测，这正是同方差假设。若噪声在某些观测上特别大，而这些观测恰好对被检验的系数影响大，这个比较就失真了。CFA 教材里的嵌套模型 F 检验就是这个公式，所以在金融数据上用它时，要意识到它隐含了同方差假设。

7.3 涉及多个系数的单一约束

经济理论有时给出形如 \(\beta_1=\beta_2\) 的约束：

这只是一个约束（\(q=1\)），但涉及两个系数。有两种方法。

方法 1：直接检验。 很多软件有专门的命令（statsmodels 中是 t_test("x1 - x2 = 0")），给出服从 \(F_{1,\infty}\) 的 F 统计量或对应的 t 统计量。其背后是线性组合的方差公式 \(\operatorname{var}(\hat\beta_1-\hat\beta_2)=\operatorname{var}(\hat\beta_1)+\operatorname{var}(\hat\beta_2)-2\operatorname{cov}(\hat\beta_1,\hat\beta_2)\)，协方差项不能漏。

方法 2：变换回归。 对

加减 \(\beta_2X_{1i}\)：

其中 \(\gamma_1=\beta_1-\beta_2\)，\(V_i=X_{1i}+X_{2i}\)。于是

零假设化为 \(\gamma_1=0\)，用 7.1 节的 t 检验即可：构造 \(V_i\)，把 \(Y\) 对 \(X_{1i}\) 和 \(V_i\) 回归。\(\beta_1-\beta_2\) 的 95% 置信区间为 \(\hat\gamma_1\pm1.96SE(\hat\gamma_1)\)。

两种方法等价：方法 1 的 F 等于方法 2 的 t 的平方。同样的技巧可以推广到其他线性约束（练习 7），第 08 章会用它计算非线性效应的标准误。

白话解释：变换回归的思路是「换一组坐标，让你关心的量直接变成某个系数」。原模型的系数是 \((\beta_1,\beta_2)\)，你关心的是 \(\beta_1-\beta_2\)；把回归元从 \((X_1,X_2)\) 换成 \((X_1,X_1+X_2)\)，新系数恰好是 \((\beta_1-\beta_2,\beta_2)\)。拟合值、残差都没变（只是同一组列的不同线性组合），所以软件对新系数报告的标准误自动包含了协方差项，不用手算 \(\operatorname{cov}(\hat\beta_1,\hat\beta_2)\)。这在只能拿到回归软件标准输出时尤其方便。

金融直觉：检验「价值因子和动量因子的溢价相等」，或「某基金在牛市和熊市的 beta 相等」，都可以这样做。后者在合并样本里写成 \(R=\alpha+\beta_{\text{熊}}R_m+(\beta_{\text{牛}}-\beta_{\text{熊}})\cdot(R_m\times D_{\text{牛}})+u\)，交互项的系数直接就是两种 beta 之差，它的 t 值就是检验结果。

推广到 \(q>1\)。 零假设可以包含 \(q\) 个约束，其中部分或全部涉及多个系数，7.2 节的 F 统计量同样适用。

7.4 多个系数的置信集

95% 置信集（confidence set）是在 95% 的随机样本中包含这些系数真值的集合，是单系数置信区间的推广。构造原理与 5.2 节相同：对每一对候选值 \((\beta_{1,0},\beta_{2,0})\) 计算 F 统计量，超过 5% 临界值 3.00 就拒绝；检验水平为 5%，所以真值在 95% 的样本中不被拒绝，未被拒绝的值的集合就是 95% 置信集。由 F 统计量的二次型形式，两个系数时置信集是一个椭圆（confidence ellipse）：

其中 \(\hat\Sigma_{12}\) 是 \((\hat\beta_1,\hat\beta_2)\) 的 \(2\times2\) 稳健协方差矩阵。

原书图 7.1 画出了基于 (7.6) 的 STR 系数（横轴）与 Expn 系数（纵轴）的 95% 置信椭圆。中心是点估计 \((-0.29,3.87)\)，椭圆不包含 \((0,0)\)，与 7.2 节 F 检验在 5% 水平拒绝一致。椭圆像一根「胖香肠」，长轴沿左下到右上方向，因为 \(\hat\beta_1\) 与 \(\hat\beta_2\) 正相关；而这又源于回归元 STR 与 Expn 负相关（生均支出高的学校师生比低），与式 (6.21) \(\operatorname{corr}(\hat\beta_1,\hat\beta_2)=-\rho_{X_1,X_2}\) 一致。

椭圆的形状揭示了一个重要现象：两个系数各自的置信区间可能都包含 0，但置信椭圆却不包含 \((0,0)\)。这就是「单个不显著、联合显著」，在回归元高度相关时很常见（见本章量化实战）。

白话解释：为什么是椭圆？若两个系数估计独立且方差相等，\(\{\text{距离}\le c\}\) 是一个圆；方差不等时圆被拉成轴对齐的椭圆；两者相关时椭圆再旋转。估计量正相关（\(\hat\beta_1\) 偏高时 \(\hat\beta_2\) 也常偏高），合理的组合沿着左下—右上分布，椭圆就朝那个方向拉长。 「单个区间都含 0、椭圆不含原点」的情形：设两个回归元高度正相关，系数估计强负相关，椭圆沿左上—右下方向又细又长。原点可能恰好落在长条两侧的空白处：它的横坐标在 \(\beta_1\) 的区间内，纵坐标也在 \(\beta_2\) 的区间内，但这个组合不在长条上。数据很清楚地告诉你 \(\beta_1+\beta_2\) 大约是多少（垂直于长轴的方向很窄），却说不清它怎么分配（沿长轴方向很宽）。

7.5 多元回归的模型设定

7.5.1 选择控制变量

估计因果效应时，决定放入哪些变量（即选择回归设定，regression specification）很有挑战，没有放之四海而皆准的规则，但有指导原则。起点是思考遗漏变量偏差的可能来源，依靠对实证问题的专业知识，目标是得到关注因果效应的无偏估计；不要主要依赖 \(R^2\)、\(\bar R^2\) 这类纯统计的拟合度量。

一般层面的答案由条件均值独立给出：控制变量集合须满足 \(E(u_i\mid X_i,W_i)=E(u_i\mid W_i)\)（Key Concept 6.6；原书正文此处误写为 Key Concept 6.5），即在控制变量取值相同的观测中，关注变量如同随机分配。若不成立，保持 \(W\) 不变后仍然存在与 \(X\) 相关的 \(Y\) 的遗漏决定因素，产生遗漏变量偏差。

实践中需要结合应用来判断。例如：英语学习者比例相同的学区之间，经济条件可能差异很大；学区预算部分取决于富裕程度，富裕学区即使英语学习者比例相同，也更可能是小班；富裕家庭的孩子校外学习机会也更多。所以控制 PctEL 之后，富裕程度仍然满足遗漏变量偏差的两个条件，应该加入衡量经济条件的控制变量。

作者推荐两步法：

1. 基准设定（base specification）：结合专家判断、经济理论和数据收集方式，选出核心回归元集合，包含关注变量以及专家判断和理论建议的控制变量。
2. 备选设定（alternative specifications）：专家判断和理论很少具有决定性，理论建议的变量也常常没有数据，所以要列出若干备选设定。如果关注系数在各设定间数值相近，说明基准估计可靠；如果变化很大，往往说明原设定存在遗漏变量偏差，也提醒我们对备选设定同样保持警惕。原书 9.2 节会进一步阐述。

7.5.2 \(R^2\) 与 \(\bar R^2\) 在实践中的解读

\(R^2\) 接近 1 表示回归元在样本中预测因变量好，接近 0 则不好。它是对预测能力的有用概括，但很容易被过度解读。四个陷阱：

1. \(R^2\) 或 \(\bar R^2\) 上升，不意味着新增变量统计显著。 \(R^2\) 加任何回归元都会升；\(\bar R^2\) 不一定升，但即使升了，也不代表新系数显著，要用 t 检验判断。
2. 高 \(R^2\) 不意味着回归元是因变量的真实原因。 用成绩对人均停车场面积回归，停车场面积与师生比、城郊、收入相关，\(R^2\) 可能很高，但它不是原因。你不会告诉督学「多修停车位就能提高成绩」。
3. 高 \(R^2\) 不意味着没有遗漏变量偏差。 6.1 节讨论遗漏变量偏差时完全没有提到 \(R^2\)，因为它在逻辑上不起作用。低、中、高 \(R^2\) 都可能有偏差；低 \(R^2\) 也不意味着一定有偏差。
4. 高 \(R^2\) 不意味着回归元集合最合适，低 \(R^2\) 也不意味着不合适。 回归元的选择要权衡遗漏变量偏差、数据可得性、数据质量，最重要的是经济理论和实质问题本身。

Key Concept 7.3（\(R^2\) 与 \(\bar R^2\) 能告诉你什么、不能告诉你什么） 能告诉你：回归元在手头样本中预测（解释）因变量的好坏，即 OLS 残差方差相对于因变量方差的大小。 不能告诉你：(1) 某个变量是否统计显著；(2) 回归元是否是因变量的真实原因；(3) 是否存在遗漏变量偏差；(4) 是否选择了最合适的回归元集合。

7.6 考试成绩数据的完整分析

7.6.1 基准设定与备选设定

目标：在控制可能导致遗漏变量偏差的因素后，估计 STR 的效应。校外学习机会等因素无法直接度量，所以纳入与之相关的控制变量。若控制变量充分（条件均值独立成立），STR 的系数就是保持这些因素不变时的效应。

三个学生背景控制变量：英语学习者比例；有资格获得补贴或免费午餐的学生比例；家庭符合加州收入援助项目（income assistance）的学生比例（资格门槛比午餐项目更严）。后两者都衡量经济困难学生的比例（彼此相关系数 0.74），理论无法告诉我们该用哪个，所以基准设定用午餐比例，备选设定用收入援助比例。原书图 7.2 显示成绩与三者都负相关：与 PctEL 的相关为 −0.64，与午餐比例为 −0.87，与收入援助比例为 −0.63。

7.6.2 回归元的尺度

一般原则：让结果易读易解释。PctEL 取值 0–100，系数为 −0.650；若改用 FracEL = PctEL/100（0–1），\(R^2\) 和 SER 完全不变，系数变为 −65.0，含义是比例增加 1（即 100 个百分点）的效应。两者数学等价，但 PctEL 的解释更自然。再如，以美元计的回归元系数是 0.00000356，换成百万美元后系数为 3.56，更容易读。

7.6.3 用表格呈现结果

多个回归、多个回归元时，表格比方程清楚。原书表 7.1 每列是一个回归，因变量相同。关注变量（STR）一行报告估计值、圆括号内的稳健 SE、方括号内的 95% 置信区间（读者可以直接看某个值是否在区间内来做 5% 检验）；控制变量和截距只报告估计值和 SE（控制变量的系数一般没有因果解释，独立兴趣有限；控制变量很多时，有时只列出名称）；最后几行报告 SER、\(\bar R^2\) 和 \(n\)。

表 7.1（因变量：学区平均成绩；\(n=420\)；括号内为异方差稳健 SE）

列 (1) 就是单回归，表中不报 t，但可以算出 \(t=-2.28/0.52=-4.38\)，在 1% 水平拒绝。列 (2) 即 (7.5)；列 (3) 是基准设定（STR + PctEL + 午餐比例）；列 (4)(5) 是备选设定，考察经济背景度量方式的影响。

7.6.4 三条结论

1. 控制学生特征后，STR 效应的估计约减半，且对选哪些控制变量不敏感。 所有设定中都能在 5% 水平拒绝系数为 0。在列 (2)–(5) 中，保持学生特征不变，每位教师少带一名学生，平均成绩约提高 1 分。
2. 学生特征是成绩的强预测因子。 只有 STR 时 \(\bar R^2=0.049\)，基准设定 (3) 跃升到 0.773。控制变量系数的符号与图 7.2 一致：英语学习者多、贫困学生多的学区成绩低。
3. 收入援助比例似乎是冗余的。 列 (5) 在列 (3) 的基础上加入它，对 STR 的系数及其 SE 的影响可以忽略。

这些结果比第 05 章的单回归对督学有用得多。但到目前为止都假定总体回归函数对回归元是线性的；大班学区和小班学区降低师生比的效应可能不同，这需要第 08 章的非线性工具。

7.7 Bonferroni 检验（原书附录 7.1）

7.2 节的 F 检验是首选。但若只有论文的回归结果表、没有原始数据，就算不出 F 统计量（需要系数间的协方差）。这时可以用 Bonferroni 检验，它是「正确实施的逐个 t 检验」。规则：选一个临界值 \(c>0\)，

关键是选 \(c\)，使零假设下的拒绝概率不超过目标水平，并且对 \(t_1,t_2\) 之间的任意相关性都成立。

Bonferroni 不等式。 \(\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B)-\Pr(A\cap B)\le\Pr(A)+\Pr(B)\)。令 \(A\) 为事件 \(|t_1|>c\)，\(B\) 为事件 \(|t_2|>c\)：

大样本零假设下 \(\Pr(|t_j|>c)=\Pr(|Z|>c)\)，所以

\(q\) 个约束时把 2 换成 \(q\)。要使水平不超过 \(\alpha\)，取 \(c\) 满足 \(\Pr(|Z|>c)=\alpha/q\)，即 \(c=\Phi^{-1}(1-\alpha/(2q))\)。

表 7.2 Bonferroni 临界值 \(c\)

推导拆解：\(c=\Phi^{-1}(1-\alpha/(2q))\) 怎么来？要让每个检验的双侧拒绝概率 \(\Pr(|Z|>c)=\alpha/q\)。双侧概率是两个尾巴之和，每个尾巴分到 \(\alpha/(2q)\)，即 \(\Pr(Z>c)=\alpha/(2q)\)，也就是 \(\Phi(c)=1-\alpha/(2q)\)，两边取 \(\Phi\) 的反函数 \(\Phi^{-1}\)（标准正态的分位数函数）得到 \(c\)。\(q\) 个检验各占 \(\alpha/q\)，由 Bonferroni 不等式合计不超过 \(\alpha\)。 这个不等式只扔掉了「同时拒绝」的概率 \(\Pr(A\cap B)\)。各检验独立时这一项很小（\(\alpha^2/q^2\) 量级），Bonferroni 几乎是精确的；两个 t 统计量高度相关（无论正负）时这一项很大，Bonferroni 就过于保守，代码第 3 段 \(\rho=0.9\) 时水平只有 4.0% 就是这个原因。

例：5% 水平、\(q=2\) 时 \(c=2.241\)，因为 \(\Pr(|Z|>2.241)=2.5\%\)。临界值大于单约束的 1.96，正是为「第二次机会」做的修正。若 t 基于稳健 SE，则无论是否异方差，Bonferroni 检验都有效；若基于仅同方差 SE，则只在同方差下有效。

应用。 (7.6) 中 \(t_1=-0.60\)，\(t_2=2.43\)。\(|t_2|>2.241\)，在 5% 水平拒绝联合零假设；但两者都小于 2.807，在 1% 水平不能拒绝。而 F 检验能在 1% 水平拒绝，这体现了 Bonferroni 检验功效较低。

量化实战

本章方法在量化里的位置

联合检验。 「一组行业虚拟变量是否联合显著」「价值类的三个因子是否联合有解释力」「一个策略在多个子样本的 alpha 是否同时为零」都是联合假设，必须用 F（Wald）检验，而不是逐个 t。资产定价中的 GRS 检验（Gibbons–Ross–Shanken，检验 \(N\) 个测试资产的 alpha 是否同时为零）就是多方程版本的 Wald/F 检验，其思路与本章一致。

多重检验与「因子动物园」。 7.2.2 节「两次机会 → 9.75%」是理解多重检验问题最简单的入口。研究员测试 200 个信号，即使全部无效，在 5% 水平上也会有约 10 个「显著」。Bonferroni 修正（临界值随检验次数 \(q\) 增大）是 Harvey、Liu、Zhu（2016）主张新因子 t 值至少超过 3 的出发点之一；由于 Bonferroni 在检验很多时过于保守、功效太低，后续又发展出 Holm 逐步法和控制错误发现率（FDR）的 Benjamini–Hochberg 等方法。第 03 册有多重检验的系统讨论。

单个不显著、联合显著。 两个高度相关的因子（例如价值与盈利，或两个窗口的动量）放进同一回归，各自的 t 都可能不显著，但联合 F 显著。这时不能说「两个因子都没用」，而是数据无法区分谁的贡献更大。

约束检验的重参数化。 检验两个因子溢价相等、牛熊市 beta 相等（在合并样本中用交互项）、组合权重之和为 1 等线性约束，都可以用 7.3 节的变换技巧直接得到 t 值和置信区间。

稳健 F。 软件默认的仅同方差 F 在异方差数据中可能严重高估显著性。回测报告中应写明所用的协方差估计（HC 或 HAC）。

设定稳健性表格。 表 7.1 的「基准 + 备选设定」是因子研究报告的标准范式：在不同控制变量组合（市值、行业、其他风格）下报告关注因子的系数与置信区间，检验结论是否稳健。

\(R^2\) 的局限。 收益预测回归的 \(R^2\) 往往只有 1% 左右，但可能有可观的经济价值；高 \(R^2\) 也不代表因果或无遗漏变量。Key Concept 7.3 的四条在量化中同样成立。

尺度。 因子标准化（z-score）后，系数可以解释为「一个标准差暴露对应的收益」，这是 7.6.2 节「为可读性选择尺度」的直接应用。

示例：联合检验、重参数化、检验水平与多重检验

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(2024)

# ---- 1. 两个高度相关的因子暴露：单个 t、稳健 F、仅同方差 F ----
n = 600
x1 = rng.standard_normal(n)
x2 = 0.95 * x1 + np.sqrt(1 - 0.95**2) * rng.standard_normal(n)   # corr(x1,x2) ≈ 0.95
x3 = rng.standard_normal(n)                          # 控制变量
u = (0.3 + 0.9 * np.abs(x1)) * rng.standard_normal(n)  # 异方差：|x1| 大时噪声大
y = 0.06 * x1 + 0.06 * x2 + 0.5 * x3 + u
X = sm.add_constant(np.column_stack([x1, x2, x3]))
rob = sm.OLS(y, X).fit(cov_type="HC1")
hom = sm.OLS(y, X).fit()
print("t(x1), t(x2) [稳健] =", np.round(rob.tvalues[1:3], 2))
R = np.array([[0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0]])          # H0: b1 = b2 = 0
F_rob = rob.f_test(R)
F_hom = hom.f_test(R)
print(f"稳健 F = {F_rob.fvalue:.2f} (p = {F_rob.pvalue:.4f});  仅同方差 F = {F_hom.fvalue:.2f}")
# 仅同方差 F 的 R^2 公式 (7.14)
restr = sm.OLS(y, sm.add_constant(x3)).fit()
q, k = 2, 3
F_r2 = ((hom.rsquared - restr.rsquared) / q) / ((1 - hom.rsquared) / (n - k - 1))
print(f"R^2 公式算出的仅同方差 F = {F_r2:.2f}")
# 大样本临界值 F_{q,inf} = chi2_q / q
print(f"F(2,inf) 5%/1% 临界值 = {stats.chi2.ppf(0.95,2)/2:.2f} / {stats.chi2.ppf(0.99,2)/2:.2f}")

# ---- 2. 单一约束 b1 = b2：直接检验 vs 变换回归 ----
t_direct = rob.t_test("x1 - x2 = 0")
V = x1 + x2
rob2 = sm.OLS(y, sm.add_constant(np.column_stack([x1, V, x3]))).fit(cov_type="HC1")
print(f"直接检验 b1-b2: 估计 {t_direct.effect[0]:.4f}, t = {t_direct.tvalue[0][0]:.3f}")
print(f"变换回归 gamma1: 估计 {rob2.params[1]:.4f}, t = {rob2.tvalues[1]:.3f}, "
      f"F(q=1) = {rob.f_test('x1 - x2 = 0').fvalue:.3f} = t^2 {rob2.tvalues[1]**2:.3f}")

# ---- 3. 蒙特卡洛：联合零假设为真时三种检验的实际水平 ----
def size_sim(rho, reps=3000, n=400):
    rej = np.zeros(3)
    c_bonf = stats.norm.ppf(1 - 0.05 / 4)            # q=2, 5% → 2.241
    for _ in range(reps):
        a = rng.standard_normal(n)
        b = rho * a + np.sqrt(1 - rho**2) * rng.standard_normal(n)
        yy = rng.standard_normal(n)
        f = sm.OLS(yy, sm.add_constant(np.column_stack([a, b]))).fit(cov_type="HC1")
        t1, t2 = f.tvalues[1:3]
        rej[0] += (abs(t1) > 1.96) or (abs(t2) > 1.96)
        rej[1] += (abs(t1) > c_bonf) or (abs(t2) > c_bonf)
        rej[2] += f.f_test(np.eye(3)[1:]).pvalue < 0.05
    return rej / reps
for rho in (0.0, 0.9):
    r = size_sim(rho)
    print(f"rho={rho}: 逐个 t {r[0]:.3f}, Bonferroni {r[1]:.3f}, 稳健 F {r[2]:.3f}")

# ---- 4. 因子挖掘：200 个纯噪声信号 ----
T, M = 240, 200                                       # 20 年月度，200 个候选信号
ret = 0.04 * rng.standard_normal(T)
sig = rng.standard_normal((T, M))
tv = np.array([sm.OLS(ret, sm.add_constant(sig[:, j])).fit(cov_type="HC1").tvalues[1] for j in range(M)])
c200 = stats.norm.ppf(1 - 0.05 / (2 * M))
print(f"|t|>1.96: {np.sum(np.abs(tv)>1.96)} 个;  |t|>3: {np.sum(np.abs(tv)>3)} 个;  "
      f"Bonferroni 临界值(q=200) = {c200:.2f}, 超过者 {np.sum(np.abs(tv)>c200)} 个")

关键输出：

t(x1), t(x2) [稳健] = [ 1.78 -0.51]
稳健 F = 4.06 (p = 0.0178);  仅同方差 F = 9.91
R^2 公式算出的仅同方差 F = 9.91
F(2,inf) 5%/1% 临界值 = 3.00 / 4.61
直接检验 b1-b2: 估计 0.3559, t = 1.174
变换回归 gamma1: 估计 0.3559, t = 1.174, F(q=1) = 1.378 = t^2 1.378
rho=0.0: 逐个 t 0.101, Bonferroni 0.047, 稳健 F 0.047
rho=0.9: 逐个 t 0.074, Bonferroni 0.040, 稳健 F 0.054
|t|>1.96: 17 个;  |t|>3: 1 个;  Bonferroni 临界值(q=200) = 3.66, 超过者 0 个

怎么读这些结果。

1. 两个暴露相关 0.95，真实系数都是 0.06。单独看，\(t_1=1.78\)、\(t_2=-0.51\)，都不显著，第二个连符号都反了；但稳健 F = 4.06，在 5% 水平联合显著。数据告诉我们「这两个暴露合起来有作用」，却无法分清各自的贡献。仅同方差 F 高达 9.91，用 \(R^2\) 公式 (7.14) 手算结果相同，它严重夸大了显著性，与原书 8.01 vs. 5.43 的现象一致。（statsmodels 的 f_test 用 \(F_{q,n-k-1}\) 计算 p 值，大样本下与 \(F_{q,\infty}\) 几乎相同。）
2. 用 t_test 直接检验 \(\beta_1-\beta_2=0\)，与构造 \(V=x_1+x_2\) 后的变换回归给出完全相同的估计和 t 值；单约束的 F 恰好等于 \(t^2\)。
3. 联合零假设为真时，逐个 t 检验在回归元独立时实际水平约 10%（理论值 9.75%），相关时也明显高于 5%；Bonferroni 检验的水平不超过 5%（相关时更保守，只有 4%）；稳健 F 接近 5%。
4. 200 个纯噪声信号中，17 个在 5% 水平「显著」（期望值 10 个左右），1 个甚至超过 3。按 Bonferroni 修正，\(q=200\) 时临界值为 3.66，没有一个通过。这说明「t > 3」并不是万能门槛，它对应的是数十次左右的检验；如果你在数百上千个候选中挖掘，门槛还应更高，或改用控制 FDR 的方法。

本章小结

多元回归中，单个系数的 t 检验和置信区间与单回归完全相同，前提是大样本与稳健标准误。涉及多个约束的假设是联合假设，不能用逐个 t 检验：两个独立约束各用 1.96，实际水平为 9.75%。正确的方法是异方差稳健 F 统计量，它在零假设下大样本服从 \(F_{q,\infty}\)，\(q=1\) 时 \(F=t^2\)。仅同方差 F 可以用受约束与无约束回归的 SSR 或 \(R^2\) 计算，直观但只在同方差下有效。涉及多个系数的单一线性约束，可以通过重参数化变成单系数 t 检验。多系数置信集是 F 检验不拒绝的集合，两个系数时是椭圆，方向由估计量之间的相关决定。模型设定应以控制遗漏变量偏差为目标，先定基准设定，再用备选设定检验稳健性；\(R^2\) 不能告诉你显著性、因果性、是否有遗漏变量偏差，也不能告诉你回归元是否合适。没有原始数据时可以用 Bonferroni 检验，它保证水平但功效较低。加州数据的结论是：控制学生背景后，师生比的效应约为每生每师 −1 分，稳健且显著。

练习

基础

1. （原书习题 7.1–7.2 改编）10,973 名工人的周薪对数回归中，High school 的系数为 0.352（SE 0.021），Male 为 0.458（SE 0.021）。分别检验两个系数是否为零并给出 95% 置信区间。 答案要点：\(t=16.8\) 与 21.8，均在 1% 水平显著；CI 分别为 \([0.311,0.393]\) 与 \([0.417,0.499]\)。（因变量是对数，系数的百分比解释见第 08 章。）
2. （原书习题 7.3）同一回归中 Age 的系数为 0.011（SE 0.001）。求 40 岁与 30 岁、其他条件相同的工人预期对数收入之差的 95% 置信区间。 答案要点：\(10\times0.011=0.11\)，SE \(=10\times0.001=0.01\)，CI \([0.090,0.130]\)。
3. （原书习题 7.4、7.8 改编）加入 North、South、East 三个地区虚拟变量后，\(R^2\) 从 0.0761 升到 0.0814，\(n=10973\)，无约束回归有 6 个回归元。(a) 计算检验三个地区系数全为零的仅同方差 F；(b) 已知三个 t 值分别为 4.73、3.12、−2.37，用 Bonferroni 检验在 1% 水平检验同一假设。 答案要点：(a) \(F=\frac{0.0053/3}{0.9186/10966}\approx21.1\)，远超 \(F_{3,\infty}\) 的 1% 临界值 3.78（原书报告的稳健 F 为 21.87）；(b) \(q=3\)、1% 的 \(c=2.935\)，\(|4.73|>2.935\)，拒绝。
4. 同时检验 10 个相互独立的无效信号，每个都用 5% 双侧 t 检验，至少有一个「显著」的概率是多少？若用 Bonferroni 使总水平为 5%，单个检验的临界值是多少？ 答案要点：\(1-0.95^{10}=40.1\%\)；\(c=\Phi^{-1}(1-0.0025)=2.81\)。
5. （原书习题 7.7 改编）房价回归中卧室数 BDR 的系数为 0.567（SE 1.23）。它是否显著？这是否与「四卧室的房子比三卧室贵」的常识矛盾？ 答案要点：\(t=0.46\)，不显著；不矛盾，回归保持房屋面积不变，面积不变时多一个卧室意味着每间更小。

进阶

6. 证明 (7.13) 与 (7.14) 等价。 提示：两个回归的因变量相同，TSS 相同，用 \(SSR=(1-R^2)TSS\) 代入。
7. （原书习题 7.9）对 \(Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+u_i\)，分别给出检验 (a) \(\beta_1+2\beta_2=0\)，(b) \(\beta_1+\beta_2=1\) 的变换回归。 答案要点：(a) \(Y\) 对 \(X_1\) 和 \(W=X_2-2X_1\) 回归，\(X_1\) 的系数为 \(\beta_1+2\beta_2\)；(b) \(Y-X_2\) 对 \(X_1-X_2\) 和 \(X_2\) 回归，\(X_2\) 的系数为 \(\beta_1+\beta_2-1\)，检验它为零。
8. （原书习题 7.5 改编）2007 年样本中 High school 的系数为 0.373（SE 0.021），1993 年 5000 个观测的样本中为 0.301（SE 0.019）。两样本独立，检验系数是否发生变化。 答案要点：差 0.072，SE \(=\sqrt{0.021^2+0.019^2}=0.0283\)，\(t=2.54\)，在 5% 水平显著。
9. 用式 (7.9) 说明：当 \(\hat\rho_{t_1,t_2}=-0.9\)、\(t_1=t_2=1.5\) 时，F 等于多少？这对应回归元之间什么样的相关？再联系本章代码第 1 部分，解释为什么两个 t 都不显著时联合 F 仍可能显著。 提示：\(F=\frac12\cdot\frac{2.25+2.25+4.05}{0.19}=22.5\)，远超 1% 临界值；\(\hat\beta\) 负相关对应回归元正相关。此时 \(\hat\beta_1+\hat\beta_2\) 的方差 \(\operatorname{var}(\hat\beta_1)+\operatorname{var}(\hat\beta_2)+2\operatorname{cov}\) 很小，数据对「两者之和」的信息很充分，只是分不清各自的大小。
10. 修改本章代码第 4 部分，把候选信号数改为 1000，统计 \(|t|>3\) 的个数，并与理论期望 \(1000\times2\Phi(-3)\) 比较。 提示：期望约 2.7 个。

原书推荐习题：7.4、7.5（地区虚拟变量联合 F、系数线性组合的 CI、跨样本比较）；7.7（显著性、偏效应、尺度、F 检验的综合练习）；7.8（手算仅同方差 F 与 Bonferroni）；7.9（重参数化）；7.10（两种 F 公式等价）；实证题 E7.1（设定稳健性表格、控制变量系数的非因果解释）、E7.2（遗漏认知能力的偏差方向、教育虚拟变量的联合检验）。

原书对照

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。