第 03 章 统计复习：计量视角

本章与第 03 册（数理统计与统计推断）重叠。估计量性质、置信区间、假设检验的一般理论见第 03 册第 6 章（统计推断的基本概念）、第 9 章（参数推断）、第 10a、10b 章（假设检验与 p 值、多重检验）。这里只围绕「总体均值」这一最简单的对象，把后面回归推断要用的每一个零件准备好：估计量的抽样分布、标准误、t 统计量、大样本 p 值、置信区间、两均值之差，以及「随机实验中的均值差就是因果效应」。第 5 章对回归系数做推断时，会把本章的每一步原样搬过去。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 用偏误、一致性、有效性评价估计量，说明 \(\bar Y\) 为什么是 BLUE、为什么是最小二乘估计量。
2. 计算样本方差、标准误和 t 统计量，用大样本正态近似给出 p 值，并进行双侧和单侧检验。
3. 准确解释 p 值、显著性水平、规模、功效和假阳性率，理解多重检验下「显著」的含义会如何变化。
4. 用「检验反演」构造置信区间，并正确解释覆盖概率。
5. 检验两总体均值之差，知道为什么默认使用允许方差不等的标准误，以及随机实验中均值差为何估计的是因果效应。
6. 知道 Student t 分布何时精确、为何在大样本应用中可以忽略；理解样本相关系数只度量线性关系。

读前导读

这一章在解决什么问题。 本章用最简单的对象「总体均值」，把统计推断的完整流程走一遍：估计量 → 标准误 → t 统计量 → p 值 → 置信区间。CFA 里这些你都做过，比如检验某基金平均超额收益是否为 0。本章的价值在于它是第 5、7 章回归推断的模板：到时候只需把 \(\bar Y\) 换成 \(\hat\beta_1\)，把 \(SE(\bar Y)\) 换成 \(SE(\hat\beta_1)\)，其余一字不改。所以这里把每一步「为什么」弄清楚，后面就轻松了。

和 CFA 相比，本章多了三处值得注意的内容。第一，CFA 默认「样本小用 t 表、样本大用 z 表」，而本书一律用大样本正态近似，并在 3.6 节解释为什么 t 分布的「精确性」在经济数据中通常不成立。第二，两均值之差默认用允许方差不等的标准误，这是第 5 章「异方差稳健标准误」的前身。第三，3.2.3 节讨论「显著发现里有多少是假的」，这对因子研究极其重要，CFA 很少涉及。

需要先想起来的数学。

• 标准正态累积分布函数 \(\Phi\)：\(\Phi(z)=\Pr(Z\le z)\)。常用值：\(\Phi(1.64)\approx0.95\)，\(\Phi(1.96)\approx0.975\)，\(\Phi(2.58)\approx0.995\)。对称性：\(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\)，所以双侧 p 值 \(2\Phi(-|t|)\) 就是左右两个尾巴面积之和。见 第 00 册第 03 章 积分 中「密度与期望作为积分」。
• 求和的基本运算：\(\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar Y)=0\)（离差之和为零），\(\sum_{i=1}^n c=nc\)（对常数求和）。例如 \(Y=(1,2,6)\)，\(\bar Y=3\)，离差 \((-2,-1,3)\) 之和为 0。本章几个证明全靠这两条。见 第 00 册第 07 章 概率中的分析工具。
• 依概率收敛与连续函数：若 \(A_n\xrightarrow{p}a\)、\(B_n\xrightarrow{p}b\)，则 \(A_n-B_n^2\xrightarrow{p}a-b^2\)，\(\sqrt{A_n}\xrightarrow{p}\sqrt a\)。直观上：每个零件都逼近真值，用连续函数组装起来的结果也逼近真值。这条规则（连续映射定理）在样本方差一致性的证明里用到。见 第 00 册第 07 章 中「收敛的几种说法」。
• 条件概率与贝叶斯法则：3.2.3 节的假阳性率就是一次贝叶斯计算，第 2 章 2.3.2 节已复习。

怎么读这一章。 必读 3.1.1（三条评价标准）、3.2.1（标准误与 t 统计量）、3.2.3（假阳性率）、3.3（置信区间的正确解读）、3.4（两均值之差）和 3.5（实验中的因果效应）。3.1.3 和 3.7 可以快速浏览。3.6 第一次读只需记住结论：大样本下 t 分布和正态差别可以忽略，两组比较默认用不等方差标准误。量化实战中「\(t\approx\) 年化夏普 \(\times\sqrt{\text{年数}}\)」这个公式非常实用，务必看懂。

3.1 估计总体均值

统计推断（statistical inference）用随机样本了解总体，有三类方法：估计（estimation）、假设检验（hypothesis testing）、置信区间（confidence intervals）。不必调查 14 亿人，随机抽 1000 人就能对总体作出初步结论——前提是随机抽样。

3.1.1 估计量及其性质

估计量（estimator）是样本数据的函数，因抽样随机而是随机变量；估计值（estimate）是用某个具体样本算出的数，不随机。\(\bar Y\) 和 \(Y_1\)（只用第一个观测）都是 \(\mu_Y\) 的估计量。好的估计量应使抽样分布尽量紧密地集中在真值附近，由此有三条标准：

Key Concept 3.2 偏误、一致性与有效性（\(\hat\mu_Y\) 是 \(\mu_Y\) 的估计量）

• 偏误（bias）：\(E(\hat\mu_Y)-\mu_Y\)；偏误为 0 称无偏（unbiased）。
• 一致（consistent）：\(\hat\mu_Y\xrightarrow{p}\mu_Y\)。
• 有效（efficient）：两个无偏估计量中，方差小的更有效。

\(\bar Y\) 无偏（\(E\bar Y=\mu_Y\)），且由大数定律一致。有效性要和具体对手比较：

• 与 \(Y_1\) 比：\(\operatorname{var}(Y_1)=\sigma_Y^2\)，\(\operatorname{var}(\bar Y)=\sigma_Y^2/n\)，\(n\ge2\) 时 \(\bar Y\) 更有效。
• 与交替加权估计量 \(\tilde Y=\frac1n(\tfrac12Y_1+\tfrac32Y_2+\tfrac12Y_3+\tfrac32Y_4+\cdots)\) 比：\(\tilde Y\) 无偏且一致，但 \(\operatorname{var}(\tilde Y)=\frac1{n^2}\cdot\frac n2\left(\tfrac14+\tfrac94\right)\sigma_Y^2=1.25\,\sigma_Y^2/n\)，比 \(\bar Y\) 大 25%。

Key Concept 3.3 \(\bar Y\) 是 BLUE：在所有形如 \(\frac1n\sum a_iY_i\)（\(a_i\) 非随机）的线性无偏估计量中，\(\bar Y\) 方差最小，即最佳线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Estimator）。（证明见本册第 5 章的高斯-马尔可夫定理。）

推导拆解：不必等到第 5 章，均值情形可以直接看出来。

1. 无偏要求 \(E\big(\frac1n\sum a_iY_i\big)=\frac1n\sum a_i\mu_Y=\mu_Y\)，即 \(\sum a_i=n\)，权重平均为 1。
2. 独立时方差为 \(\frac{\sigma_Y^2}{n^2}\sum a_i^2\)。
3. 在 \(\sum a_i=n\) 的约束下让 \(\sum a_i^2\) 最小。把 \(a_i\) 写成 \(1+e_i\)，约束变成 \(\sum e_i=0\)，于是 \(\sum a_i^2=\sum(1+2e_i+e_i^2)=n+\sum e_i^2\ge n\)，等号在所有 \(e_i=0\)（等权）时成立。 交替加权估计量 \(\tilde Y\) 的 \(e_i=\pm\frac12\)，所以 \(\sum a_i^2=n+n/4=1.25n\)，方差多 25%，与正文一致。 金融直觉：这和「方差相同、两两不相关的资产，等权组合方差最小」是同一个结论。权重偏离等权，只会白白增加方差。

3.1.2 \(\bar Y\) 是最小二乘估计量

找 \(m\) 使 \(\sum_{i=1}^n(Y_i-m)^2\) 最小。把 \(m\) 看作对每个 \(Y_i\) 的预测，这就是最小化预测误差平方和。答案是 \(m=\bar Y\)。不用微积分的证明很漂亮：令 \(d=\bar Y-m\)，利用 \(\sum(Y_i-\bar Y)=0\)，

第一项与 \(m\) 无关、第二项非负，故 \(d=0\) 时最小。第 4 章的 OLS 就是把这个想法从「一个常数」推广到「一条直线」。

3.1.3 随机抽样的重要性

非随机抽样会使 \(\bar Y\) 有偏。原书例子：在工作日上午 10 点去公园采访成年人来估计失业率，失业者会被过度抽样（oversample）。另一个例子是 2009 年印度大选民调：预测 UPA 201–235 席、NDA 165–186 席，实际 UPA 262 席、NDA 157 席——人口异质且抽样未能覆盖各地区和群体。

3.2 关于总体均值的假设检验

3.2.1 原假设、p 值与 t 统计量

原假设（null hypothesis）\(H_0:E(Y)=\mu_{Y,0}\)；双侧备择（two-sided alternative）\(H_1:E(Y)\ne\mu_{Y,0}\)。检验的结论只有「拒绝」或「未能拒绝」，未能拒绝不等于证明原假设为真。

p 值（p-value）：在原假设为真的前提下，抽到与原假设至少一样不利的统计量的概率，

要算它，需要 \(\bar Y\) 在原假设下的分布。大样本下由 CLT，\(\bar Y\approx N(\mu_{Y,0},\sigma_Y^2/n)\)。\(\sigma_Y\) 未知，需要估计。

样本方差（sample variance）与标准误（standard error）：

除以 \(n-1\) 是自由度修正（degrees of freedom correction）：用 \(\bar Y\) 代替 \(\mu_Y\) 会让离差平方偏小，\(E[(Y_i-\bar Y)^2]=\frac{n-1}n\sigma_Y^2\)，估计均值用掉了一个自由度。\(s_Y^2\) 无偏；在 i.i.d. 且四阶矩有限时一致（\(s_Y^2\xrightarrow{p}\sigma_Y^2\)）。一致性的证明思路：

其中对 \(Y_i^2\) 用大数定律，需要 \(\operatorname{var}(Y_i^2)<\infty\)，即 \(E(Y_i^4)<\infty\)。伯努利情形 \(SE(\bar Y)=\sqrt{\bar Y(1-\bar Y)/n}\)。

推导拆解：\(E[(Y_i-\bar Y)^2]=\frac{n-1}{n}\sigma_Y^2\) 是怎么来的？

1. 写 \(Y_i-\bar Y=(Y_i-\mu_Y)-(\bar Y-\mu_Y)\)，加减同一个 \(\mu_Y\)。
2. 平方取期望：\(E(Y_i-\mu_Y)^2-2E[(Y_i-\mu_Y)(\bar Y-\mu_Y)]+E(\bar Y-\mu_Y)^2=\sigma_Y^2-2\cdot\frac{\sigma_Y^2}{n}+\frac{\sigma_Y^2}{n}\)。
3. 中间项：\(\bar Y-\mu_Y=\frac1n\sum_j(Y_j-\mu_Y)\)，与 \(Y_i-\mu_Y\) 的协方差只剩 \(j=i\) 那一项（独立时其他项为 0），为 \(\sigma_Y^2/n\)。最后一项是 \(\operatorname{var}(\bar Y)=\sigma_Y^2/n\)。
4. 合计 \(\sigma_Y^2-\sigma_Y^2/n=\frac{n-1}{n}\sigma_Y^2\)。原因是 \(\bar Y\) 是用同一批数据算出来的，会「迁就」每个观测，使离差系统性偏小。\(n\) 个离差还要满足 \(\sum(Y_i-\bar Y)=0\)，只有 \(n-1\) 个能自由变动，这就是「用掉一个自由度」的含义。 一致性证明的每一步：\(\frac1n\sum Y_i^2\xrightarrow{p}E(Y^2)=\sigma_Y^2+\mu_Y^2\) 是对新变量 \(Y_i^2\) 用 LLN，所以要求 \(Y_i^2\) 方差有限，即四阶矩有限；\(\bar Y^2\xrightarrow{p}\mu_Y^2\) 是 LLN 加上「连续函数保持收敛」。最后乘的 \(\frac{n}{n-1}\to1\) 不影响极限。

金融直觉：四阶矩有限这个条件，在金融里是实打实的问题。日收益峰度经常十几甚至更高，样本方差（以及历史波动率、VaR）的估计收敛很慢，少数极端日会显著改变结果。均值的推断只要求方差有限，方差本身的推断要求高一阶。

t 统计量（t-statistic）：

大样本下 \(s_Y\approx\sigma_Y\)，原假设下 \(t\approx N(0,1)\)，于是

数值例：\(n=200\) 名近期大学毕业生，检验平均时薪 \(E(Y)=20\) 美元。\(\bar Y=22.64\)，\(s_Y=18.14\)，\(SE=18.14/\sqrt{200}=1.28\)，\(t=(22.64-20)/1.28=2.06\)，\(p=2\Phi(-2.06)=0.039\)。

白话解释：p 值公式里的 \(\Pr_{H_0}\) 表示「假定原假设成立时计算的概率」，\(\bar Y^{act}\) 是手里这份样本实际算出的均值（act = actual）。p 值回答的是：「如果真实均值就是 20，纯靠运气抽到离 20 这么远（或更远）的样本，有多大可能？」它不是「原假设为真的概率」。 从 \(p\) 的定义到 \(p=2\Phi(-|t^{act}|)\) 只需两步：两边同除以 \(SE(\bar Y)\)，事件 \(|\bar Y-\mu_{Y,0}|>|\bar Y^{act}-\mu_{Y,0}|\) 变成 \(|t|>|t^{act}|\)；\(t\) 近似标准正态，\(\Pr(|Z|>c)\) 等于左尾 \(\Phi(-c)\) 加右尾 \(1-\Phi(c)=\Phi(-c)\)，合计 \(2\Phi(-c)\)。 这里有两层近似：CLT 让 \(\bar Y\) 近似正态；LLN 让 \(s_Y\) 接近 \(\sigma_Y\)，所以用 \(s_Y\) 替换 \(\sigma_Y\) 不改变大样本下的分布。第 5 章对回归系数做检验时，用的正是这两层近似。

3.2.2 预设显著性水平与检验术语

Key Concept 3.5 假设检验术语

• 第一类错误（type I error）：原假设为真却被拒绝；第二类错误（type II error）：原假设为假却未被拒绝。
• 显著性水平（significance level）：预先指定的第一类错误概率，常用 5%。
• 临界值（critical value）、拒绝域（rejection region）、接受域（acceptance region）。
• 规模（size）：原假设为真时检验实际的拒绝概率；功效（power）：备择为真时正确拒绝的概率。
• p 值等价于「能拒绝原假设的最小显著性水平」。

5% 双侧检验：\(|t|>1.96\) 时拒绝。上例 \(t=2.06>1.96\)，称 \(\mu_Y\) 在 5% 水平上与 20 统计显著不同。只报告「是否拒绝」比报告 p 值损失信息。

单侧备择（one-sided alternative）\(H_1:E(Y)>\mu_{Y,0}\)：只有大的正 t 值才拒绝，\(p=1-\Phi(t^{act})\)，5% 临界值 1.64。

3.2.3 用什么显著性水平？假阳性率

5% 是惯例，但这一节是本章与量化研究关系最紧的地方。

所有拒绝中错误拒绝所占的比例称为假阳性率（false positive rate，在多重检验文献中也叫错误发现率）。它不只取决于显著性水平，还取决于被检验的假设中有多少真的为假。原书习题 3.22 的计算：

• 设 \(\sigma_Y=10\)、\(n=100\)，\(SE=1\)；单侧检验 \(t>1.64\)。
• \(\mu_Y=0\)（原假设真）时拒绝概率 5%；\(\mu_Y=2\) 时功效 \(=\Pr(Z>1.64-2)=\Phi(0.36)\approx0.64\)。
• 若 90% 的情形原假设为真、10% 备择为真，总拒绝概率 \(=0.9\times0.05+0.1\times0.64\approx0.109\)，其中原假设为真的占 \(0.045/0.109\approx41\%\)。
• 改用 0.5% 水平（单侧临界值 2.58），功效降到 \(\Phi(-0.58)\approx0.28\)，但假阳性率降到约 \(0.0045/(0.0045+0.028)\approx14\%\)。

推导拆解：这是一次贝叶斯计算，把四种情形列成表就清楚了（每 1,000 个被检验的想法）：

• 原假设真（900 个）：被错误拒绝 \(900\times5\%=45\) 个，即假阳性。
• 备择真（100 个）：被正确拒绝 \(100\times64\%=64\) 个，即真阳性。
• 拒绝合计 109 个，其中假的 45 个，占 41%。 公式写成 \(\dfrac{\pi_0\alpha}{\pi_0\alpha+(1-\pi_0)\cdot\text{power}}\)，\(\pi_0\) 是原假设为真的先验比例。降低 \(\alpha\) 让分子按比例缩小，而分母里的功效下降得没那么快，所以比例改善。 术语提醒：在许多统计教材里，「假阳性率」（false positive rate）指的是 \(\Pr(\text{拒绝}\mid H_0\text{ 真})\)，也就是规模 \(\alpha\)；本书这里说的「拒绝中错误的比例」更规范的名字是错误发现率（false discovery rate, FDR）。读文献时注意区分。

金融直觉：这和信用审批、反欺诈模型的逻辑一样。欺诈交易本来就少（先验比例低），即使模型的误报率只有 5%，被标记的交易里大多数仍可能是正常交易。因子研究也是如此：真正有效的因子稀少，所以 \(t>2\) 的结果需要比直觉更多的怀疑。

也就是说，在「大部分想法都无效」的领域，5% 水平下的「显著发现」里有四成是假的。因此有统计学家建议报告新发现时用 0.5% 水平（Benjamin et al., 2017），对应双侧临界值 2.81；p 值落在 0.005 与 0.05 之间算「提示性」证据。选择显著性水平需要判断：假阳性代价越高，门槛应越高。另外，只有原假设本身有意义时检验才有意义——检验「平均收入为零」毫无用处，检验「男女平均收入相同」则有社会意义。

Key Concept 3.6 检验 \(E(Y)=\mu_{Y,0}\)：(1) 算 \(SE(\bar Y)\)；(2) 算 t 统计量；(3) 算 \(p=2\Phi(-|t|)\)，\(p<0.05\)（即 \(|t|>1.96\)）时在 5% 水平拒绝。

3.3 置信区间

由于抽样误差，我们无法从样本得知 \(\mu_Y\) 的精确值，但可以构造一个以预设概率覆盖真值的集合。

构造思想（检验反演）：对每个可能值 \(\mu_{Y,0}\) 做 5% 双侧检验，把不被拒绝的值都记下来。真值也在被检验之列，而真值只在 5% 的样本中被错误拒绝，所以在 95% 的样本中这张清单包含真值。不被拒绝的值恰好是距 \(\bar Y\) 不超过 1.96 个标准误的那些：

Key Concept 3.7 总体均值的置信区间（大样本）

\[90\%:\ \bar Y\pm1.64\,SE(\bar Y),\qquad 95\%:\ \bar Y\pm1.96\,SE(\bar Y),\qquad 99\%:\ \bar Y\pm2.58\,SE(\bar Y).\]

上例：\(22.64\pm1.96\times1.28=(20.13,\ 25.15)\) 美元。

正确解读：在所有可能的随机样本中，构造区间的程序有 95% 的机会覆盖真值，这一概率称为覆盖概率（coverage probability）。不能说「真值有 95% 的概率落在这个已经算出来的区间里」——区间算出来后，真值要么在里面，要么不在。置信区间比单次检验结果信息多：它同时回答了对所有 \(\mu_{Y,0}\) 的检验。

3.4 比较两个总体的均值

检验 \(H_0:\mu_m-\mu_w=d_0\)。两组独立随机抽样，由 CLT 与独立性，

大样本下原假设成立时 \(t\approx N(0,1)\)，检验与区间完全仿照单总体：95% 区间为 \((\bar Y_m-\bar Y_w)\pm1.96\,SE\)。

推导拆解：方差为什么是两项相加？用 Key Concept 2.3 的 \(\operatorname{var}(aX+bY)\)，取 \(a=1,b=-1\)：\(\operatorname{var}(\bar Y_m-\bar Y_w)=\operatorname{var}(\bar Y_m)+\operatorname{var}(\bar Y_w)-2\operatorname{cov}(\bar Y_m,\bar Y_w)\)。两组独立抽样，协方差为 0；每组样本均值的方差是 \(\sigma^2/n\)。注意是相加而不是相减，差的波动来自两边。 这里每组用自己的 \(s^2\)，没有假设两组方差相等。这正是第 5 章异方差稳健标准误的雏形：让数据自己告诉你每部分的波动是多少，而不是先假设它们一样。 反过来，若两组不独立而是同期配对（同一天的多头和空头），协方差为正，减去 \(2\operatorname{cov}\) 后方差更小，这就是量化实战第 2 点和练习 8 里配对检验更有力的原因。

3.5 用实验数据的均值差估计因果效应

在理想随机对照实验中，因果效应等于两个条件期望之差：

实验背景下也称处理效应（treatment effect）。由于处理是随机分配的，两组唯一的系统差异是处理本身，所以两组样本均值之差就是因果效应的估计量，「处理无效」就是 \(H_0:\mu_1-\mu_0=0\)，均值差的 95% 区间就是因果效应的 95% 区间。实验昂贵或不可行时，计量学家寻找自然实验（natural experiments，又称准实验 quasi-experiments）：某个与对象特征无关的外部事件让不同对象接受了不同处理，仿佛被随机分配（本册第 13 章）。

专栏：社会阶层还是教育？（Table 3.1）父亲职业为「高级」与「常规」两组的成年家庭月收入，合并比较差 £810.25（SE 31.18，95% 区间 749.13–871.38）。按本人学历分组后，每档差距只剩 £240–£380，例如无学历组：

各档差距仍显著，但远小于合并的 £810：两组的学历构成不同，教育解释了相当一部分差距。这是「控制变量」和「遗漏变量偏误」的预告——分组比较就是最原始的回归控制，第 6 章会把它系统化。

专栏：提高投票率。2005 年英国大选前在曼彻斯特某选区（2001 年投票率 48.6%）随机选出电话游说组、上门游说组和对照组。上门组投票率 55.1%，电话组 55%，与对照组的差异统计显著，说明个人接触可以「助推」投票。这是一个用随机实验和均值差得出因果结论的干净例子。

3.6 小样本与 Student t 分布

若 \(Y_1,\dots,Y_n\) i.i.d. 来自正态分布，则 \(t=(\bar Y-\mu_{Y,0})/\sqrt{s_Y^2/n}\) 精确服从 \(t_{n-1}\)。例：\(n=8\)、\(t=2.15\)，\(t_7\) 的 5% 双侧临界值为 2.36，不拒绝；对应区间 \(\bar Y\pm2.36SE\) 比用 1.96 的更宽。

两均值之差的情形更微妙：(3.19) 的 t 统计量即使总体正态也不服从 t 分布。（(3.19) 是原书公式编号，指 3.4 节用 \(\sqrt{s_m^2/n_m+s_w^2/n_w}\) 作分母的 t 统计量。）合并方差（pooled variance）

在两组正态且方差相等时给出精确 \(t_{n_m+n_w-2}\) 分布；但若方差不等且样本量不等，合并方差估计量不一致，检验在大样本下也不对。导致两组均值不同的经济原因往往也让方差不同，因此默认使用允许方差不等的标准误。

实践结论：经济数据很少正态，所以 t 分布的「精确性」大多不成立；大样本下 t 与正态的差别又可以忽略（\(n>15\) 时两者给出的 p 值相差不超过 0.01，\(n>80\) 时不超过 0.002）。本书所有推断都基于大样本正态近似。

3.7 散点图、样本协方差与样本相关

样本协方差和样本相关系数：

\(r_{XY}\) 无量纲、\(|r_{XY}|\le1\)，所有点在一条上升（下降）直线上时为 \(+1\)（\(-1\)）。i.i.d. 且四阶矩有限时 \(s_{XY}\xrightarrow{p}\sigma_{XY}\)，从而 \(r_{XY}\) 一致。

例：200 名计算机与信息系统经理，年龄标准差 9.57 年，时薪标准差 19.93 美元，协方差 91.51，\(r=91.51/(9.57\times19.93)=0.48\)。改用美分计量，协方差变成 9151，相关仍为 0.48。

两点要牢记：

• 高相关不代表斜率陡，只代表点紧贴直线。
• 相关只度量线性关联。原书 Figure 3.3d 中 \(Y\) 随 \(X\) 先升后降，关系明显，但 \(r=0\)。

量化实战

本章是量化研究中最常用的统计工具，几乎每天都会用到。

1. 策略或因子收益是否显著为正。 检验 \(H_0:\mu=0\)，\(t=\bar r/(s/\sqrt T)\)。注意 \(\bar r/s\) 就是每期夏普比率，所以

推导拆解：\(t=\dfrac{\bar r}{s/\sqrt T}=\dfrac{\bar r}{s}\sqrt T\)，前一个因子就是每期夏普比率。日夏普年化要乘 \(\sqrt{252}\)，即 \(\text{SR}_{\text{日}}=\text{SR}_{\text{年化}}/\sqrt{252}\)；\(T=252\times\text{年数}\)。代入得 \(t=\frac{\text{SR}_{\text{年化}}}{\sqrt{252}}\sqrt{252\times\text{年数}}=\text{SR}_{\text{年化}}\sqrt{\text{年数}}\)，数据频率被约掉了。 推论：提高数据频率（日频改分钟频）不会让「平均收益是否为正」的检验更有力，因为 t 值只取决于日历时间的长度。频率提高能改善的是波动率估计，不是均值估计。

年化夏普 0.6 的策略，3 年回测的期望 t 值只有 1.1，要接近 10 年数据才能让期望 t 值到 2。这个公式假设收益 i.i.d.；收益有自相关或波动聚集时要用 HAC 标准误（本册第 16 章）。

2. 多空组合与 A/B 测试。 高分位组与低分位组的收益差检验就是两均值之差；比较两种执行算法的平均滑点也是。两组波动不同是常态，默认用 \(\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\)。如果两组观测在时间上一一配对（同一天的多头和空头），用配对差 \(d_t=r^{top}_t-r^{bot}_t\) 做单样本 t 检验会更精确，因为共同的市场波动被抵消了（原书习题 3.16 的思想）。对执行算法做随机化分配，就得到了第 3.5 节意义上的因果结论。

3. 多重检验与「因子动物园」。 3.2.3 节的假阳性率讨论是量化研究的核心风险。尝试成百上千个候选因子、真正有效的比例又很低时，5% 水平「显著」的因子里大部分是假的。Harvey、Liu 与 Zhu（2016）主张把因子的 t 值门槛提高到 3 左右，思路与原书提到的 0.5% 水平（2.81）一致；实践中还有 Bonferroni、Benjamini–Hochberg 等修正（第 03 册第 10b 章）、以及考虑试验次数的「去偏夏普比率」（deflated Sharpe ratio）。

4. 样本选择偏差。 「公园里调查失业率」在量化里对应幸存者偏差（只用现存股票）、前视偏差（用了当时不可得的数据）、只研究流动性好的样本等。

5. 相关只看线性。 截面 IC（因子与下期收益的相关系数）接近 0，不代表因子没有预测力——可能存在 U 形等非线性关系。要配合分组收益、秩相关或非线性模型检查。

下面的代码把这些点串起来：单策略 t 检验与所需样本长度、多空差的 t 检验、原书习题 3.22 的假阳性率、因子动物园模拟、厚尾数据下置信区间的覆盖率。

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(7)

# ---- 1. 策略平均收益的 t 检验与置信区间 ----
T = 750                                    # 3 年日收益
r = 0.0004 + 0.01 * rng.standard_t(5, T) / np.sqrt(5 / 3)   # 真实年化 SR ≈ 0.63
mean, sd = r.mean(), r.std(ddof=1)
se = sd / np.sqrt(T)
t = mean / se
p = 2 * stats.norm.sf(abs(t))
sr_daily = mean / sd
print(f"均值 {mean*1e4:.2f}bp, SE {se*1e4:.2f}bp, t = {t:.2f}, p = {p:.3f}")
print(f"日 SR × sqrt(T) = {sr_daily*np.sqrt(T):.2f}；年化 SR = {sr_daily*np.sqrt(252):.2f}")
print(f"95% CI: ({(mean-1.96*se)*1e4:.2f}, {(mean+1.96*se)*1e4:.2f}) bp")
SR_true = 0.0004 / 0.01 * np.sqrt(252)
Et = SR_true * np.sqrt(T / 252)            # t 的期望值 ≈ 年化 SR × sqrt(年数)
print(f"真实年化 SR {SR_true:.2f}: 3 年样本 E[t] = {Et:.2f}, 功效 Pr(t>1.96) = {stats.norm.sf(1.96-Et):.2f}")
print(f"要让 E[t] = 2 需要 {(2/SR_true)**2:.1f} 年数据")

# ---- 2. 多空组合：两均值之差（不等方差 SE） ----
top = 0.0006 + 0.015 * rng.standard_normal(500)
bot = 0.0001 + 0.010 * rng.standard_normal(800)
d = top.mean() - bot.mean()
se_w = np.sqrt(top.var(ddof=1) / len(top) + bot.var(ddof=1) / len(bot))
print(f"均值差 {d*1e4:.2f}bp, SE {se_w*1e4:.2f}bp, t = {d/se_w:.2f}")

# ---- 3. 原书习题 3.22：假阳性率 ----
def fpr(c, prior_null=0.9, mu_alt=2.0):
    size = stats.norm.sf(c)                 # 单侧检验规模
    power = stats.norm.sf(c - mu_alt)       # μ=2、SE=1 时的功效
    rej = prior_null * size + (1 - prior_null) * power
    return size, power, prior_null * size / rej
for c in [1.64, 2.58]:
    s, pw, f = fpr(c)
    print(f"临界值 {c}: 规模 {s:.3f}, 功效 {pw:.3f}, 假阳性率 {f:.2f}")

# ---- 4. 因子动物园：1000 个候选因子，只有 5% 真有效 ----
n_fac, T = 1000, 120                       # 10 年月度多空收益
true = rng.random(n_fac) < 0.05
mu = np.where(true, 0.006, 0.0)            # 有效因子月均 0.6%
R = mu[:, None] + 0.03 * rng.standard_normal((n_fac, T))
tstat = R.mean(1) / (R.std(1, ddof=1) / np.sqrt(T))
for c in [1.96, 3.0]:
    sel = np.abs(tstat) > c
    print(f"|t|>{c}: 选出 {sel.sum():3d} 个, 其中假阳性 {np.sum(sel & ~true):3d} 个"
          f" ({np.mean(~true[sel]):.0%}), 漏掉真因子 {np.sum(~sel & true)} 个")

# ---- 5. 置信区间覆盖率：厚尾数据、不同样本量 ----
for n in [20, 100, 1000]:
    X = rng.standard_t(3, size=(20000, n))          # 均值 0，方差有限、四阶矩无穷
    m, s = X.mean(1), X.std(1, ddof=1) / np.sqrt(n)
    cover = np.mean(np.abs(m) < 1.96 * s)
    print(f"n={n:4d}: 95% 区间实际覆盖率 {cover:.3f}")

关键输出：

均值 -1.60bp, SE 3.39bp, t = -0.47, p = 0.637
日 SR × sqrt(T) = -0.47；年化 SR = -0.27
95% CI: (-8.24, 5.04) bp
真实年化 SR 0.63: 3 年样本 E[t] = 1.10, 功效 Pr(t>1.96) = 0.19
要让 E[t] = 2 需要 9.9 年数据
均值差 8.53bp, SE 7.54bp, t = 1.13
临界值 1.64: 规模 0.051, 功效 0.641, 假阳性率 0.42
临界值 2.58: 规模 0.005, 功效 0.281, 假阳性率 0.14
|t|>1.96: 选出  81 个, 其中假阳性  53 个 (65%), 漏掉真因子 25 个
|t|>3.0: 选出  20 个, 其中假阳性   4 个 (20%), 漏掉真因子 37 个
n=  20: 95% 区间实际覆盖率 0.943
n= 100: 95% 区间实际覆盖率 0.950
n=1000: 95% 区间实际覆盖率 0.953

解读：

• 第一段最值得警惕：真实年化夏普 0.63 的好策略，这次 3 年回测估出来是 负的 −0.27。这不是代码错误，而是抽样误差本来就这么大：3 年样本的功效只有 19%。95% 置信区间 \((-8.2, 5.0)\) bp/日 宽到几乎什么也说明不了。
• 第三段复现了原书习题 3.22：5% 水平下假阳性率 42%，0.5% 水平下 14%。
• 因子动物园里，\(|t|>1.96\) 选出的 81 个因子中 65% 是假的；把门槛提到 3，假阳性比例降到 20%，代价是漏掉更多真因子。门槛是在两类错误之间取舍，没有免费的选择。
• \(t(3)\) 分布的四阶矩无穷，但方差有限，CLT 依然成立，所以均值的置信区间覆盖率仍接近 95%。真正受影响的是方差和波动率本身的估计（需要四阶矩有限），这一点在风险模型中更要紧。

本章小结

\(\bar Y\) 是总体均值的无偏、一致、BLUE 估计量，也是最小二乘估计量；它的抽样标准差 \(\sigma_Y/\sqrt n\) 用标准误 \(s_Y/\sqrt n\) 估计。t 统计量在大样本原假设下近似标准正态，由此得到 p 值、拒绝域和置信区间；置信区间是检验的反演，其 95% 指的是程序的覆盖概率。p 值不是原假设为真的概率；当被检验的假设中真正为假的比例很低时，5% 水平下的显著发现可能大半是假阳性。两均值之差的检验默认使用允许方差不等的标准误；随机实验中的均值差就是因果效应的估计。Student t 分布只在总体正态时精确，大样本下与正态无实质差别。样本相关只度量线性关联。

练习

基础

1. 500 名选民中 270 人支持某候选人。估计支持率 \(p\) 及其标准误，检验 \(H_0:p=0.5\)（双侧和单侧 \(p>0.5\)），给出 95% 置信区间。（原书习题 3.3、3.4） 答案要点：\(\hat p=0.54\)，\(SE=\sqrt{0.54\times0.46/500}\approx0.0223\)，\(t\approx1.79\)；双侧 \(p\approx0.073\)，单侧 \(p\approx0.037\)；95% 区间 \((0.496,0.584)\)。
2. 证明 \(\tilde Y=\frac1n(\tfrac12Y_1+\tfrac32Y_2+\cdots)\) 无偏且方差为 \(1.25\sigma_Y^2/n\)。（原书习题 3.11）
3. 某检验的 p 值为 0.07。90% 置信区间是否包含原假设值？95% 区间呢？（原书习题 3.6 改编） 提示：p 值大于 0.05 而小于 0.10，所以原假设值在 95% 区间内、不在 90% 区间内。
4. 布鲁塞尔 400 个学区：小班 150 个，均值 721.8、标准差 24.4；大班 250 个，均值 710.9、标准差 20.6。小班成绩是否显著更高？（原书习题 3.13） 答案要点：差 10.9，\(SE=\sqrt{24.4^2/150+20.6^2/250}\approx2.38\)，\(t\approx4.6\)，显著。

进阶

5. 集成电路平均寿命 1000 小时、标准差 100。经理抽 50 个，样本均值超过 1100 才相信改进有效。求该检验的规模；真实均值为 1150 时的功效；若想要规模 1%，临界值应是多少？（原书习题 3.9） 提示：\(SE=100/\sqrt{50}\approx14.1\)，1100 相当于 \(t\approx7.07\)，规模几乎为 0；功效 \(\Pr(Z>-3.54)\approx1\)；1% 单侧临界值 \(1000+2.33\times14.1\approx1033\)。
6. 证明 \(E(\bar Y^2)=\mu_Y^2+\sigma_Y^2/n\)，因此 \(\bar Y^2\) 是 \(\mu_Y^2\) 的有偏但一致的估计量。类比：用样本夏普比率的平方估计真实夏普的平方会有什么偏差？（原书习题 3.19）
7. 重做原书习题 3.22：若 99% 的候选因子无效、功效为 0.5，5% 水平下的假阳性率是多少？要把它压到 20% 以下，显著性水平应设为多少？ 提示：\(0.99\times0.05/(0.99\times0.05+0.01\times0.5)\approx0.91\)；令 \(0.99\alpha/(0.99\alpha+0.005)\le0.2\)，得 \(\alpha\le0.00126\)（这里简化为功效不变，实际上提高门槛会降低功效）。
8. 600 名学生考试均值 508、标准差 75；他们上备考课后重考，平均提高 7 分、个人提高量标准差 40。另有 500 名独立学生上课后均值 514、标准差 65。分别用配对差和独立两样本检验「备考课有效」，比较两个 t 值，并说明在策略比较中这意味着什么。（原书习题 3.16） 提示：配对 \(t=7/(40/\sqrt{600})\approx4.3\)；独立样本 \(t=(514-508)/\sqrt{65^2/500+75^2/600}\approx1.42\)。同期配对的收益差能消掉共同波动，检验力强得多。但配对设计也混入了「第二次考试」的经验效应，需要对照组区分。
9. 构造一个数据集使 \(r_{XY}=0\) 但 \(Y\) 完全由 \(X\) 决定，并说明在因子研究中如何发现这类关系。

原书推荐习题：3.5、3.9、3.12、3.13、3.16、3.18、3.19、3.22；实证题 E3.2（List 的禀赋效应随机实验）。

原书对照

注：原书页码 = PDF 页码 − 1。