第 06a 章 联合分布、独立性与和的分布

本章对应 Ross 第 6 章的 6.1–6.3 节；6.4–6.8 节（条件分布、次序统计量、变换、可交换性）放在第 06b 章。到目前为止我们一次只看一个随机变量，但量化里几乎所有问题都涉及多个变量：多只资产的收益、买单与卖单的数量、多日收益的累积。本章介绍如何描述多个随机变量的联合行为，什么叫它们相互独立，以及独立随机变量之和的分布——卷积。

学习目标

1. 掌握联合 CDF、联合 PMF、联合密度与边缘分布，会用矩形概率公式。
2. 掌握多项分布及其合并性质。
3. 理解随机变量独立的定义及其等价形式，会用因子分解判据判断独立性，注意支撑集必须是乘积形。
4. 掌握泊松分拆：泊松总数按概率分类后，各类计数是独立的泊松变量。
5. 会用卷积公式求独立随机变量之和的分布；掌握正态、伽马、泊松、二项的可加性，以及卡方分布与伽马分布的关系。
6. 能把这些结论用于订单流拆分、多期收益聚合和多日风险的数值计算。

读前导读

这一章在解决什么问题。 量化问题几乎都涉及多个随机变量：两只股票的收益、买单与卖单数、连续多天的收益。CFA 里你处理过它们的"二阶信息"：协方差、相关系数、组合方差 \(w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho\sigma_1\sigma_2\)；也见过两只资产收益的联合概率表。本章讨论的是比协方差更完整的东西——联合分布，以及多个变量之和的整个分布，而不仅是均值和方差。

比 CFA 深在三处。第一，连续变量的联合分布用二重积分描述：\(P\{(X,Y)\in C\}=\iint_Cf(x,y)\,dx\,dy\)，概率是曲面下的体积；边缘分布是把另一个变量"积分掉"。第二，独立被精确定义为"联合分布等于边缘分布的乘积"，它比"相关系数为 0"强得多：独立一定不相关，不相关不一定独立。第三，独立变量之和的分布由卷积积分给出。CFA 告诉你"独立正态之和是正态，方差相加"，本章会推出来，并告诉你哪些分布也有这种"可加性"（泊松、伽马、二项），以及非正态（厚尾）的日收益聚合成多日收益时尾部如何变化。

和量化的联系：两只资产"同时大跌"的概率需要联合分布，只有边缘分布和相关系数不够，这是 copula 和尾部相依的出发点；泊松分拆让买、卖订单流可以分别建模；对数收益可加加上正态可加性，给出了"均值按 \(T\)、波动按 \(\sqrt T\) 缩放"的规则。

需要先想起来的数学。

• 二重积分与积分区域。 \(\iint_Cf(x,y)\,dx\,dy\) 可以化成两次一元积分：先固定 \(y\) 对 \(x\) 积分，再对 \(y\) 积分。难点是写对上下限：先画出区域 \(C\)，再问"\(y\) 固定时 \(x\) 从哪到哪"。例：区域 \(\{0<x<y<1\}\)，可写成 \(\int_0^1\int_0^y\cdots dx\,dy\)，也可写成 \(\int_0^1\int_x^1\cdots dy\,dx\)。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。
• 偏导数。 \(\frac{\partial}{\partial a}F(a,b)\) 表示把 \(b\) 当常数、只对 \(a\) 求导。联合密度 \(f=\frac{\partial^2F}{\partial a\,\partial b}\) 就是对两个变量各求一次偏导。例：\(F(a,b)=ab\)（\(0<a,b<1\)），\(\partial^2F/\partial a\partial b=1\)，即单位正方形上的均匀分布。
• 配方。 \(ax^2+bx=a(x+\frac b{2a})^2-\frac{b^2}{4a}\)。正态之和的证明和很多正态积分都靠它把指数整理成"一个正态密度 × 常数"。
• 二项式定理与 Gamma 函数。 泊松可加性的最后一步用 \((\lambda_1+\lambda_2)^n=\sum_k\binom nk\lambda_1^k\lambda_2^{n-k}\)；Gamma 函数 \(\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty e^{-y}y^{\alpha-1}dy\) 见第 05 章 5.6 节。积分技巧见 第 00 册第 03 章 积分。

怎么读这一章。 6.1 的联合密度与边缘密度、6.2 的独立定义与因子分解判据（注意支撑集）、泊松分拆（例 2b）、6.3 的卷积公式与正态可加性、例 3d（对数收益可加）是核心。卡方分布要知道它是 Gamma(\(n/2,1/2\))、是标准正态平方和。第一次可以跳过：例 1d、1e、例 2d（Buffon 投针）、例 2e（正态刻画）、例 2g（顺序抽样算法）、例 2i、例 2j，以及均匀和 \(E[N]=e\) 的推导。

6.1 联合分布函数

联合 CDF 与边缘分布

两个随机变量 \(X,Y\) 的**联合累积分布函数（joint CDF）**为

由概率的连续性，**边缘分布（marginal distribution）**可以从联合 CDF 得到：\(F_X(a)=\lim_{b\to\infty}F(a,b)=F(a,\infty)\)，\(F_Y(b)=F(\infty,b)\)。

原则上，一切关于 \((X,Y)\) 的概率都可以由 \(F\) 求出。例如用补集和容斥，

更一般的矩形概率为

推导拆解：在平面上画图。\(F(a,b)\) 是点 \((a,b)\) 左下方整个"象限"的概率。

1. \(F(a_2,b_2)\)：左下象限到 \((a_2,b_2)\)，包含目标矩形，但也包含矩形左边的条带和下边的条带。
2. 减去 \(F(a_1,b_2)\)（左边条带及其下方）和 \(F(a_2,b_1)\)（下边条带及其左方）。
3. 两块都包含 \((a_1,b_1)\) 左下的那块象限，被减了两次，所以加回一次 \(F(a_1,b_1)\)。 这就是第 02 章容斥恒等式的二维版本。(1.1) 是 \(a_2=b_2=\infty\) 的特例，因为 \(F(\infty,\infty)=1\)、\(F(a,\infty)=F_X(a)\)。

(1.1) 在风险管理里有直接含义：两只资产同时大涨的概率 \(P\{X>a,Y>b\}\)，需要联合分布 \(F(a,b)\) 才能算，只知道两个边缘分布是不够的。这就是 copula 建模要解决的问题。

离散情形：联合 PMF

联合 PMF \(p(x,y)=P\{X=x,Y=y\}\)，边缘 PMF 为 \(p_X(x)=\sum_yp(x,y)\)，\(p_Y(y)=\sum_xp(x,y)\)。

例 1a 从 3 红 4 白 5 蓝共 12 个球中取 3 个，\(X\) 为红球数、\(Y\) 为白球数，\(p(i,j)=\binom3i\binom4j\binom5{3-i-j}\big/\binom{12}3\)。原书表 6.1（分母 220）：

行和给出 \(X\) 的 PMF、列和给出 \(Y\) 的 PMF，因为写在表的边缘，所以叫边缘 PMF。

例 1b 家庭有 0/1/2/3 个孩子的概率为 .15/.20/.35/.30，每个孩子独立地以 1/2 为男孩。男孩数 \(B\)、女孩数 \(G\) 的联合 PMF 可由"先对孩子总数取条件"得到，例如 \(P\{B=0,G=0\}=.15\)，\(P\{B=0,G=1\}=.20\times\frac12=.10\)，\(P\{B=0,G=2\}=.35\times\frac14=.0875\)，\(P\{B=1,G=1\}=.35\times\frac12=.175\)。边缘 \(P\{B=i\}\) 为 .375、.3875、.2、.0375。

连续情形：联合密度

若存在 \(f(x,y)\)，使得对平面上任意集合 \(C\)，

则称 \(X,Y\) 联合连续，\(f\) 为联合概率密度（joint PDF）。于是 \(f(a,b)=\frac{\partial^2}{\partial a\,\partial b}F(a,b)\)，\(P\{a<X<a+da,\ b<Y<b+db\}\approx f(a,b)\,da\,db\)。边缘密度为

白话解释：联合密度 \(f(x,y)\) 是平面上的一座"山"，山下某块区域的体积就是 \((X,Y)\) 落在该区域的概率，总体积为 1。边缘密度 \(f_X(x)\) 是在 \(X=x\) 处沿 \(y\) 方向把山切一刀，截面的面积。这与离散情形把联合概率表的一行加起来（例 1a 的行和）完全对应：\(\sum_y\) 换成了 \(\int dy\)。 方向只能从联合到边缘，反过来不行。CFA 里给出两只资产各自的均值、方差和一个相关系数，等于只给了两个边缘分布和一个"线性相关"的摘要，同样的这些数可以对应很多不同的联合分布，"同时暴跌"的概率可能相差数倍。 例 1c \(f(x,y)=2e^{-x}e^{-2y}\)（\(x,y>0\)）。(a) \(P\{X>1,Y<1\}=e^{-1}(1-e^{-2})\)；(b) \(P\{X<Y\}=\int_0^\infty2e^{-2y}(1-e^{-y})dy=1-\frac23=\frac13\)；(c) \(P\{X<a\}=1-e^{-a}\)。

推导拆解（b）：区域是 \(\{(x,y):0<x<y\}\)。外层对 \(y\) 从 0 到 \(\infty\)，固定 \(y\) 后 \(x\) 从 0 到 \(y\)：

\[\int_0^\infty\Big(\int_0^y2e^{-x}e^{-2y}dx\Big)dy=\int_0^\infty2e^{-2y}\big[1-e^{-y}\big]dy.\]

内层：\(e^{-2y}\) 对 \(x\) 是常数，提出来；\(\int_0^ye^{-x}dx=1-e^{-y}\)。外层拆成两项：\(\int_0^\infty2e^{-2y}dy=1\)，\(\int_0^\infty2e^{-3y}dy=\frac23\)。相减得 \(\frac13\)。 换个角度检验：\(X\sim\)Exp(1)、\(Y\sim\)Exp(2) 独立，"\(X\) 先发生"的概率是速率之比 \(\frac{1}{1+2}\)，与第 03 章"\(E\) 先于 \(F\)"的公式同一结构。

例 1d（圆内均匀点） 点在半径为 \(R\) 的圆内均匀分布，\(f=1/(\pi R^2)\)。\(X\) 的边缘密度为 \(f_X(x)=\frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}\)（\(|x|\le R\)），不是均匀的。到原点的距离 \(D\) 满足 \(F_D(a)=a^2/R^2\)，\(f_D(a)=2a/R^2\)，\(E[D]=2R/3\)。

例 1e（比值的分布） \(f(x,y)=e^{-(x+y)}\)（\(x,y>0\)），则 \(F_{X/Y}(a)=\int_0^\infty(1-e^{-ay})e^{-y}dy=1-\frac1{a+1}\)，\(f_{X/Y}(a)=\frac1{(a+1)^2}\)。

\(n\) 个变量时类似：\(F(a_1,\dots,a_n)=P\{X_1\le a_1,\dots,X_n\le a_n\}\)，联合密度在 \(n\) 维集合上积分。

多项分布

例 1f（多项分布，multinomial distribution） \(n\) 次独立同分布试验，每次结果是 \(r\) 类之一，概率分别为 \(p_1,\dots,p_r\)。记 \(X_i\) 为第 \(i\) 类出现的次数，则

每个特定序列的概率是 \(\prod p_i^{n_i}\)，这样的序列数就是第 01 章的多项式系数。\(r=2\) 时就是二项分布。合并性质：任意一组类别 \(N\) 的计数之和 \(\sum_{i\in N}X_i\sim\mathrm{Bin}(n,\sum_{i\in N}p_i)\)；把类别分组合并后仍是多项分布（原书自测题 6.4）。

例：公平骰子掷 9 次，1 出现 3 次、2 和 3 各 2 次、4 和 5 各 1 次、6 不出现的概率为 \(\frac{9!}{3!\,2!\,2!\,1!\,1!\,0!}(1/6)^9\)。

量化联系：把每天的收益划分为"大跌/小跌/小涨/大涨"四类，\(n\) 天中各类天数就服从多项分布（若各天独立同分布）。

6.2 独立随机变量

定义与等价形式

定义 若对任意实数集 \(A,B\)，

则称 \(X,Y\) 独立（independent），否则称为相依（dependent）。直观上，知道一个变量的值不改变另一个的分布。

等价形式：

• 对一切 \(a,b\)，\(F(a,b)=F_X(a)F_Y(b)\)；
• 离散时 \(p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)\) 对一切 \(x,y\) 成立（2.2）；
• 连续时 \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\) 对一切 \(x,y\) 成立。

\(n\) 个变量独立指对所有 \(A_i\)，\(P\{X_i\in A_i,\ \forall i\}=\prod P\{X_i\in A_i\}\)；无穷多个变量独立指任意有限子族独立。

例 2a \(n+m\) 次独立试验，前 \(n\) 次的成功数 \(X\) 与后 \(m\) 次的成功数 \(Y\) 独立；但 \(X\) 与总成功数 \(Z=X+Y\) 相依。

泊松分拆

例 2b（泊松分拆 / 稀疏化） 一天中到达邮局的人数服从 Poisson(\(\lambda\))，每人独立地以概率 \(p\) 为男性。男性人数 \(X\) 与女性人数 \(Y\) 的联合分布是什么？对 \(X+Y\) 取条件：

联合 PMF 分解成两个泊松 PMF 的乘积，所以 \(X\) 与 \(Y\) 是相互独立的 Poisson(\(\lambda p\)) 与 Poisson(\(\lambda(1-p)\))。

推导拆解：

1. 第一个等号：\(\{X=i,Y=j\}=\{X=i,\ X+Y=i+j\}\)，用乘法法则 \(P\{X+Y=i+j\}\cdot P\{X=i\mid X+Y=i+j\}\)。给定总人数 \(i+j\)，男性人数是 \(\mathrm{Bin}(i+j,p)\)。
2. 第二个等号：\(\binom{i+j}{i}=\frac{(i+j)!}{i!\,j!}\)，其中 \((i+j)!\) 与泊松项的分母约掉，剩 \(\frac1{i!\,j!}\)。\(\lambda^{i+j}=\lambda^i\lambda^j\)，把 \(p^i\) 配给 \(\lambda^i\)、\((1-p)^j\) 配给 \(\lambda^j\)。\(e^{-\lambda}=e^{-\lambda p}e^{-\lambda(1-p)}\)。整理后两部分各只含 \(i\) 或只含 \(j\)。
3. 联合 PMF 可分解，由后面的命题 2.1，\(X,Y\) 独立，并且每个因子正好是一个完整的泊松 PMF，所以边缘分布也读出来了。

这个结论有点反直觉：如果总人数固定，男女人数必然此消彼长、负相关；正因为总数本身是泊松随机的，两类计数反而独立。推广到多类（原书理论练习 6.2）：每个事件独立地以概率 \(p_i\) 归入第 \(i\) 类，则各类计数是独立的 Poisson(\(\lambda p_i\))。

更多例子

例 2c（约会） 两人独立地在 \(U(0,60)\) 分钟内到达，先到者等待超过 10 分钟的概率为 \(2P\{X+10<Y\}=\frac{2}{60^2}\int_{10}^{60}(y-10)dy=\frac{25}{36}\)。

例 2d（Buffon 投针） 平行线间距 \(D\)，针长 \(L\le D\)。针中点到最近直线的距离 \(X\sim U(0,D/2)\)，针与垂线的夹角 \(\theta\sim U(0,\pi/2)\)，二者独立。针与直线相交当且仅当 \(X<\frac L2\cos\theta\)：

这是最古老的几何概率问题，也是最早的"用随机试验估计 \(\pi\)"的蒙特卡洛方法。

例 2e（正态分布的一个刻画，选读） 射击脱靶的水平、垂直偏差 \(X,Y\) 满足：(1) 独立且密度可微；(2) 联合密度只依赖于 \(x^2+y^2\)（旋转不变）。则 \(f_X(x)f_Y(y)=g(x^2+y^2)\)。对 \(x\) 求导再除以原式，得 \(\frac{f_X'(x)}{2xf_X(x)}=\frac{g'(x^2+y^2)}{g(x^2+y^2)}\)，左边只依赖 \(x\)、右边依赖 \(x^2+y^2\)，所以只能是常数 \(c\)。于是 \(f_X(x)=ke^{cx^2/2}\)，可积性要求 \(c<0\)，记 \(c=-1/\sigma^2\)：独立 + 旋转不变 ⇒ 同方差、零均值的独立正态（Herschel–Maxwell 刻画）。

因子分解判据

命题 2.1 连续（离散）随机变量 \(X,Y\) 独立，当且仅当联合密度（PMF）可以写成

证明：设 \(C_1=\int h\)，\(C_2=\int g\)，由 \(\iint f=1\) 得 \(C_1C_2=1\)；边缘 \(f_X=C_2h\)，\(f_Y=C_1g\)，所以 \(f=hg=f_Xf_Y\)。

例 2f \(f(x,y)=6e^{-2x}e^{-3y}\)（\(x,y>0\)）可以分解，\(X,Y\) 独立，分别是速率 2 和 3 的指数分布。\(f(x,y)=24xy\)（\(0<x,y<1\)，\(x+y<1\)）不独立：虽然函数形式像乘积，但支撑集是三角形，\(f=24xy\,I\{x+y<1\}\) 无法分解。

常见误区：只看函数形式而忽略支撑集。注意"对一切 \(x,y\)"包括支撑集之外。

白话解释：支撑集（support）指密度大于 0 的区域。如果它不是"矩形"（乘积形 \(A\times B\)），那么知道 \(X\) 的值就会改变 \(Y\) 能取的范围，二者不可能独立。例 2f 的三角形里，若 \(X=0.9\)，\(Y\) 只能落在 \((0,0.1)\)；若 \(X=0.1\)，\(Y\) 可以落在 \((0,0.9)\)。金融中的对应：股票当日收盘价 \(S\) 与当日最高价 \(M\) 必须满足 \(S\le M\)，支撑集是三角形，所以它们必然相依，不论密度在区域内长什么样。

例 2g（计算机如何随机选子集） 要从 \(\{1,\dots,n\}\) 中等可能地选一个 \(k\) 元子集。生成独立的 \(U_1,\dots,U_n\sim U(0,1)\)，令

即每一步以"剩余名额 / 剩余候选数"的概率选入。对 \(k+n\) 归纳可证每个 \(k\) 元子集被选中的概率都是 \(1/\binom nk\)。这个顺序抽样算法只需 \(O(n)\) 时间和极少内存，适合从很长的股票列表或交易记录中做流式随机抽样。

例 2h \(X,Y,Z\) 独立 \(U(0,1)\)，\(P\{X\ge YZ\}=\int_0^1\int_0^1(1-yz)dy\,dz=\int_0^1(1-z/2)dz=3/4\)。

例 2i（半衰期：均值预测与分布预测） 放射性衰变的确定性定律 \(N(t)=2^{-t/h}N(0)\) 暗示每个原子核独立、寿命无记忆，因此寿命为指数分布，中位数为 \(h\)：\(P\{L<t\}=1-2^{-t/h}\)。理论预测质子半衰期 \(h=10^{30}\) 年，若跟踪 \(10^{30}\) 个质子 \(c\) 年，确定性模型预测衰变约 \(c\log2\approx0.6931c\) 个，2 年约 1.39 个。但概率模型下衰变数近似 Poisson(\(c\log2\))，2 年内一个都不衰变的概率为 \(2^{-2}=1/4\)。所以观测到 0 次衰变并不能否定理论。**教训：只看均值预测会误判；要看完整的分布。**回测中"期望收益为正，但这一年亏了"也不能直接否定策略。

例 2j（反向判断独立性） 判断 \(X\) 是否独立于 \(Y\) 不直观时，可以反过来问 \(Y\) 是否独立于 \(X\)。(1) 掷骰子游戏中首掷为 4 之后，反复掷直到出现 4 或 7：所需次数 \(N\) 与终值是 4 还是 7 独立——"知道用了 \(n\) 次，是否改变终值为 4 的概率？"显然不改变。(2) 记录值：i.i.d. 连续序列中，若 \(X_n\) 大于之前所有值，称它为记录；\(A_n\)="第 \(n\) 个是记录"，\(P(A_n)=1/n\)，而且 \(A_n\) 与 \(A_{n+1}\) 独立。

此外，由链式法则，要证明 \(X_1,\dots,X_n\) 独立，只需依次证明 \(X_2\) 独立于 \(X_1\)，\(X_3\) 独立于 \((X_1,X_2)\)，……，\(X_n\) 独立于 \((X_1,\dots,X_{n-1})\)。

6.3 独立随机变量之和

卷积公式

\(X,Y\) 独立连续，则

称为 \(F_X\) 与 \(F_Y\) 的卷积（convolution）。求导得密度的卷积：

推导拆解：

1. 第二个等号：独立意味着联合密度 \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，对区域 \(\{x+y\le a\}\) 积分。
2. 第三个等号：写成先 \(x\) 后 \(y\) 的累次积分。固定 \(y\)，条件 \(x+y\le a\) 即 \(x\le a-y\)，内层 \(\int_{-\infty}^{a-y}f_X(x)dx=F_X(a-y)\)。
3. (3.2)：对 \(a\) 求导，\(a\) 只出现在 \(F_X(a-y)\) 里，导数是 \(f_X(a-y)\)（链式法则，内层导数为 1），可以移进积分号内。 直观读法：这就是"连续版的全概率公式"。先对 \(Y\) 取条件：已知 \(Y=y\)，要 \(X+Y=a\) 就需要 \(X=a-y\)，"概率密度"为 \(f_X(a-y)\)；再按 \(Y\) 的密度 \(f_Y(y)\) 对所有 \(y\) 加权求和（积分）。离散版是 \(P\{X+Y=n\}=\sum_kP\{X=n-k\}P\{Y=k\}\)，例 3e 用的就是它。

均匀变量之和

例 3a \(X,Y\sim U(0,1)\) 独立：

推导拆解：代入 (3.2)，\(f_Y(y)=1\) 当 \(0<y<1\)，\(f_X(a-y)=1\) 当 \(0<a-y<1\) 即 \(a-1<y<a\)。被积函数是 1 当且仅当 \(y\) 同时满足两个条件，所以 \(f_{X+Y}(a)\) 等于区间 \((0,1)\) 与 \((a-1,a)\) 重叠部分的长度。\(0\le a\le1\) 时重叠为 \((0,a)\)，长度 \(a\)；\(1<a<2\) 时重叠为 \((a-1,1)\)，长度 \(2-a\)。卷积计算的难点几乎总在这里：写对被积函数非零的范围，必要时分段。 \(n\) 个独立 \(U(0,1)\) 之和满足 \(F_n(x)=P\{X_1+\cdots+X_n\le x\}=x^n/n!\)（\(0\le x\le1\)），可由 \(F_n(x)=\int_0^xF_{n-1}(x-y)dy\) 归纳得到。应用：令 \(N=\min\{n:X_1+\cdots+X_n>1\}\)，则 \(P\{N>n\}=F_n(1)=1/n!\)，\(P\{N=n\}=\frac{n-1}{n!}\)，

平均需要 \(e\) 个均匀随机数，它们的和才超过 1。

伽马变量与卡方分布

命题 3.1 \(X\sim\) Gamma(\(s,\lambda\))、\(Y\sim\) Gamma(\(t,\lambda\)) 独立，则 \(X+Y\sim\) Gamma(\(s+t,\lambda\))。即同一 \(\lambda\) 下伽马分布对卷积封闭。证明：在卷积积分中代换 \(x=y/a\)，得 \(f_{X+Y}(a)=Ce^{-\lambda a}a^{s+t-1}\)，常数由归一化确定。

例 3b \(n\) 个独立 Exp(\(\lambda\)) 之和服从 Gamma(\(n,\lambda\))（指数分布就是 Gamma(1,\(\lambda\))），与第 05 章泊松过程第 \(n\) 个事件时刻的结论一致。

卡方分布 设 \(Z_1,\dots,Z_n\) 是独立标准正态，\(Y=\sum_{i=1}^nZ_i^2\) 称为自由度为 \(n\) 的卡方（chi-squared）分布。\(n=1\) 时由第 05 章例 7b，

卡方分布在统计推断中极其重要：样本方差、拟合优度检验、因子模型的残差平方和都和它有关（第 03 册）。

正态变量

命题 3.2 若 \(X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)\)，\(i=1,\dots,n\) 相互独立，则

证明思路：先设 \(X\sim N(0,\sigma^2)\)、\(Y\sim N(0,1)\)，令 \(c=\frac{1+\sigma^2}{2\sigma^2}\)，对卷积被积函数中关于 \(y\) 的指数配方，积分后得 \(f_{X+Y}(a)=C\exp\{-a^2/2(1+\sigma^2)\}\)，即 \(N(0,1+\sigma^2)\)。一般两个变量可经平移缩放化为这种情形，再对 \(n\) 归纳。

**独立正态之和仍为正态，均值相加、方差相加。**注意差 \(X-Y\) 的方差也是 \(\sigma_X^2+\sigma_Y^2\)，而不是相减。

例 3c（篮球赛季） 44 场比赛，26 场对 A 类球队（胜率 .4）、18 场对 B 类（胜率 .7），各场独立。\(E[X_A]=10.4\)，\(\mathrm{Var}(X_A)=6.24\)；\(E[X_B]=12.6\)，\(\mathrm{Var}(X_B)=3.78\)。用正态近似和命题 3.2，\(X_A+X_B\approx N(23,10.02)\)，

例 3d（周价格模型：对数收益可加） 设每周价格比 \(S(n)/S(n-1)\) 独立同分布，服从对数正态，对数收益 \(\sim N(.0165,.0730^2)\)。

(a) 一周上涨的概率：\(P\{Z>-.0165/.0730\}=P\{Z<.2260\}=.5894\)；连续两周都上涨：\(.5894^2=.3474\)。

(b) 两周后价格高于今天：两周对数收益之和 \(\sim N(.0330,2\times.0730^2)\)，概率为 \(P\{Z<\frac{.0330}{.0730\sqrt2}=.31965\}=.6254\)。

对数收益可以按时间相加，而且独立正态之和仍是正态，这是对数正态价格模型最大的计算便利。由此还得到"\(T\) 期收益的均值 \(\propto T\)、标准差 \(\propto\sqrt T\)"的缩放规律。

金融直觉：CFA 里年化波动率 \(=\sigma_{日}\sqrt{250}\)、10 日 VaR \(=\sqrt{10}\,\times\) 1 日 VaR，依据就是这里：独立同分布的 \(T\) 个对数收益相加，方差是 \(T\sigma^2\)。两个前提要记住。其一，"方差相加"只需要独立（甚至只需要不相关），但"和仍是正态"需要每一项是正态；厚尾日收益的多日和不再精确服从某个简单分布，见"量化实战"第 3 部分。其二，若收益存在自相关（动量或均值回复），方差不再是 \(T\sigma^2\)，\(\sqrt T\) 规则会高估或低估长期风险。还要分清：可加的是对数收益，简单收益 \(S_n/S_{n-1}-1\) 按时间是相乘关系，不能直接相加。

泊松与二项

例 3e 独立的 Poisson(\(\lambda_1\))、Poisson(\(\lambda_2\)) 之和：

例 3f 独立的 \(\mathrm{Bin}(n,p)\) 与 \(\mathrm{Bin}(m,p)\) 之和是 \(\mathrm{Bin}(n+m,p)\)——直接由试验解释可得，解析验证用 Vandermonde 恒等式 \(\binom{n+m}k=\sum_i\binom ni\binom m{k-i}\)。注意两个 \(p\) 必须相同。

量化实战

1. 订单流的泊松分拆

若单位时间内的总订单数服从 Poisson(\(\lambda\))，每笔独立地以概率 \(p\) 为买单，那么买单数与卖单数是独立的泊松变量。这让很多做市模型（第 07 册）可以分别对买、卖两侧的到达建模。反过来，如果在一个固定笔数的样本里统计买卖比例，两侧计数必然完全负相关——同一份数据，条件不同，结论截然相反。

2. 多期收益聚合

例 3d 给出了从周收益推出多周上涨概率的方法。下面用模拟核对书中数字。

3. 用卷积公式数值计算多日风险

日收益不是正态时（例如 Laplace），多日收益没有简单的闭式分布，但卷积公式 (3.2) 可以在网格上用 np.convolve 直接数值计算。下面把日标准差 2% 的 Laplace 日收益卷积 4 次得到 5 日收益的密度，与模拟和正态近似比较。

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(6)

# ---------- 1) 泊松分拆：总订单数随机时，买单数与卖单数独立 ----------
lam, p, T = 50, 0.6, 200_000
total = rng.poisson(lam, T)
buys = rng.binomial(total, p)
sells = total - buys
print(f"总数 ~ Poisson({lam}): 买单均值={buys.mean():.2f} 方差={buys.var():.2f} "
      f"(理论 {lam*p:.0f}/{lam*p:.0f}), corr(买,卖)={np.corrcoef(buys, sells)[0,1]:+.4f}")
fixed_buys = rng.binomial(lam, p, T)          # 若总数固定为 50
print(f"总数固定为 {lam}: corr(买,卖)={np.corrcoef(fixed_buys, lam - fixed_buys)[0,1]:+.4f}")

# ---------- 2) 对数收益可加：原书例 3d 的周价格模型 ----------
mu, sig = 0.0165, 0.0730
p1 = stats.norm.sf(0, mu, sig)                          # 一周上涨
p2 = stats.norm.sf(0, 2 * mu, sig * np.sqrt(2))         # 两周后高于今天
logret = rng.normal(mu, sig, size=(500_000, 2))
print(f"\n一周上涨: 公式 {p1:.4f}  模拟 {np.mean(logret[:,0] > 0):.4f}")
print(f"连续两周都涨: 公式 {p1**2:.4f}  模拟 {np.mean((logret > 0).all(1)):.4f}")
print(f"两周后高于今天: 公式 {p2:.4f}  模拟 {np.mean(logret.sum(1) > 0):.4f}")

# ---------- 3) 卷积公式的数值实现：日收益 Laplace，求 5 日收益的密度 ----------
dx = 0.0005
x = np.arange(-0.4, 0.4 + dx, dx)
b = 0.02 / np.sqrt(2)                                  # 日标准差 2%
f1 = stats.laplace.pdf(x, scale=b)
f = f1.copy()
for _ in range(4):                                     # f_{X+Y}(a) = ∫ f_X(a-y) f_Y(y) dy
    f = np.convolve(f, f1, mode="same") * dx
sims = rng.laplace(scale=b, size=(400_000, 5)).sum(1)
def kurt_from_pdf(x, f):
    m2 = np.sum(x**2 * f) * dx
    return np.sum(x**4 * f) * dx / m2**2 - 3
print(f"\n5 日收益: 数值卷积 SD={np.sqrt(np.sum(x**2*f)*dx):.4f} (理论 {0.02*np.sqrt(5):.4f}), "
      f"超额峰度={kurt_from_pdf(x, f):.3f} (日收益为 {kurt_from_pdf(x, f1):.3f}, 理论 3/5={3/5:.3f})")
for q in (0.01, 0.05):
    cdf = np.cumsum(f) * dx
    print(f"  {q:.0%} 分位数: 卷积 {x[np.searchsorted(cdf, q)]:+.4f}  模拟 {np.quantile(sims, q):+.4f}  "
          f"正态近似 {stats.norm.ppf(q, scale=0.02*np.sqrt(5)):+.4f}")

关键输出：

总数 ~ Poisson(50): 买单均值=30.00 方差=30.05 (理论 30/30), corr(买,卖)=+0.0026
总数固定为 50: corr(买,卖)=-1.0000

一周上涨: 公式 0.5894  模拟 0.5891
连续两周都涨: 公式 0.3474  模拟 0.3471
两周后高于今天: 公式 0.6254  模拟 0.6257

5 日收益: 数值卷积 SD=0.0447 (理论 0.0447), 超额峰度=0.598 (日收益为 3.000, 理论 3/5=0.600)
  1% 分位数: 卷积 -0.1095  模拟 -0.1097  正态近似 -0.1040
  5% 分位数: 卷积 -0.0735  模拟 -0.0732  正态近似 -0.0736

读法：

• 泊松总数下买卖计数的相关系数约为 0，买单数的均值和方差都约等于 \(\lambda p=30\)，正是 Poisson(30)。
• 例 3d 的三个数字 .5894、.3474、.6254 都被模拟精确复现。
• 数值卷积得到的 5 日标准差为 \(0.02\sqrt5\)，与"方差相加"一致。超额峰度从日收益的 3 降到 0.6（独立同分布 \(n\) 项之和的超额峰度是单项的 \(1/n\)，这是补充结论，可由第 07c 章的矩母函数与累积量推出），说明多日收益比日收益更接近正态——这是中心极限定理的预演。但 1% 分位数处正态近似仍低估了约 5% 的尾部损失：聚合会减轻但不会消除厚尾。

本章小结

联合 CDF、联合 PMF、联合密度完整描述了多个随机变量的联合行为，边缘分布由对其他变量求和或积分得到，但反过来，边缘分布一般不能确定联合分布。独立的定义是联合分布等于边缘分布的乘积，判断时可用因子分解判据，但必须注意支撑集是否为乘积形。泊松分拆说明：随机总数的泊松流按概率分类后，各类计数相互独立。独立随机变量之和的分布由卷积给出；正态、同 \(\lambda\) 伽马、泊松、同 \(p\) 二项都对求和封闭，卡方分布是伽马分布的特例。对数收益可加且独立正态之和仍为正态，这让多期收益计算变得简单。

练习

基础

1. \(X,Y\) 的联合 PMF 为 \(p(0,0)=.4,\ p(0,1)=.2,\ p(1,0)=.1,\ p(1,1)=.3\)。求边缘分布，并判断是否独立。 答案：\(p_X(0)=.6,p_X(1)=.4\)；\(p_Y(0)=.5,p_Y(1)=.5\)；\(p(0,0)=.4\ne.3\)，不独立。
2. \(f(x,y)=e^{-(x+y)}\)（\(x,y>0\)），求 \(P\{X<Y\}\) 与 \(P\{X+Y<1\}\)。 答案：对称性得 1/2；\(X+Y\sim\) Gamma(2,1)，\(P=1-2e^{-1}\approx0.264\)。
3. 判断 \(f(x,y)=8xy\)（\(0<x<y<1\)）中 \(X,Y\) 是否独立。 答案：不独立，支撑集 \(\{0<x<y<1\}\) 不是乘积形。
4. 两只股票的日收益独立，分别为 \(N(0.001,0.02^2)\) 与 \(N(0.0005,0.015^2)\)。求等权组合日收益的分布，以及组合单日下跌超过 2% 的概率。 答案：\(\frac12(X+Y)\sim N(0.00075,\ \frac14(0.0004+0.000225))=N(0.00075,0.0125^2)\)；\(P=\Phi(-1.66)\approx0.048\)。
5. 某交易所的订单按速率每秒 20 笔的泊松过程到达，每笔独立地以 0.1 的概率是大单。求 1 分钟内大单数的分布，以及"1 分钟内大单数"和"小单数"的相关系数。 答案：Poisson(120)；相关系数 0（泊松分拆）。

进阶

6. 证明：若 \(X,Y\) 独立且 \(Y\) 为离散变量，则 \(P\{X+Y\le a\}=\sum_yF_X(a-y)p_Y(y)\)。并据此写出"连续日收益 + 离散跳跃"的 CDF。 提示：对 \(Y\) 取条件，用全概率公式。
7. 用卷积公式直接证明两个独立 Exp(\(\lambda\)) 之和的密度为 \(\lambda^2ae^{-\lambda a}\)。 提示：\(\int_0^a\lambda e^{-\lambda(a-y)}\lambda e^{-\lambda y}dy\)。
8. 设某资产的对数日收益独立同分布于 \(N(0.0004,0.015^2)\)。求 20 个交易日后价格高于今天的概率，以及 20 日对数收益的 99% VaR。 答案：20 日对数收益 \(\sim N(0.008,0.015^2\times20)\)，标准差 \(\approx0.0671\)；\(P=\Phi(0.008/0.0671)=\Phi(0.119)\approx0.547\)；VaR \(\approx2.326\times0.0671-0.008\approx0.148\)。
9. 在 \(n\) 个独立 \(U(0,1)\) 随机数中，\(N\) 是部分和首次超过 1 的下标。用模拟估计 \(E[N]\)，并解释为什么它等于 \(e\)。 提示：\(E[N]=\sum_{n\ge0}P\{N>n\}=\sum_{n\ge0}1/n!=e\)（用第 04a 章的尾和公式）。
10. 一个组合由 3 个独立策略组成，日收益分别为 \(N(0.0003,0.01^2)\)、\(N(0.0002,0.008^2)\)、\(N(0.0004,0.012^2)\)，权重 \(0.5,0.3,0.2\)。求组合日收益的分布及年化（250 日）夏普比率。 答案：均值 \(0.00029\)，方差 \(0.25(10^{-4})+0.09(0.64\times10^{-4})+0.04(1.44\times10^{-4})=0.3652\times10^{-4}\)，标准差 \(\approx0.00604\)；年化夏普 \(\approx0.00029/0.00604\times\sqrt{250}\approx0.76\)。

原书推荐习题：Problems 6.16（\(n\) 点同在半圆）、6.27（指数比值、\(P\{X_1<X_2\}\)）、6.29–6.32（正态和与差的应用）、6.33–6.34（泊松可加性）；Theoretical Exercises 6.2（多类泊松分拆）、6.3–6.4（Buffon 投针估计 \(\pi\)）、6.6（相依变量和的密度）、6.7（伽马缩放）；Self-Test 6.4（多项分布合并）。

原书对照

（书内页码 = PDF 页码 − 13。）