第 05 章 连续型随机变量

本章对应 Ross 第 5 章。价格、收益率、等待时间、违约时间都是连续取值的量。本章介绍密度函数、连续型的期望与方差，以及七个常见连续分布：均匀、正态、指数、伽马、Weibull、柯西、贝塔。对量化最重要的是三块：正态分布（标准化、VaR、二项的正态近似与样本量）、指数分布与风险率（等待时间与违约强度）、随机变量的变换（对数正态价格模型、概率积分变换）。

学习目标

1. 理解概率密度函数的含义（密度不是概率），会由密度求概率、CDF、期望、方差，掌握连续版 LOTUS 与尾积分公式。
2. 熟练运用正态分布：线性变换封闭、标准化、查 \(\Phi\) 表与对称性，能计算正态假设下的 VaR。
3. 掌握 DeMoivre–Laplace 定理与连续性修正，能估计"检验微弱优势需要多少样本"。
4. 掌握指数分布的无记忆性及其唯一性，理解风险率函数与生存函数的关系 \(\bar F(t)=\exp\{-\int_0^t\lambda(s)ds\}\)。
5. 了解伽马（含 Erlang、卡方）、Weibull、柯西、贝塔分布的来历与均值方差。
6. 会用 CDF 法和单调变换公式求随机变量函数的分布，理解对数正态模型与概率积分变换。
7. 理解"非对称线性损失下最优决策是分位数"的连续版本。

读前导读

这一章在解决什么问题。 收益率、价格、违约时间都可以取连续的值。CFA 里你已经大量使用正态分布：查 \(z\) 表、算置信区间、用 \(\mu-2.33\sigma\) 算参数法 VaR、用对数正态描述股价。但 CFA 通常把这些当作"给定的公式"。本章从定义出发，把它们推出来。

本册比 CFA 深的地方在这一章最集中：

• 期望用积分定义。 离散情形 \(E[X]=\sum x\,p(x)\)；连续情形每一点的概率都是 0，只能用密度 \(f(x)\) 乘以宽度 \(dx\) 近似"落在 \(x\) 附近的概率"，再把无穷多个小块加起来，于是 \(E[X]=\int x f(x)\,dx\)。第 04a 章的每条结论（LOTUS、方差公式、线性性）都有对应的积分版本。
• 密度是 CDF 的导数。 CFA 里"正态曲线下面积 = 概率"，这里给出精确关系：\(F(a)=\int_{-\infty}^af\)，\(F'=f\)。这是微积分基本定理。
• 随机变量的变换需要乘导数。 已知 \(X\) 的密度，求 \(Y=g(X)\) 的密度，不能简单地"把 \(x\) 换成 \(g^{-1}(y)\)"，还要乘 \(|dg^{-1}/dy|\)。原因是变换会把区间拉伸或压缩，密度（单位长度上的概率）必须相应调整。对数正态价格密度里那个 \(1/y\) 就是这么来的。第 06b 章多元变换时，这个导数会变成雅可比行列式。
• 风险率与生存函数。 信用风险里的"违约强度"、生存概率 \(e^{-\int\lambda}\)，本章用导数和积分把它们讲清楚。

需要先想起来的数学。

• 定积分与微积分基本定理。 \(\int_a^bf(x)\,dx\) 是曲线下面积；若 \(F'=f\)，则 \(\int_a^bf=F(b)-F(a)\)。常用原函数：\(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\)，\(\int e^{-\lambda x}dx=-\frac1\lambda e^{-\lambda x}\)，\(\int\frac1x dx=\ln x\)。例：\(\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0^1=1\)。见 第 00 册第 03 章 积分。
• 反常积分。 积分区间无穷时，\(\int_0^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_0^bf\)。例：\(\int_0^\infty\lambda e^{-\lambda x}dx=\lim_b(1-e^{-\lambda b})=1\)。连续复利贴现 \(\int_0^\infty e^{-rt}dt=1/r\)（永续年金）是同一回事。
• 分部积分与换元。 分部积分 \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\)，用于求指数、正态的矩；换元 \(x=g(y)\) 时 \(dx=g'(y)dy\)，用于标准化与变换公式。
• 导数与链式法则。 \((e^{u(x)})'=e^{u}u'\)，\((\ln u(x))'=u'/u\)，\(\frac{d}{dy}F(h(y))=f(h(y))h'(y)\)。风险率公式和变换公式都靠链式法则。见 第 00 册第 02 章 导数与泰勒展开。
• 二重积分、交换积分次序与极坐标。 尾积分公式要交换积分次序；正态归一化用极坐标，其中 \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\) 里的 \(r\) 就是极坐标变换的雅可比行列式。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。

怎么读这一章。 5.1、5.2（密度、期望、LOTUS）是地基，必须读懂。5.4 正态分布全节必读，例 4f（VaR）和例 4j（样本量）对量化最重要。5.5 指数分布与风险率必读，(5.4) 式是信用风险强度模型的核心。5.7 的单调变换公式与对数正态必读，它是第 06b 章雅可比方法的一维版本。可以先只看结论：正态归一化的极坐标证明、指数分布唯一性的证明、5.6 中 Weibull 和柯西分布、例 3d（Bertrand 悖论）。

5.1 密度函数

有些随机变量的取值是不可数的，比如火车到站时间、晶体管寿命。

定义 若存在定义在整个实轴上的非负函数 \(f\)，使得对任意（可测）实数集 \(B\)，

则称 \(X\) 为连续型随机变量（continuous random variable），\(f\) 为其概率密度函数（probability density function, PDF）。

由定义可得：

• 归一：\(\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1\)；
• 区间概率：\(P\{a\le X\le b\}=\int_a^bf(x)dx\)，即密度曲线下的面积；
• 令 \(a=b\) 得 \(P\{X=a\}=0\)。连续随机变量取任何固定值的概率都是 0，所以 \(P\{X<a\}=P\{X\le a\}=F(a)=\int_{-\infty}^af(x)dx\)。

CDF 与密度的关系：\(F(a)=\int_{-\infty}^af(x)dx\)，求导得 \(F'(a)=f(a)\)——密度是 CDF 的导数。若 \(f\) 在 \(a\) 处连续，

\(f(a)\) 衡量 \(X\) 落在 \(a\) 附近的可能性大小。它本身不是概率，可以大于 1。

白话解释：密度是"每单位长度上的概率"，像人口密度是"每平方公里的人数"。一个点上的人数是 0，但一块区域的人数 = 密度 × 面积。日收益率的标准差约 1%，正态密度峰值是 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times0.01}\approx40\)，远大于 1，但它的含义是"收益落在 0 附近宽 0.1%（0.001）的区间里的概率约为 \(40\times0.001=4\%\)"。密度的数值依赖于单位：把收益从小数改成百分数，密度会缩小 100 倍，而概率不变。

例 1a \(f(x)=C(4x-2x^2)\)，\(0<x<2\)。由 \(C[2x^2-2x^3/3]_0^2=1\) 得 \(C=3/8\)；\(P\{X>1\}=\frac38\int_1^2(4x-2x^2)dx=\frac12\)。

例 1b（计算机寿命） \(f(x)=\lambda e^{-x/100}\)，\(x\ge0\)，归一化得 \(\lambda=1/100\)。\(P\{50<X<150\}=e^{-1/2}-e^{-3/2}\approx.383\)，\(P\{X<100\}=1-e^{-1}\approx.632\)。

例 1c（电子管） \(f(x)=100/x^2\)，\(x>100\)。一只管在 150 小时内需更换的概率为 \(100\int_{100}^{150}x^{-2}dx=1/3\)；5 只中恰好 2 只需更换：\(\binom52(1/3)^2(2/3)^3=80/243\)。

例 1d（\(Y=2X\) 的密度） CDF 法：\(F_Y(a)=P\{2X\le a\}=F_X(a/2)\)，求导得 \(f_Y(a)=\frac12f_X(a/2)\)。也可以用微元法：\(\varepsilon f_Y(a)\approx P\{a/2-\varepsilon/4\le X\le a/2+\varepsilon/4\}\approx\frac\varepsilon2f_X(a/2)\)。

5.2 期望与方差

由 \(f(x)dx\approx P\{x\le X\le x+dx\}\)，自然地定义

白话解释：把实轴切成宽度 \(\Delta x\) 的小格，第 \(k\) 格中点为 \(x_k\)。\(X\) 落在这一格的概率约为 \(f(x_k)\Delta x\)，于是可以把 \(X\) 近似成一个离散变量，取值 \(x_k\)、概率 \(f(x_k)\Delta x\)。按第 04a 章离散期望的定义，\(E[X]\approx\sum_kx_kf(x_k)\Delta x\)。格子越切越细，这个和就趋于积分 \(\int xf(x)\,dx\)。所以积分定义不是新概念，只是"概率加权平均"在格子无限细时的极限。CFA 里你只对离散情景算过期望，连续分布的均值是直接给出的；这里就是它们背后的计算。 一个提醒：积分要收敛，期望才存在。5.6 节的柯西分布就是 \(\int|x|f(x)dx=\infty\) 的例子，此时"平均值"没有定义。 \(f(x)=2x\)（\(0\le x\le1\)），\(E[X]=\int_0^12x^2dx=2/3\)。

例 2b \(X\sim U(0,1)\)，求 \(E[e^X]\)。先求 \(Y=e^X\) 的分布：\(1\le x\le e\) 时 \(F_Y(x)=P\{X\le\ln x\}=\ln x\)，\(f_Y(x)=1/x\)，\(E[Y]=\int_1^ex\cdot\frac1xdx=e-1\)。

命题 2.1（连续版 LOTUS） \(E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx\)。例 2b 可直接算 \(\int_0^1e^xdx=e-1\)。

引理 2.1（尾积分公式） 对非负随机变量 \(Y\)，

证明（连续情形）：\(\int_0^\infty P\{Y>y\}dy=\int_0^\infty\int_y^\infty f_Y(x)dx\,dy\)，交换积分次序得 \(\int_0^\infty\Big(\int_0^xdy\Big)f_Y(x)dx=\int_0^\infty xf_Y(x)dx\)。

推导拆解：

1. 第一个等号：\(P\{Y>y\}=\int_y^\infty f_Y(x)dx\)，即密度在 \(y\) 右边的面积。
2. 交换次序：二重积分的积分区域是平面上 \(\{(x,y):0\le y\le x\}\) 这个三角形（\(y\) 从 0 到 \(\infty\)，对每个 \(y\)，\(x\) 从 \(y\) 到 \(\infty\)）。换一种扫法：先固定 \(x\)（从 0 到 \(\infty\)），\(y\) 就从 0 到 \(x\)。被积函数 \(f_Y(x)\) 非负，所以交换次序合法。
3. 内层 \(\int_0^xdy=x\)，于是得到 \(\int_0^\infty xf_Y(x)dx=E[Y]\)。 离散版是第 04a 章练习 3 的 \(E[N]=\sum_{i\ge1}P\{N\ge i\}\)。 金融直觉：保险里"止损再保险"的纯保费 \(E[(L-d)^+]=\int_d^\infty P\{L>y\}dy\) 就是这个公式的直接应用：只需生存函数（超越概率曲线），不需要密度。

用它可以证明 LOTUS（\(g\ge0\) 时）：

例 2c（断棍） 长为 1 的棍子在 \(U\sim U(0,1)\) 处折断，求包含点 \(p\) 的那一段的期望长度。\(U<p\) 时那段长 \(1-U\)，\(U>p\) 时长 \(U\)，

例 2d（出发时间：分位数决策） 早到 \(s\) 分钟的成本为 \(cs\)，迟到 \(s\) 分钟的成本为 \(ks\)，路程时间 \(X\) 的密度为 \(f\)。提前 \(t\) 分钟出发，成本为

推导拆解：\(E[C_t(X)]=\int_0^tc(t-x)f(x)dx+\int_t^\infty k(x-t)f(x)dx\)。对 \(t\) 求导时，\(t\) 既出现在积分上下限，又出现在被积函数里。上下限处的被积函数值 \(c(t-t)f(t)\) 和 \(k(t-t)f(t)\) 都是 0，所以只剩对被积函数求导：第一项得 \(\int_0^tcf(x)dx=cF(t)\)，第二项得 \(\int_t^\infty(-k)f(x)dx=-k[1-F(t)]\)。相加即 \((k+c)F(t)-k\)。 直观读法同报童问题：多提前一分钟出发，以概率 \(F(t)\) 本来就会早到，多付 \(c\)；以概率 \(1-F(t)\) 本来会迟到，少付 \(k\)。边际成本为零处即最优。 这是第 04a 章报童问题的连续版本：在非对称线性损失下，最优决策是分位数。统计学里分位数回归的 pinball loss 就是这个结构；若损失对称（\(k=c\)），最优决策是中位数（原书习题 5.31：\(E|X-a|\) 在 \(a\) 为中位数时最小）。

方差的定义对任何类型的随机变量都相同：\(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-(E[X])^2\)，且 \(E[aX+b]=aE[X]+b\)，\(\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)\)。

例 2e 例 2a 中 \(E[X^2]=\int_0^12x^3dx=1/2\)，\(\mathrm{Var}(X)=1/2-4/9=1/18\)。

5.3 均匀分布

\((0,1)\) 上的均匀分布（uniform distribution）：\(f(x)=1\)（\(0<x<1\)），对 \(0<a<b<1\) 有 \(P\{a\le X\le b\}=b-a\)，概率等于子区间长度。一般 \((\alpha,\beta)\) 上：

例 3a \(E[X]=\frac{\alpha+\beta}2\)，\(E[X^2]=\frac{\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2}3\)，

例 3b \(X\sim U(0,10)\)：\(P\{X<3\}=3/10\)，\(P\{X>6\}=4/10\)，\(P\{3<X<8\}=1/2\)。

例 3c（等车） 7:00 起每 15 分钟一班车，乘客到达时间在 7:00–7:30 均匀分布。等待少于 5 分钟需在 (10,15) 或 (25,30) 到达，概率 1/3；等待超过 10 分钟需在 (0,5) 或 (15,20) 到达，概率也是 1/3。

例 3d（Bertrand 悖论） 在圆内"随机"取一条弦，它比内接正三角形的边长更长的概率是多少？若"随机"指弦到圆心的距离 \(D\sim U(0,r)\)，条件为 \(D<r/2\)，答案 1/2；若"随机"指弦与过一端点切线的夹角 \(\theta\sim U(0°,180°)\)，条件为 \(60°<\theta<120°\)，答案 1/3。两种都可以由实际实验实现。**教训："随机"必须指明概率模型。**量化里，"随机组合""随机进场"同样必须说明是怎么随机的。

5.4 正态分布

定义与基本性质

参数为 \(\mu,\sigma^2\) 的**正态（normal）**随机变量，密度为

钟形、关于 \(\mu\) 对称，拐点在 \(\mu\pm\sigma\)；标准正态的峰值约为 0.399。De Moivre 在 1733 年为近似大 \(n\) 的二项概率而引入它，后来 Laplace 等人推广为中心极限定理（第 08 章）——这解释了为什么测量误差、身高等许多量近似正态。

归一化（极坐标技巧） 令 \(y=(x-\mu)/\sigma\)，只需证 \(I=\int e^{-y^2/2}dy=\sqrt{2\pi}\)。

推导拆解：\(e^{-y^2/2}\) 没有初等原函数，所以直接算 \(I\) 不行，要绕道算 \(I^2\)。

1. \(I^2=I\cdot I\)，把两个 \(I\) 的积分变量分别叫 \(x\) 和 \(y\)，乘积写成二重积分，指数相加得 \(e^{-(x^2+y^2)/2}\)。
2. 换成极坐标 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)：\(x^2+y^2=r^2\)，而面积元 \(dx\,dy\) 变成 \(r\,dr\,d\theta\)。多出来的 \(r\) 是这个变换的雅可比行列式：离原点越远，同样的 \(dr\)、\(d\theta\) 围出的小块面积越大（周长与 \(r\) 成正比）。第 06b 章会系统讲它。
3. 正是这个 \(r\) 让积分可做：\(\int_0^\infty e^{-r^2/2}r\,dr\)，令 \(u=r^2/2\)，\(du=r\,dr\)，得 \(\int_0^\infty e^{-u}du=1\)。再对 \(\theta\) 积分得 \(2\pi\)。
4. \(I^2=2\pi\)，\(I>0\)，所以 \(I=\sqrt{2\pi}\)。这就是正态密度里 \(\frac1{\sqrt{2\pi}}\) 的来源。

线性变换封闭 若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(Y=aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)。证明（\(a>0\)）：\(F_Y(x)=F_X((x-b)/a)\)，求导即得 \(N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\) 的密度。特别地

称为标准正态（standard normal）。

例 4a（均值与方差） \(E[Z]=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int xe^{-x^2/2}dx=0\)（奇函数）；分部积分（\(u=x\)，\(dv=xe^{-x^2/2}dx\)）得 \(\mathrm{Var}(Z)=E[Z^2]=1\)。由 \(X=\mu+\sigma Z\)，\(E[X]=\mu\)，\(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2\)：正态分布的两个参数就是均值和方差。

标准正态 CDF

原书表 5.1 给出了 \(x=0.00\)–\(3.49\) 的 \(\Phi(x)\)。几个常用值：\(\Phi(1)=.8413\)，\(\Phi(1.5)=.9332\)，\(\Phi(1.645)\approx.95\)，\(\Phi(1.96)=.9750\)，\(\Phi(2)=.9772\)，\(\Phi(2.33)\approx.99\)，\(\Phi(2.5)=.9938\)，\(\Phi(3)=.9987\)。由对称性

一般正态：\(F_X(a)=\Phi\big(\frac{a-\mu}{\sigma}\big)\)。

例 4b \(\mu=3,\sigma^2=9\)：(a) \(P\{2<X<5\}=\Phi(2/3)-\Phi(-1/3)=\Phi(2/3)-[1-\Phi(1/3)]\approx.3779\)；(b) \(P\{X>0\}=P\{Z>-1\}=\Phi(1)\approx.8413\)；(c) \(P\{|X-3|>6\}=P\{|Z|>2\}=2[1-\Phi(2)]\approx.0456\)。

例 4c（按曲线打分） 高于 \(\mu+\sigma\) 得 A（约 16%），\((\mu,\mu+\sigma)\) 得 B（约 34%），\((\mu-\sigma,\mu)\) 得 C（约 34%），\((\mu-2\sigma,\mu-\sigma)\) 得 D（约 14%），低于 \(\mu-2\sigma\) 得 F（约 2%）。也就是熟知的"68–95–99.7 规则"：\(\pm1\sigma\) 内约 68%，\(\pm2\sigma\) 内约 95%，\(\pm3\sigma\) 内约 99.7%。

例 4d（亲子鉴定） 孕期 \(\sim N(270,100)\)（天）。被告在孩子出生前 290 天到 240 天之间不在国内；若他是父亲，孕期须 \(>290\) 或 \(<240\)，概率 \(1-\Phi(2)+1-\Phi(3)\approx.0241\)。

例 4e（二进制信道） 发送 1 时送出信号 \(+2\)，发送 0 时送出 \(-2\)，接收到 \(R=x+N\)，噪声 \(N\sim N(0,1)\)；规则：\(R\ge.5\) 判为 1。\(P\{\text{错}\mid1\}=P\{N<-1.5\}=1-\Phi(1.5)\approx.0668\)；\(P\{\text{错}\mid0\}=P\{N\ge2.5\}=1-\Phi(2.5)\approx.0062\)。阈值不对称导致两类错误率不同——第 03 册假设检验的两类错误就是这个结构。

风险价值（VaR）

例 4f（Value at Risk） 一项投资的 99% **风险价值（VaR）**定义为这样的 \(v\)：损失超过 \(v\) 的概率只有 1%。若收益 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，损失 \(-X\sim N(-\mu,\sigma^2)\)，

因此在收益正态的投资中，VaR 最小的是 \(\mu-2.33\sigma\) 最大的那个。这是参数法 VaR 的原型；本章量化实战会说明厚尾时它为什么会低估风险。

二项分布的正态近似

DeMoivre–Laplace 极限定理 \(S_n\) 为 \(n\) 次独立试验（成功概率 \(p\)）的成功数，则对任意 \(a<b\)，当 \(n\to\infty\) 时

De Moivre 在 1733 年证明了 \(p=1/2\) 的情形，Laplace 在 1812 年推广到一般 \(p\)。它是中心极限定理的特例，这里不证。

两种近似的分工：泊松近似适合 \(n\) 大、\(p\) 小；正态近似在 \(np(1-p)\) 较大时好，经验上 \(np(1-p)\ge10\) 即可。

连续性修正（continuity correction）：二项只取整数，用连续分布近似时把 \(P\{X=i\}\) 写成 \(P\{i-1/2<X<i+1/2\}\)。

例 4g 公平硬币抛 40 次，\(P\{X=20\}\)：正态近似 \(P\{19.5<X<20.5\}=\Phi(.16)-\Phi(-.16)\approx.1272\)；精确值 \(\binom{40}{20}2^{-40}\approx.1254\)。

例 4h（超额录取） 理想规模 150 人，录取 450 人，每人到校概率 .3 且独立。\(P\{X\ge150.5\}\approx1-\Phi\big(\frac{150.5-135}{\sqrt{450\cdot.3\cdot.7}}\big)=1-\Phi(1.59)\approx.0559\)。

例 4i（饮食实验：第一类错误） 100 人试新饮食，至少 65 人胆固醇降低才背书。若饮食无效，每人降低的概率为 1/2，\(P\{X\ge64.5\}=P\{Z\ge\frac{64.5-50}{5}=2.9\}\approx.0019\)。这就是假设检验中"无效却被判有效"的概率。

例 4j（抽样民调：样本量） 纽约市 52% 的居民赞成某提案，随机抽 \(n\) 人，样本中赞成者过半的概率是多少？总体远大于样本，近似为 \(\mathrm{Bin}(n,.52)\)，再用正态近似：

\(n=11\) 时 \(\Phi(.1328)=.5528\)；\(n=101\) 时 \(\Phi(.4020)=.6562\)；\(n=1001\) 时 \(\Phi(1.2665)=.8973\)。要使这个概率至少为 .95，需要 \(.04\sqrt n>1.645\)，即 \(n\ge1692\)。

推导拆解：\(S_n\) 均值 \(.52n\)，标准差 \(\sqrt{n\cdot.52\cdot.48}\approx.4996\sqrt n\)。标准化：

\[P\{S_n>.5n\}=P\Big\{\frac{S_n-.52n}{.4996\sqrt n}>\frac{.5n-.52n}{.4996\sqrt n}\Big\}\approx P\{Z>-.04\sqrt n\}=\Phi(.04\sqrt n).\]

中间一步：\(\frac{-.02n}{.4996\sqrt n}=-.04\sqrt n\)（\(n/\sqrt n=\sqrt n\)，\(.02/.4996\approx.04\)）；最后一步用对称性 (4.1)。 样本量公式的一般形式：优势 \(\delta=p-0.5\)，要求 \(\frac{\delta\sqrt n}{\sigma}\ge z\)，即 \(n\ge(z\sigma/\delta)^2\)。\(\delta\) 在分母上取平方，这就是"样本量与优势的平方成反比"。它和 CFA 里"标准误 \(=\sigma/\sqrt n\)"是同一件事：要让标准误小到能分辨 \(\delta\)，\(\sqrt n\) 必须与 \(1/\delta\) 同阶。

这个例子对量化极其重要。把"赞成率 52%"换成"策略胜率 52%"，结论是：要以 95% 的把握在样本中看到胜率过半，大约需要 1700 笔交易。所需样本量与优势的平方成反比：优势减半，样本量要乘 4。

5.5 指数分布与风险率

定义与无记忆性

参数 \(\lambda>0\) 的指数分布（exponential distribution）：

例 5a（矩） 分部积分得递推 \(E[X^n]=\frac n\lambda E[X^{n-1}]\)，所以 \(E[X]=1/\lambda\)，\(E[X^2]=2/\lambda^2\)，

均值是参数的倒数，标准差等于均值。指数分布常用来描述"到某事件发生的等待时间"，理论依据是第 04b 章的泊松过程：\(P\{X>t\}=P\{N(t)=0\}=e^{-\lambda t}\)。

例 5b 通话时长 \(\sim\) Exp(1/10)（分钟），前面有人刚开始打电话。你等待超过 10 分钟的概率为 \(e^{-1}\approx.368\)，等待 10–20 分钟的概率为 \(e^{-1}-e^{-2}\approx.233\)。

无记忆性（memoryless） 非负随机变量 \(X\) 若满足

等价于 \(P\{X>s+t\}=P\{X>s\}P\{X>t\}\)，就称它无记忆。指数分布满足这一点：\(e^{-\lambda(s+t)}=e^{-\lambda s}e^{-\lambda t}\)。含义：已经用了 \(t\) 小时的仪器，剩余寿命的分布与新仪器相同。

例 5c（邮局） 两名职员分别在服务 Jones 和 Brown，Smith 在任一人离开后开始接受服务；服务时间都是 Exp(\(\lambda\))。Smith 最后离开的概率是多少？Smith 开始接受服务时，另一人的剩余服务时间由无记忆性仍是 Exp(\(\lambda\))，与 Smith 对称，所以答案是 1/2。

唯一性 指数分布是唯一的无记忆连续分布。令 \(\bar F(x)=P\{X>x\}\)，无记忆性即 \(\bar F(s+t)=\bar F(s)\bar F(t)\)。由 \(g(m/n)=g(1/n)^m\)、\(g(1)=g(1/n)^n\) 得 \(g(m/n)=g(1)^{m/n}\)，再由右连续性 \(g(x)=g(1)^x=e^{-\lambda x}\)，\(\lambda=-\log g(1)\)。

例 5d（电池） 电池寿命服从均值 1 万英里的指数分布，5000 英里的旅程中不必换电池的概率是 \(e^{-1/2}\approx.607\)，与电池已经用了多久无关。若寿命不是指数分布，则需要 \(\frac{1-F(t+5)}{1-F(t)}\)，必须知道已用里程 \(t\)。

Laplace 分布（双指数分布） 正负等可能、绝对值服从 Exp(\(\lambda\))：

例 5e 把例 4e 的信道噪声换成 Laplace(1)：\(P\{\text{错}\mid1\}=\frac12e^{-1.5}\approx.1116\)，\(P\{\text{错}\mid0\}=\frac12e^{-2.5}\approx.041\)，都比正态噪声大得多——这就是厚尾的后果。日收益率的分布通常比正态更接近 Laplace 或 t 分布。

风险率函数

对取正值的连续寿命 \(X\)，**风险率（hazard rate）或失效率（failure rate）**定义为

解释：

• 指数分布 \(\lambda(t)=\lambda e^{-\lambda t}/e^{-\lambda t}=\lambda\) 为常数，与无记忆性一致，所以 \(\lambda\) 称为速率（rate）。
• 风险率唯一确定分布：\(\lambda(t)=\frac{F'(t)}{1-F(t)}=-\frac{d}{dt}\log(1-F(t))\)，积分得

推导拆解：

1. \(\frac{d}{dt}\log(1-F(t))=\frac{-F'(t)}{1-F(t)}\)：对数函数的链式法则 \((\log u)'=u'/u\)，这里 \(u=1-F\)，\(u'=-f\)。所以 \(\lambda(t)=-\frac{d}{dt}\log\bar F(t)\)。
2. 两边从 0 到 \(t\) 积分：\(\int_0^t\lambda(s)ds=-[\log\bar F(t)-\log\bar F(0)]\)。寿命取正值，\(\bar F(0)=1\)，\(\log1=0\)。
3. 于是 \(\log\bar F(t)=-\int_0^t\lambda(s)ds\)，两边取指数即 (5.4)。 金融直觉：这和利率完全对应。瞬时远期利率 \(f(s)\) 与贴现因子 \(P(0,t)=\exp\{-\int_0^tf(s)ds\}\) 的关系，正是风险率与生存概率的关系。所以信用曲线可以像利率曲线一样搭建：生存概率是"信用贴现因子"，违约强度是"信用远期利率"，常数强度对应水平的收益率曲线。

• 线性风险率 \(\lambda(t)=a+bt\)：\(F(t)=1-e^{-at-bt^2/2}\)；\(a=0\) 时为 Rayleigh 分布。

例 5f（"吸烟者死亡率是不吸烟者的两倍"） 这句话的意思是 \(\lambda_s(t)=2\lambda_n(t)\)。\(A\) 岁的不吸烟者活到 \(B\) 岁的概率为 \(\exp\{-\int_A^B\lambda_n(t)dt\}\)，吸烟者为 \(\exp\{-2\int_A^B\lambda_n\}\)——是平方，而不是一半。例：\(\lambda_n(t)=1/30\)（\(50\le t\le60\)），50 岁不吸烟者活到 60 的概率为 \(e^{-1/3}\approx.7165\)，吸烟者为 \(e^{-2/3}\approx.5134\)。

量化联系：信用风险的约化型（强度）模型就是把违约时间的风险率称为违约强度，生存概率由 (5.4) 给出。"违约强度加倍"意味着生存概率平方，而不是违约概率加倍。

5.6 其他连续分布

伽马分布

参数 \((\alpha,\lambda)\) 的伽马分布（gamma distribution）：

分部积分得 \(\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)\)，又 \(\Gamma(1)=1\)，所以整数 \(n\) 时 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)。

与泊松过程的联系 速率为 \(\lambda\) 的泊松过程中，第 \(n\) 个事件的发生时刻 \(T_n\) 满足 \(\{T_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}\)，

求导时相邻项相消，得 \(f(t)=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}\)，即 Gamma(\(n,\lambda\))，也叫 \(n\)-Erlang 分布；\(n=1\) 就是指数分布。

推导拆解：对第 \(j\) 项 \(e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^j}{j!}\) 用乘积法则求导，得两部分：\(-\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^j}{j!}\) 和 \(\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{j-1}}{(j-1)!}\)。把 \(j=n,n+1,\dots\) 的结果排开，第 \(j\) 项的负部分与第 \(j+1\) 项的正部分完全相同，一正一负抵消。最后只剩第 \(n\) 项的正部分 \(\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}\)。 第一个等式 \(\{T_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}\) 的意思是：第 \(n\) 个事件在 \(t\) 之前发生，等价于到 \(t\) 为止至少发生了 \(n\) 个。"等待时间"和"计数"之间的这种互换是处理到达过程的常用手法。

\(\lambda=1/2\)、\(\alpha=n/2\) 的伽马分布叫自由度为 \(n\) 的卡方分布 \(\chi^2_n\)（chi-squared），第 06a 章会证明它是 \(n\) 个独立标准正态的平方和。

例 6a \(E[X]=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\lambda\Gamma(\alpha)}=\frac\alpha\lambda\)，\(\mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}\)。

Weibull 分布

工程中广泛使用，最初用于材料疲劳数据。它适合"最弱环节（weakest link）"模型：由许多部件组成、任一部件失效即整体失效的物体寿命。CDF 为

\(\beta=1\) 时退化为平移的指数分布；\(\beta>1\) 时风险率递增，\(\beta<1\) 时风险率递减。

柯西分布

参数 \(\theta\) 的柯西分布（Cauchy distribution）：\(f(x)=\frac1\pi\frac1{1+(x-\theta)^2}\)。

例 6b（旋转手电筒） 手电筒中心距 \(x\) 轴 1 个单位，随机旋转后光束与 \(x\) 轴的交点 \(X=\tan\theta\)，\(\theta\sim U(-\pi/2,\pi/2)\)。\(F(x)=P\{\theta\le\tan^{-1}x\}=\frac12+\frac1\pi\tan^{-1}x\)，\(f(x)=\frac1{\pi(1+x^2)}\)，即标准柯西分布。它的均值不存在，是厚尾的极端例子：样本均值不会收敛，"平均"失去意义。

贝塔分布

（最后一个等式在第 06b 章例 7c 证明。）**贝塔分布（beta distribution）**用于建模取值在有限区间内的随机现象。\(a=b\) 时关于 1/2 对称，\(a\) 越大越集中；\(a=b=1\) 时就是 \(U(0,1)\)；\(b>a\) 时偏向小值。

在量化里，贝塔分布常用来描述胜率、违约回收率等 \([0,1]\) 上的量，也是胜率的贝叶斯先验（第 06b 章）。

5.7 随机变量函数的分布

基本方法：把 \(\{g(X)\le y\}\) 写成 \(X\) 属于某个集合的事件，先求 CDF，再求导。

• 例 7a \(X\sim U(0,1)\)，\(Y=X^n\)：\(F_Y(y)=P\{X\le y^{1/n}\}=y^{1/n}\)，\(f_Y(y)=\frac1ny^{1/n-1}\)（\(0\le y\le1\)）。
• 例 7b \(Y=X^2\)：\(F_Y(y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)\)，\(f_Y(y)=\frac1{2\sqrt y}[f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)]\)（\(y\ge0\)）。
• 例 7c \(Y=|X|\)：\(f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y)\)（\(y\ge0\)）。

定理 7.1（单调变换的密度公式） \(X\) 有密度 \(f_X\)，\(g\) 严格单调且可微，则 \(Y=g(X)\) 的密度为

\(y\) 不在 \(g\) 的值域中时 \(f_Y(y)=0\)。证明（\(g\) 递增）：\(F_Y(y)=P\{X\le g^{-1}(y)\}=F_X(g^{-1}(y))\)，求导即得；\(g\) 递减时多一个负号，所以取绝对值。

推导拆解：

1. 递增情形：\(g(X)\le y\) 等价于 \(X\le g^{-1}(y)\)（递增函数保持大小顺序）。对 \(F_X(g^{-1}(y))\) 用链式法则求导：外层导数 \(f_X(g^{-1}(y))\)，乘内层导数 \(\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\)，后者为正。
2. 递减情形：\(g(X)\le y\) 等价于 \(X\ge g^{-1}(y)\)（递减函数颠倒顺序），\(F_Y(y)=1-F_X(g^{-1}(y))\)，求导得 \(-f_X(g^{-1}(y))\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\)，而此时 \(\frac{d}{dy}g^{-1}<0\)，负负得正。两种情形合起来就是取绝对值。
3. 为什么要乘导数：概率守恒。\(X\) 落在 \([x,x+dx]\) 与 \(Y\) 落在 \([y,y+dy]\) 是同一个事件，所以 \(f_Y(y)|dy|=f_X(x)|dx|\)，即 \(f_Y(y)=f_X(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|\)。变换把区间拉长了，密度就要按同样比例摊薄。 例：\(Y=2X\)（例 1d），区间被拉长 2 倍，\(\frac{dx}{dy}=\frac12\)，所以 \(f_Y(y)=\frac12f_X(y/2)\)。 这个 \(|dx/dy|\) 是一维的"雅可比因子"。多元变换时，小区间变成小平行四边形（或高维小块），伸缩比例由雅可比矩阵的行列式给出，这正是第 06b 章的内容。

例 7e（对数正态分布） \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(Y=e^X\) 称为参数 \((\mu,\sigma^2)\) 的对数正态（lognormal）随机变量，即 \(\log Y\) 是正态的。原书指出，它常用于描述证券相邻两日的价格比 \(S_n/S_{n-1}\)：假设价格比是对数正态，等价于对数收益 \(X=\log(S_n/S_{n-1})\) 是正态，\(S_n=S_{n-1}e^X\)。由 \(g^{-1}(y)=\log y\)，\(\frac{d}{dy}g^{-1}=1/y\)，

对数正态价格永远为正，对数收益可以按时间相加（第 06a 章例 3d），这正是几何布朗运动和 Black–Scholes 模型（第 08 册）的基础假设。

概率积分变换（probability integral transform）（原书理论练习 5.29）：若 \(X\) 是连续随机变量、CDF 为 \(F\)，则 \(F(X)\sim U(0,1)\)。反过来，若 \(U\sim U(0,1)\)，则 \(F^{-1}(U)\) 的 CDF 就是 \(F\)。这是逆变换法生成任意分布随机数的依据，也是 copula 建模和"检验预测分布是否校准"（PIT 检验）的基础。

推导拆解：设 \(F\) 连续且严格递增（因此有反函数），\(0<u<1\)。

1. \(P\{F(X)\le u\}=P\{X\le F^{-1}(u)\}\)：两边同时作用递增函数 \(F^{-1}\)，不等号方向不变。
2. \(=F(F^{-1}(u))=u\)。CDF 等于 \(u\) 正是 \(U(0,1)\) 的 CDF。
3. 反方向：\(P\{F^{-1}(U)\le x\}=P\{U\le F(x)\}=F(x)\)。 直观：\(F(X)\) 是"\(X\) 在自己分布中的分位排名"。任何分布下，排名落在前 10% 的概率都是 10%，所以排名是均匀的。PIT 检验就是把每天的实际收益代入前一天预测的 CDF，如果预测分布正确，这些"排名"应当均匀分布；若太多落在 0 或 1 附近，说明模型低估了尾部。

量化实战

1. 正态 VaR 与厚尾

日收益均值 0.05%、标准差 2%。按例 4f，正态假设下 99% VaR \(=2.33\sigma-\mu\)。若真实分布是同均值、同标准差的 Laplace 或自由度为 4 的 t 分布，99% VaR 增大约 15%–20%，99.9% VaR 增大 40%–65%，"单日跌幅超过 6%"（3 个标准差）的概率是正态假设下的 5 倍多。这就是正态 VaR 低估尾部风险的原因。

2. 看涨型期望：期权定价的核心积分

原书自测题 5.20 求出 \(E[(Z-c)^+]=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-c^2/2}-c(1-\Phi(c))\)。若到期价格 \(X=S_0+\sigma Z\)（Bachelier 模型），行权价 \(K\)，令 \(c=(K-S_0)/\sigma\)，则看涨期权的期望收益为 \(\sigma[\varphi(c)-c(1-\Phi(c))]\)。把正态换成对数正态，同样的积分就给出 Black–Scholes 公式（第 08 册）。

3. 违约强度、生存概率与逆变换抽样

设违约强度 \(\lambda(t)=a+bt\)。由 (5.4)，累计违约概率 \(F(t)=1-e^{-at-bt^2/2}\)。逆变换法：解 \(F(t)=u\) 得 \(t=F^{-1}(u)\)，把均匀随机数代入就得到违约时间样本。

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(5)

# ---------- 1) 参数法 VaR：正态 vs 厚尾（同均值、同标准差） ----------
mu, sigma = 0.0005, 0.02            # 日收益均值与标准差
var_normal = stats.norm.ppf(0.99) * sigma - mu          # Ross 例 4f: VaR = z_.99*sigma - mu
lap = stats.laplace(loc=mu, scale=sigma / np.sqrt(2))   # Laplace 方差 = 2b^2
nu = 4
t4 = stats.t(df=nu, loc=mu, scale=sigma * np.sqrt((nu - 2) / nu))   # t 分布方差 = s^2 nu/(nu-2)
print(f"z_0.99 = {stats.norm.ppf(0.99):.4f}")
for name, dist in (("正态", stats.norm(mu, sigma)), ("Laplace", lap), ("t(4)", t4)):
    for a in (0.99, 0.999):
        v = -dist.ppf(1 - a)
        print(f"{name:8s} {a:.1%} VaR = {v:.4f}", end="   ")
    print(f"P(日跌幅>6%) = {dist.cdf(-0.06):.2e}")
print(f"公式 2.33σ-μ = {2.33*sigma-mu:.4f}, 精确 = {var_normal:.4f}")

# ---------- 2) 正态下的看涨型期望 E[(X-c)^+]（原书自测题 5.20）----------
S0, vol, K = 100.0, 8.0, 104.0      # 到期价格 X ~ N(S0, vol^2)（Bachelier 模型）
c = (K - S0) / vol
formula = vol * (stats.norm.pdf(c) - c * stats.norm.sf(c))   # σ[φ(c) - c(1-Φ(c))]
X = rng.normal(S0, vol, 1_000_000)
print(f"\nE[(X-K)^+]: 公式 {formula:.4f}   蒙特卡洛 {np.maximum(X - K, 0).mean():.4f}")

# ---------- 3) 风险率 -> 违约/生存概率，并用逆变换法抽样 ----------
a, b = 0.01, 0.004                  # 违约强度 λ(t) = a + b t（年）
F = lambda t: 1 - np.exp(-(a * t + b * t**2 / 2))           # (5.4)
def F_inv(u):                       # 解 a t + b t^2/2 = -log(1-u)
    h = -np.log1p(-u)
    return (-a + np.sqrt(a * a + 2 * b * h)) / b
U = rng.random(500_000)             # 概率积分变换：F^{-1}(U) 的分布函数就是 F
tau = F_inv(U)
for T in (1, 5, 10):
    print(f"{T:2d} 年累计违约概率: 公式 {F(T):.4f}   逆变换抽样 {np.mean(tau <= T):.4f}")
# 风险率加倍 => 生存概率平方（例 5f）
S5 = 1 - F(5)
print(f"5 年生存概率 {S5:.4f}; 强度加倍后 {np.exp(-2*(a*5+b*25/2)):.4f} = {S5:.4f}^2 = {S5**2:.4f}")

关键输出：

z_0.99 = 2.3263
正态       99.0% VaR = 0.0460   正态       99.9% VaR = 0.0613   P(日跌幅>6%) = 1.24e-03
Laplace  99.0% VaR = 0.0548   Laplace  99.9% VaR = 0.0874   P(日跌幅>6%) = 6.94e-03
t(4)     99.0% VaR = 0.0525   t(4)     99.9% VaR = 0.1009   P(日跌幅>6%) = 6.43e-03
公式 2.33σ-μ = 0.0461, 精确 = 0.0460

E[(X-K)^+]: 公式 1.5824   蒙特卡洛 1.5874

 1 年累计违约概率: 公式 0.0119   逆变换抽样 0.0121
 5 年累计违约概率: 公式 0.0952   逆变换抽样 0.0957
10 年累计违约概率: 公式 0.2592   逆变换抽样 0.2597
5 年生存概率 0.9048; 强度加倍后 0.8187 = 0.9048^2 = 0.8187

读法：三种分布方差相同，但在 99.9% 处 t(4) 的 VaR 比正态高约 65%，"3σ 暴跌"的概率高 5 倍多。期权型期望的公式与 100 万次模拟只差 0.005，属于蒙特卡洛误差范围（第 08 章的中心极限定理会给出误差的量级）。逆变换抽样得到的违约时间分布与 (5.4) 一致，强度加倍后生存概率恰为原来的平方。

本章小结

连续随机变量由密度描述，单点概率为 0，\(F'=f\)，\(f(a)\varepsilon\) 近似落在 \(a\) 附近长度 \(\varepsilon\) 区间的概率。期望、LOTUS、方差的定义与离散情形平行，非负变量还有尾积分公式。非对称线性损失下的最优决策是分位数。正态分布对线性变换封闭，标准化后查 \(\Phi\) 表，\(\pm1,2,3\sigma\) 内约 68%、95%、99.7%；正态 VaR \(=2.33\sigma-\mu\)；二项在 \(np(1-p)\ge10\) 时可用带连续性修正的正态近似，检验优势所需样本量与优势的平方成反比。指数分布是唯一的无记忆连续分布，风险率为常数，是泊松过程的等待时间；风险率唯一确定分布，强度加倍意味着生存概率平方。伽马（Erlang、卡方）、Weibull、柯西、贝塔各有来历。单调变换公式给出函数的密度，对数正态是股价比的标准模型，概率积分变换是随机数生成和 copula 的基础。

练习

基础

1. \(X\) 的密度为 \(f(x)=cx^2\)（\(0<x<1\)）。求 \(c\)、\(F(x)\)、\(E[X]\)、\(\mathrm{Var}(X)\)。 答案：\(c=3\)，\(F(x)=x^3\)，\(E[X]=3/4\)，\(E[X^2]=3/5\)，\(\mathrm{Var}=3/80\)。
2. 某股票日收益服从 \(N(0.001,0.015^2)\)。求单日下跌超过 3% 的概率，以及 95% 与 99% VaR。 答案：\(P\{X<-0.03\}=\Phi(-2.067)\approx0.0194\)；95% VaR \(=1.645\times0.015-0.001\approx0.0237\)；99% VaR \(\approx2.33\times0.015-0.001\approx0.0340\)。
3. 订单到达间隔服从均值 2 秒的指数分布。已经 5 秒没有新订单，再等超过 3 秒的概率是多少？ 答案：无记忆性，\(e^{-3/2}\approx0.223\)。
4. 抛公平硬币 100 次，用带连续性修正的正态近似求正面不少于 60 次的概率。 答案：\(P\{Z\ge(59.5-50)/5=1.9\}\approx0.0287\)。
5. 证明 \(X\sim U(0,1)\) 时 \(-\frac1\lambda\log U\) 服从 Exp(\(\lambda\))。 提示：\(P\{-\frac1\lambda\log U\le x\}=P\{U\ge e^{-\lambda x}\}=1-e^{-\lambda x}\)；这就是逆变换法。

进阶

6. 一个策略真实胜率为 51%，盈亏金额对称。要以 95% 的把握使样本胜率高于 50%，大约需要多少笔交易？若真实胜率为 53% 呢？ 答案：仿例 4j，\(\frac{0.01\sqrt n}{\sqrt{0.51\times0.49}}\ge1.645\)，\(n\approx6760\)；胜率 53% 时 \(n\approx750\)。优势变 3 倍，样本量约降为 1/9。
7. 某公司债的违约强度为常数 \(\lambda=0.02\)/年。求 5 年内违约的概率；若信用评级下调使强度变为 0.05，5 年生存概率变为原来的多少倍？ 答案：\(1-e^{-0.1}\approx0.0952\)；生存概率从 \(e^{-0.1}\) 变为 \(e^{-0.25}\)，为原来的 \(e^{-0.15}\approx0.861\) 倍。
8. 证明对任意连续随机变量，\(E|X-a|\) 在 \(a\) 取中位数时最小。（原书习题 5.31） 提示：对 \(a\) 求导得 \(2F(a)-1\)，或套用例 2d 的结果（\(k=c\)）。
9. 设对数收益 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，价格比 \(Y=e^X\)。用 LOTUS 证明 \(E[Y]=e^{\mu+\sigma^2/2}\)，并说明为什么"对数收益期望为 0"不等于"价格期望不变"。 提示：对 \(e^x\) 乘正态密度配方。\(\mu=0\) 时 \(E[Y]=e^{\sigma^2/2}>1\)。
10. 证明 Stein 恒等式：若 \(Z\sim N(0,1)\)，则 \(E[g'(Z)]=E[Zg(Z)]\)，并由此得到 \(E[Z^4]=3\)。（原书理论练习 5.11） 提示：分部积分，利用 \(\varphi'(z)=-z\varphi(z)\)；取 \(g(z)=z^3\)。\(E[Z^4]=3\) 是度量收益峰度（厚尾程度）的基准。

原书推荐习题：Problems 5.9（连续报童临界分位数）、5.17–5.19（由分位数反推正态参数）、5.26、5.27（硬币是否有偏）、5.29（二叉树股价的正态近似）、5.31（\(E|X-a|\) 与中位数）、5.35、5.36（由风险率求生存概率）；Theoretical Exercises 5.5（\(E[X^n]\) 的尾积分）、5.8（有界变量方差上界）、5.11（Stein 恒等式）、5.29（概率积分变换）；Self-Test 5.18（指数混合的剩余寿命）、5.20（\(E[(Z-c)^+]\)）。

原书对照

（书内页码 = PDF 页码 − 13。）