第 04b 章 合同、惯性与同时对角化

对应原书：Horn & Johnson《Matrix Analysis》第 2 版，第 4 章 Hermitian Matrices, Symmetric Matrices, and Congruences 的 4.4–4.6 节（书 p.260–311，PDF p.280–331）。第 4 章前半（Rayleigh 商、Weyl 不等式、交错、优超）见第 04a 章。

第 04a 章研究的是"加一个矩阵"对特征值的影响。本章研究另一种变换：变量替换。组合权重换一组基、收益做线性变换、从相关矩阵换到协方差矩阵，协方差矩阵都按 \(\Sigma\mapsto S\Sigma S^T\) 变化，这叫合同（congruence）。合同会改变特征值，但不改变正、负、零特征值的个数（Sylvester 惯性定律），而且改变的幅度可以用 \(S\) 的奇异值精确控制（Ostrowski 定理）。本章的另一个主题是两个二次型的同时对角化，即广义特征值问题 \(Bx=\lambda Ax\)，它是比较两个协方差矩阵、求最大 Sharpe 比、做 Fisher 判别的共同数学结构。

原书 4.4 节（酉合同与复对称矩阵）、4.5 节后半（*合同与合同标准形）和 4.6 节（共轭相似）是纯理论内容，在量化中基本没有直接应用，本章只作简介，告诉你它们讲什么、何时需要回原书。

学习目标

读完本章，你应当能够：

1. 区分相似、酉相似与合同三种变换，知道协方差矩阵在线性变换下按 \(S\Sigma S^T\) 变化。
2. 掌握惯性的定义与 Sylvester 惯性定律，会用 Ostrowski 定理估计合同变换后特征值的变化范围。
3. 会用 Schur 补计算分块矩阵的惯性（Haynsworth 定理），并用于判断协方差正定性和 KKT 矩阵的结构。
4. 掌握两个 Hermitian 矩阵同时对角化的条件，特别是"一个正定"时总能同时合同对角化，会用 scipy.linalg.eigh(B, A) 解广义特征值问题。
5. 知道复对称矩阵、Autonne–Takagi 分解、*合同标准形和共轭相似是什么，在需要时能找到原书相应位置。

读前导读

这一章在解决什么问题。 你在 CFA 里算过两资产组合方差 \(w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho\sigma_1\sigma_2\)，矩阵写法是 \(w^T\Sigma w\)。把 \(K\) 个组合的权重排成矩阵 \(W\)，这些组合收益之间的协方差就是 \(W^T\Sigma W\)。这种"两边各乘一次"的变换叫合同。它和上一章的"相似"不同：相似保持特征值，合同不保持——把收益单位从小数改成百分比，协方差的特征值全部放大 10000 倍。那么合同下什么不变？答案是正、负、零特征值的个数（惯性）。直观上，"有没有方差为负的组合"不会因为换了记账单位而改变。

本章对你有用的结论有三条。第一，Ostrowski 定理：协方差矩阵 = 波动率 × 相关矩阵 × 波动率，所以协方差的特征值被相关矩阵特征值乘以最小、最大方差夹住，资产波动率差异越大协方差越病态。第二，Haynsworth 定理：分块矩阵的正负特征值个数可以拆成"左上块"加"Schur 补"，由此看清条件协方差（对冲后残余风险）和带约束优化的 KKT 矩阵为什么总是不定。第三，广义特征值问题 \(Bw=\lambda Aw\)：找出在两个协方差矩阵下"方差之比"最大或最小的组合。比较平静期与压力期、求最大 Sharpe 比，用的都是它。

需要先想起来的数学。

• 协方差的线性变换：标量情形 \(\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)\)；向量情形 \(\operatorname{Cov}(SX)=S\Sigma S^T\)。\(S\) 是一行权重时，就是组合方差 \(w^T\Sigma w\)。见 第 00 册第 06 章 线性代数速成。
• 奇异值：任意矩阵 \(S\) 的奇异值是 \(S^TS\) 特征值的平方根，表示 \(S\) 在各方向上的最大和最小"拉伸倍数"。对角阵 \(D=\operatorname{diag}(0.1,0.4)\) 的奇异值就是 \(0.4\) 和 \(0.1\)。
• Schur 补：分块矩阵 \(\begin{bmatrix}B&C\\C^T&D\end{bmatrix}\) 中 \(D-C^TB^{-1}C\)。它就是第 03b 章说的条件协方差：用第一组资产对冲第二组之后剩下的协方差。
• 对称矩阵的平方根：\(A\succ0\) 时 \(A=P\Lambda P^T\)，\(A^{1/2}=P\Lambda^{1/2}P^T\)，满足 \(A^{1/2}A^{1/2}=A\)；\(A^{-1/2}\) 类似。\(A^{-1/2}x\) 叫"白化"：把相关的变量变成互不相关、方差为 1 的变量。
• 拉格朗日乘子与 KKT 条件：带等式约束的最小化 \(\min f(w)\) s.t. \(e^Tw=1\)，令拉格朗日函数的梯度为零，得到一个线性方程组，其系数矩阵就是 KKT 矩阵。见 第 00 册第 05 章 多元微积分与优化。

符号提示：\(S^*\) 是共轭转置，实矩阵读作 \(S^T\)，"*合同"在实数情形就是普通的合同；\(i_+,i_-,i_0\) 分别是正、负、零特征值个数；\(A/B\) 表示 \(A\) 关于子块 \(B\) 的 Schur 补；\(\kappa(\cdot)\) 是条件数（最大特征值 / 最小特征值）；\(\bar A\) 是逐元素取复共轭。

怎么读这一章。 核心必读：4b.1、4b.2.1–4b.2.4（惯性、Sylvester、Ostrowski、Haynsworth 及各自的量化含义）、4b.3.1–4b.3.3（同时对角化与广义特征值），以及实战 1。4b.4（复对称矩阵）、4b.5（*合同标准形）、4b.6（共轭相似）与量化关系很弱，第一遍完全可以跳过，以后真遇到再回来查。4b.2.2 中的同伦证明、PDE 类型、4b.3.4 也可以先跳过。

4b.1 合同：二次型的变量替换（4.5 节开头）

4b.1.1 三个动机

原书 4.5 节用三个例子引出合同：

1. 二阶偏微分方程的变量替换：\(Lf=\sum a_{ij}(x)\partial^2f/\partial x_i\partial x_j+\cdots\) 的系数矩阵 \(A\) 对称。做非奇异变量替换 \(s=s(x)\)，Jacobian 为 \(S\)，新系数矩阵变为 \(SAS^T\)。物理规律不应依赖坐标，所以人们关心 \(\{SAS^T\}\) 的不变量。
2. 协方差矩阵：随机向量 \(X\) 的协方差 \(\operatorname{Cov}(X)=\Sigma\)，对线性变换 \(SX\)：

3. 二次型：\(Q_A(x)=x^TAx\)，\(H_B(x)=x^*Bx\)，则 \(Q_A(Sx)=Q_{S^TAS}(x)\)，\(H_B(Sx)=H_{S^*BS}(x)\)。

推导拆解：(4.5.3*) 的推导只用了"期望是线性的"。设 \(X\) 均值为 \(m\)，则 \(SX\) 的均值为 \(Sm\)。\(\operatorname{Cov}(SX)=\mathbb E[(SX-Sm)(SX-Sm)^*]=\mathbb E[S(X-m)(X-m)^*S^*]=S\,\mathbb E[(X-m)(X-m)^*]\,S^*=S\Sigma S^*\)。中间那步把常数矩阵 \(S\) 提到期望外面，理由与 \(\mathbb E[aX]=a\mathbb E[X]\) 相同。（\(\mathbb E\) 表示期望。） 两个例子：\(S=w^T\)（一行权重）时得到组合方差 \(w^T\Sigma w\)；\(S=\operatorname{diag}(1/\sigma_1,\dots,1/\sigma_n)\) 时得到相关矩阵 \(R=D^{-1}\Sigma D^{-1}\)。注意二次型那一条里 \(S\) 的位置是 \(S^TAS\)，协方差那一条是 \(SAS^T\)——方向相反，只是看 \(S\) 作用在"权重"还是"收益"上，本质是同一种变换。

量化中的合同无处不在：组合 \(w\) 的方差 \(w^T\Sigma w\)；\(K\) 个组合（矩阵 \(W\) 的列）的协方差 \(W^T\Sigma W\)；因子模型 \(r=Bf+\varepsilon\) 中因子部分 \(BFB^T\)；从相关矩阵到协方差矩阵 \(\Sigma=DRD\)（\(D\) 为波动率对角阵）；把收益换成超额收益或换币种、做 PCA 旋转、做白化 \(\Sigma^{-1/2}r\)，全都是合同变换。

4b.1.2 定义

定义 4.5.4 设 \(S\) 非奇异。

• \(B=SAS^*\)：称 \(B\) 与 \(A\) *合同（star-congruent，conjunctive）；
• \(B=SAS^T\)：称 \(B\) 与 \(A\) 合同或 \(^T\)合同（T-congruent）。

两者都是等价关系（定理 4.5.5），合同的矩阵秩相同。即使 \(S\) 奇异，\(SAS^*\) 也保持 Hermitian，\(SAS^T\) 也保持对称。习惯上：Hermitian 矩阵用 *合同，复对称矩阵用 \(^T\)合同。对实对称矩阵和实的 \(S\)，两者相同。

与相似 \(S^{-1}AS\) 对照：酉矩阵满足 \(U^{-1}=U^*\)，所以酉相似既是相似也是 *合同，两种不变量（特征值、惯性）都保持。一般的合同只保持惯性，不保持特征值。

4b.2 惯性与 Sylvester 惯性定律

4b.2.1 惯性

定义 4.5.6 Hermitian 矩阵 \(A\) 的**惯性（inertia）**是三元组

分别是正、负、零特征值的个数。\(i_+-i_-\) 称为符号差（signature）。\(\operatorname{rank}A=i_++i_-\)，所以惯性由秩和符号差唯一确定。

惯性矩阵：把 \(A=U\Lambda U^*\) 的特征值按"正、负、零"排列，令 \(D=\operatorname{diag}(|\lambda_1|^{1/2},\dots,|\lambda_r|^{1/2},1,\dots,1)\)，则 \(\Lambda=D\,I(A)\,D\)，其中

于是 \(A=(UD)I(A)(UD)^*\)。

定理 4.5.7 每个 Hermitian 矩阵都 *合同于它的惯性矩阵（实对称矩阵经实矩阵合同于其惯性矩阵）。

白话解释：合同允许"在每个主方向上任意缩放"。特征值 \(4\) 的方向乘以 \(1/2\)，二次型在该方向上就从 \(4\) 变成 \(1\)；特征值 \(-9\) 的方向乘以 \(1/3\)，就变成 \(-1\)。但缩放因子是平方后起作用的（\((1/2)^2\cdot4\)），平方永远为正，所以符号改不了，零也变不成非零。把所有能缩的都缩到 \(\pm1\)，剩下的就只有"几个 \(+1\)、几个 \(-1\)、几个 \(0\)"，这就是惯性矩阵。 例：\(A=\operatorname{diag}(4,-9,0)\)，取 \(D=\operatorname{diag}(2,3,1)\)，\(A=D\operatorname{diag}(1,-1,0)D\)，惯性 \((1,1,1)\)。

4b.2.2 Sylvester 惯性定律

定理 4.5.8（Sylvester 惯性定律，law of inertia） 两个 Hermitian 矩阵 *合同，当且仅当它们的惯性相同。

证明 充分性由 4.5.7。必要性：设 \(A=SBS^*\)。秩相同，故 \(i_0\) 相同，只需证 \(i_+\) 相同。令 \(S_+(A)\) 是 \(A\) 的正特征值对应特征向量张成的子空间，维数 \(i_+(A)\)，其上 \(x^*Ax>0\)。子空间 \(S^*S_+(A)\) 维数也是 \(i_+(A)\)，且对其中的 \(y=S^*x\ne0\)，

由第 04a 章推论 4.2.12（在 \(k\) 维子空间上二次型为正 ⇒ 至少 \(k\) 个正特征值），\(i_+(B)\ge i_+(A)\)。交换 \(A,B\) 得反向不等式。\(\square\)

推导拆解：证明的思路是"把 \(A\) 下方差为正的那批组合，搬到 \(B\) 下看"。 第 1 步：\(A\) 有 \(i_+(A)\) 个正特征值，它们的特征方向张成一个子空间，里面任何非零组合在 \(A\) 下"方差"都为正（Rayleigh 商是正特征值的加权平均）。 第 2 步：用 \(S^*\) 把这个子空间映过去。\(S\) 非奇异，所以维数不变，仍是 \(i_+(A)\) 维。 第 3 步：映过去的每个向量 \(y=S^*x\) 在 \(B\) 下的二次型 \(y^*By\) 恰好等于 \(x^*Ax>0\)——这正是 \(A=SBS^*\) 的含义。 第 4 步：\(B\) 在一个 \(i_+(A)\) 维子空间上恒正，第 04a 章推论 4.2.12 说 \(B\) 至少有这么多正特征值。 再对称地反过来做一遍，两个数相等。\(i_0\) 由秩相等得到，\(i_-=n-i_+-i_0\) 也就相等了。

几条推论（原书练习）：

• Hermitian 矩阵 *合同于 \(I\) 当且仅当它正定。所以正定性在任何非奇异线性变换下保持：协方差矩阵正定，则任何一组线性无关组合的协方差矩阵仍正定。
• 实对称矩阵经复矩阵 *合同 ⇔ 经实矩阵合同。
• \(A\) 与 \(SAS^*\) 的第 \(j\) 个（非减序）特征值同号。
• \(n\times n\) Hermitian 矩阵在 *合同下恰有 \(\binom{n+2}{2}\) 个等价类，由 \((i_+,i_-)\) 决定（4.5.P16）；复对称矩阵在 \(^T\)合同下只有 \(n+1\) 类，按秩区分（定理 4.5.12：复数域上没有"符号"，\(\sqrt{-1}\) 可以把负号吸收掉）。

一个漂亮的另证（4.5.P19，同伦论证）：把 \(S\) 做 QR 分解 \(S=QR\)，令 \(S(t)=tQ+(1-t)QR\)。对 \(t\in[0,1]\)，\(S(t)=Q(tI+(1-t)R)\) 都非奇异（\(R\) 的对角元为正，\(tI+(1-t)R\) 是对角元为正的上三角矩阵）。\(S(t)AS(t)^*\) 的特征值连续变化且永远不过零（秩不变），所以惯性沿路径不变；\(t=1\) 时它与 \(A\) 酉相似。

PDE 的类型（4.5.P5）：系数矩阵非奇异且特征值同号的二阶 PDE 是椭圆型（如 Laplace 方程），\(n-1\) 个同号、1 个异号是双曲型（如波动方程）。惯性定律保证类型不依赖坐标。Black–Scholes 方程（在时间方向上）是抛物型。

4b.2.3 Ostrowski 定理：惯性定律的定量版本

Sylvester 只说符号不变。合同变换把特征值放大或缩小多少？

定理 4.5.9（Ostrowski） 设 \(A\) Hermitian，\(S\) 非奇异，\(S\) 的奇异值为 \(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_n>0\)，特征值按非减排列。则对每个 \(k\)，存在 \(\theta_k\in[\sigma_n^2,\sigma_1^2]\) 使

证明 \(\lambda_1(SS^*)=\sigma_n^2\)，\(\lambda_n(SS^*)=\sigma_1^2\)。矩阵 \(A-\lambda_k(A)I\) 的第 \(k\) 个特征值为 0，由 Sylvester，

的第 \(k\) 个特征值也是 0。对它用 Weyl 不等式（第 04a 章 4.3.16）：

\(\lambda_k(A)>0\) 时整理得 \(\sigma_n^2\lambda_k(A)\le\lambda_k(SAS^*)\le\sigma_1^2\lambda_k(A)\)；\(\lambda_k(A)<0\) 时不等号方向相应调换。\(\square\)

推导拆解："整理"这一步补全如下（设 \(\lambda_k(A)>0\)，简写 \(\lambda=\lambda_k(A)\)）。矩阵 \(-\lambda SS^*\) 的特征值是 \(SS^*\) 的特征值乘以 \(-\lambda<0\)，乘负数会颠倒大小顺序，所以它的最小特征值是 \(-\lambda\sigma_1^2\)，最大特征值是 \(-\lambda\sigma_n^2\)。代入：左边不等式 \(\lambda_k(SAS^*)-\lambda\sigma_1^2\le0\)，即 \(\lambda_k(SAS^*)\le\sigma_1^2\lambda\)；右边 \(0\le\lambda_k(SAS^*)-\lambda\sigma_n^2\)，即 \(\lambda_k(SAS^*)\ge\sigma_n^2\lambda\)。令 \(\theta_k=\lambda_k(SAS^*)/\lambda\) 即得。 关键技巧是第一步：把"\(\lambda_k(SAS^*)\) 与 \(\lambda_k(A)\) 有多接近"转化成"某个矩阵的第 \(k\) 个特征值是否为 0"，后者正是惯性定律能回答的符号问题。 数值例：\(A=\operatorname{diag}(1,2)\)，\(S=\operatorname{diag}(0.1,0.4)\)，\(SAS^T=\operatorname{diag}(0.01,0.32)\)。\(\theta_1=0.01\)、\(\theta_2=0.16\)，都落在 \([0.1^2,0.4^2]=[0.01,0.16]\) 中。

特例：\(A=I\) 时 \(\theta_k=\lambda_k(SS^*)\)；\(S\) 酉时 \(\theta_k=1\)。\(S\) 奇异时由连续性（\(S+\epsilon I\)，\(\epsilon\to0\)）得 \(\theta_k\in[0,\sigma_1^2]\)（推论 4.5.11）：\(SAS^*\) 的正（负）特征值个数不超过 \(A\) 的。（原书 4.5.11 此处写作"nonincreasing order (4.2.1)"，按 4.2.1 的约定实为非减排列。）

量化含义：相关矩阵与协方差矩阵的谱。\(\Sigma=DRD\)，\(D=\operatorname{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_n)\) 是各资产波动率。\(D\) 的奇异值就是波动率，Ostrowski 定理给出

\[\sigma_{\min}^2\,\lambda_k(R)\ \le\ \lambda_k(\Sigma)\ \le\ \sigma_{\max}^2\,\lambda_k(R).\]

协方差的第 \(k\) 个特征值等于相关矩阵的第 \(k\) 个特征值乘以一个介于最小、最大方差之间的因子。由此 \(\kappa(\Sigma)\le\kappa(R)\cdot(\sigma_{\max}/\sigma_{\min})^2\)：资产波动率差异越大，协方差矩阵越病态。这是许多实务模型先在相关矩阵上做 PCA 或收缩、再乘回波动率的原因之一。

相对扰动界（4.5.P8）：由 Ostrowski，

若 \(S\) 接近酉矩阵，特征值的相对变化很小，不论特征值本身多小。这和 Weyl 的绝对误差界 \(\|E\|_2\) 互补：对于很小的特征值，Weyl 界可能远大于特征值本身，而乘法型扰动的相对界仍然有意义。

4b.2.4 Haynsworth 惯性加性定理

习题 4.5.P21（Haynsworth） 设 \(A=\begin{bmatrix}B&C\\C^*&D\end{bmatrix}\) Hermitian，\(B\) 非奇异，Schur 补 \(A/B=D-C^*B^{-1}C\)。则 \(A\) 与 \(B\oplus(A/B)\) *合同，所以

证明就是分块消元（第 00 章）：

左右两个矩阵互为共轭转置，这正是一次 *合同。习题 4.5.P22 说明可以由此给出 Cauchy 交错定理的另一个证明。

推导拆解：分块乘法分两步做。先右乘：\(\begin{bmatrix}B&C\\C^*&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I&-B^{-1}C\\0&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B&-C+C\\C^*&-C^*B^{-1}C+D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B&0\\C^*&A/B\end{bmatrix}\)，右上块被消掉。再左乘 \(\begin{bmatrix}I&0\\-C^*B^{-1}&I\end{bmatrix}\)：左下块变成 \(-C^*B^{-1}B+C^*=0\)，其余不变。左右两个消元矩阵都是单位三角阵，行列式为 1，必然非奇异，所以这是合法的合同；再由 Sylvester 惯性定律，\(A\) 和 \(B\oplus(A/B)\) 惯性相同，而分块对角矩阵的惯性就是各块惯性之和。 标量例：\(K=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}\)，\(B=2\)，Schur 补 \(0-1\cdot\tfrac12\cdot1=-\tfrac12\)。所以 \(i(K)=(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)\)：一正一负。直接算特征值 \(1\pm\sqrt2\)，确实一正一负。

量化含义：

1. 分块检查正定性：\(A\succ0\iff B\succ0\) 且 \(A/B\succ0\)。大规模协方差矩阵可以分块检验，Cholesky 分解本质上就是反复取 Schur 补。
2. 条件协方差 = Schur 补：联合正态的 \((X_1,X_2)\) 中，\(\operatorname{Cov}(X_1\mid X_2)=\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\)，也是用 \(X_2\) 中的工具做最优线性对冲后的残余协方差（第 00 章已推导）。由于 \(\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\succeq0\)，第 04a 章的单调性定理给出：对冲后残余协方差的每个特征值都不超过对冲前的。
3. KKT 矩阵的惯性：预算约束下的最小方差问题 \(\min\tfrac12w^T\Sigma w\) s.t. \(e^Tw=1\) 的 KKT 矩阵 \(K=\begin{bmatrix}\Sigma&e\\e^T&0\end{bmatrix}\)。Schur 补为 \(-e^T\Sigma^{-1}e<0\)，所以 \(i(K)=(n,1,0)\)：KKT 矩阵总是不定的，不能用 Cholesky 分解，要用对称不定分解（\(LDL^T\)）或零空间法（见第 04 册约束优化部分）。一般地，\(m\) 个线性无关约束的等式约束二次规划，KKT 矩阵恰有 \(m\) 个负特征值当且仅当 Hessian 在约束零空间上正定。

金融直觉：KKT 矩阵为什么一定有负特征值？拉格朗日乘子 \(\lambda\) 可以理解为"预算约束的影子价格"，KKT 系统是在 \((w,\lambda)\) 上找鞍点：对权重 \(w\) 求最小（方差越小越好），对乘子 \(\lambda\) 求最大（约束最紧的价格）。一个方向往上弯、一个方向往下弯，这就是不定矩阵；有几个约束，就有几个往下弯的方向。 关于上面最后一句的精确说法：更准确的结论是 \(i(K)=i(Z^THZ)+(m,m,0)\)，\(Z\) 的列是约束零空间的一组基。所以"\(K\) 恰有 \(m\) 个负特征值"只能推出约束零空间上的 Hessian 半正定（可能有零特征值）；要得到"正定"，还需要 \(K\) 非奇异，即 \(i(K)=(n,m,0)\)。这正是练习 4 的答案形式。

4b.3 两个二次型的同时对角化

4b.3.1 动机：小振动与广义特征值

原书的动机来自力学：稳定平衡点附近势能 \(V=q^TAq\)、动能 \(T=\dot q^TB\dot q\)（\(A,B\) 实对称）。若存在非奇异 \(S\) 使 \(SAS^T\) 与 \(SBS^T\) 同时为对角阵，则在新坐标下运动方程解耦成 \(n\) 个独立振子（简正模态，normal modes）。动能矩阵正定就足以保证这一点。

量化里的对应问题是：给定两个协方差矩阵 \(A\) 和 \(B\)，能否找到一组组合（坐标），使它们在两个矩阵下同时互不相关？ 这些组合的"方差比"是什么？

4b.3.2 酉型同时对角化

定理 4.5.15(a) Hermitian 矩阵 \(A,B\) 可以被同一个酉矩阵同时对角化（\(A=U\Lambda U^*\)，\(B=UMU^*\)），当且仅当 \(AB=BA\)。

两个不同时期的协方差矩阵一般不可交换，所以要求太强。放松要求：只要求 \(S\) 非奇异，用合同代替酉相似。

（定理 4.5.15(b)(c) 处理"对称与对称""Hermitian 与对称"的酉型同时对角化，条件分别是 \(A\bar B\) 正规 / Hermitian、\(AB=B\bar A\)，属于复对称理论，量化中用不到。）

4b.3.3 非奇异合同下的同时对角化

定理 4.5.17(a) 设 \(A,B\) Hermitian，\(A\) 非奇异，\(C=A^{-1}B\)。存在非奇异 \(S\) 和实对角阵 \(\Lambda,M\) 使

当且仅当 \(C\) 可对角化且特征值全为实数。

白话解释：为什么条件落在 \(C=A^{-1}B\) 上？若 \(A=S\Lambda S^*\)、\(B=SMS^*\)，则 \(A^{-1}B=S^{-*}\Lambda^{-1}S^{-1}SMS^*=S^{-*}(\Lambda^{-1}M)S^*\)——\(C\) 相似于实对角阵 \(\Lambda^{-1}M\)，所以必须可对角化且特征值为实数（这是必要性）。直观上，\(C\) 的特征值就是"同一个方向在 \(B\) 下与在 \(A\) 下的二次型之比"，同时对角化就是要找到一组方向，使这些比值成为"各自独立"的数。

充分性证明要点 设 \(C=S\Lambda S^{-1}\)，\(\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus\lambda_dI_{n_d}\)（\(\lambda_i\) 实且互不相同）。由 \(BS=AS\Lambda\) 得 \(S^*BS=S^*AS\Lambda\)。按 \(\Lambda\) 分块，比较 \((i,j)\) 块并利用两边都是 Hermitian，得到 \((\lambda_i-\lambda_j)A_{ij}^*=0\)，所以 \(i\ne j\) 时 \(A_{ij}=0\)：\(S^*AS\) 是分块对角的。再把每个对角块酉对角化即可。\(\square\)

最重要的特例：若 \(A\) 正定，则 \(C=A^{-1}B\) 相似于 Hermitian 矩阵 \(A^{-1/2}BA^{-1/2}\)，必然可对角化且特征值为实数。于是：

一个正定、一个 Hermitian 的两个矩阵总能同时合同对角化：存在非奇异 \(W\) 使

\[W^*AW=I,\qquad W^*BW=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),\]

其中 \(\lambda_i\) 是广义特征值问题 \(Bw=\lambda Aw\) 的特征值，\(W\) 的列是广义特征向量。

构造很直接：先用 \(A^{-1/2}\) 把 \(A\) 白化成 \(I\)，再对 \(A^{-1/2}BA^{-1/2}\) 做普通的谱分解。数值上 scipy.linalg.eigh(B, A) 用 Cholesky 分解 \(A=LL^T\) 代替 \(A^{1/2}\)，输出的 \(W\) 直接满足 \(W^TAW=I\)。

推导拆解：两步构造逐步写出。 第 1 步（白化）：令 \(C=A^{-1/2}BA^{-1/2}\)，它是对称的。\(A^{-1/2}AA^{-1/2}=I\)，所以在新坐标下 \(A\) 已经变成单位阵。 第 2 步（旋转）：对 \(C\) 做谱分解 \(C=Q\Lambda Q^T\)，\(Q\) 正交。正交旋转不会破坏单位阵：\(Q^TIQ=I\)。 合起来取 \(W=A^{-1/2}Q\)：\(W^TAW=Q^TA^{-1/2}AA^{-1/2}Q=I\)，\(W^TBW=Q^TCQ=\Lambda\)。把 \(W^TBW=\Lambda W^TAW\) 两边左乘 \(W^{-T}\)，得 \(BW=AW\Lambda\)，即每一列满足 \(Bw_i=\lambda_iAw_i\)。 为什么一般情况做不到而这里能：普通谱分解要用正交矩阵，两个不交换的矩阵没有共同的正交特征基；白化先用"非正交"的变换把 \(A\) 变成 \(I\)，而 \(I\) 在任何旋转下都不变，于是只剩一个矩阵需要对角化。 数值例：\(A=\operatorname{diag}(4,1)\)，\(B=\begin{bmatrix}4&1\\1&2\end{bmatrix}\)。\(A^{-1/2}=\operatorname{diag}(\tfrac12,1)\)，\(C=\begin{bmatrix}1&0.5\\0.5&2\end{bmatrix}\)，特征值 \(1.5\pm\sqrt{0.5}\approx0.79,\ 2.21\)——这就是广义特征值。

广义 Rayleigh 商给出变分刻画：

中间的特征值有类似的 Courant–Fischer 刻画（对 \(A^{-1/2}BA^{-1/2}\) 用第 04a 章的结论）。

量化中的广义特征值问题：

1. 比较两个协方差矩阵：\(A=\Sigma_{\text{平静}}\)，\(B=\Sigma_{\text{压力}}\)。广义特征值是"同一个组合在压力期与平静期的方差比"，最大的那个给出对市场状态最敏感的组合方向，最小的给出最"稳健"的方向。样本内 / 样本外协方差的比较同理。
2. 最大 Sharpe 比：\(\max_w(w^T\mu)^2/w^T\Sigma w\) 是 \(B=\mu\mu^T\)（秩一）的广义 Rayleigh 商，唯一的非零广义特征值是 \(\mu^T\Sigma^{-1}\mu\)，即最大 Sharpe 比的平方，特征向量 \(\propto\Sigma^{-1}\mu\)。
3. Fisher 判别 / 信号对噪声：\(\max_w w^TS_bw/w^TS_ww\)（类间散度 / 类内散度），用于构造区分两类市场状态的线性信号。
4. 典型相关分析（CCA）：寻找两组变量（如股票收益与宏观因子）之间相关最大的线性组合，也化为广义特征值问题。

实战 1 第 3、4 部分演示 1 和 2。

推导拆解：第 2 条（最大 Sharpe 比）为什么成立。 第 1 步：Sharpe 比 \(w^T\mu/\sqrt{w^T\Sigma w}\) 的平方就是 \(\dfrac{w^T(\mu\mu^T)w}{w^T\Sigma w}\)，即 \(B=\mu\mu^T\)、\(A=\Sigma\) 的广义 Rayleigh 商。它对 \(w\) 的缩放不敏感，所以杠杆不改变 Sharpe 比，这与你熟悉的"资本配置线上所有组合 Sharpe 相同"一致。 第 2 步：白化后 \(C=\Sigma^{-1/2}\mu\mu^T\Sigma^{-1/2}=vv^T\)，\(v=\Sigma^{-1/2}\mu\)。秩一矩阵 \(vv^T\) 的唯一非零特征值是 \(v^Tv=\mu^T\Sigma^{-1}\mu\)，特征向量是 \(v\) 本身。 第 3 步：换回原坐标，\(w=\Sigma^{-1/2}v=\Sigma^{-1}\mu\)。这正是 CFA 里切点组合（tangency portfolio）的权重方向（\(\mu\) 取超额收益）。 也可以用柯西–施瓦茨不等式一步看出：\((w^T\mu)^2=\big((\Sigma^{1/2}w)^T(\Sigma^{-1/2}\mu)\big)^2\le(w^T\Sigma w)(\mu^T\Sigma^{-1}\mu)\)。

4b.3.4 其他同时对角化结论

• 定理 4.5.17(b)(c)：对称–对称、Hermitian–对称的非奇异同时对角化，条件分别是 \(A^{-1}B\) 可对角化、可共轭对角化。
• 4.5.P4：一族 Hermitian 矩阵 \(A_1,\dots,A_k\)（\(A_1\) 非奇异）可同时 *合同对角化，当且仅当 \(\{A_1^{-1}A_i\}\) 是特征值全实、可对角化、两两可交换的矩阵族。
• 4.5.P18：若 \(\det(tA-B)\) 有 \(n\) 个互异零点，则 \(A,B\) 可同时合同对角化。
• 反例（4.5.P6–P7）：\(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) 与 \(\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\) 都不定，不能同时 *合同对角化；\(\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\) 与 \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) 两种方式都不行。两个都不定时，同时对角化可能失败——正定性假设很关键。
• 4.5.P36：若 \(A\) 不定，且 \(x^*Ax=0\Rightarrow x^*Bx=0\)，则 \(B=\kappa A\)（\(\kappa\) 实）。原书注记：在狭义相对论中取 \(A=\operatorname{diag}(1,1,1,-c)\)，这条结论推出 Lorentz 变换是唯一与"光速不变"相容的线性坐标变换。

4b.4 复对称矩阵与酉合同（4.4 节，选读）

这一节研究 \(A=A^T\) 的复矩阵（不是 Hermitian）。它在单叶函数论（Grunsky 不等式）、矩问题（Hankel 矩阵）、阻尼振动等领域出现；量化中基本不出现，因为量化中的复矩阵几乎都来自傅里叶变换，而且需要的是 Hermitian 结构。下面只列要点。

酉合同：\(A\mapsto UAU^T\)（\(U\) 酉）。它保持对称、斜对称。若 \(A=UBU^T\)，则 \(A\bar A=U(B\bar B)U^*\)，所以 \(A\bar A\) 的谱是酉合同不变量。

\(A\bar A\) 的谱结构（推论 4.4.13）：\(A\bar A\) 总相似于实矩阵的平方，因而非实特征值成共轭对出现，负实特征值成相等的对出现（\(2\times2\) 的情形已经不平凡，见命题 4.4.5）。

Youla 分解（定理 4.4.9）：任何方阵都酉合同于一个分块上三角矩阵，对角块是 \(1\times1\) 的非负数（对应 \(A\bar A\) 的非负特征值）或 \(2\times2\) 的标准块。它之于酉合同，犹如 Schur 三角化之于酉相似。

Autonne–Takagi 分解（推论 4.4.4(c)）：若 \(A\) 复对称，则存在酉矩阵 \(U\) 使

\(\Sigma\) 是以 \(A\) 的奇异值为对角元的非负对角阵。这是复对称矩阵的"对称 SVD"。奇异值互不相同时，\(U\) 在乘以 \(\pm1\) 对角阵的意义下唯一（4.4.4(d)）。

共轭正规矩阵（定义 4.4.14：\(AA^*=\overline{A^*A}\)）：包括复对称、复斜对称、酉矩阵、实正规矩阵；它们酉合同于若干实正交矩阵的非负倍数的直和（推论 4.4.18）。特例：斜对称矩阵的秩为偶数，酉合同于 \(0\oplus\bigoplus_j\begin{bmatrix}0&s_j\\-s_j&0\end{bmatrix}\)（推论 4.4.19）。

复对称矩阵没有特殊的 Jordan 结构（定理 4.4.24）：每个复方阵都相似于一个复对称矩阵。这与实对称矩阵（必可对角化）截然不同。推论：每个复方阵都是两个复对称矩阵之积（4.4.25）；复对称矩阵可对角化当且仅当可经复正交矩阵 \(Q\)（\(Q^TQ=I\)）对角化（4.4.27）。复情形的麻烦来自迷向向量（isotropic vector）：\(x=[1,i]^T\ne0\) 但 \(x^Tx=0\)。

QS 分解（4.4.P38–P39）：\(A=QS\)（\(Q\) 复正交、\(S\) 复对称）存在当且仅当 \(AA^T\) 与 \(A^TA\) 相似；非奇异时总存在。

4b.5 *合同与合同的标准形（4.5 节后半，选读）

Sylvester 惯性定律解决了 Hermitian 矩阵在 *合同下的分类。对任意方阵 \(A\)，*合同的分类要复杂得多。

化归：由 Toeplitz 分解 \(A=H+iK\)，\(A\) 可 *合同对角化当且仅当 \(H,K\) 可同时 *合同对角化（引理 4.5.18）。所以"两个 Hermitian 矩阵的同时对角化"等价于"一个复矩阵的 *合同对角化"。

*合同标准形（定理 4.5.21）：每个复方阵 *合同于下列三类块的直和，在块的排列意义下唯一：

• Type 0：奇异 Jordan 块 \(J_k(0)\)；
• Type I：\(e^{i\theta}\Delta_k\)，\(\Delta_k\) 是反对角线为 1、其下一条反对角线为 \(i\) 的 Hankel 矩阵；
• Type II：\(H_{2k}(\mu)=\begin{bmatrix}0&I_k\\J_k(\mu)&0\end{bmatrix}\)，\(|\mu|>1\)。

非奇异部分由 *余平方（*cosquare）\(A^{-*}A\) 的 Jordan 形决定（Type I 块的正负号需要另外的信息）。对 Hermitian 矩阵，标准角只有 0 和 \(\pi\)，重数就是 \(i_+,i_-\)——*合同标准形定理是 Sylvester 惯性定律的推广（4.5.P11–P12）。

合同标准形（定理 4.5.25）：类似，用块 \(J_k(0)\)、\(\Gamma_k\)、\(H_{2k}(\mu)\)，由余平方 \(A^{-T}A\) 的 Jordan 形完全决定；非奇异 \(A,B\) 合同当且仅当 \(A^{-T}A\) 与 \(B^{-T}B\) 相似（定理 4.5.27）。

消去定理（4.5.22、4.5.26）：\(A\oplus C\) 与 \(B\oplus C\) *合同（合同）当且仅当 \(A\) 与 \(B\) *合同（合同）。

可正规化矩阵（4.5.P37）：非奇异 \(A\) 可 *合同对角化（\(A=S\Lambda S^*\)，\(\Lambda\) 对角）等价于 \(A^{-*}A\) 可对角化且特征值模为 1，等价于 \(A=BCB\)（\(B\) 正定、\(C\) 正规）等六种说法——它们都是正规矩阵性质的类比。

需要这些结论时（例如研究非对称矩阵的二次型分类），回查原书 PDF p.309–315 及 Horn–Sergeichuk 的系列论文。

4b.6 共轭相似（4.6 节，选读）

定义 4.6.1 若存在非奇异 \(S\) 使 \(A=SB\bar S^{-1}\)，称 \(A,B\) 共轭相似（consimilar）。它来自反线性变换（\(T(ax)=\bar aTx\)，如量子力学中的时间反演）在不同基下的表示。酉矩阵满足 \(\bar U^{-1}=U^T\)，所以酉共轭相似就是酉合同。

共轭特征值（定义 4.6.5）：\(A\bar x=\lambda x\)，\(x\ne0\)。若 \(\lambda\) 是共轭特征值，则 \(e^{i\theta}\lambda\) 对一切 \(\theta\) 都是（相位自由），通常取非负代表 \(|\lambda|\)；\(\lambda\) 是共轭特征值仅当 \(|\lambda|^2\) 是 \(A\bar A\) 的特征值。例如 \(\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\) 没有共轭特征向量（\(A\bar A=-I\)）。

主要结论：

• 定理 4.6.3：\(A\) 可共轭三角化 ⇔ 可酉共轭三角化 ⇔ \(A\bar A\) 的特征值全为非负实数。
• 定理 4.6.4：\(A\) 可酉共轭对角化 ⇔ \(A\) 对称（即 Autonne–Takagi）。
• 定理 4.6.11：\(A\) 可共轭对角化 ⇔ \(A\bar A\) 可对角化、特征值全为非负实数、且 \(\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A\bar A\)。
• 共轭相似标准形（4.6.12）：块 \(J_k(0)\)、\(J_k(\sigma)\)（\(\sigma>0\)）、\(H_{2k}(\mu)\)（\(\mu\) 非实或负实），由 \(A\bar A\) 的 Jordan 形加上秩序列决定（4.6.14）。
• 推论 4.6.15：每个方阵共轭相似于 \(-A\)、\(\bar A\)、\(A^T\)、\(A^*\)、某个 Hermitian 矩阵、某个实矩阵。
• 4.6.P2：可对角化与可共轭对角化互不包含，\(\begin{bmatrix}i&1\\0&i\end{bmatrix}\) 不可对角化但可共轭对角化，\(\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\) 反之。
• 4.6.P12：\(\begin{bmatrix}1&i\\i&-1\end{bmatrix}\) 的 Jordan 形是 \(J_2(0)\)（幂零），但共轭相似标准形是 \(J_1(2)\oplus J_1(0)\)（它对称，奇异值为 2 和 0）。

这些结果在量化中没有已知的直接应用。

量化实战

实战 1：波动率与谱、对冲后的残余风险、KKT 矩阵、状态比较与最大 Sharpe

import numpy as np
import scipy.linalg as sla

rng = np.random.default_rng(11)

def inertia(M, tol=1e-10):
    lam = np.linalg.eigvalsh(M)
    return (int((lam > tol).sum()), int((lam < -tol).sum()), int((abs(lam) <= tol).sum()))

# ---------- 1. Ostrowski：协方差 Σ = D R D 的特征值被 vol² 夹住 ----------
n = 6
A = rng.standard_normal((n, 2)); R = A @ A.T + np.eye(n)
R = R / np.sqrt(np.outer(np.diag(R), np.diag(R)))      # 相关矩阵
vol = np.array([0.15, 0.20, 0.25, 0.30, 0.40, 0.60])   # 年化波动
D = np.diag(vol)
lam_R, lam_S = np.linalg.eigvalsh(R), np.linalg.eigvalsh(D @ R @ D)
theta = lam_S / lam_R
print("θ_k = λ_k(DRD)/λ_k(R):", theta.round(4))
print(f"Ostrowski 区间 [σ_min², σ_max²] = [{vol.min()**2:.4f}, {vol.max()**2:.4f}]，"
      f"全部落入？{np.all((theta >= vol.min()**2 - 1e-12) & (theta <= vol.max()**2 + 1e-12))}")

# ---------- 2. Haynsworth：KKT 矩阵的惯性 = Σ 的惯性 + Schur 补的惯性 ----------
N = 5
G = rng.standard_normal((N, N)); Sigma = G @ G.T / N + 0.1 * np.eye(N)
e = np.ones((N, 1))
KKT = np.block([[Sigma, e], [e.T, np.zeros((1, 1))]])   # 预算约束下最小方差的 KKT 矩阵
schur = -e.T @ np.linalg.solve(Sigma, e)                  # Schur 补 0 - eᵀΣ⁻¹e
print(f"\ni(Σ) = {inertia(Sigma)}, i(Schur 补) = {inertia(schur)}, i(KKT) = {inertia(KKT)}")

# 条件协方差 = Schur 补：用 2 个对冲工具对冲 4 只股票后的残余协方差
M = rng.standard_normal((6, 6)); C = M @ M.T / 6 + 0.05 * np.eye(6)
C11, C12, C22 = C[:4, :4], C[:4, 4:], C[4:, 4:]
resid = C11 - C12 @ np.linalg.solve(C22, C12.T)          # 最优对冲后的残余协方差
print("残余协方差 ⪯ 原协方差（逐个特征值更小）？",
      np.all(np.linalg.eigvalsh(resid) <= np.linalg.eigvalsh(C11) + 1e-12))

# ---------- 3. 同时对角化 / 广义特征值：平静期 vs 压力期 ----------
N = 10
B = rng.normal(1, 0.3, (N, 1))
Sig_calm = 0.01 * B @ B.T + np.diag(rng.uniform(0.02, 0.04, N))
Sig_stress = 0.06 * B @ B.T + np.diag(rng.uniform(0.02, 0.04, N))   # 市场因子方差 ×6
lam, W = sla.eigh(Sig_stress, Sig_calm)       # 解 Σ_s w = λ Σ_c w，W 满足 WᵀΣ_c W = I
print("\nWᵀΣ_calm W = I？", np.allclose(W.T @ Sig_calm @ W, np.eye(N)),
      "  WᵀΣ_stress W 对角？", np.allclose(W.T @ Sig_stress @ W, np.diag(lam)))
print("广义特征值（压力期/平静期方差比）:", lam.round(2))
w_eq = np.ones(N) / N
ratio = lambda w: (w @ Sig_stress @ w) / (w @ Sig_calm @ w)
print(f"方差比：最敏感方向 {ratio(W[:, -1]):.2f}，等权组合 {ratio(w_eq):.2f}，"
      f"最不敏感方向 {ratio(W[:, 0]):.2f}")
beta_exp = lambda w: abs(float(B[:, 0] @ w)) / np.linalg.norm(w)
print(f"单位范数下的市场暴露 |bᵀw|/‖w‖：最敏感方向 {beta_exp(W[:, -1]):.2f}，最不敏感方向 {beta_exp(W[:, 0]):.2f}")

# ---------- 4. 最大 Sharpe 比 = 秩一广义特征问题 ----------
mu = rng.normal(0.05, 0.03, N)
lam_mu, _ = sla.eigh(np.outer(mu, mu), Sig_calm)
print(f"\nmax (wᵀμ)²/wᵀΣw = {lam_mu[-1]:.4f}，μᵀΣ⁻¹μ = {mu @ np.linalg.solve(Sig_calm, mu):.4f}"
      f"（最大 Sharpe = {np.sqrt(lam_mu[-1]):.3f}）")

关键输出：

θ_k = λ_k(DRD)/λ_k(R): [0.0394 0.0554 0.0791 0.0999 0.096  0.1759]
Ostrowski 区间 [σ_min², σ_max²] = [0.0225, 0.3600]，全部落入？True

i(Σ) = (5, 0, 0), i(Schur 补) = (0, 1, 0), i(KKT) = (5, 1, 0)
残余协方差 ⪯ 原协方差（逐个特征值更小）？ True

WᵀΣ_calm W = I？ True   WᵀΣ_stress W 对角？ True
广义特征值（压力期/平静期方差比）: [0.79 0.93 1.02 1.05 1.12 1.16 1.22 1.26 1.83 5.1 ]
方差比：最敏感方向 5.10，等权组合 5.02，最不敏感方向 0.79
单位范数下的市场暴露 |bᵀw|/‖w‖：最敏感方向 3.47，最不敏感方向 0.01

max (wᵀμ)²/wᵀΣw = 0.6984，μᵀΣ⁻¹μ = 0.6984（最大 Sharpe = 0.836）

读法：

1. Ostrowski：6 只资产波动率从 15% 到 60%，协方差的每个特征值都等于相关矩阵对应特征值乘一个落在 \([0.0225,0.36]\) 里的因子。注意因子并不单调（第 4、5 个分别为 0.0999、0.096），定理只保证落在区间内。
2. Haynsworth：KKT 矩阵的惯性 \((5,1,0)\) 恰好是 \(\Sigma\) 的 \((5,0,0)\) 加上 Schur 补的 \((0,1,0)\)。对冲后残余协方差的每个特征值都不超过对冲前，这是单调性定理的直接推论。
3. 状态比较：压力期市场因子方差放大 6 倍。广义特征值告诉我们：有一个方向（几乎就是市场组合方向，市场暴露 3.47）方差放大 5.1 倍；其余方向的方差比都在 1 附近（0.79–1.83）。等权组合高度暴露于市场因子，方差比 5.02，几乎和最坏方向一样。最不敏感的方向市场暴露接近 0——它是一个"市场中性"组合。实务中，这类分析用于识别哪些组合在危机中风险会急剧放大，比单纯比较两个矩阵的特征值更有信息：两个协方差矩阵各自的特征向量不同，只有广义特征向量能同时"对角化"二者。
4. 最大 Sharpe：秩一广义特征问题的唯一非零特征值就是 \(\mu^T\Sigma^{-1}\mu\)，开方即最大 Sharpe 比。

本章小结

合同变换 \(A\mapsto SAS^*\) 描述二次型和协方差矩阵在变量替换下的变化。它不保持特征值，但保持惯性（正、负、零特征值的个数），这就是 Sylvester 惯性定律；Ostrowski 定理把它定量化：\(\lambda_k(SAS^*)=\theta_k\lambda_k(A)\)，\(\theta_k\) 落在 \(S\) 的最小、最大奇异值平方之间。由此可知协方差 \(\Sigma=DRD\) 的特征值被相关矩阵特征值乘以最小、最大方差夹住，波动率差异越大协方差越病态。Haynsworth 定理用 Schur 补计算分块矩阵的惯性，统一了正定性的分块检验、条件协方差和 KKT 矩阵的不定性。两个 Hermitian 矩阵若一个正定，总能同时合同对角化，这就是广义特征值问题 \(Bw=\lambda Aw\)，量化中用于比较两个协方差矩阵、求最大 Sharpe 比、Fisher 判别与典型相关分析。复对称矩阵、Autonne–Takagi 分解、*合同与合同标准形、共轭相似构成第 4 章的理论后半，与量化关系很弱，知道它们存在即可。

练习

基础

1. 判断 \(A=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}\) 与 \(B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\) 是否合同。 答案要点：\(A\) 的顺序主子式 \(2,3,4\) 全正，正定，惯性 \((3,0,0)\)；\(B\) 惯性 \((2,1,0)\)，不合同。
2. 设 \(\Sigma\succ0\)，\(W\in\mathbf R^{n\times k}\) 列满秩。证明 \(W^T\Sigma W\succ0\)，并说明 \(W\) 列不满秩时会怎样。 提示：\(x^TW^T\Sigma Wx=(Wx)^T\Sigma(Wx)>0\) 当 \(Wx\ne0\)；列不满秩时存在 \(x\ne0\) 使 \(Wx=0\)，只能得到半正定。
3. 相关矩阵 \(R\) 的特征值为 \(0.2,0.5,2.3\)，三只资产的波动率为 \(10\%,20\%,40\%\)。给出协方差矩阵 \(\Sigma=DRD\) 每个特征值的范围，以及 \(\kappa(\Sigma)\) 的一个上界。 答案要点：\(\lambda_1\in[0.002,0.032]\)，\(\lambda_2\in[0.005,0.08]\)，\(\lambda_3\in[0.023,0.368]\)；\(\kappa(\Sigma)\le\kappa(R)\cdot16=11.5\times16=184\)。
4. 用 Haynsworth 定理求 \(K=\begin{bmatrix}\Sigma&A^T\\A&0\end{bmatrix}\) 的惯性，其中 \(\Sigma\in\mathbf R^{n\times n}\) 正定，\(A\in\mathbf R^{m\times n}\) 行满秩。 答案要点：Schur 补 \(-A\Sigma^{-1}A^T\) 负定，\(i(K)=(n,m,0)\)。
5. 给出两个 \(2\times2\) 实对称矩阵，它们不可交换，但可以同时合同对角化。 提示：取 \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\succ0\)，\(B=\operatorname{diag}(1,0)\)。

进阶

6. 证明：若 \(A\succ0\)、\(B\) 对称，则 \(B-\lambda A\) 对所有 \(\lambda<\lambda_{\min}(A^{-1}B)\) 正定。由此说明"最小方差比"\(\min_w\frac{w^TBw}{w^TAw}\) 等于最小广义特征值。
7. 设 \(\hat\Sigma=\Sigma^{1/2}(I+E)\Sigma^{1/2}\)（乘法型估计误差，\(E\) 对称且 \(\|E\|_2<1\)）。用 Ostrowski 定理证明 \(\big|\lambda_k(\hat\Sigma)/\lambda_k(\Sigma)-1\big|\le\|E\|_2\)，并与 Weyl 的加性界比较：对最小特征值，哪个更有用？ 提示：令 \(M=(I+E)^{1/2}\)，则 \(\hat\Sigma=XY\)，\(X=\Sigma^{1/2}M\)，\(Y=M\Sigma^{1/2}\)，而 \(YX=M\Sigma M\) 是 \(\Sigma\) 的合同，二者特征值相同（第 01 章 \(AB\) 与 \(BA\)）。\(M\) 的奇异值平方即 \(I+E\) 的特征值，落在 \([1-\|E\|_2,1+\|E\|_2]\)。乘法型误差下最小特征值的相对误差仍有界，而加性界 \(\|\hat\Sigma-\Sigma\|_2\le\lambda_{\max}(\Sigma)\|E\|_2\) 可能远大于 \(\lambda_{\min}\) 本身。
8. 两个协方差矩阵 \(\Sigma_1,\Sigma_2\succ0\)。证明广义特征值 \(\lambda_i\) 全为正，且 \(\prod\lambda_i=\det\Sigma_2/\det\Sigma_1\)。说明如何用 \(\sum(\log\lambda_i)^2\) 度量两个协方差矩阵的"距离"（这就是正定矩阵上的仿射不变 Riemann 距离）。
9. 编程：用两段不同时期的模拟收益（如前 500 天、后 500 天，中间市场因子方差翻倍）估计两个样本协方差，计算广义特征值和特征向量。最大广义特征值对应的组合与"市场组合"的夹角是多少？
10. 证明 Sylvester 判据的必要性部分：若 \(A\succ0\)，则所有顺序主子式为正。再用 Haynsworth 定理证明充分性。 提示：主子矩阵 \(= E^TAE\)（\(E\) 是 \(I\) 的前 \(k\) 列），合同保持正定；充分性对 \(k\) 归纳，Schur 补 \(a_k/a_{k-1}>0\)。

原书推荐习题

• 4.5.P5（PDE 类型与惯性）、4.5.P8（Ostrowski 推出相对扰动界）、4.5.P18（广义特征值互异 ⇒ 同时对角化）、4.5.P19（惯性定律的同伦证明）、4.5.P21（Haynsworth 惯性加性）、4.5.P37（可正规化矩阵的六种刻画）。
• 4.4.P1（对称矩阵 \(=SS^T\)）、4.4.P27（对称矩阵奇异值与对角元）、4.4.P38（QS 分解）。
• 4.6.P2（可对角化与可共轭对角化互不包含）、4.6.P9（奇数阶矩阵必有共轭特征对）、4.6.P12、4.6.P21（共轭对角化算法）。

原书对照

延伸阅读：多矩阵同时对角化见 Hong–Horn (1985)；*合同与合同标准形及其算法见 Horn–Sergeichuk (2006, 2008)；Autonne–Takagi 分解的历史见原书 4.4 节注记。下一章（第 05a 章）转向度量"大小"的工具——向量范数与矩阵范数，它们是第 06 章特征值扰动理论的语言。