第 08 章 读懂数学证明与符号

这套教材的底本里，有几本是用「定义—定理—证明」的格式写的：《Matrix Analysis》几乎每页都有定理，《All of Statistics》和《Numerical Optimization》里也有大量证明。第一次读这类文字，难点往往不在数学本身，而在语言：\(\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\) 怎么读，「充分条件」和「必要条件」哪个是哪个，「不失一般性」省掉了什么，一个证明为什么从「假设结论不成立」开始。

本章不教新的数学内容，只教读法。目标是：遇到一条定理，你能说清它在什么条件下断言了什么；遇到一段证明，你能跟上每一步的理由；遇到一个陌生符号，你能在本章末的速查表里查到它的意思。

你在审计和 CFA 里其实已经练过类似的思维。审计里「抽查 100 张凭证没发现问题」不能证明「所有凭证都没问题」，但发现一张有问题就足以推翻「所有凭证都没问题」。这就是本章要讲的全称命题和反例。

学习目标

1. 会读逻辑符号 \(\neg,\wedge,\vee,\Rightarrow,\iff\) 和量词 \(\forall,\exists\)，会写出带量词命题的否定。
2. 分清充分条件、必要条件、充要条件，知道「不相关」与「独立」的关系为什么只有一个方向。
3. 知道原命题与逆否命题等价、与逆命题不等价，能识别「肯定后件」的推理错误。
4. 认识五种常见证明方法：直接证明、反证法、逆否证明、数学归纳法、构造法，以及用反例推翻命题。
5. 会按「条件—结论—为什么需要每个条件」的方式读定理，会逐行检查证明的依据。
6. 熟悉「不失一般性」「几乎必然」「充分大」等常用说法，记住希腊字母读音和全书常用记号。

8.1 命题与逻辑连接词

8.1.1 命题

定义。 命题是一个可以判断真假的陈述句。

• 「平价债券的票息率等于到期收益率」是命题，而且为真。
• 「若 \(g\ge r\)，Gordon 模型给出有限的股价」是命题，为假（第 04 章）。
• 「这只股票会涨吗？」不是命题，它是问句。
• 「\(x>0\)」单独看不是命题，因为不知道 \(x\) 是多少。加上量词（「对所有 \(x\)」或「存在 \(x\)」）或给定 \(x\) 的值后才是命题。

8.1.2 五个连接词

两点和日常用语不同，需要特别注意。

「或」是可兼的。 数学里「\(P\) 或 \(Q\)」包括两者都成立的情形。「组合的波动率下降或收益上升」在两者同时发生时也为真。日常中文的「或」有时是「二选一」，数学里不是。

「若 \(P\) 则 \(Q\)」在 \(P\) 为假时自动为真。 这一点最反直觉。看 \(P\Rightarrow Q\) 的真值表：

用合同条款来理解：「若股价跌破 80 元，则追加保证金」。只有一种情况算违约：股价跌破了 80 元，却没有追加保证金。股价没跌破时，追加或不追加都不违约。所以前提为假时，蕴含命题为真。这种情况叫「空真」（vacuous truth）。

这在读定理时有实际意义。比如「若 \(\Sigma\) 正定，则最小方差组合唯一」。当 \(\Sigma\) 不正定时，这条定理什么也没说，既不保证唯一，也不说一定不唯一。

8.1.3 否定的规则（德摩根律）

数值例。 风控规则「单票权重不超过 5% 且行业权重不超过 20%」。它的否定是「单票权重超过 5%，或行业权重超过 20%」，任一条违规就算违规。「若 \(P\) 则 \(Q\)」的否定不是「若 \(P\) 则非 \(Q\)」，而是「\(P\) 成立但 \(Q\) 不成立」，也就是找到一个反例。

8.2 量词 \(\forall\) 与 \(\exists\)

8.2.1 两个量词

金融例子。

• 协方差矩阵半正定：\(\forall w\in\mathbb R^n,\ w^\top\Sigma w\ge0\)。读作「对任意权重向量 \(w\)，组合方差非负」。
• 存在套利机会：\(\exists\) 一个组合，初始成本 \(\le0\)，未来收益恒 \(\ge0\) 且以正概率 \(>0\)。
• 最小方差组合存在且唯一：\(\exists!\,w^*\) 使 \(w^{*\top}\Sigma w^*=\min_{\mathbf 1^\top w=1}w^\top\Sigma w\)。

8.2.2 量词的顺序不能随便换

比较两句话：

• (A) \(\forall\) 股票 \(i\)，\(\exists\) 一个因子 \(f\)，使 \(f\) 能解释 \(i\) 的收益。
• (B) \(\exists\) 一个因子 \(f\)，\(\forall\) 股票 \(i\)，\(f\) 能解释 \(i\) 的收益。

(A) 说每只股票都有自己的解释因子，可以各不相同；(B) 说有一个因子能解释所有股票。(B) 比 (A) 强得多：(B) 能推出 (A)，反过来不行。

最典型的例子是极限定义（第 01 章）：

\(\exists N\) 写在 \(\forall\varepsilon\) 之后，意思是 \(N\) 可以依赖 \(\varepsilon\)：误差要求越严格，\(N\) 可以越大。如果改成「\(\exists N,\forall\varepsilon\)」，就成了「存在一个位置，之后所有项与 \(L\) 的距离小于任何正数」，即之后全都等于 \(L\)，这是完全不同的意思。

读法技巧：从左往右读，把它当成一个对话游戏。\(\forall\) 是对手出招（他可以任选），\(\exists\) 是你应招（你可以根据对手的招来选）。「对手任给 \(\varepsilon\)，你找一个 \(N\)，然后对手任选 \(n>N\)，你要保证 \(|a_n-L|<\varepsilon\)。」你能保证每局都赢，命题就成立。

「一致」的含义。 教材里常见「一致收敛」「一致连续」。区别就在量词顺序：「对每个 \(x\)，存在 \(N\)」是逐点的，\(N\) 可以随 \(x\) 变；「存在 \(N\)，对所有 \(x\)」是一致的，同一个 \(N\) 对所有 \(x\) 都管用。

8.2.3 带量词命题的否定

规则：\(\forall\) 和 \(\exists\) 互换，最后把里面的命题否定掉。

例 1。 「所有基金都跑赢了基准」的否定是「至少有一只基金没跑赢基准」，而不是「所有基金都没跑赢」。

例 2：数列不收敛到 \(L\)。 对极限定义逐层否定：

读作：存在某个误差 \(\varepsilon\)，无论走多远（任意 \(N\)），后面总还有某一项与 \(L\) 的距离至少是 \(\varepsilon\)。以 \(a_n=(-1)^n\)、\(L=1\) 为例，取 \(\varepsilon=1\)，任意 \(N\) 之后总有奇数项 \(a_n=-1\)，与 1 的距离是 \(2\ge1\)，所以不收敛到 1。

例 3：无套利。 「市场无套利」是「不存在套利组合」，即 \(\neg\exists\)，等价于「\(\forall\) 组合，若未来收益恒 \(\ge0\) 且以正概率 \(>0\)，则初始成本 \(>0\)」。第 08 册第 28 章的鞅定价从这个全称形式出发。

8.3 充分条件与必要条件

8.3.1 定义

若 \(P\Rightarrow Q\) 为真：

• \(P\) 是 \(Q\) 的充分条件：有 \(P\) 就够了，\(Q\) 一定成立。
• \(Q\) 是 \(P\) 的必要条件：没有 \(Q\)，\(P\) 就不可能成立。

若 \(P\iff Q\)，则 \(P\) 是 \(Q\) 的充要条件（充分必要条件），常写作「当且仅当」（if and only if，缩写 iff）。

记忆方法：箭头从充分指向必要。\(P\Rightarrow Q\) 中，\(P\) 在箭尾（充分），\(Q\) 在箭头（必要）。

「当且仅当」拆开读。 「\(P\) 当且仅当 \(Q\)」= 「\(P\) 当 \(Q\)」（\(Q\Rightarrow P\)，if）+ 「\(P\) 仅当 \(Q\)」（\(P\Rightarrow Q\)，only if）。「仅当」那一半是必要条件。

8.3.2 金融里的例子

8.3.3 例：不相关不等于独立

命题。 若 \(X,Y\) 独立，则 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\)。反之不成立。

反例。 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y=X^2\)。\(Y\) 完全由 \(X\) 决定，显然不独立。但

第一项为零是因为标准正态关于 0 对称，奇数阶矩都为零。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
X = rng.standard_normal(1_000_000)
Y = X**2
print(f"corr(X, Y)         = {np.corrcoef(X, Y)[0, 1]:+.4f}")
print(f"P(Y > 1)           = {np.mean(Y > 1):.4f}")
print(f"P(Y > 1 | |X| > 1) = {np.mean(Y[np.abs(X) > 1] > 1):.4f}")

输出：

corr(X, Y)         = +0.0005
P(Y > 1)           = 0.3177
P(Y > 1 | |X| > 1) = 1.0000

样本相关系数几乎为零，但知道 \(|X|>1\) 后，\(Y>1\) 的概率从 31.8% 跳到 100%。相关系数只度量线性关系。金融里的例子是：日收益与次日的收益平方（波动率聚集）几乎不相关，却明显相依。GARCH 模型正是建立在「收益不相关但不独立」之上（第 06 册第 03a 章）。

例外：若 \((X,Y)\) 联合正态，不相关与独立等价。这条定理的条件「联合正态」不能省，两个边缘分布各自正态是不够的。

8.4 原命题、逆命题、否命题、逆否命题

8.4.1 四种形式

以「若市场有效，则不存在持续的超额收益」为例，记 \(P\)=「市场有效」，\(Q\)=「不存在持续的超额收益」：

为什么逆否命题等价。 \(P\Rightarrow Q\) 唯一为假的情况是「\(P\) 真且 \(Q\) 假」。\(\neg Q\Rightarrow\neg P\) 唯一为假的情况是「\(\neg Q\) 真且 \(\neg P\) 假」，也就是「\(Q\) 假且 \(P\) 真」。两者为假的情况完全相同，所以真值永远相同。

8.4.2 两种常见推理错误

• 肯定后件：由 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(Q\) 推出 \(P\)。例：「若策略有效，回测夏普会很高；回测夏普很高，所以策略有效」。错。过拟合的策略也能有高回测夏普（第 03 册第 10b 章）。
• 否定前件：由 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(\neg P\) 推出 \(\neg Q\)。例：「若数据服从正态分布，则 \(t\) 检验有效；数据不服从正态分布，所以 \(t\) 检验无效」。错。大样本下由中心极限定理，\(t\) 检验仍近似有效。

正确的推理只有两种：由 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(P\) 推出 \(Q\)（肯定前件）；由 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(\neg Q\) 推出 \(\neg P\)（否定后件）。

8.4.3 假设检验的逻辑

假设检验就是「否定后件」的概率版本：

1. 若 \(H_0\) 为真，则检验统计量大概率落在某个范围内（\(P\Rightarrow Q\)，「大概率」意义下）。
2. 观察到统计量落在范围外（\(\neg Q\)）。
3. 所以有理由拒绝 \(H_0\)（\(\neg P\)）。

反过来，统计量落在范围内（\(Q\)）时，不能推出 \(H_0\) 为真（那是肯定后件）。这就是为什么规范的说法是「不能拒绝 \(H_0\)」，而不是「接受 \(H_0\)」。

8.5 常见的证明方法

8.5.1 直接证明

从已知条件出发，每一步用定义、已证定理或代数运算，直到推出结论。

例：协方差矩阵半正定。 要证 \(\forall w\)，\(w^\top\Sigma w\ge0\)。

1. 设收益向量 \(r\) 的协方差矩阵为 \(\Sigma\)，任取权重 \(w\)。（全称命题的标准开头：「任取」一个，不对它做额外假设。）
2. 组合收益 \(r_p=w^\top r\) 是一个随机变量，它的方差 \(\operatorname{Var}(r_p)=w^\top\Sigma w\)。（依据：方差的二次型公式，第 06、07 章。）
3. 任何随机变量的方差都 \(\ge0\)，因为它是平方的期望。（依据：方差定义。）
4. 所以 \(w^\top\Sigma w\ge0\)。由于 \(w\) 是任取的，结论对所有 \(w\) 成立。\(\square\)

第 4 步的「由于 \(w\) 是任取的」是证明全称命题的关键：如果对一个没有任何特殊性质的 \(w\) 证明了结论，那么它对所有 \(w\) 都成立。

8.5.2 反证法

结构。 要证 \(Q\)，先假设 \(\neg Q\)，推出一个矛盾（与已知条件、已证定理或常识相悖），所以 \(\neg Q\) 不成立，\(Q\) 成立。

例：看跌看涨平价（欧式、无股息）。 要证 \(C-P=S_0-Ke^{-rT}\)。

1. 假设不成立，比如 \(C-P>S_0-Ke^{-rT}\)。
2. 构造组合：卖出看涨、买入看跌、买入股票、借入 \(Ke^{-rT}\)。初始现金流为 \(C-P-S_0+Ke^{-rT}>0\)，即期初净收入。
3. 到期时，无论 \(S_T\) 是多少，股票加看跌减看涨的价值恰好是 \(K\)（分 \(S_T>K\) 和 \(S_T\le K\) 两种情况验证），正好还清借款 \(K\)。到期净现金流为 0。
4. 期初拿钱、期末不付钱，这是套利，与无套利假设矛盾。
5. 同理 \(C-P<S_0-Ke^{-rT}\) 也矛盾（把组合反过来）。所以等号成立。\(\square\)

你在 CFA 里学的「套利论证」都是反证法：假设价格偏离，构造套利，与无套利矛盾。

数值例。 \(S_0=100\)，\(K=100\)，\(r=5\%\)，\(T=1\)，则 \(S_0-Ke^{-rT}=100-95.12=4.88\)。若市场上 \(C=10.45\)，\(P=5.00\)，\(C-P=5.45>4.88\)。按上面的组合操作，期初净收入 \(0.57\)，期末净现金流 0。

例：最优组合中持仓资产的边际方差相等。 第 05 章用拉格朗日乘子推出了这个结论。反证法给出直觉：假设两只持仓资产的边际方差不等，比如 \((2\Sigma w)_1<(2\Sigma w)_2\)，那么从资产 2 挪 \(\epsilon\) 权重到资产 1，方差的一阶变化是 \(\epsilon[(2\Sigma w)_1-(2\Sigma w)_2]<0\)，方差下降，与「\(w\) 是最优」矛盾。

8.5.3 逆否证明

要证 \(P\Rightarrow Q\)，改证等价的 \(\neg Q\Rightarrow\neg P\)。当「\(\neg Q\)」比「\(P\)」更容易下手时，这样做更方便。

例。 证明：若 \(n^2\) 是偶数，则 \(n\) 是偶数。

直接证不好下手（从 \(n^2\) 偶推 \(n\) 要开方）。改证逆否命题：若 \(n\) 是奇数，则 \(n^2\) 是奇数。设 \(n=2k+1\)，则 \(n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\)，是奇数。\(\square\)

与反证法的区别。 逆否证明是从 \(\neg Q\) 出发，目标是推出 \(\neg P\)；反证法是同时假设 \(P\) 和 \(\neg Q\)，目标是推出任意一个矛盾。逆否证明可以看作反证法的特例。读证明时，看到「假设……不成立」开头，就知道是这两种之一。

8.5.4 数学归纳法

用途。 证明「对所有正整数 \(n\)，\(P(n)\) 成立」。

结构。

1. 基础步：证明 \(P(1)\) 成立。
2. 归纳步：假设 \(P(k)\) 成立（归纳假设），证明 \(P(k+1)\) 成立。
3. 结论：\(P(n)\) 对所有 \(n\ge1\) 成立。

直觉。 多米诺骨牌：第一块会倒（基础步），每一块倒下都会推倒下一块（归纳步），所以全部会倒。

例 1：等比求和公式。 证明 \(q\ne1\) 时 \(\sum_{j=0}^{n-1}q^j=\dfrac{1-q^n}{1-q}\)。

1. 基础步 \(n=1\)：左边 \(=q^0=1\)，右边 \(=\frac{1-q}{1-q}=1\)。成立。
2. 归纳步：假设 \(n=k\) 时成立。则
   \[\sum_{j=0}^{k}q^j=\underbrace{\sum_{j=0}^{k-1}q^j}_{\text{用归纳假设}}+q^k=\frac{1-q^k}{1-q}+\frac{q^k(1-q)}{1-q}=\frac{1-q^k+q^k-q^{k+1}}{1-q}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.\]
   这正是 \(n=k+1\) 时的公式。\(\square\)

例 2：复利不低于单利（伯努利不等式）。 证明 \(r>-1\) 时，对所有 \(n\ge1\)，\((1+r)^n\ge1+nr\)。

1. 基础步 \(n=1\)：\(1+r\ge1+r\)，成立。
2. 归纳步：假设 \((1+r)^k\ge1+kr\)。两边乘正数 \(1+r\)（这里用到 \(r>-1\)）：
   \[(1+r)^{k+1}\ge(1+kr)(1+r)=1+(k+1)r+kr^2\ge1+(k+1)r.\]
   最后一步因为 \(kr^2\ge0\)。\(\square\)

数值例。 \(r=5\%\)，\(n=10\)：\(1.05^{10}=1.6289\ge1.5\)。差额 \(0.1289\) 就是「利滚利」。

常见误解：验证很多个 \(n\) 不等于证明。 下面的经典例子说明为什么必须有归纳步。

# 「验证了很多个 n」不等于证明：n^2 + n + 41 对 n=0..39 都是素数
def is_prime(m):
    return m > 1 and all(m % d for d in range(2, int(m**0.5) + 1))
first_fail = next(n for n in range(1000) if not is_prime(n * n + n + 41))
print("前 40 个值全为素数:", all(is_prime(n * n + n + 41) for n in range(40)))
print(f"第一个反例 n = {first_fail}, 值 = {first_fail**2 + first_fail + 41} = 41 x {(first_fail**2 + first_fail + 41)//41}")

# 归纳法证明过的公式：1 + q + ... + q^(n-1) = (1 - q^n)/(1 - q)，用分数精确检验
from fractions import Fraction
q = Fraction(1, 1) / Fraction(105, 100)
ok = all(sum(q**k for k in range(n)) == (1 - q**n) / (1 - q) for n in range(1, 200))
print("n = 1..199 精确相等:", ok)

输出：

前 40 个值全为素数: True
第一个反例 n = 40, 值 = 1681 = 41 x 41
n = 1..199 精确相等: True

\(n^2+n+41\) 连续 40 个值都是素数，第 41 个就失败了。回测也是一样：一个规律在过去 40 个月成立，不代表它是一条定理。等比求和公式的数值检验只是一个合理性检查，真正保证它对所有 \(n\) 成立的是上面的归纳证明。

变体。 强归纳法：归纳步假设 \(P(1),\dots,P(k)\) 全部成立，再证 \(P(k+1)\)。算法分析中的递归式（第 09 册第 04b 章「代入法」）常用强归纳。

8.5.5 构造法

用途。 证明「存在某个对象」时，直接把它造出来。

例：单步二叉树中期权价格的存在性。 股价 \(S_0=100\)，一期后变为 120 或 90，无风险利率每期 0（简化）。看涨期权行权价 100，到期支付 20 或 0。要证「存在一个由股票和债券组成的组合，在两种状态下都复制期权支付」。

构造：持有 \(\Delta\) 股股票和 \(B\) 元债券，要求

相减得 \(30\Delta=20\)，\(\Delta=2/3\)；代回得 \(B=-60\)。组合成本 \(100\times\frac23-60=6.67\)。复制组合造出来了，无套利条件下期权价格就是 6.67。这是一个构造性证明：它不仅说「存在」，还告诉你那个对象是什么。

与之对照，有些存在性证明是非构造的，比如「连续函数在闭区间上一定取到最大值」，它保证最大值点存在，但不告诉你在哪里。数值优化要解决的正是「存在但不知道在哪」的问题。

8.5.6 反例

用途。 推翻全称命题。「\(\forall x,P(x)\)」只要找到一个 \(x\) 使 \(P(x)\) 不成立，就被推翻了。

本章已经出现过几个反例：\(Y=X^2\) 推翻「不相关 ⇒ 独立」；调和级数推翻「通项趋于 0 ⇒ 收敛」；\(n=40\) 推翻「\(n^2+n+41\) 总是素数」。

反例越简单越好。读教材时，看到一个定理有好几个条件，问一问「去掉这个条件会怎样」，书上通常会给出相应的反例。这是理解定理的最快方法。

8.6 定义、定理、引理、推论的读法

8.6.1 各自是什么

定义里的「若」其实是「当且仅当」。 「若 \(\forall w\ne0\)，\(w^\top Aw>0\)，则称 \(A\) 正定。」定义是双向的：满足条件就叫正定，叫正定就满足条件。这是数学写作的惯例。

「良定义」（well-defined）。 定义一个量时，要保证它不依赖于无关的选择。例如第 01 册说「本原矩阵函数 \(f(A)=Sf(\Lambda)S^{-1}\) 与 \(S\) 的选取无关」，就是在说它是良定义的：对角化 \(A\) 的方式不唯一，但结果一样。

8.6.2 读定理的四个问题

以「若 \(\Sigma\) 正定，则最小方差组合存在唯一，为 \(w^*=\Sigma^{-1}\mathbf 1/(\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1)\)」为例。

1. 条件是什么？ \(\Sigma\) 正定。（隐含条件：只有满仓约束 \(\mathbf 1^\top w=1\)，允许卖空。）
2. 结论是什么？ 存在、唯一、具体表达式，三件事。
3. 每个条件为什么需要？ 去掉正定：若 \(\Sigma\) 只是半正定，比如两只资产完全正相关且波动率相同，\(\Sigma^{-1}\) 不存在，公式失效；此时任何权重组合方差都相同，最优解不唯一。
4. 能不能举个数值例子？ 第 05 章的三资产例子：\(w^*=(0.6616,0.2228,0.1156)\)。

把这四个问题写在定理旁边，比反复读定理本身有效得多。

8.6.3 读证明的方法

• 先看结构。 是直接证明、反证、归纳，还是构造？第一句通常会告诉你（「假设……不成立」「对 \(n\) 归纳」「令……」）。
• 逐行问依据。 每个等号、不等号、「因此」后面都应该能说出依据：定义、前面的引理、某个不等式、代数运算。说不出来的那一步就是你要停下来想的地方。
• 用具体数字走一遍。 把一般的 \(n\) 换成 2，把一般的矩阵换成 \(2\times2\) 的具体矩阵，看每一步是否成立。
• 允许暂时跳过。 第一遍读不懂的证明，先接受结论，把定理用起来，回头再读。很多证明的技巧性部分对应用无关紧要。本书的目标是读懂推导，不是成为数学家。

8.7 常用说法

8.8 希腊字母读音表

读音给出常见中文读法和英文名，中文读法各地略有差异，能交流即可。

几个容易混淆的：\(\nu\)（nu）与英文 v，\(\rho\)（rho）与英文 p，\(\omega\)（omega）与英文 w，\(\kappa\) 与 k，\(\chi\) 与 x。大写的 \(A,B,E,Z,H,I,K,M,N,O,P,T,X\) 与拉丁字母同形，所以几乎不单独使用。

8.9 全书常用记号速查表

8.9.1 逻辑与集合

8.9.2 分析与微积分

8.9.3 线性代数

8.9.4 概率与统计

8.10 示范：逐行读一个完整的证明

定理。 对任意方差有限且为正的随机变量 \(X,Y\)，\(-1\le\operatorname{Corr}(X,Y)\le1\)。

证明（原文）。 记 \(\sigma_X,\sigma_Y\) 为标准差，\(\rho=\operatorname{Corr}(X,Y)\)。由于方差非负，

故 \(\rho\ge-1\)。同理考虑 \(\operatorname{Var}(X/\sigma_X-Y/\sigma_Y)=2(1-\rho)\ge0\) 得 \(\rho\le1\)。\(\square\)

逐行解读。

1. 条件：方差有限且为正。为正是因为要除以 \(\sigma_X,\sigma_Y\)；有限是为了方差、协方差有意义。
2. 结构：直接证明。核心想法是「构造一个随机变量，利用其方差 \(\ge0\)」，这是概率论里证明不等式的常用技巧。
3. 第一个等号：方差的运算法则 \(\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}X+b^2\operatorname{Var}Y+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)\)，这里 \(a=1/\sigma_X\)，\(b=1/\sigma_Y\)（第 07 章）。你在 CFA 里用它算两资产组合方差。
4. 第二个等号：\(\operatorname{Var}X/\sigma_X^2=1\)，\(\operatorname{Var}Y/\sigma_Y^2=1\)，\(\operatorname{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)=\rho\)（相关系数的定义）。
5. 「同理」：作者省掉了把加号换成减号的重复计算。自己补一遍：\(\operatorname{Var}(X/\sigma_X-Y/\sigma_Y)=1+1-2\rho\)。
6. 金融解读：\(X/\sigma_X+Y/\sigma_Y\) 是两只资产按波动率倒数加权的组合。「组合方差不能为负」就是相关系数不能小于 \(-1\) 的原因。
7. 能否取等号：\(\rho=-1\) 当且仅当 \(\operatorname{Var}(X/\sigma_X+Y/\sigma_Y)=0\)，即这个组合是常数，也就是两只资产可以完全对冲。第 05 章练习 5 的 \(\rho=-1\) 情形正是如此。

用这种方式读完一个证明，你得到的不只是「相信结论」，还有一个可复用的技巧（用方差非负证明不等式）和一个金融解释。Cauchy–Schwarz 不等式（第 07 章）用的是同一个技巧。

本章小结

练习

1. 写出下列命题的否定：（a）所有因子的 IC 都大于 0.02；（b）存在一个组合，其夏普比率超过 2；（c）对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得 \(|x-a|<\delta\) 时 \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)。

答：（a）存在一个因子，其 IC 不大于 0.02。（b）所有组合的夏普比率都不超过 2。（c）存在 \(\varepsilon>0\)，对任意 \(\delta>0\)，都存在 \(x\) 满足 \(|x-a|<\delta\) 但 \(|f(x)-f(a)|\ge\varepsilon\)。这是「\(f\) 在 \(a\) 处不连续」的定义。

2. 判断真假并说明：「若 \(1>2\)，则 \(\sqrt2\) 是有理数。」

答：真。前提为假，蕴含命题空真。

3. 指出下列每对命题中，前者是后者的充分条件、必要条件、充要条件还是都不是：（a）\(X,Y\) 独立；\(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\)。（b）\(\sum a_k\) 收敛；\(a_k\to0\)。（c）\(\Sigma\) 正定；\(\Sigma\) 的所有特征值都为正（\(\Sigma\) 对称）。（d）一只股票上涨；它的 beta 为正。

答：（a）充分不必要。（b）充分不必要。（c）充要。（d）都不是：上涨可能来自特质收益，beta 为正也可能下跌。

4. 写出「若一个策略的 \(t\) 统计量大于 3，则它不是数据挖掘的产物」的逆命题、否命题和逆否命题。哪一个与原命题等价？原命题本身合理吗？

答：逆命题：若不是数据挖掘的产物，则 \(t\) 统计量大于 3。否命题：若 \(t\) 统计量不大于 3，则它是数据挖掘的产物。逆否命题：若是数据挖掘的产物，则 \(t\) 统计量不大于 3。只有逆否命题等价。原命题本身不成立：在大量尝试后，数据挖掘完全可以产生 \(t>3\) 的结果，这正是多重检验问题（第 03 册第 10b 章）。

5. 用数学归纳法证明 \(\sum_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}2\)。

答：\(n=1\) 时两边都是 1。假设 \(n=m\) 时成立，则 \(\sum_{k=1}^{m+1}k=\frac{m(m+1)}2+(m+1)=\frac{(m+1)(m+2)}2\)，即 \(n=m+1\) 时成立。

6. 用反证法证明：若一个最小方差组合 \(w^*\) 中资产 1 和资产 2 的权重都为正，则它们的边际方差 \((2\Sigma w^*)_1\) 与 \((2\Sigma w^*)_2\) 相等。

答：假设不等，不妨设（不失一般性）\((2\Sigma w^*)_1<(2\Sigma w^*)_2\)。从资产 2 挪小量 \(\epsilon>0\) 到资产 1（资产 2 权重为正，所以可以挪），满仓约束不变，方差一阶变化 \(\epsilon[(2\Sigma w^*)_1-(2\Sigma w^*)_2]<0\)，\(\epsilon\) 足够小时二阶项可忽略，方差下降，与 \(w^*\) 最优矛盾。

7. 举反例推翻：「若 \(X\) 和 \(Y\) 都服从正态分布且不相关，则 \(X\) 和 \(Y\) 独立。」

答：\(X\sim N(0,1)\)，\(S\) 独立地以各 1/2 概率取 \(\pm1\)，令 \(Y=SX\)。\(Y\) 也是标准正态（对称性），\(\operatorname{Cov}(X,Y)=E[S]E[X^2]=0\)，但 \(|Y|=|X|\)，显然不独立。\((X,Y)\) 不是联合正态，所以与「联合正态时不相关等价于独立」不矛盾。

8. 某论文写道：「不失一般性，设资产已按波动率从小到大排序。」这句话为什么可以「不失一般性」？

答：资产的编号只是名字，重新编号不改变问题的数学结构，对排序后的情形得到的结论，通过换回原编号对任意排列都成立。

9. 单步二叉树：\(S_0=50\)，上涨到 60 或下跌到 40，每期无风险利率为 0。构造复制行权价 50 的看跌期权的组合，并求期权价格。

答：看跌期权到期支付 0（上涨）或 10（下跌）。\(60\Delta+B=0\)，\(40\Delta+B=10\)，得 \(\Delta=-0.5\)，\(B=30\)。价格 \(50\times(-0.5)+30=5\)。

10. 读出下列表达式：（a）\(\hat\beta\xrightarrow{p}\beta\)；（b）\(w^*=\arg\min_{\mathbf 1^\top w=1}w^\top\Sigma w\)；（c）\(X_i\overset{\text{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2)\)；（d）\(f(h)=O(h^2)\)，\(h\to0\)；（e）\(\Sigma\succeq0\)。

答：（a）\(\beta\) 的估计量依概率收敛到 \(\beta\)（一致估计）。（b）\(w^*\) 是在满仓约束下使组合方差最小的权重向量。（c）\(X_i\) 独立同分布，服从均值 0、方差 \(\sigma^2\) 的正态分布。（d）\(h\) 趋于 0 时，\(|f(h)|\) 不超过某个常数乘 \(h^2\)。（e）\(\Sigma\) 半正定。

11. 解释为什么 \(\exists N\,\forall\varepsilon>0,\ |a_n-L|<\varepsilon\ (n>N)\) 比数列收敛的定义强得多。

答：这里 \(N\) 不能依赖 \(\varepsilon\)。\(n>N\) 时 \(|a_n-L|\) 小于任意正数，只能等于 0，即数列从第 \(N+1\) 项起恒等于 \(L\)。收敛的定义允许 \(N\) 随 \(\varepsilon\) 变大，所以 \(a_n=1/n\) 收敛到 0，但不满足这个更强的条件。

12. 下面的「证明」错在哪里？「命题：所有资产的收益率都相同。对资产个数 \(n\) 归纳。\(n=1\) 时显然成立。假设任意 \(k\) 只资产收益率都相同。对 \(k+1\) 只资产，去掉最后一只，前 \(k\) 只收益率相同；去掉第一只，后 \(k\) 只收益率相同；两组有重叠，所以全部相同。」

答：归纳步在 \(k=1\) 到 \(k+1=2\) 时失效：去掉最后一只剩 {资产 1}，去掉第一只剩 {资产 2}，两组没有重叠，无法传递。归纳步必须对每一个 \(k\ge1\) 都成立，这个「证明」只对 \(k\ge2\) 成立。

在全书中用到的地方

• 第 01 册全册（线性代数与矩阵分析）：Horn & Johnson 是标准的定义—定理—证明体例，第 07a 章正定矩阵的多种等价刻画（「以下条件等价」）、第 08a 章 Perron–Frobenius 定理的存在性证明都需要本章的读法。
• 第 02 册第 02 章（概率公理）：集合运算与德摩根律；第 02 册第 07a 章：独立与不相关。
• 第 03 册第 01 章、第 10a 章、第 10b 章：\(\sup\)、依概率收敛等记号；假设检验的逻辑（否定后件）；多重检验与「肯定后件」式的过拟合。
• 第 03 册第 17 章（图模型）：条件独立记号 \(X\amalg Y\mid Z\) 与 \(\Rightarrow\)、\(\iff\)。
• 第 04 册第 12 章（约束优化理论）：一阶必要条件、二阶充分条件的定理陈述。
• 第 05 册第 01 章：计量经济学下标与记号约定。
• 第 08 册第 11 章、第 13 章、第 28 章：期权性质的套利论证（反证法）；二叉树复制组合（构造法）；鞅与测度的量词表述。
• 第 09 册第 01 章、第 03 章、第 04b 章：循环不变式（归纳法的变体）；渐近记号 \(O,\Omega,\Theta,o\)；递归式的代入法（强归纳）。