元信息：James G. Simmonds《A Brief on Tensor Analysis》（2nd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 1994）；负责范围：全书 PDF 第 1–123 页。页码换算：第 I–III 章原书第 p 页 = PDF 第 p+13 页（原书 p.1 = PDF p.14）；扫描缺原书空白页 p.70 与 p.106，故第 IV 章起原书第 p 页 = PDF 第 p+12 页（原书 p.71 = PDF p.83，索引 p.107 = PDF p.118）。

Simmonds《张量分析简明教程》精读笔记

前置页（PDF p.1–13）

PDF p.1：封面。封面插图即本书核心图像：平面极坐标下某点的自然基向量 $\mathbf g_r,\mathbf g_\theta$，以及向量 $\mathbf v=v^r\mathbf g_r+v^\theta\mathbf g_\theta$ 的平行四边形分解（逆变分量）。
PDF p.2–4：丛书（UTM）编委与书目列表。
PDF p.5–6：扉页与版权页。作者 James G. Simmonds，University of Virginia 应用数学系；MSC(1991) 15-01, 15A72；1982 年第一版、1994 年第二版；全书 28 幅插图。
PDF p.7：献词「献给我的父亲，我第一位也是最伟大的老师」。
PDF p.8（第二版序）：三处改动：修正排印错误与细节；增加习题，尤其第 4 章末；新增「微分几何」(Differential Geometry) 一节——研究二维结构壳体 (shells) 与四维广义相对论的基本数学工具。
PDF p.9–11（第一版序）：作者回忆本科时被「2 阶张量是 $n^2$ 个按某规则变换的对象」这种定义吓退。本书立场：2 阶张量本质上就是把向量映为向量的线性算子（第 1 章中段即给出）；之后的「指标狂欢」(débauche des indices) 只是暴露「计算机器的齿轮」，没有它就无法得到数值结果。张量变换公式是全书唯一用方框框起来的公式。全书分两半：代数（第 1–2 章）与微积分（第 3–4 章）。第 1 章重概念，讲向量的数学与物理含义（受 Hoffman《About Vectors》影响，但作者不同意「向量不能表示有限转动」的说法）；第 2 章讲一般基下表示向量和张量的指标工具；第 3 章借牛顿运动定律引入运动标架 (moving frames) 与 Christoffel 符号，并以「对偶形式」并列列出公式；第 4 章从梯度的直观例子一直推进到协变导数，贯穿连续介质力学应用。书中不提供各坐标系下 grad/div/curl 的系统列表（建议查 Magnus–Oberhettinger–Soni 或 Gradshteyn–Ryzhik），并提及可用计算机符号运算处理繁琐展开。
PDF p.12–13：目录。第 I 章 Introduction: Vectors and Tensors（p.1–24）；第 II 章 General Bases and Tensor Notation（p.25–44）；第 III 章 Newton's Law and Tensor Calculus（p.45–70）；第 IV 章 The Gradient, the Del Operator, Covariant Differentiation, and the Divergence Theorem（p.71–106）；Index（p.107 起）。

第 I 章引言：向量与张量（Introduction: Vectors and Tensors，PDF p.14–37）

1.0 章首引言（PDF p.14–15）

引 Einstein 1915 年语：该理论是 Gauss、Riemann、Christoffel、Ricci、Levi-Civita 创立的「绝对微分学」(absolute differential calculus) 的胜利。张量分析就是今天对绝对微分学的称呼。
本书面向连续介质力学 (continuum mechanics)，而非广义相对论。连续介质力学是广义相对论的极限情形，但宜单独处理。两者几何基础根本不同：连续介质力学的几何是三维欧氏空间 $E_3$ 与实数轴 $\mathbb R$；广义相对论的几何是四维 Riemann 流形（球面是二维 Riemann 流形）。作者指出连续介质力学中的壳体 (shells) 理论以「矮化形式」展现了广义相对论几乎全部数学结构。
二分法：要量化物理事件，就必须引入参考标架 (frame) 和该标架内的坐标系 (coordinate system)；但标架和坐标只是脚手架，物理定律应能写成与标架、坐标无关的不变形式 (invariant form)——这是广义相对论的纲领。
连续介质力学中存在特殊的惯性标架 (inertial frames)，牛顿定律只在其中成立。本书（除习题 4.24 外）不讨论变换标架，只讨论在固定标架内，物理对象或定律的数学表示如何随坐标系（如笛卡尔→球坐标）改变。
脚注 3：标架是给物理世界 $\mathcal W$ 中每个事件 $e$ 指派 $E_3$ 中唯一「位置」和 $\mathbb R$ 上唯一「时刻」的数学表示，即映射 $f:\mathcal W\to E_3\times\mathbb R$（Truesdell 称为 framing）。作者用「装在三根互相垂直刚性刀口杆上的理想立体摄像机」作比喻。坐标系则给每个位置一个实数三元组 $(u,v,w)$（空间坐标），给每个时刻一个数 $t$。
脚注 4：广义相对论中标架就是坐标系（物理即几何）；惯性系可像在球面一点的任意小邻域内引入二维笛卡尔坐标那样引入。
脚注 5：换标架 = 用另一台摄像机拍世界；它是 $E_3\times\mathbb R$ 到自身、保持两事件间距离与时间间隔的时变映射；时间间隔为零时其形式与刚体运动相同（见习题 4.19）。
作者假设读者记得平面/立体几何、见过一些向量代数和微积分；强调向量加法的物理含义与分量表示——这些在多数教材中没有讲。

1.1 三维欧氏空间（Three-Dimensional Euclidean Space，PDF p.16）

$E_3$ 可由一组公理刻画（点、线等原始概念之间的关系，Hilbert 纲领：把几何化归为逻辑，「不许画图」）。这些关系与物理世界中的距离测量高度吻合，因此在广义相对论之前，人们认为欧氏几何就是宇宙的运动学模型。本书采用非形式化、直观的方法。

1.2 有向线段（Directed Line Segments，PDF p.16–17）

箭头 (arrow)：有序点对 $(A,B)$，$A$ 为尾 (tail)、$B$ 为头 (head)，记作 $\overline{AB}$。给箭头指定长度、用实数乘箭头（固定尾部）都是 $E_3$ 中定义良好的运算。
等价：两箭头若可经平行移动重合，则称等价（脚注：这个定义在球面上没有意义——为什么？因为球面上没有「平行移动」的整体概念，这是后来协变导数/联络概念的伏笔）。图 1.1：$\overline{AB}$ 与 $\overline{CD}$ 等价，$\overline{AB}$ 与 $\overline{EF}$（方向相反）、$\overline{GH}$ 不等价。
（几何）向量 (vector)：与给定箭头等价的全体箭头构成的集合，即一个等价类 (equivalence class)，用任一箭头作代表。
类比：计算机做有理数精确运算时把 $2/3$ 存为整数对 $(2,3)$，判断 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 等价用 $ad=bc$——有理数 $a/b$ 就是满足 $ad=bc$ 的整数对 $(c,d)$ 的等价类。实践中常把「数」与其表示混用，同样把「向量」与其某个箭头混用。
长度 $|\mathbf v|$：任一代表箭头的长度。零向量 $\mathbf 0$ 是唯一长度为零的向量。方向（单位向量）： $\bar{\mathbf v}=\mathbf v/|\mathbf v|,\quad \mathbf v\neq\mathbf 0 \tag{1.1}$ $\mathbf 0$ 无方向。
任意选一点 $0$ 为原点 (origin)，从 $0$ 到点 $P$ 的向量 $\mathbf x$ 称为 $P$ 的位置 (position)，记 $P(\mathbf x)$。

1.3 两向量相加（Addition of Two Vectors，PDF p.17–18）

两种等价定义（等价性和唯一性可由欧氏几何公设证明）：

A. 首尾相接法则 (head-to-tail rule，图 1.3a)：取代表 $\mathbf u$ 的箭头 $\overline{AB}$，则存在唯一代表 $\mathbf v$ 的箭头 $\overline{BC}$，定义 $\mathbf u+\mathbf v$ 为 $\overline{AC}$ 的向量。便于连加多个向量，但交换律不明显。
B. 平行四边形法则 (parallelogram rule，图 1.3b)：$\mathbf u,\mathbf v$ 用共尾箭头 $\overline{AB},\overline{AD}$ 表示，$\mathbf u+\mathbf v$ 为对角线 $\overline{AC}$（$C$ 为与 $A$ 相对的顶点）。三个向量相加：$\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w$ 是以 $\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD}$ 为共端棱的平行六面体从 $A$ 出发的体对角线（习题 1.2）。

1.4 向量与标量相乘（PDF p.18）

$\alpha\mathbf v$ 为箭头 $\alpha\overline{AB}$ 的向量（欧氏几何中用相似三角形实现乘法）。全体几何向量连同加法和数乘构成线性向量空间 (linear vector space)。其他例子：$n$ 次多项式全体、$n$ 阶线性齐次 ODE 的解全体、$m\times n$ 矩阵全体。

1.5 向量可以表示什么（Things That Vectors May Represent，PDF p.18–19）

位移、力、刚体绕轴的有限转动等都有方向与大小，可用向量表示其属性（脚注：严格说是「表示力的属性的向量 $\mathbf f$」，简称「力 $\mathbf f$」）。两个基本要点：

A. 不同类对象由属于不同向量空间的向量表示，否则就能把力和位移相加了。但为简洁常把它们画在同一图中（图 1.4：炮弹的位置 $\mathbf x$、速度 $\mathbf v$、加速度 $\mathbf a$、受力 $\mathbf f$）。
B. 向量加法未必反映被表示对象的某种属性。位移、力、速度的加法有明显物理对应；而绕定点的相继有限转动没有。脚注 10：物理上，位移按首尾法则相加；作用于同一点的力按平行四边形法则相加；速度「像向量一样相加」只是因为连续介质力学关于运动标架的公设——在相对论中速度并不按向量相加。

1.6 笛卡尔坐标（Cartesian Coordinates，PDF p.19–20）

过原点作三条互相垂直的直线。一条为 $x$ 轴，取点 $I\neq 0$，射线 $0I$ 为正 $x$ 轴，$\overline{0I}$ 为 $x$ 方向单位箭头，其向量记 $\mathbf e_x$；再取 $y$ 轴上点 $J$ 使 $|\overline{0J}|=|\overline{0I}|$，向量 $\mathbf e_y$；第三条为 $z$ 轴，按右手法则（右手四指从 $\overline{0I}$ 弯向 $\overline{0J}$，拇指指向 $\overline{0K}$）取唯一点 $K$，得 $\mathbf e_z$。
点 $P$ 的笛卡尔坐标 $(x,y,z)$：$x$ 是从 $yz$ 平面到 $P$ 的有向垂直距离（$P$ 与 $I$ 同侧为正），$y,z$ 类似。记 $P(x,y,z)$。
向量 $\mathbf v$ 以原点为尾时，其头的坐标 $(v_x,v_y,v_z)$ 称为 $\mathbf v$ 的笛卡尔分量 (Cartesian components)，记 $\mathbf v\sim(v_x,v_y,v_z)$（「$\sim$」表示「由……表示」而非相等）： $\mathbf e_x\sim(1,0,0),\ \mathbf e_y\sim(0,1,0),\ \mathbf e_z\sim(0,0,1)\tag{1.2}$ $\mathbf x\sim(x,y,z)\tag{1.3}$
由此推出：
- (i) 勾股定理：$|\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ (1.4)
- (ii) $\alpha\mathbf v\sim(\alpha v_x,\alpha v_y,\alpha v_z)$ (1.5)
- (iii) $\mathbf v\pm\mathbf w\sim(v_x\pm w_x,v_y\pm w_y,v_z\pm w_z)$ (1.6)
- (iv) $\mathbf v=\mathbf w\iff v_x=w_x,\ v_y=w_y,\ v_z=w_z$ (1.7)
这些关系使我们能在计算机上表示和操作向量。脚注 12：这里是从几何性质推出代数性质；反方向更容易——直接定义 $E_3$ 为全体实三元组，两点距离为 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$。

1.7 点积（The Dot Product，PDF p.20–22）

常见定义 $\mathbf u\cdot\mathbf v=|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta,\ 0\le\theta\le\pi$ (1.8)。作者指出问题：如果只会算长度，$\theta$ 怎么算？只能把 (1.8) 当成 $\theta$ 的定义，因此需要一个不依赖 $\theta$ 的点积定义。
推导（图 1.5）：若 $|\mathbf u||\mathbf v|=0$，令 $\mathbf u\cdot\mathbf v=0$。否则把 $\mathbf v$ 分解为平行于 $\mathbf u$ 的 $|\mathbf v|\cos\theta\,\bar{\mathbf u}$ 与垂直于 $\mathbf u$ 的 $\mathbf v_\perp$。由勾股定理： $|\mathbf v|^2=|\mathbf v|^2\cos^2\theta+|\mathbf v_\perp|^2 \tag{1.9}$ $|\mathbf v-\mathbf u|^2=(|\mathbf v|\cos\theta-|\mathbf u|)^2+|\mathbf v_\perp|^2=-2|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta+|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2 \tag{1.10}$ （即余弦定理）。比较 (1.8) 与 (1.10) 得点积的定义： $\mathbf u\cdot\mathbf v\equiv\tfrac12\left(|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2-|\mathbf v-\mathbf u|^2\right)\tag{1.11}$ $|\mathbf u||\mathbf v|=0$ 时与前述约定一致。特例 $\mathbf v\cdot\mathbf v=|\mathbf v|^2$ (1.12)。点积为零称正交 (orthogonal, $\perp$)。
分量公式（由 (1.4) 与 (1.11)）： $\mathbf u\cdot\mathbf v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z\tag{1.13}$
几何不变量 (geometric invariant)：换一组笛卡尔轴，各分量乘积会变，但和不变——因为 (1.11) 只用长度定义，而长度不依赖坐标轴。
分配律：$\mathbf u\cdot(\mathbf v+\mathbf w)=\mathbf u\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf w$ (1.14)，用 (1.13) 一行证明。作者强调：几何事实常用笛卡尔坐标证明最容易，但既然 (1.14) 与坐标无关，它必然能直接由 (1.11) 推出（习题 1.7）。要同时从代数和几何两方面理解公式。
例题 1.1：$\mathbf u\sim(1,2,3)$，$\mathbf v\sim(-3,1,-2)$。$\mathbf u\cdot\mathbf v=-3+2-6=-7$；$|\mathbf u|=|\mathbf v|=\sqrt{14}$；$\theta=\cos^{-1}(-7/14)=120^\circ=2\pi/3$。

1.8 笛卡尔基向量（Cartesian Base Vectors，PDF p.23）

由 (1.5)(1.6)，$(v_x,v_y,v_z)=v_x(1,0,0)+v_y(0,1,0)+v_z(0,0,1)$ (1.15)，从而 $\mathbf v$ 有唯一表示

\mathbf v=v_x\mathbf e_x+v_y\mathbf e_y+v_z\mathbf e_z\tag{1.16}

$\{\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z\}$ 称标准笛卡尔基 (standard Cartesian basis)，元素为笛卡尔基向量；$\mathbf v$ 的笛卡尔分量也称「相对于该基的分量」。

1.9 向量加法的解释（The Interpretation of Vector Addition，PDF p.23–24）

必须区分两种加法：作为物理/运动学属性反映的向量加法，和 (1.16) 右端那种数学运算意义的加法。
例：用向量 $\mathbf v$ 表示刚体绕定点的转动（方向=转轴，按右手法则；大小=转角）。相继两次转动 $\mathbf v$、$\mathbf u$ 等价于单次转动 $\mathbf w$，但一般 $\mathbf v+\mathbf u\neq\mathbf w$，即有限转动不像向量那样相加。脚注 15：转动也可用矩阵表示，相继转动 $V$、$U$ 等价于 $W=UV$；$\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ 分别对应 $U,V,W$ 的唯一实特征向量。
但只要不把 (1.16) 中各被加项单独解释为转动，这个加法仍有意义。类比：20 名学生 30 把椅子，统计上说「每把椅子 2/3 个学生」，物理上并没有 2/3 个学生——只是对整数做了数学运算。
当 $\mathbf v$ 表示力时，向量加法确实反映物理属性：「力像向量一样相加」是实验事实（习题 1.3）。类比：20 加仑牛奶分到 30 个水罐，每罐 2/3 加仑在物理上可以实现。

1.10 叉积（The Cross Product，PDF p.24–28）

应用场景：力矩、磁场中运动电荷所受力、平行六面体/四面体体积等。
定义：$\mathbf u\times\mathbf v$ 为以 $\mathbf u,\mathbf v$ 为共端棱的平行四边形的右手定向面积： $|\mathbf u\times\mathbf v|=|\mathbf u||\mathbf v|\sin\theta,\quad0\le\theta\le\pi\tag{1.17}$ 方向为右手四指从 $\mathbf u$ 弯向 $\mathbf v$ 时拇指的方向（图 1.6）。由定义 $\mathbf u\times\mathbf v=-\mathbf v\times\mathbf u$ (1.18)。
标量三重积 (scalar triple product) $(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w$：以 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ 为共端棱的平行六面体体积。把它看成底面相同、高度趋零的直平行六面体之和的极限（脚注：像一叠扑克牌被剪切成平行六面体，体积不变）， $\mathrm{vol}(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)=|(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w|\tag{1.19}$ 若 $(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)$ 依次成右手系，由对称性 $\mathrm{vol}(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)=(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w=(\mathbf w\times\mathbf u)\cdot\mathbf v=(\mathbf v\times\mathbf w)\cdot\mathbf u\ge0\tag{1.20}$ 即三重积在循环置换下不变。
叉积分配律 $\mathbf u\times(\mathbf v+\mathbf w)=\mathbf u\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf w$ (1.21)。证明用引理：两向量相等当且仅当它们与所有向量 $\mathbf c$ 的点积相等（脚注 18：取 $\mathbf c=\mathbf u-\mathbf v$ 得 $|\mathbf u-\mathbf v|^2=0$）。于是 $[\mathbf u\times(\mathbf v+\mathbf w)]\cdot\mathbf c=(\mathbf c\times\mathbf u)\cdot(\mathbf v+\mathbf w)=(\mathbf c\times\mathbf u)\cdot\mathbf v+(\mathbf c\times\mathbf u)\cdot\mathbf w=(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf c+(\mathbf u\times\mathbf w)\cdot\mathbf c=(\mathbf u\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf w)\cdot\mathbf c$。
例题 1.2（向量三重积，不用分量证明）： $(\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf w\equiv(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v-(\mathbf v\cdot\mathbf w)\mathbf u\tag{1.22}$ 证明思路：$\mathbf u\times\mathbf v$ 垂直于 $\mathbf u,\mathbf v$ 所在平面，故 $(\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf w$ 在该平面内：$=A\mathbf u+B\mathbf v$ ()。左边 $\perp\mathbf w$，故 $0=A\,\mathbf u\cdot\mathbf w+B\,\mathbf v\cdot\mathbf w$，于是 $A=-C(\mathbf v\cdot\mathbf w)$、$B=C(\mathbf u\cdot\mathbf w)$，$C=C(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)$ 为待定标量函数 ()。取 $\mathbf w=\mathbf u$：$(\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf u=C(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf u)[|\mathbf u|^2\mathbf v-(\mathbf v\cdot\mathbf u)\mathbf u]$ ()；两边点乘 $\mathbf v$ 并循环置换左边三重积得 $(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=C[|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2]$ (***)；而左边 $=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2\sin^2\theta=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2$，故 $C(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf u)=1$。再对 () 两边点乘 $\mathbf u$ 并置换：$[\mathbf u\times(\mathbf u\times\mathbf v)]\cdot\mathbf w=C(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)[(\mathbf u\cdot\mathbf w)(\mathbf v\cdot\mathbf u)-(\mathbf v\cdot\mathbf w)|\mathbf u|^2]$；而由 () 且 $C=1$，左边 $=(\mathbf v\cdot\mathbf u)(\mathbf u\cdot\mathbf w)-|\mathbf u|^2\mathbf v\cdot\mathbf w$，故 $C(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)=1$。
三重积还可解释为投影面积（习题 1.15）。
叉积的分量：比点积难，因为结果是向量，且叉积只在三维存在（高维中 Grassmann 代数给出楔积 wedge product）。用分配律展开九项 (1.23)，利用 $\mathbf e_x\times\mathbf e_x=\mathbf 0$、$\mathbf e_x\times\mathbf e_y=\mathbf e_z$、$\mathbf e_x\times\mathbf e_z=-\mathbf e_y$ 等，得 $\mathbf u\times\mathbf v=\mathbf e_x(u_yv_z-u_zv_y)+\mathbf e_y(u_zv_x-u_xv_z)+\mathbf e_z(u_xv_y-u_yv_x)\tag{1.24}$ 记忆为形式行列式（按第一行展开） $\mathbf u\times\mathbf v=\begin{vmatrix}\mathbf e_x&\mathbf e_y&\mathbf e_z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}\tag{1.25}$ 再由行列式性质（转置不变、交换两行变号）： $(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w=\begin{vmatrix}w_x&w_y&w_z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\\w_x&w_y&w_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_x&v_x&w_x\\u_y&v_y&w_y\\u_z&v_z&w_z\end{vmatrix}\tag{1.26}$
例题 1.3：求同时垂直于 $\mathbf a\sim(1,-2,3)$、$\mathbf b\sim(-1,0,1)$ 的单位向量。法一：$\mathbf e=\pm\mathbf a\times\mathbf b/|\mathbf a\times\mathbf b|$，$\mathbf a\times\mathbf b\sim(-2,-4,-2)$，$|\mathbf a\times\mathbf b|=2\sqrt6$，$\mathbf e\sim\pm(1/\sqrt6,2/\sqrt6,1/\sqrt6)$。法二：设 $\mathbf e\sim(a,b,c)$，$\mathbf e\cdot\mathbf a=a-2b+3c=0$、$\mathbf e\cdot\mathbf b=-a+c=0$，得 $b=2a,c=a$，$\mathbf e\sim a(1,2,1)$，$a=\pm1/\sqrt6$。

1.11 点积与叉积的另一种解释：张量（Alternative Interpretation of the Dot and Cross Product. Tensors，PDF p.28–29）

恒力 $\mathbf F$ 通过位移 $\mathbf D$ 做功 $\mathbf F\cdot\mathbf D$。力从不直接测量，只测其效应（弹簧伸长、应变片电阻变化），且单位与位移不同，所以表示力的向量与表示位移的向量位于不同空间。若用图解法算 $\mathbf F\cdot\mathbf D$，需要先让两个空间的坐标轴重合、再伸缩单位箭头使之相同……更简单的看法：力可以在数学上看作一个线性泛函 (linear functional)，把任一位移向量 $\mathbf D$ 映为实数（功）。（这是对偶空间/余向量思想的直观来源。）
叉积类似：力 $\mathbf F$ 作用于位置 $\mathbf x$ 处，关于 $0$ 的力矩 $\mathbf x\times\mathbf F$ 引出把向量映为向量的线性算子，这类算子称为2 阶张量 (2nd order tensors)。「张量」一词源自弹性理论：受载弹性体中，应力张量作用在一点处某平面的单位法向量上，给出跨该平面的张力（单位面积上的力），见习题 1.20。其他重要 2 阶张量：刚体动力学的惯性张量、弹性理论的应变张量、流体力学的动量通量张量。
最简单的非平凡例子——投影： $\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf v\equiv(\mathbf v\cdot\bar{\mathbf u})\bar{\mathbf u}\tag{1.27}$ （图 1.8）。左边看作算子 $\mathrm{Proj}_{\mathbf u}$ 作用于 $\mathbf v$，结果是沿 $\mathbf u$ 方向、大小为 $\mathbf v\cdot\bar{\mathbf u}$ 的向量。线性性： $\mathrm{Proj}_{\mathbf u}(\beta\mathbf v+\gamma\mathbf w)=[(\beta\mathbf v+\gamma\mathbf w)\cdot\bar{\mathbf u}]\bar{\mathbf u}=\beta\,\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf v+\gamma\,\mathrm{Proj}_{\mathbf u}\mathbf w\tag{1.28}$ 因此是张量。
直积/并矢 (direct product) $\mathbf{uv}$：把任一向量 $\mathbf w$ 映为 $\mathbf{uv}(\mathbf w)=\mathbf u(\mathbf v\cdot\mathbf w)\tag{1.29}$ （许多作者记作 $\mathbf u\otimes\mathbf v$）。特别地 $\mathrm{Proj}_{\mathbf u}=\bar{\mathbf u}\bar{\mathbf u}$ (1.30)。能表示为直积的张量称为并矢 (dyads)；任一 2 阶张量都能表示为并矢的线性组合。

1.12 定义（Definitions，PDF p.29–30）

给定 2 阶张量 $\mathbf T$ 即知道它对任一向量 $\mathbf v$ 的作用（记作 $\mathbf{Tv}$、$\mathbf T(\mathbf v)$ 或 $\mathbf T\cdot\mathbf v$）。脚注 20：严格还需指明定义域与值域，二者常不同，如惯性张量的定义域是角速度空间，值域是角动量空间（习题 4.22）。
相等： $\mathbf S=\mathbf T\iff\mathbf{Sv}=\mathbf{Tv},\ \forall\mathbf v\tag{1.31}$ $\mathbf S=\mathbf T\iff\mathbf u\cdot\mathbf{Sv}=\mathbf u\cdot\mathbf{Tv},\ \forall\mathbf u,\mathbf v\tag{1.32}$
零张量 $\mathbf O\mathbf v=\mathbf 0$；单位（恒等）张量 $\mathbf 1\mathbf v=\mathbf v$，$\forall\mathbf v$。
转置：唯一满足下式的张量 $\mathbf T^T$： $\mathbf u\cdot\mathbf{Tv}=\mathbf v\cdot\mathbf T^T\mathbf u,\ \forall\mathbf u,\mathbf v\tag{1.33}$
(1.34)：(a) 对称 $\mathbf T=\mathbf T^T$；(b) 反对称 (skew) $\mathbf T=-\mathbf T^T$；(c) 奇异 (singular)：存在 $\mathbf v\neq\mathbf0$ 使 $\mathbf{Tv}=\mathbf0$。
对称–反对称分解： $\mathbf T=\tfrac12(\mathbf T+\mathbf T^T)+\tfrac12(\mathbf T-\mathbf T^T)\tag{1.35}$
例题 1.4：若 $\mathbf v\sim(v_x,v_y,v_z)$，$\mathbf{Tv}\sim(-2v_x+3v_z,\,-v_z,\,v_x+2v_y)$，求 $\mathbf T^T\mathbf v$。设 $\mathbf T^T\mathbf v\sim(a,b,c)$、$\mathbf u\sim(\alpha,\beta,\gamma)$，由 $\mathbf u\cdot\mathbf T^T\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf{Tu}$：$\alpha a+\beta b+\gamma c=v_x(-2\alpha+3\gamma)+v_y(-\gamma)+v_z(\alpha+2\beta)=\alpha(-2v_x+v_z)+\beta(2v_z)+\gamma(3v_x-v_y)$，比较系数得 $\mathbf T^T\mathbf v\sim(-2v_x+v_z,\,2v_z,\,3v_x-v_y)$。

1.13 2 阶张量的笛卡尔分量（The Cartesian Components of a Second Order Tensor，PDF p.30–32）

由线性：$\mathbf{Tv}=v_x\mathbf{Te}_x+v_y\mathbf{Te}_y+v_z\mathbf{Te}_z$ (1.36)。$\mathbf{Te}_x$ 等是向量，记其分量为 $\mathbf{Te}_x=T_{xx}\mathbf e_x+T_{yx}\mathbf e_y+T_{zx}\mathbf e_z\tag{1.37}$ $\mathbf{Te}_y=T_{xy}\mathbf e_x+T_{yy}\mathbf e_y+T_{zy}\mathbf e_z\tag{1.38}$ $\mathbf{Te}_z=T_{xz}\mathbf e_x+T_{yz}\mathbf e_y+T_{zz}\mathbf e_z\tag{1.39}$ 9 个系数 $T_{xx},\dots,T_{zz}$ 称为 $\mathbf T$ 的笛卡尔分量，记 $\mathbf T\sim T$，其中矩阵 $T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列为 $T_{ij}$（即 (1.37)–(1.39) 系数矩阵的转置；$\mathbf{Te}_j$ 的分量构成 $T$ 的第 $j$ 列）。记忆法：$T_{xx}=\mathbf e_x\cdot\mathbf{Te}_x$，$T_{xy}=\mathbf e_x\cdot\mathbf{Te}_y$，即 $T_{ij}=\mathbf e_i\cdot\mathbf T\mathbf e_j$。
例题 1.5：例 1.4 中 $\mathbf T$ 的分量。$\mathbf{Te}_x\sim(-2,0,1)$、$\mathbf{Te}_y\sim(0,0,2)$、$\mathbf{Te}_z\sim(3,-1,0)$，故 $\mathbf T\sim\begin{bmatrix}-2&0&3\\0&0&-1\\1&2&0\end{bmatrix}$
例题 1.6：$\mathbf u\times$ 可看作 2 阶张量（作用于 $\mathbf v$ 按 (1.24)）。$\mathbf u\times\mathbf e_x\sim(0,u_z,-u_y)$，$\mathbf u\times\mathbf e_y\sim(-u_z,0,u_x)$，$\mathbf u\times\mathbf e_z\sim(u_y,-u_x,0)$，故 $\mathbf u\times\sim\begin{bmatrix}0&-u_z&u_y\\u_z&0&-u_x\\-u_y&u_x&0\end{bmatrix}$ （反对称矩阵；在量化/机器学习中常见的「叉积矩阵」$[\mathbf u]_\times$。）

1.14 2 阶张量的笛卡尔基（The Cartesian Basis for Second Order Tensors，PDF p.32）

二维情形：$\mathbf{Tv}=v_x(T_{xx}\mathbf e_x+T_{yx}\mathbf e_y)+v_y(T_{xy}\mathbf e_x+T_{yy}\mathbf e_y)$ (1.40)。而 $v_x\mathbf e_x=(\mathbf v\cdot\mathbf e_x)\mathbf e_x=\mathbf e_x\mathbf e_x(\mathbf v)$ 等，于是 $\mathbf{Tv}=(T_{xx}\mathbf e_x\mathbf e_x+T_{xy}\mathbf e_x\mathbf e_y+T_{yx}\mathbf e_y\mathbf e_x+T_{yy}\mathbf e_y\mathbf e_y)\mathbf v,\ \forall\mathbf v\tag{1.41}$ 由 (1.31)，$\mathbf T=T_{xx}\mathbf e_x\mathbf e_x+T_{xy}\mathbf e_x\mathbf e_y+T_{yx}\mathbf e_y\mathbf e_x+T_{yy}\mathbf e_y\mathbf e_y$ (1.42)。
唯一性：若另有表示 (1.43)，两式相减得 (1.44)，等价于 $\mathbf u\cdot[\cdots]\mathbf v=0,\ \forall\mathbf u,\mathbf v$ (1.45)；取 $\mathbf u=\mathbf v=\mathbf e_x$ 得 $T_{xx}=T'_{xx}$，取 $\mathbf u=\mathbf e_x,\mathbf v=\mathbf e_y$ 得 $T_{xy}=T'_{xy}$ 等。
三维：唯一地 $\mathbf T=\sum_{i,j\in\{x,y,z\}}T_{ij}\,\mathbf e_i\mathbf e_j\tag{1.46}$ 9 个并矢 $\{\mathbf e_x\mathbf e_x,\mathbf e_x\mathbf e_y,\dots,\mathbf e_z\mathbf e_z\}$ 构成全体 2 阶张量的一组基。

1.15 习题（Exercises，PDF p.33–37）

题型概括（共 28 题）：

1.1 作图：五个二维向量首尾相接求和，并求使总和为零的 $\mathbf u$。1.2 透视图说明三向量和是平行六面体对角线。1.3 设计实验证明力按向量相加。
1.4–1.5 计算：$\mathbf u\sim(2,-3,4)$、$\mathbf v\sim(1,0,1)$ 的点积、夹角与相互投影。1.6 用点积算华盛顿（39°N,77°W）到莫斯科（56°N,38°E）的大圆距离（地球半径取 4000 英里）。
1.7 不用坐标、仅用 (1.11) 证明分配律（提示：平行四边形定律 $2|\mathbf a|^2+2|\mathbf b|^2=|\mathbf a+\mathbf b|^2+|\mathbf a-\mathbf b|^2$，令 $\mathbf v+\mathbf w-\mathbf u=(\mathbf v-\frac12\mathbf u)+(\mathbf w-\frac12\mathbf u)$）。
1.8 Schwarz 不等式 $|\mathbf u\cdot\mathbf v|\le|\mathbf u||\mathbf v|$ 的三种证法（$|\mathbf u\times\mathbf v|^2\ge0$；二次多项式 $p(x)=|\mathbf u+x\mathbf v|^2\ge0$ 的判别式；三角形边长差不等式），以及函数版本 $\left|\int_a^bfg\,dx\right|\le\sqrt{\int_a^bf^2dx}\sqrt{\int_a^bg^2dx}$。
1.9 不用分量解 $\mathbf x+\mathbf a\times\mathbf x=\mathbf b$，答案 $\mathbf x=\dfrac{\mathbf b+(\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf a+\mathbf b\times\mathbf a}{1+\mathbf a\cdot\mathbf a}$（设 $\mathbf x=A\mathbf a+B\mathbf b+C\mathbf a\times\mathbf b$；唯一性看 $\mathbf x-\mathbf y+\mathbf a\times(\mathbf x-\mathbf y)=\mathbf0$）。
1.10 叉积与平面方程；1.11 点到平面 $Ax+By+Cz=D$ 的距离（拉格朗日乘子法与向量法，法向 $\mathbf N\sim(A,B,C)$）。
1.12 直积作用计算 $\mathbf{uv}(\mathbf w)$ 等；1.13 证 $(\mathbf{uv})^T=\mathbf{vu}$，$(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c=(\mathbf{ba}-\mathbf{ab})\mathbf c$。1.14 四面体体积 $=\frac16|(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w|$。1.15 $|(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\bar{\mathbf w}|$ 是平行四边形在垂直于 $\mathbf w$ 的平面上的投影面积。1.16 三维中 $\mathbf u=\mathbf v\iff\mathbf u\times\mathbf c=\mathbf v\times\mathbf c,\forall\mathbf c$。
1.17 对例 1.4 的 $\mathbf T$ 求对称部分 $\mathbf S$、反对称部分 $\mathbf A$ 的分量，并求 $\boldsymbol\omega$ 使 $\mathbf A=\boldsymbol\omega\times$。1.18 任意三维反对称张量 $\mathbf A$ 存在唯一轴向量 (axis) $\boldsymbol\omega$ 使 $\mathbf{Av}=\boldsymbol\omega\times\mathbf v$；证 $\mathbf v\cdot\mathbf{Av}=0$（任意维）、$\mathbf A\boldsymbol\omega=\mathbf0$。
1.19 动量通量张量 $\rho\mathbf{vv}$：跨法向 $\mathbf n$ 平面的动量通量 $\rho\mathbf v(\mathbf v\cdot\bar{\mathbf n})=\rho\mathbf{vv}(\bar{\mathbf n})$（图 1.9），求分量及数值例（$\mathbf v\sim(3,-1,2)$，$\rho=4$，$\mathbf n\sim(-1,1,3)$）。
1.20 Cauchy 应力张量：面元 $\bar{\mathbf n}dA$ 上的力 $\mathbf t\,dA$，$\mathbf t$ 为应力；法向应力 $\mathbf t_n=\mathrm{Proj}_{\mathbf n}\mathbf t$，剪应力 $\mathbf t_s=\mathbf t-\mathbf t_n$（图 1.10）；由微小四面体运动方程可证 $\mathbf t=\mathbf T\bar{\mathbf n}$，$\mathbf T=\mathbf T^T$。给定 $\mathbf T\sim\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&-1\\0&-1&3\end{bmatrix}$、$\mathbf n\sim(1,2,-1)$ 求法向与剪应力。脚注：单位向量集合不是线性空间，Noll 的延拓：$\mathbf T\mathbf0=\mathbf0$，$\mathbf{Tv}=|\mathbf v|\mathbf T\bar{\mathbf v}$。
1.21 主应力方向：$\mathbf{Tx}=\lambda\mathbf x$ 的单位向量，主方向上剪应力为零；求上题 $\mathbf T$ 的特征值与特征向量。
1.22 直积的矩阵与行列式；证明任意两向量直积的行列式为零（秩 1）。1.23 迹 $\mathrm{tr}(\mathbf{uv})=\mathbf u\cdot\mathbf v$，线性延拓，求 $\mathrm{tr}\,\mathbf T$ 的分量式（$=T_{xx}+T_{yy}+T_{zz}$）。
1.24 依赖参数 $t$ 的张量的导数：$\dot{\mathbf T}\mathbf a\equiv(\mathbf T\mathbf a)^\cdot,\ \forall$ 常向量 $\mathbf a$ (1.47)；证 $\dot{\mathbf T}$ 线性；$\mathbf T=\mathbf{xy}$ 时 $\dot{\mathbf T}=\dot{\mathbf x}\mathbf y+\mathbf x\dot{\mathbf y}$；分量逐个求导。
1.25 复合（点积） $\mathbf S\cdot\mathbf T\mathbf v=\mathbf S(\mathbf T\mathbf v)$；$\mathbf{wx}\cdot\mathbf{yz}=(\mathbf x\cdot\mathbf y)\mathbf{wz}$；乘积求导 $(\mathbf S\cdot\mathbf T)^\cdot=\mathbf S\cdot\dot{\mathbf T}+\dot{\mathbf S}\cdot\mathbf T$ (1.48)。
1.26 $(\boldsymbol\omega\times)^2=\mathbf A^2=\boldsymbol\omega\boldsymbol\omega-(\boldsymbol\omega\cdot\boldsymbol\omega)\mathbf1$ (1.49)，故 $|\boldsymbol\omega|^2=-\frac12\mathrm{tr}\,\mathbf A^2$。
1.27 逆张量：非奇异 $\mathbf T$ 有唯一逆 $\mathbf T^{-1}\cdot\mathbf{Tv}=\mathbf v$、$\mathbf T\cdot\mathbf T^{-1}\mathbf w=\mathbf w$ (1.50)；证 $\mathbf T^{-1}$ 线性、$(\mathbf T^{-1})^T=(\mathbf T^T)^{-1}$，求例 1.4 张量的逆。
1.28 正定：$\mathbf x\cdot\mathbf{Tx}>0,\forall\mathbf x\neq\mathbf0$；证正定则特征值全正；非奇异 $\mathbf T$ 使 $\mathbf T^T\cdot\mathbf T$ 正定。

第 I 章本章要点

向量是箭头在平行移动下的等价类；长度、点积、叉积都可以只用几何（长度、面积、定向）定义，因此是几何不变量，与坐标轴选择无关。点积的无角度定义 $\mathbf u\cdot\mathbf v=\frac12(|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2-|\mathbf v-\mathbf u|^2)$ 是全书「先不变定义、后分量计算」思路的范例。
不同物理量属于不同向量空间；向量加法未必有物理意义（有限转动不可交换、不按向量相加）。
叉积只在三维存在；标量三重积 = 有向体积 = 行列式，循环置换不变；向量三重积 $(\mathbf u\times\mathbf v)\times\mathbf w=(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v-(\mathbf v\cdot\mathbf w)\mathbf u$。
2 阶张量 = 把向量映到向量的线性算子。并矢 $\mathbf{uv}(\mathbf w)=\mathbf u(\mathbf v\cdot\mathbf w)$；投影 $\mathrm{Proj}_{\mathbf u}=\bar{\mathbf u}\bar{\mathbf u}$。转置由 $\mathbf u\cdot\mathbf{Tv}=\mathbf v\cdot\mathbf T^T\mathbf u$ 定义；任意张量 = 对称 + 反对称。
笛卡尔分量 $T_{ij}=\mathbf e_i\cdot\mathbf T\mathbf e_j$，$\mathbf T=\sum T_{ij}\mathbf e_i\mathbf e_j$，9 个并矢构成张量空间的基；$\mathbf u\times$ 对应反对称矩阵，三维反对称张量与轴向量一一对应。

第 I 章与量化交易的关联

协方差矩阵就是对称 2 阶张量：$\Sigma=\mathbb E[(\mathbf r-\boldsymbol\mu)(\mathbf r-\boldsymbol\mu)]$ 正是并矢（外积）的期望；组合方差 $\mathbf w\cdot\Sigma\mathbf w$ 是二次型；正定性（习题 1.28）对应协方差矩阵可逆、均值–方差优化问题有唯一解。$\mathbf T^T\mathbf T$ 正定（1.28b）对应 $X^TX$ 在满秩时正定（OLS 可解）。
投影张量 $\bar{\mathbf u}\bar{\mathbf u}$ 直接对应因子中性化/正交化：把收益向量投影到因子方向并减去，即 $(\mathbf1-\bar{\mathbf u}\bar{\mathbf u})\mathbf r$；多因子情形推广为 $X(X^TX)^{-1}X^T$（第 2 章的对偶基给出其几何含义）。
对称–反对称分解、特征值问题（主应力方向 ↔ 主成分方向）与 PCA 风险模型同构；并矢分解 $\mathbf T=\sum T_{ij}\mathbf e_i\mathbf e_j$ 对应矩阵的秩一展开，谱分解 $\Sigma=\sum\lambda_k\mathbf q_k\mathbf q_k$ 是统计因子模型的基础。
点积的不变性说明：换资产组合基（如从个股换到因子组合）时，内积（协方差、收益贡献）不变，但需要正确的分量变换——第 2 章会给出完整机制。
叉积、转动、力矩等三维专属内容与量化交易没有直接关联。

第 I 章推荐习题

1.7（不用坐标证明分配律，训练「不变定义→性质」的思维）。
1.8（Schwarz 不等式三种证法及函数版本，对应相关系数 $|\rho|\le1$）。
1.13、1.22、1.23（并矢转置、秩一矩阵行列式为零、迹的定义，均为外积/协方差估计基础）。
1.17、1.18（对称/反对称分解与轴向量）。
1.20–1.21（应力张量的法向/剪切分解与主方向特征值问题，对应 PCA）。
1.27–1.28（逆张量与正定性）。

第 II 章一般基与张量记号（General Bases and Tensor Notation，PDF p.38–57）

2.0 章首动机（PDF p.38）

力学定律可以写成与坐标无关的形式，但多数情况下只有写成分量形式才能求解，这就需要基。标准笛卡尔基通常最简单，但问题的物理与几何（尤其边界条件）可能要求别的基，例如研究平行六面体形物体的温度分布时，自然选沿三条共端棱的向量为基。张量分析的目标之一：容纳任意坐标系及其基，同时给出与笛卡尔形式一样简单的不变量（如点积）计算公式。

2.1 一般基（General Bases，PDF p.38–40）

设 $\{\mathbf g_1,\mathbf g_2,\mathbf g_3\}$ 为任意固定的、不共面向量，则任一向量可唯一表示为 $\mathbf v=v^1\mathbf g_1+v^2\mathbf g_2+v^3\mathbf g_3=\sum_{i=1}^3v^i\mathbf g_i\tag{2.1}$ 称为基 (basis)，元素称基向量 (base vectors)。基向量不必是单位长度，也不必互相垂直（图 2.1）。注意分量用上标。
几何构造（图 2.2，二维）：过 $\mathbf v$ 的头作平行于 $\mathbf g_2$ 的直线，交 $\mathbf g_1$ 所在直线于 $P$，则 $\overline{0P}=v^1\mathbf g_1$（$v^1$ 可为负）。三维：过 $\mathbf v$ 头作平行于 $\mathbf g_2,\mathbf g_3$ 平面的平面，交 $\mathbf g_1$ 所在直线于 $P$。这是平行四边形（平行投影）分解，不是垂直投影。
例题 2.1：$\mathbf g_1\sim(1,-1,2)$，$\mathbf g_2\sim(0,1,1)$，$\mathbf g_3\sim(-1,-2,1)$，$\mathbf v\sim(3,3,6)$。比较笛卡尔分量得线性方程组 $3=v^1-v^3$，$3=-v^1+v^2-2v^3$，$6=2v^1+v^2+v^3$，解得 $(v^1,v^2,v^3)=(2,3,-1)$。（本章后续例题都沿用这组基。）

2.2 基的 Jacobian 非零（The Jacobian of a Basis Is Nonzero，PDF p.40）

判断一组向量是否为基：$n$ 个线性方程 $n$ 个未知数有唯一解当且仅当系数行列式非零。设 $G=[\mathbf g_1,\mathbf g_2,\dots]$ 为以 $\mathbf g_j$ 的笛卡尔分量为列的 $n\times n$ 矩阵，则 $\{\mathbf g_j\}$ 是基 $\iff\det G\neq0$。称 $G$ 为该组向量的 Jacobian 矩阵，$J\equiv\det G$ 为其 Jacobian（脚注：这个名称通常在 $\mathbf g_i$ 的分量是偏导数时使用，第 3 章会遇到）。

2.3 求和约定（The Summation Convention，PDF p.40–41）

Einstein 求和约定：(2.1) 中哑指标 (dummy index) $i$ 重复出现，范围 1–3 由上下文给定，于是省去求和号： $\mathbf v=v^i\mathbf g_i\tag{2.2}$ 哑指标可任意换名：$v^i\mathbf g_i=v^j\mathbf g_j=v^k\mathbf g_k$。
重要附加条件：求和约定只在一个哑指标「在屋顶上」(on the roof，上标)、另一个「在地窖里」(in the cellar，下标) 时适用。如 $v^iv_i=v^1v_1+v^2v_2+v^3v_3$，而 $v^iv^i$ 只表示 $v^1v^1$ 或 $v^2v^2$ 或 $v^3v^3$（不求和）。一般而言，重复的上/上或下/下指标出现在不是不变量、也不是不变量分量的量中。（唯一例外是习题 2.21 的笛卡尔张量记号。）

2.4 一般基下计算点积（Computing the Dot Product in a General Basis，PDF p.41）

设 $\mathbf u=u^i\mathbf g_i$、$\mathbf v=v^i\mathbf g_i$。必须把其中一对哑指标换名，否则盲目套用求和约定得到错误的 $u^iv^i\mathbf g_i\cdot\mathbf g_i$。正确为

\mathbf u\cdot\mathbf v=u^iv^j\,\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j=u^1v^1\mathbf g_1\cdot\mathbf g_1+u^1v^2\mathbf g_1\cdot\mathbf g_2+\dots+u^3v^3\mathbf g_3\cdot\mathbf g_3\tag{2.3}

展开是九项的「乱局」。用倒易基向量可以化简。

2.5 倒易基向量（Reciprocal Base Vectors，PDF p.41–43）

二维动机：$\mathbf u=u^1\mathbf g_1+u^2\mathbf g_2$，把 $\mathbf v$ 用另一组（待定）基写成 $\mathbf v=v_1\mathbf g^1+v_2\mathbf g^2$，则 $\mathbf u\cdot\mathbf v=u^1v_1\mathbf g_1\cdot\mathbf g^1+u^1v_2\mathbf g_1\cdot\mathbf g^2+u^2v_1\mathbf g_2\cdot\mathbf g^1+u^2v_2\mathbf g_2\cdot\mathbf g^2$。希望它化为 $u^1v_1+u^2v_2$，就要求 $\mathbf g_1\cdot\mathbf g^1=\mathbf g_2\cdot\mathbf g^2=1$、$\mathbf g_1\cdot\mathbf g^2=\mathbf g_2\cdot\mathbf g^1=0$。
几何构造（图 2.3）：作垂直于 $\mathbf g_2$ 的直线，$\mathbf g^1$ 必在其上（因 $\mathbf g^1\cdot\mathbf g_2=0$），再调整方向和长度使 $\mathbf g^1\cdot\mathbf g_1=1$；同理构造 $\mathbf g^2$。
代数构造（$n$ 维，计算机可用）：$\{\mathbf g_j\}$ 是基 $\Rightarrow\det G\neq0\Rightarrow G^{-1}$ 存在。把 $G^{-1}$ 的第 $i$ 行看作向量 $\mathbf g^i$ 的笛卡尔分量： $G^{-1}=\begin{bmatrix}\mathbf g^1\\\mathbf g^2\\\vdots\end{bmatrix}=[\mathbf g^1,\mathbf g^2,\dots]^T\equiv[\mathbf g^i]$ （相应地 $G\equiv[\mathbf g_j]$ 视为列向量集合。）$G^{-1}G=I$ 等价于 $\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j\equiv\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}\tag{2.4}$ $\delta^i_j$ 为 Kronecker delta。$\{\mathbf g^i\}$ 称倒易基 (reciprocal basis)，元素为倒易基向量（因 $\det G^{-1}\neq0$ 确为基）。
例题 2.2：求例 2.1 基的倒易基。用初等行变换把 $[G\,|\,I]$ 化为 $[I\,|\,G^{-1}]$： $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&1&0&0\\-1&1&-2&0&1&0\\2&1&1&0&0&1\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac12&-\frac16&\frac16\\0&1&0&-\frac12&\frac12&\frac12\\0&0&1&-\frac12&-\frac16&\frac16\end{array}\right]$ 中间步骤为 $\to[\,1\ 0\ {-1}\,|\,1\ 0\ 0;\ 0\ 1\ {-3}\,|\,1\ 1\ 0;\ 0\ 1\ 3\,|\,{-2}\ 0\ 1]\to[\cdots;\ 0\ 0\ 6\,|\,{-3}\ {-1}\ 1]$。读出 $G^{-1}$ 的各行：$\mathbf g^1\sim\frac16(3,-1,1)$，$\mathbf g^2\sim\frac12(-1,1,1)$，$\mathbf g^3\sim\frac16(-3,-1,1)$。可验证 $\mathbf g^1\cdot\mathbf g_1=\frac16(3+1+2)=1$。

2.6 向量的屋顶（逆变）分量与地窖（协变）分量（The Roof (Contravariant) and Cellar (Covariant) Components of a Vector，PDF p.43–44）

任一向量也可用倒易基表示： $\mathbf v=v_i\mathbf g^i\tag{2.5}$
作者打破传统，称 $v^i$ 为屋顶分量 (roof components)、$\mathbf g_i$ 为地窖基向量 (cellar base vectors)；$v_i$ 为地窖分量、$\mathbf g^i$ 为屋顶基向量。传统名称：$v^i$ 为逆变分量 (contravariant)，$v_i$ 为协变分量 (covariant)——作者认为这些名称别扭、无意义。记忆：矩阵 $A^i_j$ 中上标 = 行 (Row ↔ Roof)，下标 = 列 (Column ↔ Cellar)。
例题 2.3：求例 2.1 中 $\mathbf v$ 的地窖分量。由 (2.5) 与 (2.4)：$\mathbf v\cdot\mathbf g_1=(v_1\mathbf g^1+v_2\mathbf g^2+v_3\mathbf g^3)\cdot\mathbf g_1=v_1$。而 $\mathbf v\cdot\mathbf g_1=3\cdot1+3\cdot(-1)+6\cdot2=12$；$v_2=\mathbf v\cdot\mathbf g_2=0+3+6=9$；$v_3=\mathbf v\cdot\mathbf g_3=-3-6+6=-3$。
一般结论： $v_i=\mathbf v\cdot\mathbf g_i\tag{2.6}$ $v^i=\mathbf v\cdot\mathbf g^i\tag{2.7}$
用 Kronecker delta 推导 (2.7)（不展开）： $\mathbf v\cdot\mathbf g^j=(v^i\mathbf g_i)\cdot\mathbf g^j=v^i\mathbf g^j\cdot\mathbf g_i=v^i\delta^j_i=v^j\tag{2.8}$ 逐行解释：第二行用点积线性；第三行因 (2.4) 对任意不同指标名都成立（类似 $f(x,y)=x/y\Rightarrow f(y,x)=y/x$）；最后一行：固定自由指标 (free index) $j$（如 $j=2$），对重复的 $i$ 求和 $v^1\delta^2_1+v^2\delta^2_2+v^3\delta^2_3=v^2$。即 Kronecker delta 是「替换算子」：$v^i$ 乘 $\delta^j_i$ 把 $v$ 上的 $i$ 换成 $j$。$\mathbf v\cdot\mathbf g^j=v^j$ 与 $v^i=\mathbf v\cdot\mathbf g^i$ 等价（如同 $f(x)\equiv x^2$ 与 $z^2\equiv f(z)$）。

2.7 点积分量形式的化简（Simplification of the Component Form of the Dot Product in a General Basis，PDF p.44–45）

令 $\mathbf u=u^i\mathbf g_i$，$\mathbf v=v_j\mathbf g^j$：

\mathbf u\cdot\mathbf v=u^iv_j\,\mathbf g_i\cdot\mathbf g^j=u^iv_j\delta^j_i=u^iv_i=u^1v_1+u^2v_2+u^3v_3\tag{2.9}

与笛卡尔公式一样简单。另一种：$\mathbf u=u_i\mathbf g^i$，$\mathbf v=v^j\mathbf g_j$，

\mathbf u\cdot\mathbf v=u_iv^i\tag{2.10}

要点：一个用屋顶分量、另一个用地窖分量，点积就是分量对应相乘求和。

例题 2.4：$\mathbf u=2\mathbf g_1-\mathbf g_2+4\mathbf g_3$，$\mathbf w=-3\mathbf g^1+2\mathbf g^2-2\mathbf g^3$，$\mathbf v$ 同例 2.1。$\mathbf u\cdot\mathbf v$（$u^i$ 已知，$v_i=(12,9,-3)$）$=24-9-12=3$；$\mathbf w\cdot\mathbf v$（$w_i$ 已知，$v^i=(2,3,-1)$）$=-6+6+2=2$；$\mathbf u\cdot\mathbf w=u^iw_i=-6-2-8=-16$。

2.8 一般基下计算叉积（Computing the Cross Product in a General Basis，PDF p.45–47）

记号：屋顶、地窖分量也写 $(\mathbf v)^i$、$(\mathbf v)_i$。$\mathbf u\times\mathbf v=(\mathbf u\times\mathbf v)_k\mathbf g^k$ (2.11)。令 $\mathbf u=u^i\mathbf g_i,\mathbf v=v^j\mathbf g_j$： $(\mathbf u\times\mathbf v)_k=(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf g_k=u^iv^j(\mathbf g_i\times\mathbf g_j)\cdot\mathbf g_k\equiv u^iv^j\epsilon_{ijk}\tag{2.12}$ 27 个 $\epsilon_{ijk}$ 称为置换张量 (permutation tensor) $\mathbf P$ 的地窖分量（习题 2.13）。
性质：由 (1.26)，$\epsilon_{123}=(\mathbf g_1\times\mathbf g_2)\cdot\mathbf g_3=J$（Jacobian）。交换两指标变号：$\epsilon_{132}=(\mathbf g_1\times\mathbf g_3)\cdot\mathbf g_2=(\mathbf g_2\times\mathbf g_1)\cdot\mathbf g_3=-J$；$\epsilon_{231}=(\mathbf g_2\times\mathbf g_3)\cdot\mathbf g_1=(\mathbf g_1\times\mathbf g_2)\cdot\mathbf g_3=J$。有两个指标相等时为 0（可循环置换使第一项成为自身叉积）。总结： $\epsilon_{ijk}=\begin{cases}+J&(i,j,k)\text{ 为 }(1,2,3)\text{ 的偶置换}\\-J&\text{奇置换}\\0&\text{有两个或以上指标相等}\end{cases}\tag{2.13}$ $\mathbf u\times\mathbf v=\epsilon_{ijk}u^iv^j\mathbf g^k\tag{2.14}$
例题 2.5：$\mathbf u=2\mathbf g_1-\mathbf g_2+4\mathbf g_3$，$\mathbf v=2\mathbf g_1+3\mathbf g_2-\mathbf g_3$（例 2.1 的基）。$k=1$ 时 27 项中只剩 $\epsilon_{231}u^2v^3+\epsilon_{321}u^3v^2=J(u^2v^3-u^3v^2)$。$J=\det\begin{bmatrix}1&0&-1\\-1&1&-2\\2&1&1\end{bmatrix}=6$。$(\mathbf u\times\mathbf v)_1=6[(-1)(-1)-(4)(3)]=-66$；$(\mathbf u\times\mathbf v)_2=J(u^3v^1-u^1v^3)=6[8+2]=60$；$(\mathbf u\times\mathbf v)_3=J(u^1v^2-u^2v^1)=6[6+2]=48$。
屋顶分量：用地窖分量 $u_i,v_j$ 与屋顶基： $(\mathbf u\times\mathbf v)^k=\epsilon^{ijk}u_iv_j\tag{2.15}$ $\epsilon^{ijk}\equiv(\mathbf g^i\times\mathbf g^j)\cdot\mathbf g^k=\begin{cases}+J^{-1}&\text{偶置换}\\-J^{-1}&\text{奇置换}\\0&\text{指标重复}\end{cases}\tag{2.16}$ 即 $\epsilon_{ijk}=J^2\epsilon^{ijk}$（因倒易基的 Jacobian 为 $\det G^{-1}=J^{-1}$）。
$\epsilon$–$\delta$ 恒等式（习题 2.5 证明）： $\epsilon^{ijk}\epsilon_{pqr}\equiv\begin{vmatrix}\delta^i_p&\delta^i_q&\delta^i_r\\\delta^j_p&\delta^j_q&\delta^j_r\\\delta^k_p&\delta^k_q&\delta^k_r\end{vmatrix}\tag{2.17}$ 展开并令 $r=k$（求和）： $\epsilon^{ijk}\epsilon_{pqk}\equiv\delta^i_p\delta^j_q-\delta^i_q\delta^j_p\tag{2.18}$ 它与向量三重积恒等式 (1.22) 密切相关（习题 2.7）。

2.9 2 阶张量一般有四组分量（A Second Order Tensor Has Four Sets of Components in General，PDF p.47–49）

已知 $\mathbf T$ 对每个基向量的作用 $\mathbf T\mathbf g_j=\mathbf T_j$ (2.19)，把 $\mathbf T_j$ 用倒易基展开： $\mathbf T_j=T_{ij}\mathbf g^i\tag{2.20}$ 9 个系数 $T_{ij}$ 称为 $\mathbf T$ 的地窖分量，显式为 $T_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf T\mathbf g_j\tag{2.21}$
张量的分量表示（同第 1 章思路）： $\mathbf{Tv}=\mathbf T(v^j\mathbf g_j)=v^j\mathbf T\mathbf g_j=v^jT_{ij}\mathbf g^i=T_{ij}\mathbf g^i(\mathbf g^j\cdot\mathbf v)=T_{ij}\mathbf g^i\mathbf g^j(\mathbf v)\tag{2.22}$ $\mathbf v$ 任意，故 $\mathbf T=T_{ij}\mathbf g^i\mathbf g^j\tag{2.23}$ $\{\mathbf g^i\mathbf g^j\}$ 是全体 2 阶张量的一组基。（原书公式编号从 (2.23) 直接跳到 (2.25)，无 (2.24)。）
互换屋顶/地窖角色： $\mathbf T\mathbf g^j=\mathbf T^j=T^{ij}\mathbf g_i,\qquad\mathbf T=T^{ij}\mathbf g_i\mathbf g_j\tag{2.25}$ $T^{ij}$ 称屋顶分量，即 $\mathbf T$ 在基 $\{\mathbf g_i\mathbf g_j\}$ 下的分量： $T^{ij}=\mathbf g^i\cdot\mathbf T\mathbf g^j\tag{2.26}$
另有两组混合分量 (mixed components)： $T^i_{\cdot j}\equiv\mathbf g^i\cdot\mathbf T\mathbf g_j\tag{2.27}$ $T_j^{\cdot i}\equiv\mathbf g_j\cdot\mathbf T\mathbf g^i\tag{2.28}$ 圆点用于区分，因为一般 $T^i_{\cdot j}\neq T_j^{\cdot i}$。相应表示： $\mathbf T=T^i_{\cdot j}\mathbf g_i\mathbf g^j=T_j^{\cdot i}\mathbf g^j\mathbf g_i\tag{2.29}$ 即 $T^i_{\cdot j}$ 是在基 $\{\mathbf g_i\mathbf g^j\}$ 下的分量，$T_j^{\cdot i}$ 是在基 $\{\mathbf g^j\mathbf g_i\}$ 下的分量。
对称张量：$T_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf T\mathbf g_j=\mathbf g_j\cdot\mathbf T^T\mathbf g_i=\mathbf g_j\cdot\mathbf T\mathbf g_i=T_{ji}$；同理 $T^i_{\cdot j}=T_j^{\cdot i}$、$T^{ij}=T^{ji}$。但 $\mathbf T=\mathbf T^T$ 并不意味着矩阵 $[T^i_{\cdot j}]$ 与 $[T_j^{\cdot i}]$ 对称（习题 2.23）——常见误区。
例题 2.6：例 1.4 的 $\mathbf T$（$\mathbf{Tv}\sim(-2v_x+3v_z,-v_z,v_x+2v_y)$）在例 2.1 基下的四组分量。$\mathbf T\mathbf g_1\sim(4,-2,-1)$，$\mathbf T\mathbf g_2\sim(3,-1,2)$，$\mathbf T\mathbf g_3\sim(5,-1,-5)$。 $[T_{ij}]=[\mathbf g_i\cdot\mathbf T\mathbf g_j]=\begin{bmatrix}4&8&-4\\-3&1&-6\\-1&1&-8\end{bmatrix},\qquad[T^i_{\cdot j}]=[\mathbf g^i\cdot\mathbf T\mathbf g_j]=\frac16\begin{bmatrix}13&12&11\\-21&-6&-33\\-11&-6&-19\end{bmatrix}$ $\mathbf T\mathbf g^1\sim\frac16(-3,-1,1)$，$\mathbf T\mathbf g^2\sim\frac12(5,-1,1)$，$\mathbf T\mathbf g^3\sim\frac16(9,-1,-5)$， $[T_j^{\cdot i}]=[\mathbf g_j\cdot\mathbf T\mathbf g^i]=\begin{bmatrix}0&0&1\\4&0&-1\\0&-1&-2\end{bmatrix},\qquad[T^{ij}]=[\mathbf g^i\cdot\mathbf T\mathbf g^j]=\frac1{36}\begin{bmatrix}-7&51&23\\9&-45&-45\\11&-39&-31\end{bmatrix}$

2.10 基的变换（Change of Basis，PDF p.49–51）

在给定标架中，向量与张量对我们选来表示它们的基「一无所知」——它们是几何不变量；基变换时变的是分量。张量分析的主要目标之一：基变换给定后，由旧分量计算新分量的配方。
设新基每个元素是旧基的已知线性组合： $\tilde{\mathbf g}_1=A^1_1\mathbf g_1+A^2_1\mathbf g_2+A^3_1\mathbf g_3,\ \tilde{\mathbf g}_2=A^1_2\mathbf g_1+\cdots\tag{2.30}$ 矩阵/指标形式： $\tilde G=GA\quad\text{或}\quad\tilde{\mathbf g}_j=A^i_j\mathbf g_i\tag{2.31}$ 因 $\det\tilde G=(\det G)(\det A)$ 且两者都是基，$\det A\neq0$，$A^{-1}\equiv[(A^{-1})^i_j]$ 存在： $G=\tilde GA^{-1}\quad\text{或}\quad\mathbf g_j=(A^{-1})^i_j\tilde{\mathbf g}_i\tag{2.32}$ 脚注 2：指标记号相对矩阵记号的优点是乘法次序无关紧要：$(A^{-1})^i_j\tilde{\mathbf g}_i=\tilde{\mathbf g}_i(A^{-1})^i_j$，但一般 $\tilde GA^{-1}\neq A^{-1}\tilde G$。
倒易基的变换（$BC$ 的每一行是 $C$ 各行的线性组合）： $\tilde G^{-1}=A^{-1}G^{-1}\quad\text{或}\quad\tilde{\mathbf g}^i=(A^{-1})^i_j\mathbf g^j\tag{2.33}$ $G^{-1}=A\tilde G^{-1}\quad\text{或}\quad\mathbf g^i=A^i_j\tilde{\mathbf g}^j\tag{2.34}$
向量分量的变换： $\tilde v_j=\tilde{\mathbf g}_j\cdot\mathbf v=A^i_j\mathbf g_i\cdot\mathbf v,\qquad\tilde v^i=\tilde{\mathbf g}^i\cdot\mathbf v=(A^{-1})^i_j\mathbf g^j\cdot\mathbf v\tag{2.35}$ 即 $\tilde v_j=A^i_jv_i,\qquad\tilde v^i=(A^{-1})^i_jv^j\tag{2.36}$ 地窖分量与基向量按同一矩阵 $A$ 变换（「协变」名称的由来），屋顶分量按逆矩阵 $A^{-1}$ 变换（「逆变」）。
2 阶张量分量的变换： $\tilde T_{ij}=\tilde{\mathbf g}_i\cdot\mathbf T\tilde{\mathbf g}_j=A^k_i\mathbf g_k\cdot\mathbf TA^p_j\mathbf g_p,\quad\tilde T^i_{\cdot j}=\tilde{\mathbf g}^i\cdot\mathbf T\tilde{\mathbf g}_j=(A^{-1})^i_k\mathbf g^k\cdot\mathbf TA^p_j\mathbf g_p$ $\tilde T_j^{\cdot i}=\tilde{\mathbf g}_j\cdot\mathbf T\tilde{\mathbf g}^i=A^k_j\mathbf g_k\cdot\mathbf T(A^{-1})^i_p\mathbf g^p,\quad\tilde T^{ij}=\tilde{\mathbf g}^i\cdot\mathbf T\tilde{\mathbf g}^j=(A^{-1})^i_k\mathbf g^k\cdot\mathbf T(A^{-1})^j_p\mathbf g^p\tag{2.37}$ 即 $\tilde T_{ij}=A^k_iA^p_jT_{kp},\quad\tilde T^i_{\cdot j}=(A^{-1})^i_kA^p_jT^k_{\cdot p},\quad\tilde T_j^{\cdot i}=A^k_j(A^{-1})^i_pT_k^{\cdot p},\quad\tilde T^{ij}=(A^{-1})^i_k(A^{-1})^j_pT^{kp}\tag{2.38}$ （这两组公式在第 3 章取 $A^i_j=\partial u^i/\partial\tilde u^j$ 后成为全书唯一加方框的公式 (3.89)(3.90)。）规律：每个下标贡献一个 $A$，每个上标贡献一个 $A^{-1}$。这正是传统教科书中「2 阶张量 = 按此规则变换的 $n^2$ 个对象」的定义，在本书中是推论而不是定义。矩阵形式：$[\tilde T_{ij}]=A^T[T_{ij}]A$，$[\tilde T^{ij}]=A^{-1}[T^{ij}]A^{-T}$，$[\tilde T^i_{\cdot j}]=A^{-1}[T^i_{\cdot j}]A$（相似变换）。
例题 2.7：$A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}$，$(v^1,v^2,v^3)=(2,3,-1)$。行化简得 $A^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac12&1&\frac12\\1&-1&-1\\-\frac12&1&\frac32\end{bmatrix}$。由 (2.36)$_2$：$\tilde v^1=-1+3-\frac12=\frac32$，$\tilde v^2=2-3+1=0$，$\tilde v^3=-1+3-\frac32=\frac12$。
例题 2.8：用例 2.7 的 $A$ 与例 2.6 的 $\mathbf T$，求 $\tilde T_{21}$ 与 $\tilde T_2^{\cdot3}$。由 (2.38)$_{1,3}$：$\tilde T_{21}=A^k_2A^p_1T_{kp}=\sum_kA^k_2(A^1_1T_{k1}+A^2_1T_{k2}+A^3_1T_{k3})$，代入 $A^1_2=2,A^2_2=1,A^3_2=0$，$A^1_1=1,A^2_1=2,A^3_1=-1$：$\tilde T_{21}=2[(1)(4)+(2)(8)+(-1)(-4)]+1[(1)(-3)+(2)(1)+(-1)(-6)]=48+5=53$。$\tilde T_2^{\cdot3}=A^k_2(A^{-1})^3_pT_k^{\cdot p}=2[(-\frac12)(0)+(1)(4)+(\frac32)(0)]+1[(-\frac12)(0)+(1)(0)+(\frac32)(-1)]=8-\frac32=\frac{13}2$。（注意 $A^i_j$ 上标为行、下标为列。）

2.11 习题（Exercises，PDF p.51–57）

题型概括（共 28 题）：

2.1 判断三组向量是否为基（算行列式）。2.2 给定 $\mathbf g_1\sim(-1,0,0)$、$\mathbf g_2\sim(1,1,0)$、$\mathbf g_3\sim(1,1,1)$、$\mathbf v\sim(1,2,3)$，求倒易基与屋顶/地窖分量。2.3 化简 Kronecker delta 缩并：$\delta^i_jv_iu^j$、$\delta^2_j\delta^j_kv^k$、$\delta^3_j\delta^j_1$、$\epsilon_{i3k}\delta^i_pv^k$。2.4 一般基下叉积的地窖分量。
2.5–2.6 证明 $\epsilon$–$\delta$ 恒等式 (2.17)(2.18) 及 $\epsilon^{ijk}\epsilon_{pjk}=2\delta^i_p$。2.7 用 (2.18) 证明向量三重积公式 (1.22)。
2.8 单位张量的分量：定义度量张量分量 $g_{ij}\equiv\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j$、$g^{ij}\equiv\mathbf g^i\cdot\mathbf g^j$；证 $\mathbf1_{ij}=g_{ij}$、$\mathbf1^i_{\cdot j}=\delta^i_j$、$\mathbf1_j^{\cdot i}=\delta^i_j$、$\mathbf1^{ij}=g^{ij}$，故 $\mathbf1=\mathbf g^i\mathbf g_i=\mathbf g_i\mathbf g^i$。
2.9 升降指标 (raising and lowering indices)：$\mathbf g^i=g^{ik}\mathbf g_k$，$\mathbf g_i=g_{ik}\mathbf g^k$，$v^i=g^{ik}v_k$，$v_i=g_{ik}v^k$，$T^i_{\cdot j}=g^{ik}T_{kj}$，$T^{ij}=g^{ik}T_k^{\cdot j}$，$T_{ij}=g_{ik}T^k_{\cdot j}$ 等。乘 $g^{ik}$ 并对 $k$ 求和即把指标升起。
2.10 $[g_{ij}]=G^TG$，证 $\det[g_{ij}]=J^2$、$g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j$（即 $[g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}$）。2.11 证 $\mathbf g_i\times\mathbf g_j=\epsilon_{ijk}\mathbf g^k$，$\mathbf g^k=\frac12\epsilon^{ijk}\mathbf g_i\times\mathbf g_j$。2.12 求 $\mathbf u\times$ 的四组分量，如 $(\mathbf u\times)_{ij}=\mathbf g_i\cdot(\mathbf u\times\mathbf g_j)=\mathbf u\cdot(\mathbf g_j\times\mathbf g_i)=-\mathbf u\cdot\epsilon_{ijk}\mathbf g^k=\cdots$。
2.13 3 阶张量：把向量映为 2 阶张量的线性算子，可表示为三元并矢 (triads) $\mathbf{uvw}$ 的线性组合，$\mathbf{uvw}\cdot\mathbf x=\mathbf{uv}(\mathbf w\cdot\mathbf x)$；双点积 $\mathbf{uvw}\cdot\cdot\,\mathbf{xy}=\mathbf u(\mathbf w\cdot\mathbf x)(\mathbf v\cdot\mathbf y)$；三点积 $\mathbf{uvw}\cdot\cdot\cdot\,\mathbf{xyz}=(\mathbf w\cdot\mathbf x)(\mathbf v\cdot\mathbf y)(\mathbf u\cdot\mathbf z)$。置换张量 $\mathbf P\equiv\epsilon_{ijk}\mathbf g^i\mathbf g^j\mathbf g^k$；证 $\mathbf P\cdot\cdot\cdot\,\mathbf{wvu}=\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)$、$\mathbf P\cdot\cdot\,\mathbf{vu}=\mathbf u\times\mathbf v$、$\mathbf P\cdot\mathbf u=-\mathbf u\times$、$\mathbf P=-\mathbf1\times\mathbf1$。
2.14 用 (2.17) 证明 $(\mathbf a\times\mathbf b)(\mathbf c\times\mathbf d)=\mathbf{da}(\mathbf b\cdot\mathbf c)+\mathbf{cb}(\mathbf d\cdot\mathbf a)-\mathbf{db}(\mathbf c\cdot\mathbf a)-\mathbf{ca}(\mathbf d\cdot\mathbf b)+[(\mathbf a\cdot\mathbf c)(\mathbf b\cdot\mathbf d)-(\mathbf a\cdot\mathbf d)(\mathbf b\cdot\mathbf c)]\mathbf1=\mathbf T\cdot\mathbf S-(\frac12\mathbf T\cdot\cdot\,\mathbf S)\mathbf1$ (2.39)，$\mathbf S=\mathbf{ba}-\mathbf{ab}=(\mathbf a\times\mathbf b)\times$，$\mathbf T=\mathbf{dc}-\mathbf{cd}=(\mathbf c\times\mathbf d)\times$；用于有限转动。
2.15 任一基变换 $\tilde{\mathbf g}_j=A^i_j\mathbf g_i$ 可由非奇异张量 $\mathbf B$ 实现：$\tilde{\mathbf g}_j=\mathbf B\mathbf g_j$，证 $B^i_{\cdot j}=A^i_j$、$\tilde{\mathbf g}^j=(\mathbf B^{-1})^T\mathbf g^j$。
2.16 正交张量 $\mathbf Q^T\mathbf Q=\mathbf1$（$\mathbf Q^T=\mathbf Q^{-1}$）：$Q^TQ=I$；$\det Q=\pm1$（$+1$ 为真正交张量/转子 rotator）；正交坐标变换 $\tilde{\mathbf g}_j=\mathbf Q\mathbf g_j$ 下 $g_{ij},g^{ij}$ 不变；$Q$ 的行/列是互相垂直的单位向量；$Q_k^{\cdot i}Q^k_{\cdot j}=\delta^i_j$。
2.17 反射张量 (reflector) $\mathbf H=\mathbf1-2\bar{\mathbf n}\bar{\mathbf n}$ (2.40)（Householder 变换，图 2.4）；$\mathbf H^2=\mathbf1$，$\det H=-1$；把单位向量 $\mathbf u$ 与 $\mathbf v$ 互换的反射 $\mathbf H=\mathbf1+\dfrac{\mathbf{uv}+\mathbf{vu}-\mathbf{uu}-\mathbf{vv}}{1-\mathbf u\cdot\mathbf v}$ (2.41)。
2.18 三维转子：转轴 $\mathbf e$、转角 $\theta$（右手法则，图 2.5）。分解得 $\mathbf v=\mathbf u+(\sin\theta)\mathbf e\times\mathbf u+(1-\cos\theta)\mathbf e\times(\mathbf e\times\mathbf u)$，从而（Rodrigues 公式） $\mathbf R=(\cos\theta)\mathbf1+(1-\cos\theta)\mathbf{ee}+(\sin\theta)\mathbf e\times\tag{2.42}$ $\mathbf{Re}=\mathbf e$，$\det R=+1$，$\mathbf R^T=(\cos\theta)\mathbf1+(1-\cos\theta)\mathbf{ee}-(\sin\theta)\mathbf e\times$；有限转动向量 $\mathbf r=2\tan(\theta/2)\mathbf e$ (2.43)，$\mathbf R=(1+\frac14\mathbf r\cdot\mathbf r)^{-1}[(1-\frac14\mathbf r\cdot\mathbf r)\mathbf1+\frac12\mathbf{rr}+\mathbf r\times]$ (2.44)（$\mathbf r$ 分量的有理函数，但 $\theta=\pi$ 时失效）。
2.19 把单位向量 $\mathbf u$ 转到 $\mathbf v$（轴垂直于二者）的转子 $\mathbf R=\mathbf1+\mathbf{vu}-\mathbf{uv}+(1+\mathbf u\cdot\mathbf v)^{-1}[(\mathbf{uv}+\mathbf{vu})(\mathbf u\cdot\mathbf v)-(\mathbf{uu}+\mathbf{vv})]$ (2.45)，不含叉积，适用于任意维。2.20 二维转子矩阵。
2.21 笛卡尔张量记号：所有指标写成下标，当且仅当 $\mathbf g^i=\mathbf g_i$，即 $\mathbf g_i=\mathbf Q\mathbf e_i$（$\mathbf Q$ 正交）时可用。示例：$(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=\epsilon_{ijk}u_jv_k\epsilon_{iqr}u_qv_r=(\delta_{jq}\delta_{kr}-\delta_{jr}\delta_{kq})u_jv_ku_qv_r=(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf v)-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2$。
2.22 倒易基的几何构造。2.23 二维张量 $\mathbf{Tv}\sim(v_x-v_y,v_x)$ 的对称/反对称部分，在斜基 $\mathbf g_1\sim(1,0)$、$\mathbf g_2\sim(1,1)$ 下混合分量矩阵是否对称（演示对称张量的混合分量矩阵可不对称）。
2.24 $\mathbf h_i\equiv\mathbf T\mathbf g_i$，证 $\mathbf T=\mathbf h_i\mathbf g^i$，反对称部分 $\frac12(\mathbf h_i\mathbf g^i-\mathbf g^i\mathbf h_i)$，其轴为 $\frac12\mathbf g^i\times\mathbf h_i$。
2.25 转子的指数表示 $\mathbf R=e^{\theta\mathbf e\times}\equiv\mathbf1+\theta\mathbf e\times+\frac{(\theta\mathbf e\times)^2}{2!}+\cdots$ (2.46)，用 $(\mathbf e\times)^{2n}=(-1)^{n+1}(\mathbf{ee}-\mathbf1)$、$(\mathbf e\times)^{2n+1}=(-1)^n\mathbf e\times$ 及 $\sin,1-\cos$ 的 Taylor 展开证明（$\mathbf u\times\mathbf{vw}=(\mathbf u\times\mathbf v)\mathbf w$，$\mathbf u\times\mathbf1=\mathbf u\times$ (2.47)）。2.26 求 $\mathbf R(\theta)$ 满足的一阶微分方程及初值。
2.27 极分解 (polar decomposition)：非奇异 $\mathbf T=\mathbf V\cdot\mathbf R=\mathbf V\cdot e^{\theta\mathbf e\times}$，$\mathbf V$ 正定、$\mathbf R$ 为转子，说明如何先算 $\mathbf V$ 再算 $\mathbf R$（$\mathbf V=(\mathbf T\mathbf T^T)^{1/2}$）。
2.28 推广 (2.17)：$\epsilon^{ijk}\epsilon_{pqr}\det A=\begin{vmatrix}A^i_p&A^i_q&A^i_r\\A^j_p&A^j_q&A^j_r\\A^k_p&A^k_q&A^k_r\end{vmatrix}$ (2.48)；令 $q=j,r=k$ 展开得 Cayley–Hamilton 定理 $A^i_jA^j_kA^k_p-(A^k_k)A^i_jA^j_p+\frac12[(A^k_k)^2-A^j_kA^k_j]A^i_p-(\det A)\delta^i_p=0$ (2.49)，即 $A^3-(\mathrm{tr}A)A^2+\tfrac12[(\mathrm{tr}A)^2-\mathrm{tr}A^2]A-(\det A)I=0\tag{2.50}$

第 II 章本章要点

一般基 $\{\mathbf g_i\}$ 不必正交、不必单位长；是基 $\iff J=\det G\neq0$。倒易基由 $\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j$ 定义，计算上就是 $G^{-1}$ 的各行。
向量有两套分量：屋顶（逆变）$v^i=\mathbf v\cdot\mathbf g^i$（$\mathbf v=v^i\mathbf g_i$），地窖（协变）$v_i=\mathbf v\cdot\mathbf g_i$（$\mathbf v=v_i\mathbf g^i$）。点积 $\mathbf u\cdot\mathbf v=u^iv_i=u_iv^i$。求和约定只对一上一下的重复指标适用。
置换符号 $\epsilon_{ijk}=\pm J$、$\epsilon^{ijk}=\pm J^{-1}$；$\mathbf u\times\mathbf v=\epsilon_{ijk}u^iv^j\mathbf g^k$；$\epsilon^{ijk}\epsilon_{pqk}=\delta^i_p\delta^j_q-\delta^i_q\delta^j_p$。
2 阶张量有四组分量 $T_{ij},T^{ij},T^i_{\cdot j},T_j^{\cdot i}$，分别对应基 $\mathbf g^i\mathbf g^j,\mathbf g_i\mathbf g_j,\mathbf g_i\mathbf g^j,\mathbf g^j\mathbf g_i$；度量 $g_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j$ 是单位张量的地窖分量，用于升降指标。
基变换 $\tilde{\mathbf g}_j=A^i_j\mathbf g_i$ 下：下标分量乘 $A$，上标分量乘 $A^{-1}$（(2.36)(2.38)，第 3 章的方框公式 (3.89)(3.90) 即其坐标版本）。传统「按变换律定义张量」在本书中是推论。
正交、反射（Householder）、转动（Rodrigues、指数表示）、极分解、Cayley–Hamilton 等线性代数工具在习题中给出。

第 II 章与量化交易的关联

非正交基与对偶基 = 相关因子的回归系数与暴露：设因子收益向量（或因子载荷列）构成非正交基 $G$，组合/收益向量 $\mathbf v$ 的屋顶分量 $v^i$ 是多元回归系数（$\mathbf v=v^i\mathbf g_i$，平行投影分解），地窖分量 $v_i=\mathbf v\cdot\mathbf g_i$ 是与各因子的协方差/单变量暴露。两者仅在因子正交时相同——这正是「单因子 beta 与多因子回归 beta 不同」的几何解释。$G^{-1}$ 的行（倒易基）对应「纯因子组合」(factor-mimicking portfolios)：$\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j$ 意味着第 $i$ 个纯因子组合对第 $j$ 个因子暴露为 $\delta^i_j$。
度量张量 $g_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j$ = Gram 矩阵 $G^TG$，即因子协方差（或 $X^TX$）；$g^{ij}$ 是其逆。升降指标对应用协方差矩阵/精度矩阵在「暴露空间」与「权重空间」之间转换；马氏距离 $\mathbf v\cdot\mathbf v=g_{ij}v^iv^j$。
基变换公式 (2.36)(2.38)：换因子定义（如因子旋转、行业因子换基、对冲比例重组）时，权重（逆变）与暴露（协变）按互逆规律变换，协方差矩阵按 $A^T\Sigma A$ 变换。风险模型中「因子协方差在因子旋转下 $F\to A^{-1}FA^{-T}$、载荷 $B\to BA$、总风险不变」正是这一规律。
正交张量、Householder 反射在 QR 分解/最小二乘数值实现中直接使用；极分解、Cayley–Hamilton 在协方差矩阵求平方根（如 $\Sigma^{1/2}$ 用于白化）时有用。
置换张量、叉积在三维之外无直接金融应用。

第 II 章推荐习题

2.2、2.8、2.9、2.10（倒易基、度量张量、升降指标、$\det g=J^2$——最核心的计算训练）。
2.5–2.7（$\epsilon$–$\delta$ 恒等式与三重积，指标运算基本功）。
2.15–2.17（基变换张量、正交张量、Householder 反射）。
2.23（对称张量的混合分量矩阵可不对称，纠正常见误区）。
2.25、2.27、2.28（矩阵指数、极分解、Cayley–Hamilton）。

第 III 章牛顿定律与张量微积分（Newton's Law and Tensor Calculus，PDF p.58–82）

本章写法说明：从 3.4 节起，原书大量公式排成左右对偶两栏，中间用竖虚线隔开：左栏是平面极坐标 $(r,\theta)$ 下的具体公式，右栏是一般坐标下的张量形式（脚注 6）。从 3.8 节起反过来，一般形式后面用方括号注明对应的极坐标公式编号，如「(3.51) [3.23]」。下文把两栏都写出。

3.0 章首（PDF p.58）

牛顿定律熟悉、基本、简单，是引入张量微积分关键思想的理想载体。最原始的形式：在惯性标架中，质点 $p$ 的运动满足

\mathbf f=m\ddot{\mathbf x}\tag{3.1}

$\mathbf f$ 为作用力，$m$ 为质量，$\mathbf x$ 为相对惯性系中固定原点 $O$ 的位置，点表示对时间求导（脚注：据 Truesdell，牛顿本人从未写出这种形式，最早写出的是 Euler）。

3.1 刚体（Rigid Bodies，PDF p.58–59）

经典力学中的刚体由彼此距离固定、只施加相互平行力的质点组成。由 (3.1) 可推出牛顿定律的整体形式： $\mathbf F=\dot{\mathbf L}\tag{3.2}$ $\mathbf F$ 为净外力，$\mathbf L=M\dot{\mathbf X}$ (3.3) 为线动量，$M$ 为质量，$\mathbf X$ 为质心位置。以及转动动量守恒： $\mathbf X\times\mathbf F+\mathbf T=\dot{\mathbf R}_0\tag{3.4}$ $\mathbf T$ 为净力矩，$\mathbf R_0$ 为关于 $O$ 的转动动量。
连续介质力学中，(3.2)(3.4) 被当作对任意物体成立的公设，(3.3) 由质心定义得到；刚体由特殊本构假设定义，不涉及「原子」力（习题 4.19、4.22）。
合并得 $\mathbf F=M\ddot{\mathbf X}$ (3.5)。对近似刚性、近似球形或以已知速率转动、尺度远小于场尺度的物体（雨滴、高尔夫球、铅球（但非标枪、铁饼）、卫星、小行星）给出有用结果。由于 (3.1) 与 (3.5) 形式相同，下文用 (3.1) 而不限定物理解释。

3.2 新守恒律（New Conservation Laws，PDF p.59–60）

由 (3.1) 的坐标无关形式：

(a) 两边点乘 $\dot{\mathbf x}$：$\mathbf f\cdot\dot{\mathbf x}=m\ddot{\mathbf x}\cdot\dot{\mathbf x}=(\frac12m\dot{\mathbf x}\cdot\dot{\mathbf x})^\cdot\equiv\dot k$ (3.6)，即外功率等于动能 $k$ 的变化率。
(b) 两边叉乘 $\mathbf x$，利用 $\dot{\mathbf x}\times\dot{\mathbf x}=\mathbf0$：$\mathbf t_0\equiv\mathbf x\times\mathbf f=\mathbf x\times m\ddot{\mathbf x}=(\mathbf x\times m\dot{\mathbf x})^\cdot\equiv\dot{\mathbf r}_0$ (3.7)，即关于原点的力矩等于转动动量 $\mathbf r_0$ 的变化率。
(c) 若存在势 $v(\mathbf x)$ 使 $\mathbf f\cdot\dot{\mathbf x}=-\dot v$ (3.8)，称 $\mathbf f$ 为保守力，由 (3.6) 得 $k+v=c$（常数）(3.9)，即能量守恒，常可避免解微分方程（习题 3.2）。
(d) 见例题 3.2（Kepler 定律）。

3.3 术语（Nomenclature，PDF p.60–62）

质点 $p$ 在时间 $[a,b]$ 内占据的点集 $C$ 称为 $p$ 的轨道 (orbit)；时刻 $t$ 的位置点记 $P(t)$。若 $C$ 有参数形式 $C:\ \mathbf x=\hat{\mathbf x}(t)=\hat x(t)\mathbf e_x+\hat y(t)\mathbf e_y+\hat z(t)\mathbf e_z,\quad a\le t\le b\tag{3.10}$ 则向量函数 $\hat{\mathbf x}$ 称为 $p$ 的轨迹 (trajectory)，$\mathbf x$ 称为到 $C$ 的径矢 (radius vector)。脚注 3 记号约定：$\hat f$ 表示函数，其在 $t$ 处的值记 $\hat f(t)$ 或 $f$（不关心函数形式时用后者）。
速度 $\dot{\mathbf x}\equiv\hat{\mathbf v}(t)$ (3.11)，$|\hat{\mathbf v}(t)|$ 为速率；$\dot{\mathbf x}$ 连续则称轨迹光滑。脚注 4：光滑轨迹不一定有光滑轨道——滚动车轮边缘一点的轨迹光滑，但其轨道（摆线）在触地点有尖点（此处速度为零）。
光滑时 $\hat{\mathbf v}(t)=\lim_{\Delta t\to0}\Delta\mathbf x/\Delta t$ 与 $C$ 在 $P(t)$ 处相切（图 3.1）。弧长：$ds/dt=|\hat{\mathbf v}(t)|$，$s(t_1)=0$ (3.12)，即 $s=\int_{t_1}^t|\hat{\mathbf v}(\tau)|d\tau$ (3.13)。加速度 $\ddot{\mathbf x}=\dot{\mathbf v}\equiv\hat{\mathbf a}(t)$ (3.14)。
例题 3.1：光滑时 $\mathbf x$ 从 $a$ 到 $b$ 扫过的面积 $A(b,a)=\frac12\int_a^b|\mathbf x\times\dot{\mathbf x}|dt$ (3.15)。证：阴影三角形面积 $\Delta A=\frac12|\mathbf x\times\Delta\mathbf x|$（图 3.2），故 $\Delta A/\Delta t=\frac12|\mathbf x\times\Delta\mathbf x/\Delta t|$，取极限 $dA/dt=\frac12|\mathbf x\times\dot{\mathbf x}|$ (3.16)（脚注给出用三角不等式的严格化）。
例题 3.2：中心力场（$\mathbf f\parallel\mathbf x$）中 (i) $\mathbf x$ 在一个平面内；(ii) Kepler 定律：相等时间扫过相等面积。证：$\mathbf x\times\mathbf f=\mathbf0$，由 (3.7) $\mathbf x\times\dot{\mathbf x}=\mathbf c$ 常向量 (3.17)；于是 $\mathbf x\cdot\mathbf c=\mathbf x\cdot(\mathbf x\times\dot{\mathbf x})=\dot{\mathbf x}\cdot(\mathbf x\times\mathbf x)=0$ (3.18)，$\mathbf x$ 在平面内；由 (3.15)，$dA/dt=\frac12|\mathbf c|$，$\hat A(t+\Delta t)-\hat A(t)=\frac12|\mathbf c|\Delta t$。

3.4 笛卡尔分量下的牛顿定律（Newton's Law in Cartesian Components，PDF p.62）

上述四条守恒律简单有用，体现坐标无关形式的优点，但除特例外不能给出运动的全部细节，需写成分量形式，并尽量选使 $\mathbf f$ 分量简化的坐标系。最简单情形：$\mathbf f=f_x\mathbf e_x+f_y\mathbf e_y+f_z\mathbf e_z$ (3.19)，$\ddot{\mathbf x}=\ddot x\mathbf e_x+\ddot y\mathbf e_y+\ddot z\mathbf e_z$ (3.20)，于是

f_x=m\ddot x,\quad f_y=m\ddot y,\quad f_z=m\ddot z\tag{3.21}

3.5 平面极坐标下的牛顿定律（Newton's Law in Plane Polar Coordinates，PDF p.63–64）

研究中心力（行星绕日、拴在橡皮筋上在光滑水平桌面旋转的钢珠）时用平面极坐标：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$ (3.22)。

极坐标（左栏）	一般形式（右栏）	编号
$\mathbf x=\hat{\mathbf x}(r,\theta)=r\cos\theta\,\mathbf e_x+r\sin\theta\,\mathbf e_y$	$\mathbf x=\hat{\mathbf x}(u^j)=\hat x^i(u^j)\mathbf e_i$	(3.23)
$\mathbf v=\dot{\mathbf x}=(\partial\mathbf x/\partial r)\dot r+(\partial\mathbf x/\partial\theta)\dot\theta$	$\mathbf v=(\partial\mathbf x/\partial u^i)\dot u^i$	(3.24)
$\mathbf g_r\equiv\partial\mathbf x/\partial r=\cos\theta\,\mathbf e_x+\sin\theta\,\mathbf e_y$；$\mathbf g_\theta\equiv\partial\mathbf x/\partial\theta=-r\sin\theta\,\mathbf e_x+r\cos\theta\,\mathbf e_y$	$\mathbf g_i\equiv\partial\mathbf x/\partial u^i=(\partial x^k/\partial u^i)\mathbf e_k$	(3.25)
$J(\mathbf g_r,\mathbf g_\theta)=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r$	$J(\mathbf g_1,\dots)=\det[x^i_{,j}]$	(3.26)
$v^r=\dot r,\ v^\theta=\dot\theta$	$v^i=\dot u^i$	(3.27)
$\mathbf v=v^r\mathbf g_r+v^\theta\mathbf g_\theta$	$\mathbf v=v^i\mathbf g_i$	(3.28)

除原点外 $\{\mathbf g_r,\mathbf g_\theta\}$ 在平面上每点都是基。例外点 (exceptional points) 是许多坐标系的「祸与福」：物理/力学场方程常在例外点有奇异解，有时需按物理理由舍弃，有时代表源、汇、涡线、集中力乃至黑洞等有用的理想化。脚注 7：此后说到坐标系的基向量时一律省略「除例外点外」。
$\mathbf g_r,\mathbf g_\theta$ 称为 $(r,\theta)$ 坐标系的地窖基向量，$v^r=\dot r$、$v^\theta=\dot\theta$ 是 $\mathbf v$ 的屋顶分量。
几何解释（图 3.3，即封面图）：过除原点外任一固定点 $P(r_*,\theta_*)$，有唯一的 $r$-坐标曲线 $\hat{\mathbf x}(r,\theta_*)$ 和 $\theta$-坐标曲线 $\hat{\mathbf x}(r_*,\theta)$；$\mathbf g_r,\mathbf g_\theta$ 分别与这两条曲线相切。注意 $\mathbf g_\theta$ 长度为 $r$，不是单位向量。

3.6 向量的物理分量（The Physical Components of a Vector，PDF p.64–65）

向量 $\mathbf w$ 在向量 $\mathbf u$ 方向的物理分量 (physical component) 定义为 $\mathbf w\cdot\bar{\mathbf u}$。极坐标的屋顶基向量 $\mathbf g^r=\cos\theta\,\mathbf e_x+\sin\theta\,\mathbf e_y,\quad\mathbf g^\theta=r^{-1}(-\sin\theta\,\mathbf e_x+\cos\theta\,\mathbf e_y)\tag{3.29}$ $v^{(r)}=\mathbf v\cdot\bar{\mathbf g}^r=v^r=\dot r,\quad v^{(\theta)}=\mathbf v\cdot\bar{\mathbf g}^\theta=rv^\theta=r\dot\theta\ \ \Big|\ \ v^{(i)}=\mathbf v\cdot\bar{\mathbf g}^i=v^i/|\mathbf g^i|\tag{3.30}$ 与通常的径向速度、角向速度定义一致。（注意 $v^i/|\mathbf g^i|$ 不对 $i$ 求和。）
加速度：对 (3.28) 求导 $\mathbf a=\dot{\mathbf v}=\dot v^r\mathbf g_r+v^r\dot{\mathbf g}_r+\dot v^\theta\mathbf g_\theta+v^\theta\dot{\mathbf g}_\theta\ \ \Big|\ \ \mathbf a=\dot v^i\mathbf g_i+v^i\dot{\mathbf g}_i\tag{3.31}$ 关键：基向量随点变化，所以其时间导数不为零——这就是运动标架 (moving frame) 的本质。

3.7 Christoffel 符号（The Christoffel Symbols，PDF p.65–67）

$\mathbf g_r,\mathbf g_\theta$ 是 $r,\theta$ 的函数，而 $r,\theta$ 又是 $t$ 的（未知）函数，用链式法则： $\dot{\mathbf g}_r=v^r\mathbf g_{r,r}+v^\theta\mathbf g_{r,\theta},\quad\dot{\mathbf g}_\theta=v^r\mathbf g_{\theta,r}+v^\theta\mathbf g_{\theta,\theta}\ \ \Big|\ \ \dot{\mathbf g}_i=(\partial\mathbf g_i/\partial u^j)\dot u^j=v^j\mathbf g_{i,j}\tag{3.32}$ 逗号约定：逗号表示对其后指标所对应变量求偏导。脚注 8：$\mathbf g_{r,\theta}=\mathbf x_{,r\theta}=\mathbf x_{,\theta r}=\mathbf g_{\theta,r}$；一般 $\mathbf g_{i,j}=\mathbf x_{,ij}=\mathbf x_{,ji}=\mathbf g_{j,i}$。
$\mathbf g_{r,r},\mathbf g_{r,\theta}=\mathbf g_{\theta,r},\mathbf g_{\theta,\theta}$ 本身是向量，可用 $\mathbf g_r,\mathbf g_\theta$ 展开： $\mathbf g_{r,r}=\Gamma^r_{rr}\mathbf g_r+\Gamma^\theta_{rr}\mathbf g_\theta,\ \ \mathbf g_{r,\theta}=\mathbf g_{\theta,r}=\Gamma^r_{r\theta}\mathbf g_r+\Gamma^\theta_{r\theta}\mathbf g_\theta,\ \ \mathbf g_{\theta,\theta}=\Gamma^r_{\theta\theta}\mathbf g_r+\Gamma^\theta_{\theta\theta}\mathbf g_\theta\ \ \Big|\ \ \mathbf g_{i,j}=\mathbf g_{j,i}=\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k\tag{3.33}$ 这些系数称为该坐标系的 Christoffel 符号 (Christoffel symbols)。代入 (3.32)：$\dot{\mathbf g}_i=v^j\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k$ (3.34)。代入 (3.31) 并合并： $\mathbf a=[\dot v^r+(\Gamma^r_{rr}v^r+\Gamma^r_{r\theta}v^\theta)v^r+(\Gamma^r_{\theta r}v^r+\Gamma^r_{\theta\theta}v^\theta)v^\theta]\mathbf g_r+[\dot v^\theta+\cdots]\mathbf g_\theta\equiv a^r\mathbf g_r+a^\theta\mathbf g_\theta\ \ \Big|\ \ \mathbf a=(\dot v^k+v^iv^j\Gamma^k_{ij})\mathbf g_k\equiv a^k\mathbf g_k\tag{3.35}$ $a^r,a^\theta$ 为 $\mathbf a$ 在 $(r,\theta)$ 系中的屋顶分量。
计算：由 (3.25) $\mathbf g_{r,r}=\mathbf0,\quad\mathbf g_{r,\theta}=\mathbf g_{\theta,r}=-\sin\theta\,\mathbf e_x+\cos\theta\,\mathbf e_y=r^{-1}\mathbf g_\theta,\quad\mathbf g_{\theta,\theta}=-r\cos\theta\,\mathbf e_x-r\sin\theta\,\mathbf e_y=-r\mathbf g_r\ \ \Big|\ \ \mathbf g_{i,j}=x^p_{,ij}\mathbf e_p=x^p_{,ij}u^k_{,p}\mathbf g_k\tag{3.36}$ 比较得 $\Gamma^r_{rr}=\Gamma^\theta_{rr}=\Gamma^r_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta\theta}=0,\quad\Gamma^\theta_{r\theta}=r^{-1},\quad\Gamma^r_{\theta\theta}=-r\ \ \Big|\ \ \Gamma^k_{ij}=x^p_{,ij}u^k_{,p}\tag{3.37}$
于是（$v^r=\dot r,v^\theta=\dot\theta$） $\mathbf a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf g_r+(\ddot\theta+2r^{-1}\dot r\dot\theta)\mathbf g_\theta\ \ \Big|\ \ \mathbf a=(\ddot u^k+\dot u^i\dot u^jx^p_{,ij}u^k_{,p})\mathbf g_k\tag{3.38}$ 物理分量（沿 $\mathbf g^r,\mathbf g^\theta$）： $a^{(r)}=\mathbf a\cdot\bar{\mathbf g}^r=a^r=\ddot r-r\dot\theta^2,\quad a^{(\theta)}=\mathbf a\cdot\bar{\mathbf g}^\theta=ra^\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\ \ \Big|\ \ a^{(i)}=\mathbf a\cdot\bar{\mathbf g}^i=(\ddot u^i+\dot u^p\dot u^q\Gamma^i_{pq})/|\mathbf g^i|\tag{3.39}$ 即微积分、物理中熟知的向心加速度 $-r\dot\theta^2$ 与 Coriolis 项 $2\dot r\dot\theta$——它们完全来自基向量的变化（Christoffel 符号）。
牛顿定律分量形式：设 $\mathbf f$ 的屋顶分量已知，$f^r\mathbf g_r+f^\theta\mathbf g_\theta=m(a^r\mathbf g_r+a^\theta\mathbf g_\theta)\ |\ f^i\mathbf g_i=ma^i\mathbf g_i$ (3.40)，由基的唯一性 $f^r=m(\ddot r-r\dot\theta^2),\quad f^\theta=m(\ddot\theta+2r^{-1}\dot r\dot\theta)\ \ \Big|\ \ f^i=m(\ddot u^i+\dot u^p\dot u^q\Gamma^i_{pq})\tag{3.41}$
中心力场的简化：$(3.41)_2$ 中 $\ddot\theta+2r^{-1}\dot r\dot\theta=r^{-2}(r^2\dot\theta)^\cdot$；若 $f^\theta=0$，则 $r^2\dot\theta=r_0$ 常数——又是 Kepler 定律。配合 $(3.41)_1$，若 $f^r$ 只依赖 $r$，轨道的确定化为一阶微分方程（习题 3.7）。

3.8 一般三维坐标（General Three-Dimensional Coordinates，PDF p.67–68）

球坐标 $(\rho,\phi,\theta)$（卫星：到地心距离 $\rho$、余纬 $\phi$、相对过极轴的非旋转平面 $\Pi$ 的方位角 $\theta$）： $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi\tag{3.42}$ $0\le\rho$，$0\le\phi\le\pi$，$0\le\theta<2\pi$ 时为 1:1，$z$ 轴是例外点轨迹。
斜笛卡尔坐标 $(u,v,w)$（三斜晶体振动，原子位于平行六面体顶点）： $x=A^1_1u+A^1_2v+A^1_3w,\ y=A^2_1u+A^2_2v+A^2_3w,\ z=A^3_1u+A^3_2v+A^3_3w\tag{3.43}$ $\det[A^i_j]\neq0$ 时 1:1，无例外点。
圆柱坐标 $(r,\theta,z)$（如高烟囱中上升粒子的轨迹）：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$ (3.44)，除 $z$ 轴外 1:1。
一般坐标变换 $x=\hat x(u,v,w)$ 等 (3.45)。统一记号 $x=x^1,y=x^2,z=x^3$，$u=u^1,v=u^2,w=u^3$（上标是指标不是幂）：(3.46) → $x^i=\hat x^i(u^1,u^2,u^3),\ i=1,2,3$ (3.47) → 省略自由指标范围（张量记号的美在于揭示在任意有限维都成立的关系）$x^i=\hat x^i(u^1,u^2,u^3)$ (3.48) → 再把函数自变量序列简记为单个符号： $x^i=\hat x^i(u^j)\tag{3.49}$ $j$ 称为自变量指标 (argument index)，只要求其符号与该项中其他指标不同。

3.9 一般坐标下的牛顿定律（Newton's Law in General Coordinates，PDF p.68–71）

模仿极坐标推导。重标笛卡尔基 $\mathbf e_1=\mathbf e_x,\mathbf e_2=\mathbf e_y,\mathbf e_3=\mathbf e_z$ (3.50)。 $\mathbf x=\hat{\mathbf x}(u^j)=\hat x^k(u^j)\mathbf e_k\tag{3.51 [3.23]}$ $\mathbf v=\dot{\mathbf x}=(\partial\mathbf x/\partial u^i)\dot u^i\tag{3.52 [3.24]}$ $\mathbf g_i\equiv\partial\mathbf x/\partial u^i=\mathbf x_{,i}=x^k_{,i}\mathbf e_k\tag{3.53 [3.25]}$ 称为 $u^j$ 坐标系的地窖基向量（自然基/协变基），在 $J(\mathbf g_1,\mathbf g_2,\mathbf g_3)\neq0$ 处构成基，并与过 $P$ 的坐标曲线相切（图 3.4：基向量画成尾在 $P$ 的箭头）。
例题 3.3：球坐标的地窖基向量与 Jacobian（具体坐标系常改回用不同字母）： $\mathbf g_1=\mathbf g_\rho=\mathbf x_{,\rho}=\sin\phi\cos\theta\,\mathbf e_x+\sin\phi\sin\theta\,\mathbf e_y+\cos\phi\,\mathbf e_z\tag{3.54}$ $\mathbf g_2=\mathbf g_\phi=\mathbf x_{,\phi}=\rho\cos\phi\cos\theta\,\mathbf e_x+\rho\cos\phi\sin\theta\,\mathbf e_y-\rho\sin\phi\,\mathbf e_z\tag{3.55}$ $\mathbf g_3=\mathbf g_\theta=\mathbf x_{,\theta}=-\rho\sin\phi\sin\theta\,\mathbf e_x+\rho\sin\phi\cos\theta\,\mathbf e_y\tag{3.56}$ $J(\mathbf g_\rho,\mathbf g_\phi,\mathbf g_\theta)=\rho^2\sin\phi\tag{3.57}$
屋顶（逆变）分量 $v^i=\dot u^i$ (3.58 [3.27])，$\mathbf v=v^i\mathbf g_i$ (3.59 [3.28])；物理分量 $v^{(i)}\equiv\mathbf v\cdot\bar{\mathbf g}^i=v^i/|\mathbf g^i|$ (3.60 [3.30])（脚注 9：同在屋顶的两个哑指标不求和）。
加速度：$\mathbf a=\dot v^i\mathbf g_i+v^i\dot{\mathbf g}_i$ (3.61 [3.31])；$\dot{\mathbf g}_i=(\partial\mathbf g_i/\partial u^j)\dot u^j=v^j\mathbf g_{i,j}$ (3.62 [3.32])。
Christoffel 符号定义： $\mathbf g_{i,j}=\Gamma^1_{ij}\mathbf g_1+\Gamma^2_{ij}\mathbf g_2+\Gamma^3_{ij}\mathbf g_3=\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k\tag{3.63 [3.33]}$ 因 $\mathbf g_{i,j}=\partial^2\mathbf x/\partial u^i\partial u^j=\mathbf g_{j,i}$，故 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$（下指标对称）。
代入：$\mathbf a=\dot v^i\mathbf g_i+v^iv^j\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k$ (3.64)。张量分析的典型招数：把第一项哑指标 $i$ 换成 $k$： $\mathbf a=(\dot v^k+v^iv^j\Gamma^k_{ij})\mathbf g_k\equiv a^k\mathbf g_k\tag{3.65 [3.35]}$ $a^{(i)}\equiv\mathbf a\cdot\bar{\mathbf g}^i=a^i/|\mathbf g^i|=(\ddot u^i+\dot u^p\dot u^q\Gamma^i_{pq})/|\mathbf g^i|\tag{3.66 [3.39]}$ $f^k\mathbf g_k=ma^k\mathbf g_k\tag{3.67 [3.40]}$ $f^k=ma^k=m(\ddot u^k+\dot u^i\dot u^j\Gamma^k_{ij})\tag{3.68 [3.41]}$ （这正是测地线方程的前身：$f^k=0$ 时 $\ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j=0$ 描述欧氏空间中的直线运动在曲线坐标下的样子。）

3.10 Christoffel 符号的计算（Computation of the Christoffel Symbols，PDF p.71–72）

算法（已有计算机符号运算程序可做）：
- (a) 由 (3.51) 算出 $\mathbf g_{i,j}$ 的笛卡尔分量；
- (b) 算屋顶基向量，即 Jacobian 矩阵求逆；
- (c) 对 (3.63) 两边点乘 $\mathbf g^p$：$\mathbf g^p\cdot\mathbf g_{i,j}=\Gamma^k_{ij}\mathbf g^p\cdot\mathbf g_k=\Gamma^k_{ij}\delta^p_k=\Gamma^p_{ij}$，即 $\Gamma^k_{ij}=\mathbf g^k\cdot\mathbf g_{i,j}\tag{3.69}$
例题 3.4：$x^1=u^1u^2$，$x^2=(u^3)^2$，$x^3=(u^1)^2-(u^2)^2$（记 $u,v,w$）。
- (a) $\mathbf x\sim(uv,w^2,u^2-v^2)$；$\mathbf g_u\sim(v,0,2u)$，$\mathbf g_v\sim(u,0,-2v)$，$\mathbf g_w\sim(0,2w,0)$；$\mathbf g_{u,u}\sim(0,0,2)$，$\mathbf g_{u,v}\sim(1,0,0)$，$\mathbf g_{u,w}\sim\mathbf0$，$\mathbf g_{v,v}\sim(0,0,-2)$，$\mathbf g_{v,w}\sim\mathbf0$，$\mathbf g_{w,w}\sim(0,2,0)$。
- (b) $G=\begin{bmatrix}v&u&0\\0&0&2w\\2u&-2v&0\end{bmatrix}$，$J=4w(u^2+v^2)$。对 $3\times3$ 矩阵用伴随公式（不对 $i,j$ 求和） $G^{-1}=J^{-1}[(-1)^{i+j}M_{ji}]\tag{3.70}$ $M_{ij}$ 为删去第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式。得 $G^{-1}=J^{-1}\begin{bmatrix}4vw&0&2uw\\4uw&0&-2vw\\0&2u^2+2v^2&0\end{bmatrix}$，各行即 $\mathbf g^u,\mathbf g^v,\mathbf g^w$。
- (c) $\Gamma^u_{uu}=\mathbf g^u\cdot\mathbf g_{u,u}=J^{-1}(2uw)(2)=u/(u^2+v^2)$；$\Gamma^u_{uv}=J^{-1}(4vw)(1)=v/(u^2+v^2)$。类似得 $-\Gamma^u_{vv}=\Gamma^v_{uv}=u/(u^2+v^2)$，$-\Gamma^v_{uu}=\Gamma^v_{vv}=v/(u^2+v^2)$，$\Gamma^w_{ww}=1/w$，其余 11 个（独立的共 18 个）为零。

3.11 Christoffel 符号的另一公式（An Alternative Formula for Computing the Christoffel Symbols，PDF p.72–75）

用度量（单位张量的屋顶/地窖分量）$g^{ij}=\mathbf g^i\cdot\mathbf g^j$、$g_{ij}=\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j$：
\[\Gamma^k_{ij}=\tfrac12g^{kp}(g_{ip,j}+g_{jp,i}-g_{ij,p})\tag{3.71}\]
两个优点：① 可直接用于广义相对论（指标 1–4，$g_{ij}$ 称度量张量的协变分量，反映宇宙中物质分布）——它只依赖度量，不需要嵌入笛卡尔空间；② 在正交坐标（$\mathbf g_i$ 互相垂直但不必单位长）中很高效：$[g_{ij}]$、$[g^{ij}]$ 对角，(3.71) 化为（不对 $k$ 求和）
\[\Gamma^k_{ij}=\tfrac12g^{kk}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})\tag{3.72}\]
分四种互斥情形：
- (a) $i,j,k$ 互异：$\Gamma^k_{ij}=0$ (3.73)（因 $[g_{ij}]$ 对角）。原书称 $n$ 维中此类符号有 $n(n-1)/2$ 个；按 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$ 计数应为 $n\binom{n-1}{2}=n(n-1)(n-2)/2$，仅在 $n=3$ 时二者相等（都为 3）。四类合计应为 $n^2(n+1)/2$（三维为 18）。
- (b) $i\neq j$，$k$ 与其中之一相同：$\Gamma^i_{ij}=\frac12g^{ii}g_{ii,j}$，$i\neq j$ (3.74)，共 $n(n-1)$ 个。
- (c) $i=j\neq k$：$\Gamma^k_{ii}=-\frac12g^{kk}g_{ii,k}$，$k\neq i$ (3.75)，共 $n(n-1)$ 个。
- (d) 全相等：$\Gamma^i_{ii}=\frac12g^{ii}g_{ii,i}$ (3.76)，共 $n$ 个。
例题 3.5（球坐标 Christoffel 符号）：$[g_{ij}]=\mathrm{diag}(1,\rho^2,\rho^2\sin^2\phi)$，$[g^{ij}]=\mathrm{diag}(1,\rho^{-2},\rho^{-2}\csc^2\phi)$（习题 2.10b）。结果（指标 1,2,3 = $\rho,\phi,\theta$）：
- (a) $\Gamma^1_{23}=\Gamma^2_{13}=\Gamma^3_{12}=0$；
- (b) $\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{13}=0$；$\Gamma^2_{21}=\Gamma^\phi_{\phi\rho}=\frac12(\rho^{-2})(2\rho)=\rho^{-1}$；$\Gamma^2_{23}=0$；$\Gamma^3_{31}=\Gamma^\theta_{\theta\rho}=\frac12\rho^{-2}\csc^2\phi(2\rho\sin^2\phi)=\rho^{-1}$；$\Gamma^3_{32}=\Gamma^\theta_{\theta\phi}=\frac12\rho^{-2}\csc^2\phi(2\rho^2\sin\phi\cos\phi)=\cot\phi$；
- (c) $\Gamma^1_{22}=\Gamma^\rho_{\phi\phi}=-\rho$；$\Gamma^1_{33}=\Gamma^\rho_{\theta\theta}=-\rho\sin^2\phi$；$\Gamma^2_{11}=0$；$\Gamma^2_{33}=\Gamma^\phi_{\theta\theta}=-\sin\phi\cos\phi$；$\Gamma^3_{11}=\Gamma^3_{22}=0$；
- (d) $\Gamma^1_{11}=\Gamma^2_{22}=\Gamma^3_{33}=0$。
例题 3.6：球坐标中加速度的屋顶分量 $a^2=a^\phi$ 与物理分量 $a^{(2)}$。由 (3.65)，$a^2=\dot v^2+(v^1)^2\Gamma^2_{11}+2v^1v^2\Gamma^2_{12}+2v^1v^3\Gamma^2_{13}+(v^2)^2\Gamma^2_{22}+2v^2v^3\Gamma^2_{23}+(v^3)^2\Gamma^2_{33}$，非零的只有 $\Gamma^2_{12}$ 与 $\Gamma^2_{33}$： $a^\phi=\ddot\phi+2\rho^{-1}\dot\rho\dot\phi-\dot\theta^2\sin\phi\cos\phi$ $g^{22}=\rho^{-2}$，$|\mathbf g^2|=\rho^{-1}$，故 $a^{(\phi)}=a^2/|\mathbf g^2|=\rho\ddot\phi+2\dot\rho\dot\phi-\rho\dot\theta^2\sin\phi\cos\phi$。注意：物理分量有加速度量纲 [长度/时间²]，屋顶分量 $a^\phi$ 没有。
(3.71) 的推导： $g_{ij,k}=(\mathbf g_i\cdot\mathbf g_j)_{,k}=\mathbf g_{i,k}\cdot\mathbf g_j+\mathbf g_i\cdot\mathbf g_{j,k}\tag{3.77}$ $g_{ij,k}=\Gamma^p_{ik}\mathbf g_p\cdot\mathbf g_j+\Gamma^p_{jk}\mathbf g_p\cdot\mathbf g_i=\Gamma^p_{ik}g_{pj}+\Gamma^p_{jk}g_{pi}\tag{3.78}$ 在 (3.78) 中先交换 $i,k$、再交换 $j,k$： $g_{kj,i}=\Gamma^p_{ki}g_{pj}+\Gamma^p_{ji}g_{pk},\qquad g_{ik,j}=\Gamma^p_{ij}g_{pk}+\Gamma^p_{kj}g_{pi}\tag{3.79}$ (3.78) 加 $(3.79)_1$ 减 $(3.79)_2$，利用 $\Gamma$ 下指标对称： $g_{ij,k}+g_{kj,i}-g_{ik,j}=2\Gamma^p_{ik}g_{pj}\tag{3.80}$ 两边乘 $\frac12g^{qj}$ 并对 $j$ 求和，$g^{qj}g_{pj}=\delta^q_p$： $\Gamma^q_{ik}=\tfrac12g^{qj}(g_{ij,k}+g_{kj,i}-g_{ik,j})\tag{3.81}$ 即 (3.71) 换了指标名。

3.12 坐标变换（A Change of Coordinates，PDF p.75–77）

从 $u^j$ 系到 $\tilde u^k$ 系的坐标变换 $u^j=\hat u^j(\tilde u^k)\tag{3.82}$ 假定除个别例外点外 1:1 且连续可微。例：圆柱 $(r,\theta,z)$ → 球 $(\rho,\phi,\theta)$（图 3.5）：$r=\rho\sin\phi$ (3.83)，$\theta=\theta$ (3.84)，$z=\rho\cos\phi$ (3.85)，$\rho=0$ 为唯一例外点。
新基向量 $\tilde{\mathbf g}_j=\partial\mathbf x/\partial\tilde u^j$，由链式法则 $\tilde{\mathbf g}_j=(\partial\mathbf x/\partial u^1)\partial u^1/\partial\tilde u^j+\cdots=\frac{\partial u^i}{\partial\tilde u^j}\mathbf g_i\tag{3.86 [3.36]}$ 与 (2.31) 同形， $A^i_j=\partial u^i/\partial\tilde u^j\tag{3.87}$ 现在 $A^i_j$ 逐点变化。对称地 $(A^{-1})^i_j=\partial\tilde u^i/\partial u^j\tag{3.88}$
由 (2.36)(2.38) 立即得到全书唯一加方框的公式： $\boxed{\tilde v_j=\frac{\partial u^i}{\partial\tilde u^j}v_i,\qquad\tilde v^i=\frac{\partial\tilde u^i}{\partial u^j}v^j}\tag{3.89}$ $\boxed{\begin{aligned}\tilde T_{ij}&=\frac{\partial u^k}{\partial\tilde u^i}\frac{\partial u^p}{\partial\tilde u^j}T_{kp}, &\tilde T^i_{\cdot j}&=\frac{\partial\tilde u^i}{\partial u^k}\frac{\partial u^p}{\partial\tilde u^j}T^k_{\cdot p},\\\tilde T_j^{\cdot i}&=\frac{\partial u^k}{\partial\tilde u^j}\frac{\partial\tilde u^i}{\partial u^p}T_k^{\cdot p}, &\tilde T^{ij}&=\frac{\partial\tilde u^i}{\partial u^k}\frac{\partial\tilde u^j}{\partial u^p}T^{kp}\end{aligned}}\tag{3.90}$
作者评论：许多张量教材一开始就把 (3.89)(3.90) 当作协变/逆变向量和协变、逆变、混合 2 阶张量的定义——任何一组对象 $(v_1,v_2,\dots)$ 若其分量按 $(3.89)_1$ 变换，就称为协变向量，等等。广义相对论和壳/膜理论有时采用这种观点，因为它们处理的是弯曲连续体。
例题 3.7：圆柱坐标中张量 $\mathbf T$ 在点 $r=1,\theta=\pi/4,z=-\sqrt3$ 处的混合分量 $[T_j^{\cdot i}]=\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&1&2\\3&0&-2\end{bmatrix}$（按「屋顶=行、地窖=列」读：第 $i$ 行第 $j$ 列为 $T_j^{\cdot i}$，故 $T_1^{\cdot1}=2$，$T_3^{\cdot1}=1$，$T_1^{\cdot3}=3$，$T_3^{\cdot3}=-2$），求球坐标分量 $\tilde T_2^{\cdot1}$。$(u^1,u^2,u^3)=(r,\theta,z)$，$(\tilde u^1,\tilde u^2,\tilde u^3)=(\rho,\phi,\theta)$： $\left[\frac{\partial u^k}{\partial\tilde u^j}\right]=\begin{bmatrix}\sin\phi&\rho\cos\phi&0\\0&0&1\\\cos\phi&-\rho\sin\phi&0\end{bmatrix},\qquad\left[\frac{\partial\tilde u^i}{\partial u^p}\right]=\begin{bmatrix}\sin\phi&0&\cos\phi\\\rho^{-1}\cos\phi&0&-\rho^{-1}\sin\phi\\0&1&0\end{bmatrix}$ （后者可由前者求逆，或先反解 (3.83)(3.85) 再求偏导。）由 $(3.90)_3$：$\tilde T_2^{\cdot1}=(\partial\tilde u^1/\partial u^p)[T_k^{\cdot p}(\partial u^k/\partial\tilde u^2)]=(\sin\phi)[T_1^{\cdot1}(\rho\cos\phi)+T_3^{\cdot1}(-\rho\sin\phi)]+(\cos\phi)[T_1^{\cdot3}(\rho\cos\phi)+T_3^{\cdot3}(-\rho\sin\phi)]$。该点 $\rho=2$，$\sin\phi=\frac12$，$\cos\phi=-\sqrt3/2$： $\tilde T_2^{\cdot1}=\tfrac12[(2)(-\sqrt3)+(1)(-1)]+(-\tfrac{\sqrt3}2)[(3)(-\sqrt3)+(-2)(-1)]=4-2\sqrt3$

3.13 Christoffel 符号的变换（Transformation of the Christoffel Symbols，PDF p.77–78）

定义 $\tilde\Gamma^i_{jk}=\tilde{\mathbf g}^i\cdot(\partial\tilde{\mathbf g}_j/\partial\tilde u^k)$ (3.91)。由 (2.33)(3.88)，$\tilde{\mathbf g}^i=(\partial\tilde u^i/\partial u^p)\mathbf g^p$ (3.92)。由 (3.86) $\frac{\partial\tilde{\mathbf g}_j}{\partial\tilde u^k}=\frac{\partial}{\partial\tilde u^k}\Big(\frac{\partial u^q}{\partial\tilde u^j}\mathbf g_q\Big)=\frac{\partial^2u^q}{\partial\tilde u^j\partial\tilde u^k}\mathbf g_q+\frac{\partial u^q}{\partial\tilde u^j}\frac{\partial\mathbf g_q}{\partial\tilde u^k}\tag{3.93}$ $\frac{\partial\mathbf g_q}{\partial\tilde u^k}=\frac{\partial\mathbf g_q}{\partial u^r}\frac{\partial u^r}{\partial\tilde u^k}=\frac{\partial u^r}{\partial\tilde u^k}\Gamma^s_{qr}\mathbf g_s\tag{3.94}$ 合并（$\mathbf g^p\cdot\mathbf g_q=\delta^p_q$）： $\tilde\Gamma^i_{jk}=\frac{\partial\tilde u^i}{\partial u^p}\left(\underline{\frac{\partial^2u^p}{\partial\tilde u^j\partial\tilde u^k}}+\frac{\partial u^q}{\partial\tilde u^j}\frac{\partial u^r}{\partial\tilde u^k}\Gamma^p_{qr}\right)\tag{3.95}$
关键结论：由于带下划线的二阶导数项，新 Christoffel 符号不只是旧符号的线性组合，因此 Christoffel 符号不是 3 阶张量的分量（有些作者因此写作 $\{^{\,i}_{jk}\}$ 而非 $\Gamma^i_{jk}$）。
实用推论：只要能引入笛卡尔坐标（脚注 11：对气球这类内蕴弯曲连续体不可能），取旧坐标为笛卡尔 $x^i$、新坐标为一般 $u^i$，由于笛卡尔坐标中 Christoffel 符号全为零： $\Gamma^i_{jk}=\frac{\partial u^i}{\partial x^p}\frac{\partial^2x^p}{\partial u^j\partial u^k}\tag{3.96 [3.37]}$

3.14 习题（Exercises，PDF p.78–82）

题型概括（共 18 题）：

3.1 查三种惯性系定义并用自己的话定义。3.2 弹簧炮（劲度 $k$、压缩 $D$）竖直发射钢珠，用能量守恒求上升高度。3.3 $\mathbf x=t\mathbf e_x+t^2\mathbf e_y+t^3\mathbf e_z$ 的速度与加速度。
3.4 空间曲线几何（Frenet–Serret）：$\mathbf v=|\mathbf v|\mathbf t=\dot s\mathbf t$ (3.97)，$\mathbf t$ 单位切向；$\ddot{\mathbf x}=\ddot s\mathbf t+\dot s\dot{\mathbf t}\equiv\mathbf a_p+\mathbf a_c$ (3.98)（路径加速度与向心加速度，二者正交，因 $\mathbf t\cdot\dot{\mathbf t}=0$）；$\mathbf a_p=(\ddot{\mathbf x}\cdot\dot{\mathbf x}/\dot{\mathbf x}\cdot\dot{\mathbf x})\dot{\mathbf x}$，$\mathbf a_c=\dot{\mathbf x}\times(\ddot{\mathbf x}\times\dot{\mathbf x})/\dot{\mathbf x}\cdot\dot{\mathbf x}$ (3.99)；$\mathbf t'=\kappa\mathbf n$ (3.100)（曲率 $\kappa$、单位主法向 $\mathbf n$），$\mathbf a_c=\kappa\dot s^2\mathbf n$，$\kappa=|\dot{\mathbf x}\times\ddot{\mathbf x}|/|\dot{\mathbf x}|^3$ (3.101)；副法向 $\mathbf b=\mathbf t\times\mathbf n$，$\mathbf b'=-\tau\mathbf n$ (3.102)，$\mathbf n'=-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b$ (3.103)，挠率 $\tau=(\dot{\mathbf x}\times\ddot{\mathbf x})\cdot\dddot{\mathbf x}/|\dot{\mathbf x}\times\ddot{\mathbf x}|^2$。给定 $\kappa(s),\tau(s)$ 可在刚体运动意义下唯一确定曲线。
3.5 右手圆柱螺旋线 $\mathbf x=a(\cos\theta\mathbf e_x+\sin\theta\mathbf e_y)+b\theta\mathbf e_z$ 的弧长、曲率、挠率。3.6 游乐设施旋臂倾斜座椅中人头的加速度在随体标架 $\{\mathbf e_u,\mathbf e_v,\mathbf e_\theta\}$ 中的分量（图 3.6）。
3.7 中心力场轨道化为两次求积：用 $r^2\dot\theta=r_0$ 消去 $\theta$，乘 $\dot r$ 写成 $(\ )^\cdot=0$（$f^r=v'(r)$），分离变量。
3.8 球坐标屋顶基向量（正交时 $\mathbf g^\rho=\lambda\mathbf g_\rho$），验证 $[g^{ij}]$。3.9 坐标 $x=u+w,\ y=v^2-w,\ z=u^2+v$ 的基、倒易基、Christoffel 符号、加速度分量。3.10 二维 $x=u-v^2,\ y=u+v$ 的完整计算并写出 $\mathbf f=uv\mathbf g_v$ 时牛顿定律分量式。
3.11 对 $\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=\delta^i_j$ 求导得 $\mathbf g^i_{,j}=-\Gamma^i_{jk}\mathbf g^k$ (3.104)。
3.12 度量张量与弧长：$ds^2=d\mathbf x\cdot d\mathbf x=g_{ij}\dot u^i\dot u^jdt^2$ (3.105)，曲线长 $\int\sqrt{g_{ij}\dot u^i\dot u^j}dt$；$g_{ij}$ 因此（尤其在广义相对论中）称为度量张量；求球面上 $\theta=\phi=t$ 曲线长度的积分式。
3.13 球坐标下向量的屋顶分量。3.14 $x=2e^{u-v},\ y=-e^{3u+2v}$ 的 6 个 Christoffel 符号；3.15 推广到 $x^i=c^i\exp(A^i_ju^j)$。3.16 求使 $\Gamma^i_{jk}=\alpha_k\delta^i_j$ 的变换；是否总能找到坐标使 $\Gamma$ 取任意指定值（提示：不能——涉及可积性/曲率条件）。
3.17 由解析函数生成的柱坐标 $x+iy=f(u+iv)$，$z=w$：证 $\mathbf g_u-i\mathbf g_v=(\mathbf e_x-i\mathbf e_y)f'$，坐标正交，$J=|f'|^2$，$\Gamma^u_{uu}=\Gamma^v_{uv}=-\Gamma^u_{vv}=\mathcal R(f''/f')$，$\Gamma^v_{uu}=-\Gamma^u_{uv}=-\Gamma^v_{vv}=\mathcal I(f''/f')$；具体算抛物柱坐标 $f=\frac12(u+iv)^2$、椭圆柱坐标 $f=\cosh(u+iv)$、双极柱坐标 $f=\coth(u+iv)$。3.18 椭圆柱坐标中的牛顿定律。

第 III 章本章要点

坐标系 $x^i=\hat x^i(u^j)$ 给出逐点变化的自然基 $\mathbf g_i=\partial\mathbf x/\partial u^i$（与坐标曲线相切）；Jacobian $J=\det[x^i_{,j}]$ 为零处是例外点。
速度屋顶分量 $v^i=\dot u^i$；加速度 $a^k=\ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j$，多出来的 $\Gamma$ 项来自基向量随位置变化（极坐标的向心项 $-r\dot\theta^2$ 与 Coriolis 项 $2\dot r\dot\theta$）。
Christoffel 符号 $\mathbf g_{i,j}=\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k$，$\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$；计算公式 $\Gamma^k_{ij}=\mathbf g^k\cdot\mathbf g_{i,j}$，或只用度量 $\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{kp}(g_{ip,j}+g_{jp,i}-g_{ij,p})$；正交坐标下分四种情形。
物理分量 $v^{(i)}=v^i/|\mathbf g^i|$ 才具有物理量纲。
坐标变换下 $A^i_j=\partial u^i/\partial\tilde u^j$，得全书唯一方框公式 (3.89)(3.90)；Christoffel 符号的变换含二阶导数非齐次项，不是张量；从笛卡尔出发 $\Gamma^i_{jk}=(\partial u^i/\partial x^p)(\partial^2x^p/\partial u^j\partial u^k)$。
度量 $ds^2=g_{ij}du^idu^j$ 决定弧长。

第 III 章与量化交易的关联

参数化变换下的梯度/Hessian 变换：优化中常对参数重参数化（如用 $\log\sigma$ 代替 $\sigma$、用 Cholesky 因子参数化协方差、权重用 softmax 参数化）。梯度是协变向量，按 $(3.89)_1$ 用 Jacobian $\partial u/\partial\tilde u$ 变换；Hessian 在非临界点不是张量，变换时多出 $\nabla f\cdot\partial^2u/\partial\tilde u^2$ 项——与 Christoffel 符号的非齐次项 (3.95) 同源。这解释了为什么牛顿法在重参数化后行为改变，而自然梯度 (natural gradient，用 Fisher 信息作度量 $g_{ij}$) 具有参数化不变性。
度量张量 $g_{ij}$ 与 Fisher 信息几何：信息几何把参数族概率分布看成以 Fisher 信息为度量的 Riemann 流形，(3.71) 的 Christoffel 公式直接用于计算其联络；在风险模型中，以协方差逆为度量的马氏距离就是 $ds^2=g_{ij}du^idu^j$。
随机微积分中的 Itô 修正：从 $(r,\theta)$ 坐标的加速度出现 $\Gamma\dot u\dot u$ 项，类比 Itô 引理中变量变换产生的二阶项 $\frac12f''\sigma^2$——二者都是「非线性坐标变换下二阶导数不按张量变换」的体现；对理解对数价格/收益率变换（$d\log S=dS/S-\frac12\sigma^2dt$）有启发。这是概念类比，书中没有随机内容。
牛顿力学、轨道、Frenet 公式本身与量化交易没有直接关联。

第 III 章推荐习题

3.8、3.9、3.10（一般坐标的完整计算流程：基、倒易基、$\Gamma$、加速度分量）。
3.11（$\mathbf g^i_{,j}=-\Gamma^i_{jk}\mathbf g^k$，第 4 章协变导数要用）。
3.12（度量张量与弧长，信息几何的入口）。
3.16（Christoffel 符号能否任意指定——曲率概念的伏笔）。
3.4（Frenet–Serret，曲线几何基础）。

第 IV 章梯度、Del 算子、协变微分与散度定理（The Gradient, the Del Operator, Covariant Differentiation, and the Divergence Theorem，PDF p.83–117）

4.0 章首：地形图上的梯度（PDF p.83）

在地形图上点 $P$ 处，要表示沿方向 $\mathbf t$ 的坡度 $m$，可从 $P$ 画向量 $m\mathbf t$（图 4.1）。地形光滑而非水平时，存在唯一坡度最大的方向——最速上升方向 (direction of steepest ascent)；相应向量称为高程在 $P$ 的梯度。梯度必垂直于过 $P$ 的等高线。脚注 1：穹顶状山顶处所有方向都是（零）最速上升方向；锥状尖顶被光滑性假设排除。

4.1 梯度（The Gradient，PDF p.83–87）

几何定义：设 $f(\mathbf x)$ 定义在 $E_n$ 某区域（标量场；向量/张量函数称向量场/张量场）。$f$ 在 $\mathbf x$ 处的梯度是具有 $f$ 随离开 $\mathbf x$ 的距离增长最快的方向和大小的向量，记 $\nabla f$ 或 $\nabla f(\mathbf x)$，尾在 $\mathbf x$ 的头部。
物理例：Fourier 热传导定律（各向同性材料）$\mathbf q=-k\nabla T,\ k>0$；理想无旋流 $\mathbf v=\nabla\phi$（速度势）；棱柱杆扭转中截面剪应力 $\boldsymbol\tau=\mathbf k\times\nabla\psi$（应力函数）。
本章第一目标：给出 $\nabla f$ 在任意坐标系都成立的简洁表达。间接引入：设一般坐标 $x^i=\hat x^i(u^j)$，$f$ 是 $u^j$ 的函数；光滑曲线 $C:\ u^j=\hat u^j(s),\quad a\le s\le b\tag{4.1}$ $s$ 为弧长（例：习题 3.5 的螺旋线在圆柱坐标中为 $r=a,\ \theta=s/c,\ z=bs/c$，$c=\sqrt{a^2+b^2}$）。沿 $C$ 由链式法则 $\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial u^1}\frac{du^1}{ds}+\frac{\partial f}{\partial u^2}\frac{du^2}{ds}+\cdots=\frac{\partial f}{\partial u^i}\frac{du^i}{ds}\tag{4.2}$ 左边是标量不变量，称方向导数/路径导数 (directional or path derivative)，只依赖 $f(\mathbf x)$ 与 $C$，不依赖坐标系（$f$ 为温度、$C$ 为山路时只需温度计和计步器就能测）。右边各项则依赖坐标。
几何解释：单位切向 $\mathbf t=\hat{\mathbf x}'(s)$，链式法则 $\mathbf t=(\partial\mathbf x/\partial u^i)(du^i/ds)\equiv\mathbf g_it^i\tag{4.3}$ 故 $df/ds=f_{,i}t^i$ (4.4)。对照 (2.10)，这是 $\mathbf t$ 与下述向量的点积： $\nabla f\equiv f_{,i}\mathbf g^i\tag{4.5}$ $df/ds=\nabla f\cdot\mathbf t\tag{4.6}$
为什么可以把 $f_{,i}\mathbf g^i$ 称为 $\nabla f$：在固定点 $P_*$，换过 $P_*$ 的曲线只改变 $t^i$，$f_{,i}$ 不变；$df/ds=\nabla f\cdot\mathbf t$ 在 $\mathbf t$ 与 $\nabla f$ 同向时最大，最大值为 $|\nabla f|$（$|\mathbf t|=1$），符合开头的几何定义。要点：梯度的偏导数 $f_{,i}$ 是地窖（协变）分量，基为倒易基 $\mathbf g^i$。
例题 4.1：$f=xy+yz+zx$，在 $(12,5,-9)$ 处。$f_{,x}=y+z,\ f_{,y}=x+z,\ f_{,z}=y+x$，$\nabla f\sim(-4,3,17)$，$|\nabla f|=\sqrt{314}$。圆柱坐标中 $f=r^2\sin\theta\cos\theta+rz\sin\theta+rz\cos\theta$，地窖分量 $f_{,r}=2r\sin\theta\cos\theta+z\sin\theta+z\cos\theta$，$f_{,\theta}=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta+rz\cos\theta-rz\sin\theta$，$f_{,z}=r\sin\theta+r\cos\theta$。该点 $r=13$，$\theta=\tan^{-1}(5/12)$，$z=-9$：$f_{,r}=2(13)(5/13)(12/13)+(-9)(5/13)+(-9)(12/13)=-33/13$，$f_{,\theta}=56$，$f_{,z}=17$。另法：用 $(3.89)_1$（$v_i=f_{,i}$），它就是链式法则 $\partial f/\partial\tilde u^j=(\partial u^i/\partial\tilde u^j)\partial f/\partial u^i$；$\tilde v_1=f_{,r}=f_{,x}\cos\theta+f_{,y}\sin\theta=(-4)(12/13)+3(5/13)=-33/13$。
梯度垂直于等值面：若 $f$ 在 $P_*(\mathbf x_*)$ 邻域光滑，则 $\nabla f(\mathbf x_*)$ 垂直于曲面 $f(\mathbf x)=f(\mathbf x_*)$。因为 $f$ 在曲面内任意曲线上为常数，故对过 $P_*$ 的任一光滑曲线 $C_*$ $(df/ds)_*=\nabla f(\mathbf x_*)\cdot\mathbf t_*=0\tag{4.7}$ （图 4.2：两条不同切向的曲线。）
例题 4.2：椭球面 $f\equiv x^2/1^2+y^2/2^2+z^2/3^2=1$ 上外法向为 $(1,1,1)$ 的点。$\nabla f\sim(2x,y/2,2z/9)$，指向外侧，令 $(2x_*,y_*/2,2z_*/9)=k(1,1,1)$，$k>0$：$x_*=k/2,y_*=2k,z_*=9k/2$，代入 $(k^2/4)+k^2+(9k^2/4)=1$，$k=2/\sqrt{14}$，$\mathbf x_*\sim(1,4,9)/\sqrt{14}$。

4.2 线性与非线性特征值问题（Linear and Nonlinear Eigenvalue Problems，PDF p.87–88）

力学和物理几乎每个分支都有特征值问题，例如上端绕竖直轴匀速旋转的理想悬链的可能形状。常用有限元等离散化化为有限维问题，往往可表述为：求 $n$ 维曲面 $f(\mathbf x)=0$ 上到原点距离取驻值的点。
二维示意（图 4.3）：在以原点为圆心的圆与 $f(\mathbf x)=0$ 相切的点，$\nabla f$ 必平行于 $\mathbf x$： $\nabla f(\mathbf x)=\lambda\mathbf x\tag{4.8}$ 满足的 $\lambda$ 称特征值，对应 $\mathbf x$ 称特征向量。若 $f$ 是 $\mathbf x$ 笛卡尔分量的二次函数，$\nabla f$ 成为线性算子（张量），(4.8) 化为线性代数中熟悉的特征值问题。（这本质上是拉格朗日乘子条件。）
例题 4.3：求曲线 $y=1/x^4$ 上离原点最近的点。令 $f=x^4y-1$，$\nabla f\sim(4x^3y,x^4)$，(4.8) 为 $4x^3y=\lambda x$、$x^4=\lambda y$（非线性特征值问题）。$x\neq0$，第一式得 $\lambda=4x^2y$；代入第二式 $x^2=4y^2$，$x=\pm2y$；代入 $f=0$：$16y^5=1$，$y=16^{-1/5}$。只有一个特征值 $\lambda=16^{2/5}$，但有两个特征向量 $\mathbf x\sim(\pm16^{1/20},16^{-1/5})$，到原点距离都是 $16^{-1/5}\sqrt5$。

4.3 Del 算子（The Del Operator，PDF p.88）

Leibniz 记号 $df/ds$ 有两个好处：可当作两个微分之商来运算；可看作线性微分算子 $d/ds$ 作用于 $f$。后一种解释（而非前一种）可推广到 $\nabla f$：del 算子 $\nabla$ 作用于 $f$ 得 $\nabla f$。由 (4.5)，

\nabla=\mathbf g^i\,\partial/\partial u^i\tag{4.9}

4.4 向量场的散度、旋度与梯度（The Divergence, Curl, and Gradient of a Vector Field，PDF p.89–90）

对向量场 $\hat{\mathbf v}(u^j)$ 取 $\nabla$ 与 $\mathbf v$ 的三种向量积：

(a) 点积——散度 (divergence，$\mathrm{div}\,\mathbf v$)，标量场： $\nabla\cdot\mathbf v=\mathbf g^i\cdot\mathbf v_{,i}\tag{4.10}$
(b) 叉积——旋度 (curl)，向量场： $\nabla\times\mathbf v=\mathbf g^i\times\mathbf v_{,i}\tag{4.11}$
(c) 直积： $\nabla\mathbf v=\mathbf g^i\mathbf v_{,i}\tag{4.12}$ 因 $d\mathbf v/ds=(\partial\mathbf v/\partial u^i)(du^i/ds)=\mathbf v_{,i}(\mathbf g^i\cdot\mathbf t)=(\nabla\mathbf v)^T\cdot\mathbf t$，称 $(\nabla\mathbf v)^T$（而不是 $\nabla\mathbf v$）为 $\mathbf v$ 的梯度（$\mathrm{grad}\,\mathbf v$）——注意转置约定。
把 $\nabla$ 放在第二个因子位置得到标量、向量、张量算子 $\mathbf v\cdot\nabla$、$\mathbf v\times\nabla$、$\mathbf v\nabla$，都用于连续介质力学。
例题 4.4：$\mathbf v=z\mathbf e_x+xy\mathbf e_y+xyz\mathbf e_z$。$\mathbf v_{,x}=y\mathbf e_y+yz\mathbf e_z$，$\mathbf v_{,y}=x\mathbf e_y+xz\mathbf e_z$，$\mathbf v_{,z}=\mathbf e_x+xy\mathbf e_z$；笛卡尔中 $\mathbf g^i=\mathbf e_i$。$\nabla\cdot\mathbf v=0+x+xy=x(1+y)$；$\nabla\times\mathbf v=(y\mathbf e_z-yz\mathbf e_y)+(xz\mathbf e_x)+(\mathbf e_y)=xz\mathbf e_x+(1-yz)\mathbf e_y+y\mathbf e_z$；$\nabla\mathbf v=y\mathbf e_x\mathbf e_y+yz\mathbf e_x\mathbf e_z+x\mathbf e_y\mathbf e_y+xz\mathbf e_y\mathbf e_z+\mathbf e_z\mathbf e_x+xy\mathbf e_z\mathbf e_z$。
物理意义：传热中 $\nabla\cdot\mathbf q$ 在 $P$ 处衡量 $P$ 邻域热量流出率（$\mathbf q$ 为热流向量）；流体中 $\nabla\cdot(\rho\mathbf v)$ 衡量 $P$ 邻域质量减少率；固体力学中 $\nabla\cdot\mathbf u$ 衡量位移 $\mathbf u$ 下 $P$ 邻域质点体积变化。流体中 $\boldsymbol\omega\equiv\nabla\times\mathbf v$ 称涡量 (vorticity)，其逐点变化衡量流动中的摩擦/黏性；对称张量 $\mathbf D=\frac12[\nabla\mathbf v+(\nabla\mathbf v)^T]$ 称应变率 (strain-rate)，完全确定以 $P$ 为中心的任意小质点邻域的形状变化；经典流体力学中知道 $P$ 处的 $\mathbf D$ 即可算出邻域应力。

4.5 $\nabla\cdot\mathbf v$、$\nabla\times\mathbf v$、$\nabla\mathbf v$ 的不变性（The Invariance of ...，PDF p.90）

坐标无关记号暗示了不变性，但需证明。两种途径，以 $\nabla\cdot\mathbf v$ 示范：

分量法：设另一坐标 $u^j=\hat u^j(\tilde u^k)$，在 $\tilde u$ 系中 $\nabla\cdot\mathbf v=\tilde{\mathbf g}^i\cdot(\partial\mathbf v/\partial\tilde u^i)$ (4.13)；链式法则 $\nabla\cdot\mathbf v=\tilde{\mathbf g}^i\cdot(\partial\mathbf v/\partial u^j)(\partial u^j/\partial\tilde u^i)=\mathbf g^j\cdot(\partial\mathbf v/\partial u^j)\tag{4.14}$ （用 (2.34) 与 (3.87)：$\mathbf g^j=A^j_i\tilde{\mathbf g}^i=(\partial u^j/\partial\tilde u^i)\tilde{\mathbf g}^i$。）与 (4.10) 一致，故为不变量。
无坐标定义法： $\nabla\cdot\mathbf v=\lim\int_{\partial R}\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA/\mathrm{Vol}\,R\quad\text{当}\ \|R\|\to0\tag{4.15}$ $R$ 是含 $P$、直径 $\|R\|$、边界 $\partial R$ 分段光滑、外单位法向 $\mathbf n$ 的区域。积分不依赖坐标，故 $\nabla\cdot\mathbf v$ 不变。(4.15) 是散度定理的推论。

4.6 协变导数（The Covariant Derivative，PDF p.91–92）

把 $\mathbf v_{,i}$ 用屋顶分量表示时协变导数自动出现： $\mathbf v_{,i}=(v^j\mathbf g_j)_{,i}=v^j_{,i}\mathbf g_j+v^j\mathbf g_{j,i}=v^j_{,i}\mathbf g_j+v^j\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k=(v^k_{,i}+\Gamma^k_{ij}v^j)\mathbf g_k\tag{4.16}$ 记 $\nabla_iv^k\equiv v^k_{,i}+\Gamma^k_{ij}v^j\tag{4.17}$ 则 $\mathbf v_{,i}=\nabla_iv^k\,\mathbf g_k\tag{4.18}$ $\nabla_iv^k$ 称为 $v^k$（关于 $u^i$）的协变导数 (covariant derivative)。它的定义使得：$\mathbf v_{,i}$ 在一般坐标下的分量形式与笛卡尔坐标下相同，只是把偏导算子 $\partial/\partial u^i$ 换成协变导数算子 $\nabla_i$。
为计算其他对象的协变导数，坚持两条性质：
- (a) 不变量（标量、向量、2 阶张量）的协变导数等于其偏导数；
- (b) 乘积的协变导数服从普通导数的乘积法则。
由此推出地窖分量的协变导数：对 $\phi\equiv\mathbf u\cdot\mathbf v=u^jv_j$， $\phi_{,i}=u^j_{,i}v_j+u^jv_{j,i}=(\nabla_iu^j-\Gamma^j_{ik}u^k)v_j+u^jv_{j,i}=v_j\nabla_iu^j+u^k(v_{k,i}-\Gamma^j_{ik}v_j)\tag{4.19}$ 要满足 (a)(b)，必须 $\phi_{,i}=v_j\nabla_iu^j+u^j\nabla_iv_j$，故 $\nabla_iv_j\equiv v_{j,i}-\Gamma^k_{ij}v_k\tag{4.20}$ （张量分量的协变导数见习题 4.5；习题 4.16 用另一方法推 (4.20)。）
由 (a)，$\mathbf v_{,i}=\nabla_iv^j\mathbf g_j=\nabla_iv_j\mathbf g^j$，结合 (b)(4.17)(4.20)： $\nabla_i\mathbf g_j\equiv\mathbf g_{j,i}-\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k=\mathbf0,\qquad\nabla_i\mathbf g^j\equiv\mathbf g^j_{,i}+\Gamma^j_{ik}\mathbf g^k=\mathbf0\tag{4.21}$ 即基向量 $\mathbf g_j$、$\mathbf g^j$ 是协变常数。由 (b) 与 (4.21)： $\nabla_i(g_{jk})=\nabla_i(\mathbf g_j\cdot\mathbf g_k)=\mathbf g_k\cdot\nabla_i\mathbf g_j+\mathbf g_j\cdot\nabla_i\mathbf g_k=0\tag{4.22}$ 即单位张量的分量（度量）是协变常数（度量相容性）。
协变导数可在 Riemann 流形（由 $g_{ij}$ 决定一切）上定义：$\nabla_i=\partial/\partial u^i+\{$含 Christoffel 符号的项$\}$，而由 (3.71) 后者只依赖 $g_{ij}$。但虽然对足够光滑函数 $\partial^2/\partial u^i\partial u^j=\partial^2/\partial u^j\partial u^i$，$\nabla_i\nabla_j\neq\nabla_j\nabla_i$，除非 Riemann 流形是平坦的（证明见 McConnell《Tensor Analysis》；本章最后的微分几何一节会触及）。

4.7 $\nabla\cdot\mathbf v$、$\nabla\times\mathbf v$、$\nabla\mathbf v$ 的分量形式（The Component Forms of ...，PDF p.92–93）

$\nabla$ 作用于不变量时由 (a) 可取 $\nabla=\mathbf g^i\nabla_i$。

(a) 点积： $\nabla\cdot\mathbf v=\mathbf g^i\cdot\nabla_i(v^j\mathbf g_j)=\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j\nabla_iv^j=\delta^i_j\nabla_iv^j=\nabla_iv^i=v^i_{,i}+\Gamma^i_{ij}v^j\tag{4.23}$ 显著事实（习题 4.17）： $\Gamma^j_{ji}=J^{-1}J_{,i}\tag{4.24}$ $J$ 为 Jacobian。由此得极有用的公式 $\nabla\cdot\mathbf v=J^{-1}(Jv^i)_{,i}\tag{4.25}$
例题 4.5：球坐标中用屋顶分量和物理分量表示 $\nabla\cdot\mathbf v$。$J=\rho^2\sin\phi$，$\mathbf v=v^\rho\mathbf g_\rho+v^\phi\mathbf g_\phi+v^\theta\mathbf g_\theta$： $\nabla\cdot\mathbf v=\frac1{\rho^2\sin\phi}\left[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^2\sin\phi\,v^\rho)+\frac{\partial}{\partial\phi}(\rho^2\sin\phi\,v^\phi)+\frac{\partial}{\partial\theta}(\rho^2\sin\phi\,v^\theta)\right]$ 物理分量 $v^{(i)}=\mathbf v\cdot\bar{\mathbf g}^i=v^i/|\mathbf g^i|=v^i/\sqrt{g^{ii}}$（不求和），由例 3.5：$v^{(\rho)}=v^\rho$，$v^{(\phi)}=\rho v^\phi$，$v^{(\theta)}=\rho\sin\phi\,v^\theta$，展开得 $\nabla\cdot\mathbf v=\frac{\partial v^{(\rho)}}{\partial\rho}+\frac2\rho v^{(\rho)}+\frac1\rho\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\phi}+\frac{\cot\phi}\rho v^{(\phi)}+\frac1{\rho\sin\phi}\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\theta}$
(b) 叉积： $\nabla\times\mathbf v=\mathbf g^i\times\nabla_i(v_j\mathbf g^j)=\mathbf g^i\times\mathbf g^j\nabla_iv_j=\epsilon^{ijk}\nabla_iv_j\mathbf g_k\tag{4.26}$ 屋顶分量 $(\nabla\times\mathbf v)^k=\epsilon^{ijk}\nabla_iv_j\tag{4.27}$ （由于 $\Gamma$ 对称，$\epsilon^{ijk}\nabla_iv_j=\epsilon^{ijk}v_{j,i}$，旋度其实不需要 Christoffel 符号。）
(c) 直积： $\nabla\mathbf v=\mathbf g^i\nabla_i(v_j\mathbf g^j)=\nabla_iv_j\,\mathbf g^i\mathbf g^j\tag{4.28}$ 即协变导数 $\nabla_iv_j$ 是张量 $\nabla\mathbf v$ 的地窖分量；同样 $\nabla_iv^j$ 是 $\nabla\mathbf v$ 的一组混合分量： $\nabla\mathbf v=\mathbf g^i\nabla_i(v^j\mathbf g_j)=\nabla_iv^j\,\mathbf g^i\mathbf g_j\tag{4.29}$ （因此 $\nabla_iv_j$ 按 2 阶张量规律变换——这正是「协变导数」名称的来源，而 $v_{j,i}$ 本身不是张量分量。）

4.8 连续介质运动学（The Kinematics of Continuum Mechanics，PDF p.93–95）

连续介质运动学描述物质连续分布（物体 bodies）的运动。物体中每个质点 $X$ 等同于在 $E_3$ 中运动的点 $P$；时刻 $t$ 所有这些点构成物体在 $t$ 的构形/形状 $S(t)$。设 $S(0)$ 已知，$\mathbf y$ 为 $P$ 在 $t$ 时的位置，$\mathbf x$ 为 $t=0$ 时的位置，物体的运动是变换 $\mathbf y=\hat{\mathbf y}(\mathbf x,t),\quad\mathbf x=\hat{\mathbf y}(\mathbf x,0),\quad\mathbf x\in S(0),\ -\infty<t<\infty\tag{4.30}$ 质点不合并要求 1:1，存在逆 $\mathbf x=\hat{\mathbf x}(\mathbf y,t),\quad\mathbf y\in S(t)\tag{4.31}$ 除波前（温度、速度、应力可跳跃）外假定足够光滑（场方程见习题 4.6、4.8、4.13、4.31、4.32）。
速度：$\mathbf v\equiv\dot{\mathbf y}\equiv\hat{\mathbf y}_{,t}(\mathbf x,t)\equiv\hat{\mathbf v}(\mathbf x,t)$ (4.32)；加速度：$\mathbf a\equiv\dot{\mathbf v}\equiv\hat{\mathbf v}_{,t}(\mathbf x,t)\equiv\hat{\mathbf a}(\mathbf x,t)$ (4.33)。
经典弹性理论中物体行为依赖当前形状相对初始形状的偏离，场变量取为 $t$ 与 $\mathbf x$ 的函数——参考坐标/Lagrange 坐标 (referential or Lagrangian coordinates)。经典流体力学假定行为只依赖当前形状的变化率，初始形状无关，场变量取为 $t$ 与 $\mathbf y$ 的函数——空间坐标/Euler 坐标 (spatial or Eulerian coordinates)。由 (4.31)(4.32)，速度场 $\mathbf v=\hat{\mathbf v}(\hat{\mathbf x}(\mathbf y,t),t)\equiv\check{\mathbf v}(\mathbf y,t)\tag{4.34}$ 此时 $\mathbf v$ 既显式依赖 $t$，又通过 $\mathbf y$ 隐式依赖 $t$，加速度公式须修改。取笛卡尔基 $\mathbf x=x^i\mathbf e_i$，$\mathbf y=y^i\mathbf e_i$，$\mathbf v=v^i\mathbf e_i$： $\mathbf a=\frac{\partial\mathbf v}{\partial y^i}\frac{\partial y^i}{\partial t}+\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}=v^i\mathbf v_{,i}+\mathbf v_{,t}\tag{4.35}$ 由不变算子 $\nabla=\mathbf g^i\nabla_i$ 可构造新不变算子 $\mathbf v\cdot\nabla=v^i\nabla_i$；它作用于任何场在任何坐标系下结果相同，在笛卡尔坐标 $(y^1,y^2,y^3)$ 中 $v^i\nabla_i\mathbf v=v^i\mathbf v_{,i}$。于是 (4.35) 写成不变形式 $\mathbf a=(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v+\mathbf v_{,t}\tag{4.36}$ 第一项为对流加速度 (convective acceleration)，第二项为局部加速度 (local acceleration)。对流项说明即使在定常流（$\mathbf v_{,t}=\mathbf0$）中也有加速度，例如不可压缩流体流过收缩喷管。微分算子 $(\ )^\cdot\equiv(\mathbf v\cdot\nabla+\partial/\partial t)\tag{4.37}$ 称为物质导数 (material derivative)；$\dot F$ 是随质点一起运动时 $F$ 的变化率。
例题 4.6：用圆柱 Euler 坐标求加速度，用速度物理分量表示。$a^k=v^i\nabla_iv^k+v^k_{,t}$。圆柱坐标非零 Christoffel 符号只有 $\Gamma^1_{22}=-r$、$\Gamma^2_{12}=r^{-1}$：$\nabla_1v^1=v^r_{,r}$，$\nabla_1v^2=v^\theta_{,r}+r^{-1}v^\theta$，$\nabla_2v^1=v^r_{,\theta}-rv^\theta$，$\nabla_2v^2=v^\theta_{,\theta}+r^{-1}v^r$，$\nabla_1v^3=v^z_{,r}$，$\nabla_2v^3=v^z_{,\theta}$，$\nabla_3v^1=v^r_{,z}$，$\nabla_3v^2=v^\theta_{,z}$，$\nabla_3v^3=v^z_{,z}$。于是 $a^r=v^rv^r_{,r}+v^\theta(v^r_{,\theta}-rv^\theta)+v^zv^r_{,z}+v^r_{,t}$ $a^\theta=v^r(v^\theta_{,r}+r^{-1}v^\theta)+v^\theta(v^\theta_{,\theta}+r^{-1}v^r)+v^zv^\theta_{,z}+v^\theta_{,t}$ $a^z=v^rv^z_{,r}+v^\theta v^z_{,\theta}+v^zv^z_{,z}+v^z_{,t}$ 物理分量 $u^{(r)}=u^r$、$u^{(\theta)}=ru^\theta$、$u^{(z)}=u^z$，故 $a^{(r)}=v^{(r)}v^{(r)}_{,r}+r^{-1}v^{(\theta)}(v^{(r)}_{,\theta}-v^{(\theta)})+v^{(z)}v^{(r)}_{,z}+v^{(r)}_{,t}$ 等。

4.9 散度定理（The Divergence Theorem，PDF p.95–98）

散度定理是从基本定律的整体（积分）形式推导连续介质力学局部（微分）方程的主要工具。例：密度 $\rho$、速度 $\mathbf v$ 的流体流过固定闭区域 $R$，质量守恒要求 $-\Big(\int_R\rho\,dV\Big)_{,t}=\int_{\partial R}\rho\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA\tag{4.38}$ $\partial R$ 分段光滑，外单位法向 $\mathbf n$。对一切 $R$ 成立，由散度定理可推出在场足够光滑的点邻域 $\rho_{,t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0\tag{4.39}$ （连续性方程）。
微积分教材中的二维笛卡尔形式（Green 定理）： $\int_R(P_{,x}+Q_{,y})\,dx\,dy=\int_{\partial R}P\,dy-Q\,dx\tag{4.40}$ $R$ 为单连通区域，边界简单分段光滑 $\partial R:\ x=\hat x(t),\ y=\hat y(t),\ \alpha\le t\le\beta$ (4.41)，右端即 $\int_\alpha^\beta[P(\hat x,\hat y)\hat y'(t)-Q(\hat x,\hat y)\hat x'(t)]dt$ (4.42)。
不变形式：用弧长 $s$ 参数化 $\partial R$，单位切向 $\mathbf t$（除有限个点外存在），让 $s$ 增加的方向使 $\mathbf n\equiv\mathbf t\times\mathbf e_z$ 指向外。令 $\mathbf v=P\mathbf e_x+Q\mathbf e_y$，被积函数化为 $\mathbf v\cdot\mathbf n$，且 $P_{,x}+Q_{,y}=\nabla\cdot\mathbf v$，记 $dx\,dy=dA$： $\int_R\nabla\cdot\mathbf v\,dA=\int_{\partial R}\mathbf v\cdot\mathbf n\,ds\tag{4.43}$ 无论 $dA$ 的精确定义如何（脚注：见 Buck《Advanced Calculus》或 Spivak《Calculus on Manifolds》），它必须是不变量，因为 (4.43) 中其余一切都是不变量。
坐标形式：$\mathbf v=v^i\mathbf g_i$，$\mathbf n=n_i\mathbf g^i$，则 $\nabla\cdot\mathbf v=\nabla_iv^i$，$\mathbf v\cdot\mathbf n=v^in_i$。$dA$ 回到定义：左端是和式 $S=\sum\phi(\bar x_i,\bar y_j)\Delta x\Delta y$ 的极限 (4.44)，$\phi=\nabla\cdot\mathbf v$，$R_{ij}$ 是西南角为 $(x_i,y_j)$ 的 $\Delta x\times\Delta y$ 矩形 (4.45)。任何网格均可，只要最大单元直径可趋零。在坐标变换 $x=\hat x(u,v),\ y=\hat y(u,v)$ (4.46) 下，$R$ 是 $uv$ 平面中区域 $R^*$ 的像，$uv$ 平面矩形网格映为 $xy$ 平面曲线网格（图 4.4）；单元 $R^*_{ij}$ 映为曲边四边形 $Q_{ij}$，其面积近似为以 $\mathbf g_u\Delta u,\mathbf g_v\Delta v$ 为边的平行四边形面积 $|\mathbf g_u\times\mathbf g_v|\Delta u\Delta v$（图 4.5），而 $|\mathbf g_u\times\mathbf g_v|=|x_{,u}y_{,v}-y_{,u}x_{,v}|=|J(u_i,v_j)|$。于是 $S^*=\sum\hat\phi(\bar u_i,\bar v_j)|J(u_i,v_j)|\Delta u\Delta v$ (4.47)，极限记 $\int_{R^*}\phi|J|du\,dv$： $dA=|J(u,v)|\,du\,dv\tag{4.48}$ 坐标形式： $\int_{R^*}\nabla_iv^i|J|\,du^1du^2=\int_{\partial R}v^in_i\,ds,\quad i=1,2\tag{4.49}$
三维中散度定理的不变形式与坐标形式： $\int_R\nabla\cdot\mathbf v\,dV=\int_{\partial R}\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA\tag{4.50}$ $\int_{R^*}\nabla_iv^i|J|\,du^1du^2du^3=\int_{\partial R}v^in_i|K|\,dv^1dv^2\tag{4.51}$ 其中 $\partial R$ 参数化为 $\mathbf x=\hat{\mathbf x}(v^\alpha),\ a^\alpha\le v^\alpha\le b^\alpha,\ \alpha=1,2$ (4.52)，$|K|=|\partial\mathbf x/\partial v^1\times\partial\mathbf x/\partial v^2|$。
从整体到局部的论证：若 $\rho\mathbf v$ 在 $R$ 内可微，由散度定理 (4.38) 右端换成体积分，得 $\int_R[\rho_{,t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)]dV=0\tag{4.53}$ 对一切 $R$ 成立；若被积函数连续，则必须处处为零，即 (4.39)。理由：若某点 $P_*$ 处不为零，由连续性它在以 $P_*$ 为心的小球内保持同号，取 $R$ 为此球即得矛盾。（这是「局部化论证」的标准模板。）

4.10 微分几何（Differential Geometry，PDF p.99–109；第二版新增）

4.10.0 引言（PDF p.99）

微分几何研究曲面与平面有何不同。内蕴微分几何 (intrinsic)——广义相对论的核心——研究能通过曲面内部测量推知的性质（度量性质 metrical properties）。例：圆锥沿母线剪开可不拉伸地展成平面，因而与平面内蕴相同；在纸上沿化学标记的三角形行走的「蚂蚁」回到起点时发现自己转了 $2\pi$，但无法分辨自己在圆锥、圆柱还是平面上（脚注：它无疑是 Misner–Thorne–Wheeler《Gravitation》中那只蚂蚁的亲戚）。外在微分几何 (extrinsic)——连续介质力学壳理论不可或缺——把曲面看成嵌入欧氏空间、相对空间中参考标架测量其性质。本书采用外在观点，但指出严格内蕴的结果。
最简单、最对称的曲面是球面（有限无界、处处相同）：$S_2:\ x^2+y^2+z^2=r^2$ (4.54)；$n$ 维中 $S_{n-1}:\ x_1^2+\cdots+x_n^2=r^2$ (4.55)；推广为二次曲面 $Q_{n-1}:\ A_{ij}x_ix_j=1$ (4.56)（重复指标从 1 到 $n$ 求和）。

4.10.1 Gauss 曲面坐标（Gaussian Surface Coordinates，PDF p.99–100）

三维中 $f(\mathbf x)=$ 常数曲面上一点的梯度是法向量。二次曲面 $Q_2$：$f(\mathbf x)\equiv\mathbf x\cdot\mathbf A\cdot\mathbf x=1$，$\mathbf A\equiv A_{ij}\mathbf e_i\mathbf e_j$，则 $\nabla f(\mathbf x)=2\mathbf A\cdot\mathbf x$，前提 $f(\mathbf x)=1$ (4.57)。正是这个约束（$\mathbf x$ 的分量不独立）使隐式曲面难以提取信息。
因此此后假定曲面以参数形式给出： $S:\ x=\hat x(u,v),\ y=\hat y(u,v),\ z=\hat z(u,v),\quad(u,v)\in D\tag{4.58}$ $(u,v)$ 称 Gauss 曲面坐标。例：例 4.2 椭球在第一卦限部分 $E:\ x=\sin u\cos v,\ y=2\sin u\sin v,\ z=3\cos u,\ 0\le u,v\le\pi/2$ (4.59)。
紧凑记号： $S:\ x^i=\hat x^i(u^\alpha),\quad u^\alpha\in D\tag{4.60}$ 约定：拉丁指标取 1–3，希腊指标取 1–2。 向量形式 $S:\ \mathbf x=\hat{\mathbf x}(u^\alpha)\equiv\hat x^i(u^\alpha)\mathbf e_i$ (4.61)，假定足够光滑。

4.10.2 地窖基向量（The Cellar Base Vectors，PDF p.100）

固定 $u^2$ 令 $u^1$ 变，$\mathbf g_1\equiv\partial\mathbf x/\partial u^1\equiv\mathbf x_{,1}$ 与 $u^1$-坐标曲线相切；$\mathbf g_2\equiv\mathbf x_{,2}$ 与 $u^2$-坐标曲线相切。「杂种记号」$\mathbf g_\alpha$（纯粹主义者会写 $g^i_{\cdot\alpha}$）：黑体提醒 $\mathbf g_\alpha$ 在欧氏标架 $Ox_1x_2x_3$ 内的三维坐标变换下不变；下标提醒它依赖曲面上的坐标、按地窖（协变）方式变换。验证：在变量变换 $u^\alpha=\hat u^\alpha(\tilde u^\beta)$ (4.62) 下

\tilde{\mathbf g}_\beta\equiv\frac{\partial\mathbf x}{\partial\tilde u^\beta}=\frac{\partial\mathbf x}{\partial u^\alpha}\frac{\partial u^\alpha}{\partial\tilde u^\beta}=\mathbf g_\alpha\frac{\partial u^\alpha}{\partial\tilde u^\beta}\tag{4.63}

正是曲面上带一个地窖指标对象的变换律。

4.10.3 非退化曲面（Non-Degenerate Surfaces，PDF p.101）

若 $u^1,u^2$ 在 (4.61) 中函数相关（如只以 $u^1+(u^2)^2$ 组合出现），(4.61) 表示曲线。故要求（除孤立点，如椭球 $E$ 上的 $x=y=0,z=3$）$\mathbf g_1,\mathbf g_2$ 非零且不平行，即 $|\mathbf g_1||\mathbf g_2|>|\mathbf g_1\cdot\mathbf g_2|$，或

g\equiv\det[\mathbf g_\alpha\cdot\mathbf g_\beta]>0\tag{4.64}

4.10.4 度量张量（The Metric Tensor，PDF p.101）

d\mathbf x\equiv\mathbf x_{,\alpha}du^\alpha=\mathbf g_\alpha du^\alpha\tag{4.65}

第一基本形式 (first fundamental form)：

I\equiv d\mathbf x\cdot d\mathbf x=\mathbf g_\alpha\cdot\mathbf g_\beta\,du^\alpha du^\beta\tag{4.66}

曲面 $S$ 上的度量张量定义为直积

\mathbf G\equiv\mathbf g^\alpha\mathbf g_\alpha\tag{4.67}

屋顶基向量 $\mathbf g^\alpha$ 由 $\mathbf g^\alpha\cdot\mathbf g_\beta=\delta^\alpha_\beta$ (4.68) 隐式定义（在切平面内）。地窖分量

g_{\alpha\beta}\equiv\mathbf g_\alpha\cdot\mathbf G\cdot\mathbf g_\beta=\mathbf g_\alpha\cdot\mathbf g_\beta\tag{4.69}

I=g_{\alpha\beta}du^\alpha du^\beta\tag{4.70}

（$\mathbf G$ 是曲面切平面上的恒等/投影张量，三维中 $\mathbf G=\mathbf1-\mathbf{nn}$。）

4.10.5 测地线（Geodesics，PDF p.101–103）

$P,Q$ 为 $S$ 上两点，$C:\ u^\alpha=\hat u^\alpha(t),\ a\le t\le b$ (4.71) 为连接它们的曲面曲线，由 (4.65)(4.69)（及习题 3.12） $s_{PQ}=\int_C\sqrt{d\mathbf x\cdot d\mathbf x}=\int_a^b\sqrt{g_{\alpha\beta}\dot u^\alpha\dot u^\beta}\,dt\tag{4.72}$ 测地线 $G_{PQ}$ 是使 $P,Q$ 间距离最小的曲线；求它属变分法问题。
作者不用变分法，而用力学原理推导：涂油的绳张在 $P,Q$ 间并被约束在 $S$ 上，静止位置是使绳长最小的位置；由于绳涂了油且静止，曲面施加于绳上任一点的力没有切向分量。
以弧长 $s$ 为参数，单位切向 $\boldsymbol\tau\equiv\mathbf x'(s)=\mathbf x_{,\alpha}du^\alpha/ds\equiv\mathbf g_\alpha\tau^\alpha\tag{4.73}$ 右侧材料对该点的作用力为 $T(s)\boldsymbol\tau(s)$，$T$ 为张力；$\mathbf f(s)$ 为曲面施加的单位长度力，微元平衡 $d(T\boldsymbol\tau)=\mathbf f\,ds$： $T'\boldsymbol\tau+T\boldsymbol\tau'=\mathbf f\tag{4.74}$ $\mathbf f$ 无切向分量，特别地 $\boldsymbol\tau\cdot\mathbf f=T'+T\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\tau'=0$；$\boldsymbol\tau$ 为单位向量故 $\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\tau'=0$，于是 $T'=0$，张力为常数。更一般 $\mathbf g^\gamma\cdot\mathbf f=0$，结合 (4.74) 与 $T'=0$： $\mathbf g^\gamma\cdot\boldsymbol\tau'=0\tag{4.75}$ 这一纯几何条件就是测地线微分方程（切向曲率为零：曲线的加速度全在法向）。
分量形式：对 (4.73) 求导代入 (4.75)：$\mathbf g^\gamma\cdot(\mathbf g_\alpha d\tau^\alpha/ds+\mathbf g_{\alpha,\beta}\tau^\alpha\tau^\beta)=0$ (4.76)。$\mathbf g^\gamma\cdot\mathbf g_\alpha=\delta^\gamma_\alpha$；$\mathbf g^\gamma\cdot\mathbf g_{\alpha,\beta}$ 就是 (3.69) 的希腊指标版。沿用第 3 章机制： $\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\equiv\mathbf g^\gamma\cdot\mathbf g_{\alpha,\beta}=\tfrac12g^{\gamma\lambda}(g_{\alpha\lambda,\beta}+g_{\beta\lambda,\alpha}-g_{\alpha\beta,\lambda})\tag{4.77}$ $g^{\gamma\lambda}\equiv\mathbf g^\gamma\cdot\mathbf g^\lambda$。于是 $d\tau^\gamma/ds+\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\tau^\alpha\tau^\beta=0\tag{4.78}$ 协变导数定义 (4.17) 在任意维成立，$d\tau^\gamma/ds=\tau^\gamma_{,\alpha}\tau^\alpha$，故 $\tau^\alpha\nabla_\alpha\tau^\gamma=0\tag{4.79}$ （切向量沿自身方向协变导数为零——「平行移动自身」。）求解两方程（$\gamma=1,2$）时必须加约束 $\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\tau=g_{\alpha\beta}\tau^\alpha\tau^\beta=1$——用弧长作自变量的代价。
无摩擦珠子：只受曲面约束力的小珠沿 $S$ 无摩擦滑动。撇号表示对弧长、点表示对时间求导： $\dot{\mathbf x}=\boldsymbol\tau\dot s,\quad\ddot{\mathbf x}=\boldsymbol\tau\ddot s+\boldsymbol\tau'\dot s^2\tag{4.80}$ 无摩擦则约束力无切向分量：$\boldsymbol\tau\cdot\ddot{\mathbf x}=\ddot s=0$（路径加速度为零，匀速率）；更一般 $\mathbf g^\gamma\cdot\ddot{\mathbf x}=0$，因 $\ddot s=0$ 化为 $\mathbf g^\gamma\cdot\boldsymbol\tau'=0$，即测地线方程 (4.75)。若写成 $u^\alpha=\hat u^\alpha(t)$：$\dot{\mathbf x}=\mathbf g_\alpha\dot u^\alpha$，$\ddot{\mathbf x}=\mathbf g_\alpha\ddot u^\alpha+\mathbf g_{\alpha,\beta}\dot u^\alpha\dot u^\beta$ (4.81)，$\mathbf g^\gamma\cdot\ddot{\mathbf x}=0$ 给出 $\ddot u^\gamma+\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\dot u^\alpha\dot u^\beta=0\tag{4.82}$ 与 (3.68) 中质量 $m$ 的系数（三维曲线坐标中的加速度）形式完全相同。更进一步：若希腊指标取 1–4，(4.82) 正是广义相对论中质点运动（世界线 world line）的微分方程（脚注：Einstein 完善方程的挣扎见 Pais《Subtle is the Lord…》）。

4.10.6 Gauss 曲率：内蕴不变量（The Gaussian Curvature: An Intrinsic Invariant，PDF p.103–105）

蚂蚁生活在不能展平的曲面（如球面）上，不离开曲面能否推断其世界是弯的？能，借助下面的定理。
取 $S$ 上三点 $A,B,C$ 构成唯一的测地三角形 $ABC$（三点两两由唯一测地线相连；相距太远时不一定可能，如球面南北极之间有无穷多条等长经线）。为让蚂蚁有测量转角的固定背景，设在 $ABC$ 邻域上有一个连续可微的单位切向量场 $\boldsymbol\lambda$（不唯一，只是辅助工具，最后结果中不出现）。
在三角形各边上 $\boldsymbol\lambda=\boldsymbol\tau\cos\theta+\boldsymbol\nu\sin\theta\tag{4.83}$ $\boldsymbol\nu$ 是在 $S$ 内、垂直于 $\boldsymbol\tau$ 的外单位法向，$\cos\theta=\boldsymbol\lambda\cdot\boldsymbol\tau$，$\sin\theta=\boldsymbol\lambda\cdot\boldsymbol\nu$。对弧长求导 $\boldsymbol\lambda'=(-\boldsymbol\tau\sin\theta+\boldsymbol\nu\cos\theta)\theta'+\boldsymbol\tau'\cos\theta+\boldsymbol\nu'\sin\theta\tag{4.84}$ $\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\tau'=\boldsymbol\nu\cdot\boldsymbol\nu'=0$；又 $\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\nu=0$ 且各边是测地线，$\boldsymbol\nu\cdot\boldsymbol\tau'=-\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\nu'=0$。两边点乘 $\theta'$ 的系数： $\theta'=(-\boldsymbol\tau\sin\theta+\boldsymbol\nu\cos\theta)\cdot\boldsymbol\lambda'=[(\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\lambda)\boldsymbol\lambda'-(\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\lambda')\boldsymbol\lambda]\cdot\boldsymbol\nu\tag{4.85}$
设 $\boldsymbol\lambda=\lambda^\alpha\mathbf g_\alpha$，类比 (4.75)→(4.79)：$\mathbf g^\beta\cdot\boldsymbol\lambda'=\tau^\alpha\nabla_\alpha\lambda^\beta$ (4.86)。利用 $\tau^\alpha\tau_\beta=\delta^\alpha_\beta-\nu^\alpha\nu_\beta$： $(\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\lambda)\boldsymbol\lambda'\cdot\boldsymbol\nu=\tau_\gamma\lambda^\gamma\tau^\alpha(\nabla_\alpha\lambda^\beta)\nu_\beta=\lambda^\alpha(\nabla_\alpha\lambda^\beta)\nu_\beta-\nu_\gamma\lambda^\gamma\nu^\alpha(\nabla_\alpha\lambda^\beta)\nu_\beta\tag{4.87}$ $(\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\lambda')\boldsymbol\lambda\cdot\boldsymbol\nu=\tau_\beta\tau^\alpha(\nabla_\alpha\lambda^\beta)\lambda^\gamma\nu_\gamma=(\nabla_\alpha\lambda^\alpha)\lambda^\gamma\nu_\gamma-\nu_\beta\nu^\alpha(\nabla_\alpha\lambda^\beta)\lambda^\gamma\nu_\gamma\tag{4.88}$ 代入 (4.85)，两式最后一项相消： $\theta'=(\lambda^\alpha\nabla_\alpha\lambda^\beta-\lambda^\beta\nabla_\alpha\lambda^\alpha)\nu_\beta\tag{4.89}$
沿测地三角形逆时针从 $A$ 量弧长，$s_B$ 为 $A$ 到 $B$ 的边界长，$s_C$ 为 $A$ 到 $C$，$s_A$ 为周长。对 (4.89) 绕 $ABC$ 积分（$\theta$ 在顶点处跳跃，积分分三段），用二维散度定理 (4.43) $\int_R\nabla_\alpha v^\alpha\,dA=\int_{\partial R}v^\alpha\nu_\alpha\,ds\tag{4.90}$ 得 $\theta\Big|_0^{s_B^-}+\theta\Big|_{s_B^+}^{s_C^-}+\theta\Big|_{s_C^+}^{s_A^-}=\int_{ABC}K\,dA\tag{4.91}$ $s^\pm=\lim(s\pm|\epsilon|)$， $K\equiv\nabla_\beta(\lambda^\alpha\nabla_\alpha\lambda^\beta-\lambda^\beta\nabla_\alpha\lambda^\alpha)=\lambda^\alpha\nabla_\beta\nabla_\alpha\lambda^\beta-\lambda^\beta\nabla_\beta\nabla_\alpha\lambda^\alpha\tag{4.92}$ 展开第一行时多出的乘积项 $\nabla_\beta\lambda^\alpha\nabla_\alpha\lambda^\beta-\nabla_\beta\lambda^\beta\nabla_\alpha\lambda^\alpha$ 书中记为 $\det(\nabla_\beta\lambda^\alpha)$（二维中实为 $\mathrm{tr}(A^2)-(\mathrm{tr}A)^2=-2\det A$，比例常数不影响结论），因 $|\boldsymbol\lambda|=1$（$\lambda_\alpha\nabla_\beta\lambda^\alpha=0$，矩阵 $[\nabla_\beta\lambda^\alpha]$ 奇异）而为零（习题 4.26）。（注意 $K$ 是协变导数不交换的度量：$K=\lambda^\alpha(\nabla_\beta\nabla_\alpha-\nabla_\alpha\nabla_\beta)\lambda^\beta$。）
(4.91) 左边与曲面坐标及向量场 $\boldsymbol\lambda$ 无关，故右边也是；且推导只用到切向量和 Christoffel 符号（由度量分量导数定义），所以 $K$——Gauss 曲率——是内蕴不变量。直接从 (4.92) 推内蕴公式需「数学体操」，作者改走外在几何的间接路线，并顺带解释「曲率」一词的来源。
蚂蚁绕 $ABC$ 行走（内部在左），在各顶点测得方向改变量 $\Delta\theta_B\equiv\theta(s_B^+)-\theta(s_B^-),\quad\Delta\theta_C\equiv\theta(s_C^+)-\theta(s_C^-),\quad\Delta\theta_A\equiv2\pi+\theta(0^+)-\theta(s_A^-)\tag{4.93}$ 代入 (4.91) 得著名 Gauss–Bonnet 定理的特例（脚注：见 Struik《Differential Geometry》）： $2\pi-(\Delta\theta_A+\Delta\theta_B+\Delta\theta_C)=\int_{ABC}K\,dA\tag{4.94}$ （$\Delta\theta$ 是外角；等价于「内角和 $-\pi=\int K\,dA$」。）左边非零时蚂蚁断定其测地三角形不能展成平面：否则可引入直角坐标 $u^1=x,u^2=y$ 使 $I=dx^2+dy^2$，所有 Christoffel 符号为零，$\nabla_\beta\lambda^\alpha=\lambda^\alpha_{,\beta}$，由 (4.92) 第二行得 $K=0$。

4.10.7 一些外在几何（Some Extrinsic Geometry，PDF p.106–107）

前面的例子（张紧的绳、无摩擦珠子、绕测地三角形的蚂蚁）都只研究切向量沿曲线的变化，只看曲面内分量——是内蕴的。现在考虑定义在 $S$ 上的任意欧氏向量 $\mathbf v$ 的变化。
$\mathbf g_\alpha$ 不张成 $E_3$，需补第三个向量，取单位法向（$S$ 在该点须光滑、无棱、非锥状）： $\mathbf n=\frac{\mathbf g_1\times\mathbf g_2}{|\mathbf g_1\times\mathbf g_2|}=\frac{\mathbf g^1\times\mathbf g^2}{|\mathbf g^1\times\mathbf g^2|}=\tfrac12\varepsilon_{\alpha\beta}\mathbf g^\alpha\times\mathbf g^\beta\tag{4.95}$ 其中（类比三维 (2.13)） $\varepsilon_{\alpha\beta}=\begin{cases}\sqrt g&\alpha=1,\beta=2\\-\sqrt g&\alpha=2,\beta=1\\0&\alpha=\beta\end{cases}\tag{4.96}$ 是曲面置换张量 $\boldsymbol\Phi$ 的地窖分量（原书第三行印作「if $\alpha=\beta=0$」，应为 $\alpha=\beta$）。任意向量 $\mathbf v=v^\alpha\mathbf g_\alpha+v\mathbf n\tag{4.97}$ 沿 $u^\beta$-坐标曲线的变化率 $\mathbf v_{,\beta}=v^\alpha_{,\beta}\mathbf g_\alpha+v_{,\beta}\mathbf n+v^\alpha\mathbf g_{\alpha,\beta}+v\mathbf n_{,\beta}\tag{4.98}$ 与第 3 章曲线坐标中加速度一样分两部分：标架 $\{\mathbf g_\alpha,\mathbf n\}$ 冻结时分量的变化，以及标架本身变化带来的变化。三维中可写 $\mathbf g_{i,j}=\Gamma^k_{ij}\mathbf g_k$，但 $\mathbf g_\alpha$ 不张成 $E_3$，于是有 Gauss 方程： $\mathbf g_{\alpha,\beta}=\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\mathbf g_\gamma+b_{\alpha\beta}\mathbf n\quad\text{或}\quad\nabla_\beta\mathbf g_\alpha=b_{\alpha\beta}\mathbf n\tag{4.99}$ Christoffel 符号由 (4.77) 定义，且 $b_{\alpha\beta}=b_{\beta\alpha}\equiv\mathbf n\cdot\mathbf x_{,\alpha\beta}=\mathbf n\cdot\mathbf g_{\alpha,\beta}=-\mathbf n_{,\beta}\cdot\mathbf g_\alpha\tag{4.100}$ （第二基本形式系数。）由 $\mathbf n\cdot\mathbf n=1$ 得 $\mathbf n_{,\beta}\cdot\mathbf n=0$，(4.100) 说明 $\mathbf n$ 沿坐标曲线按 Weingarten 方程变化： $\nabla_\beta\mathbf n=\mathbf n_{,\beta}=-b_{\alpha\beta}\mathbf g^\alpha\quad\text{或}\quad\mathbf B\equiv-\nabla\mathbf n=b_{\alpha\beta}\mathbf g^\alpha\mathbf g^\beta\tag{4.101}$ $\nabla\equiv\mathbf g^\alpha\nabla_\alpha$，$\mathbf B$ 是 $S$ 的对称曲率张量 (curvature tensor)。「曲率」之意：固定 $P_*$（法向 $\mathbf n_*$），过 $\mathbf n_*$ 作平面，它与 $S$ 的交线是平面曲线 $C$，在 $P_*$ 处曲率为 $\boldsymbol\tau\cdot\mathbf B\cdot\boldsymbol\tau$（$\boldsymbol\tau$ 为 $C$ 的单位切向）——法曲率，见习题 4.27。
用曲面协变导数，借 (4.99) 把 (4.98) 写成 $\nabla_\beta\mathbf v=(\nabla_\beta v^\alpha-b^\alpha_\beta v)\mathbf g_\alpha+(v_{,\beta}+v^\alpha b_{\alpha\beta})\mathbf n\tag{4.102}$ （$\mathbf B=\mathbf B^T$ 推出 $b^\alpha_{\cdot\beta}=g^{\alpha\gamma}b_{\gamma\beta}=g^{\alpha\gamma}b_{\beta\gamma}=b_\beta^{\cdot\alpha}\equiv b^\alpha_\beta$：对称 2 阶张量的两组混合分量相同。）对 $\mathbf v$ 作用 $\nabla$ 得 2 阶张量 $\nabla\mathbf v=(\nabla_\beta v^\alpha-b^\alpha_\beta v)\mathbf g^\beta\mathbf g_\alpha+(v_{,\beta}+v^\alpha b_{\alpha\beta})\mathbf g^\beta\mathbf n\tag{4.103}$ 缩并： $\nabla\cdot\mathbf v=\nabla_\alpha v^\alpha-2Hv\tag{4.104}$ $H=\frac12b^\alpha_\alpha$ 是 $S$ 的平均曲率 (mean curvature)。$\mathbf v$ 切于 $S$（$v=0$）时 $\nabla\cdot\mathbf v=\nabla_\alpha v^\alpha$，称为 $v^\alpha$ 的曲面散度。若 $\mathbf v$ 是标量 $\phi$ 的曲面梯度 $\mathbf v=\nabla\phi=\mathbf g^\alpha\phi_{,\alpha}$，则 $\nabla\cdot\nabla\phi=g^{\alpha\beta}\nabla_\alpha\phi_{,\beta}\equiv\Delta\phi\tag{4.105}$ 称为 $\phi$ 的曲面 Laplace 算子（Beltrami 第二微分参数）。

4.10.8 再论 Gauss 曲率（The Gaussian Curvature Revisited，PDF p.107–109）

全书以证明 Gauss 曲率可用曲率张量 $\mathbf B$、或用度量张量 $\mathbf G$ 的分量及其至二阶导数表示结束，从而确立 Gauss 著名的绝妙定理 (Theorema egregium)。（作者警告：指标泛滥、哑指标随意换名，Caveat emptor!）

设 $\partial R$ 是 $S$ 上任意光滑闭曲线（弧长参数），围成区域 $R$；$\boldsymbol\tau=\tau^\alpha\mathbf g_\alpha$ 为单位切向，$\boldsymbol\nu=\boldsymbol\tau\times\mathbf n=\nu^\beta\mathbf g_\beta$ 为外单位法向，故 $\tau^\alpha=\varepsilon^{\beta\alpha}\nu_\beta$。由 (4.101)、散度定理 (4.90) 以及置换张量分量协变常数（习题 4.28）： $\mathbf0=\int_{\partial R}\mathbf n'ds=-\int_{\partial R}b_{\alpha\gamma}\mathbf g^\gamma\tau^\alpha ds=\int_{\partial R}\varepsilon^{\alpha\beta}b^\gamma_\alpha\mathbf g_\gamma\nu_\beta\,ds=\int_R\varepsilon^{\alpha\beta}\nabla_\beta(b^\gamma_\alpha\mathbf g_\gamma)\,dA\tag{4.106}$ $\partial R$ 任意，被积函数连续，结合 (4.99)： $\varepsilon^{\alpha\beta}[(\nabla_\beta b^\gamma_\alpha)\mathbf g_\gamma+b^\gamma_\alpha b_{\gamma\beta}\mathbf n]=\mathbf0\tag{4.107}$ $\mathbf n$ 的系数关于 $\alpha,\beta$ 对称而 $\varepsilon^{\alpha\beta}$ 反对称，故为零；$w^\gamma\mathbf g_\gamma=\mathbf0\Rightarrow w^\gamma=0$。于是得 Codazzi 方程： $\varepsilon^{\alpha\beta}\nabla_\beta b^\gamma_\alpha=0\tag{4.108}$
再回到单位向量场 $\boldsymbol\lambda=\lambda^\gamma\mathbf g_\gamma$，绕 $\partial R$ 积分 $\boldsymbol\lambda'$，用散度定理与 (4.99)： $\mathbf0=\int_{\partial R}\boldsymbol\lambda'ds=\int_{\partial R}(\lambda^\gamma_{,\alpha}\mathbf g_\gamma+\lambda^\gamma\mathbf g_{\gamma,\alpha})\tau^\alpha ds=\int_{\partial R}[(\nabla_\alpha\lambda^\gamma)\mathbf g_\gamma+\lambda^\gamma b_{\gamma\alpha}\mathbf n]\varepsilon^{\beta\alpha}\nu_\beta ds$ $=\int_R\varepsilon^{\beta\alpha}[(\nabla_\beta\nabla_\alpha\lambda^\gamma-\lambda^\sigma b_{\sigma\alpha}b^\gamma_\beta)\mathbf g_\gamma+(b_{\gamma\beta}\nabla_\alpha\lambda^\gamma+b_{\gamma\alpha}\nabla_\beta\lambda^\gamma+\lambda_\gamma\nabla_\beta b^\gamma_\alpha)\mathbf n]dA\tag{4.109}$ 由 $\alpha,\beta$ 对称性及 Codazzi 方程，$\mathbf n$ 的系数为零；$R$ 任意、$\mathbf g_\gamma$ 系数连续，故 $\varepsilon^{\beta\alpha}(\nabla_\beta\nabla_\alpha\lambda^\gamma-\lambda^\sigma b_{\sigma\alpha}b^\gamma_\beta)=0\tag{4.110}$ 两边乘 $\varepsilon_{\gamma\mu}\lambda^\mu$ 求和，利用 $\varepsilon^{\alpha\beta}=-\varepsilon^{\beta\alpha}$： $\varepsilon^{\alpha\beta}\varepsilon_{\mu\gamma}\lambda^\mu\nabla_\beta\nabla_\alpha\lambda^\gamma=\lambda^\mu\lambda^\sigma\varepsilon^{\alpha\beta}\varepsilon_{\mu\gamma}b_{\sigma\alpha}b^\gamma_\beta\tag{4.111}$ 由习题 4.26 的 (4.143)，因 $|\boldsymbol\lambda|=1$，左边等价于 Gauss 曲率的原始表达 (4.92)；由习题 4.25 的 (4.141)，右边化为 $\det[b^\alpha_\beta]$。而 $b^\alpha_\beta$ 是对称曲率张量 $\mathbf B$ 的混合分量，故 $K=\det\mathbf B\tag{4.112}$ （即两个主曲率之积。）
内蕴公式：若 $\mathbf x(u^\alpha)$ 有连续三阶偏导，$\mathbf x_{,\alpha\beta\gamma}=\mathbf g_{\alpha,\beta\gamma}=\mathbf g_{\alpha,\gamma\beta}$，等价于相容性条件 $\varepsilon^{\beta\gamma}\mathbf g_{\alpha,\beta\gamma}=\mathbf0\tag{4.113}$ 用 Gauss、Weingarten 方程 (4.99)(4.101) 展开： $\varepsilon^{\beta\gamma}(\Gamma^\lambda_{\alpha\beta}\mathbf g_\lambda+b_{\alpha\beta}\mathbf n)_{,\gamma}=\varepsilon^{\beta\gamma}[(\Gamma^\lambda_{\alpha\beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\Gamma^\lambda_{\mu\gamma}-b_{\alpha\beta}b^\lambda_\gamma)\mathbf g_\lambda+(b_{\alpha\beta,\gamma}+\Gamma^\lambda_{\alpha\beta}b_{\lambda\gamma})\mathbf n]=\mathbf0\tag{4.114}$ $\mathbf n$ 的系数因 Codazzi 方程为零；$\mathbf g_\lambda$ 的系数为零给出 $\varepsilon^{\beta\gamma}(\Gamma^\lambda_{\alpha\beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\Gamma^\lambda_{\mu\gamma})=\varepsilon^{\beta\gamma}b_{\alpha\beta}b^\lambda_\gamma\tag{4.115}$ 由习题 4.25 的 (4.140)，$\varepsilon^{\beta\gamma}b_{\alpha\beta}b^\lambda_\gamma=g_{\alpha\mu}\varepsilon^{\mu\lambda}K$。两边乘 $\frac12g^{\alpha\sigma}\varepsilon_{\sigma\lambda}$，得 Gauss 曲率的内蕴公式： $K=\tfrac12g^{\alpha\sigma}\varepsilon_{\sigma\lambda}\varepsilon^{\beta\gamma}(\Gamma^\lambda_{\alpha\beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\Gamma^\lambda_{\mu\gamma})\tag{4.116}$ 只含度量分量及其一、二阶导数（经由 $\Gamma$），因而 $K$ 由第一基本形式决定（Theorema egregium）。「可以在上面敲出、拧出许多变体」（脚注：见 Struik）。（括号里的组合即 Riemann 曲率张量的反对称化部分。）

4.11 习题（Exercises，PDF p.109–117）

题型概括（共 34 题，第二版新增较多）：

梯度与方向导数：4.1 $f=xyz\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $(1,-2,3)$ 沿 $\mathbf v\sim(2,1,2)$ 的 $df/ds$。4.2 中值定理：凸区域（图 4.6）中线段 $\mathbf x=(1-t)\mathbf a+t\mathbf b$，证 $f(\mathbf b)-f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf x_*)\cdot(\mathbf b-\mathbf a)$。4.3 $f=xy+yz+zx$ 在球坐标与斜笛卡尔坐标 $x=u+w,\ y=v-w,\ z=u+v+w$ 下 $\nabla f$ 的地窖分量。
张量场微分恒等式：4.4 定义 $\mathbf w\cdot\mathbf{uv}\equiv(\mathbf w\cdot\mathbf u)\mathbf v$，证 $\nabla\cdot(\mathbf{uv})=(\nabla\cdot\mathbf u)\mathbf v+(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf v$。4.5 张量分量的协变导数：由 $\mathbf T_{,i}=(T^{jk}\mathbf g_j\mathbf g_k)_{,i}\equiv\nabla_iT^{jk}\mathbf g_j\mathbf g_k$ 得 $\nabla_iT^{jk}=T^{jk}_{,i}+\Gamma^j_{pi}T^{pk}+\Gamma^k_{pi}T^{jp}\tag{4.117}$ 张量场散度 $\nabla\cdot\mathbf T=\mathbf g^i\cdot\mathbf T_{,i}=\nabla_jT^{jk}\mathbf g_k$；对称 $\mathbf T$ 的混合与地窖分量： $\nabla_iT^j_k=T^j_{k,i}+\Gamma^j_{pi}T^p_k-\Gamma^p_{ik}T^j_p\tag{4.118}$ $\nabla_iT_{jk}=T_{jk,i}-\Gamma^p_{ij}T_{pk}-\Gamma^p_{ik}T_{jp}\tag{4.119}$ （规律：每个上标加一个 $+\Gamma$ 项，每个下标加一个 $-\Gamma$ 项。）4.7 $\nabla\cdot(p\mathbf1)=\nabla p$。4.9 $\nabla(\mathbf u\cdot\mathbf v)=(\nabla\mathbf u)\cdot\mathbf v+(\nabla\mathbf v)\cdot\mathbf u$，$\nabla\cdot(f\mathbf v)=\nabla f\cdot\mathbf v+f\nabla\cdot\mathbf v$，$\nabla\cdot(\mathbf T\cdot\mathbf c)=\mathbf c\cdot(\nabla\cdot\mathbf T)$（$\mathbf c$ 常向量）。4.12 $\nabla\cdot(\nabla\mathbf u)=\nabla^2\mathbf u$，$\nabla\cdot(\nabla\mathbf u)^T=\nabla(\nabla\cdot\mathbf u)$，$\mathrm{tr}(\nabla\mathbf u)=\nabla\cdot\mathbf u$。4.14 $\nabla\cdot(\phi\mathbf v)$、$\nabla\times(\phi\mathbf v)=\nabla\phi\times\mathbf v+\phi\nabla\times\mathbf v$、$\nabla(\phi\mathbf v)=\nabla\phi\,\mathbf v+\phi\nabla\mathbf v$。4.15 迹 $\mathrm{tr}\,\mathbf T=T_i^{\cdot j}\mathbf g^i\cdot\mathbf g_j=T_i^{\cdot i}=g^{ij}T_{ij}=g_{ij}T^{ij}$，证其坐标不变；混合分量上下指标取等即缩并 (contraction)。4.16 用 $\mathbf v_{,i}=(v_j\mathbf g^j)_{,i}$ 与 (3.104) 推 (4.20)。4.17 证 (4.24)：$\det[g_{ij}]$ 按含 $g_{ij}$ 的行展开，其系数为 $J^2g^{ij}$；$\partial\det[g_{ij}]/\partial u^k=J^2g^{ij}\partial g_{ij}/\partial u^k$。
Laplace 算子：4.11 $\nabla^2\equiv\nabla\cdot\nabla$，$\nabla^2f=g^{ij}\nabla_if_{,j}$，在笛卡尔、斜笛卡尔、圆柱、球坐标中计算。4.18 抛物、椭圆、双极柱坐标中的 $\nabla^2\psi$。
连续介质场方程：4.6 线性化运动方程 $\nabla\cdot\mathbf T+\mathbf f=\rho\ddot{\mathbf u}$，$\mathbf T=\mathbf T^T$ (4.120)（$\mathbf T$ 应力张量、$\mathbf f$ 单位体积体力、$\mathbf u$ 位移）在笛卡尔与圆柱坐标中的分量式及物理分量。4.8 理想气体运动方程 $\rho\dot{\mathbf v}\equiv\rho\mathbf v_{,t}+\rho(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v=-\nabla p$ 化为守恒形式 $(\rho\mathbf v)_{,t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{vv}+p\mathbf1)=\mathbf0$（数值计算有用；$\rho\mathbf{vv}$ 为动量通量张量）。4.10 质量守恒改写为 $\dot\rho+\rho\nabla\cdot\mathbf v=0$；不可压缩的两种等价定义 $\dot\rho=0$ 或 $\nabla\cdot\mathbf v=0$（后者是纯运动学条件，更可取）。4.13 线弹性：本构 $\mathbf T=\lambda\,\mathrm{tr}(\mathbf E)\mathbf1+2\mu\mathbf E$ (4.121)，应变–位移 $\mathbf E=\frac12[\nabla\mathbf u+(\nabla\mathbf u)^T]$ (4.122)，$\lambda,\mu$ 为 Lamé 系数，推出 Navier 方程 $(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf u)+\mu\nabla^2\mathbf u+\mathbf f=\rho\ddot{\mathbf u}$。
刚体动力学：4.19 保距运动 $|\mathbf r(\mathbf x,t)-\mathbf r(\boldsymbol\xi,t)|=|\mathbf x-\boldsymbol\xi|$ 必为 $\mathbf r(\mathbf x,t)=\mathbf c(t)+\mathbf Q(t)\mathbf x$，$\mathbf c(0)=\mathbf0$，$\mathbf Q(0)=\mathbf1$ (4.123)，$\mathbf Q$ 为时变转子（提示：令 $\mathbf r(\mathbf x,t)=\mathbf r(\mathbf0,t)+\mathbf g(\mathbf x,t)$，证 $|\mathbf g(\alpha\mathbf x,t)|=|\alpha||\mathbf x|$，用 (1.11) 证 $\mathbf g$ 保内积，再证 $|\mathbf g(\mathbf x+\boldsymbol\xi)-\mathbf g(\mathbf x)-\mathbf g(\boldsymbol\xi)|^2=0$ 得线性）。4.20 刚体速度 $\dot{\mathbf y}=\dot{\mathbf c}+\boldsymbol\omega\times(\mathbf y-\mathbf c)$ (4.124)，$\dot{\mathbf Q}\cdot\mathbf Q^T$ 反对称、$\boldsymbol\omega$ 为其轴。4.21 整体运动方程：质量 $M=\int_{S_0}\rho\,dV$ (4.125)，线动量 $\mathbf L=\int\rho\dot{\mathbf y}dV=(\int\rho\mathbf y\,dV)^\cdot$ (4.126)，关于 $O$ 的转动动量 $\mathbf R_O=\int\rho\mathbf y\times\dot{\mathbf y}dV$ (4.127)，质心 $\mathbf X=M^{-1}\int\rho\mathbf y\,dV$ (4.128)；令 $\mathbf y=\mathbf X+\mathbf z$ (4.129)，则 $\int\rho\mathbf z\,dV=\mathbf0$ (4.130)，$\mathbf R_O=M\mathbf X\times\dot{\mathbf X}+\int\rho\mathbf z\times\dot{\mathbf z}dV$ (4.131)，(3.4) 化为 $\mathbf T=(\int\rho\mathbf z\times\dot{\mathbf z}dV)^\cdot\equiv\dot{\mathbf R}_C$ (4.132)（关于质心的转动动量）。4.22 惯性张量：$\mathbf R_C=\mathbf Q\cdot\mathbf I\cdot\mathbf Q^T\boldsymbol\omega$ (4.133)， $\mathbf I=\int_{S_0}\rho(\mathbf x)[(\mathbf x\cdot\mathbf x)\mathbf1-\mathbf{xx}]dV\tag{4.134}$ 求均质球、$a\times b\times c$ 长方体（图 4.7）的分量。4.23 $\dot{\mathbf Q}\cdot\mathbf Q^T=\boldsymbol\omega\times$ (4.135)，$\mathbf Q^T\dot{\mathbf Q}=(\mathbf Q^T\boldsymbol\omega)\times$ (4.136)，$|\boldsymbol\omega|^2=\mathrm{tr}\,\dot{\mathbf Q}^T\dot{\mathbf Q}$。4.24 Euler 刚体运动方程 $\mathbf T^*=\boldsymbol\omega^*\times\mathbf I\cdot\boldsymbol\omega^*+\mathbf I\cdot\dot{\boldsymbol\omega}^*$ (4.137)，由 $\boldsymbol\omega=\mathbf Q\boldsymbol\omega^*$、$\mathbf R_C=\mathbf Q\cdot\mathbf R_C^*$、$\mathbf T=\mathbf Q\cdot\mathbf T^*$ (4.138) 推出——相当于从惯性系换到随体非惯性系（全书唯一涉及换标架处）。
曲面几何：4.25 $2\times2$ 版 (2.48)：$\varepsilon^{\alpha\beta}\varepsilon_{\lambda\mu}\det A=A^\alpha_\lambda A^\beta_\mu-A^\alpha_\mu A^\beta_\lambda$ (4.139)，$\varepsilon^{\alpha\beta}\det A=\varepsilon^{\lambda\mu}A^\alpha_\lambda A^\beta_\mu$ (4.140)，$\det A=\frac12\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon^{\lambda\mu}A^\alpha_\lambda A^\beta_\mu$ (4.141)。4.26 证 $\nabla_\gamma\varepsilon_{\alpha\beta}=0$（二维置换张量协变常数），并由 $\varepsilon_{\alpha\beta}=(\mathbf g_\alpha\times\mathbf g_\beta)\cdot\mathbf n$ 结合 (4.99)(4.101) 再证。4.27 $\lambda^\alpha\nabla_\alpha\lambda^\beta-\lambda^\beta\nabla_\alpha\lambda^\alpha=\varepsilon^{\alpha\beta}\varepsilon_{\mu\gamma}\lambda^\mu\nabla_\alpha\lambda^\gamma$ (4.142)；$\nabla_\beta(\lambda^\alpha\nabla_\alpha\lambda^\beta-\lambda^\beta\nabla_\alpha\lambda^\alpha)=\varepsilon^{\alpha\beta}\varepsilon_{\mu\gamma}\lambda^\mu\nabla_\beta\nabla_\alpha\lambda^\gamma+2\det(\nabla_\beta\lambda^\alpha)$ (4.143)；$\lambda_\alpha\lambda^\alpha=1\Rightarrow\lambda_\alpha\nabla_\beta\lambda^\alpha=0\Rightarrow\det(\nabla_\beta\lambda^\alpha)=0$。4.28 法截线曲率 $=\boldsymbol\tau\cdot\mathbf B\cdot\boldsymbol\tau$。4.29 旋转曲面 $\mathbf x=r(s)\mathbf e_r(\theta)+z(s)\mathbf e_z$（$s$ 为子午线弧长），$\mathbf g_s=\mathbf e_r\cos\alpha+\mathbf e_z\sin\alpha$，$\mathbf g_\theta=r\mathbf e_\theta$，$\cos\alpha=r'$，$\sin\alpha=z'$：求 $\mathbf n$、Christoffel 符号、$b_{\alpha\beta}$、$H$、$K$ 及 Codazzi 方程展开。4.30 旋转曲面上测地线方程可化为求积（Clairaut 积分）。4.31 薄膜（只能承受切向力的二维连续体）：力与力矩平衡 $\int_{\partial R}\mathbf N\,ds+\int_R\mathbf p\,dA=\mathbf0$，$\int_{\partial R}\mathbf x\times\mathbf N\,ds+\int_R\mathbf x\times\mathbf p\,dA=\mathbf0$ (4.144)；用微三角形证 $\mathbf N=\mathbf N_\alpha\nu^\alpha\equiv\mathbf N^\alpha\nu_\alpha$ (4.145)（类似 Cauchy 四面体论证，$\mathbf N_1=\mathbf N(u^\beta,\mathbf g^1/\sqrt{g^{11}})/\sqrt{g^{11}}$ 等 (4.146)）；得力平衡微分方程 $\nabla_\alpha\mathbf N^\alpha+\mathbf p=\mathbf0$ (4.147)、力矩平衡代数方程 $\mathbf g_\alpha\times\mathbf N^\alpha=\mathbf0$ (4.148)；令 $\mathbf N^\alpha=N^{\alpha\beta}\mathbf g_\beta$ (4.149)、$\mathbf p=p^\alpha\mathbf g_\alpha+p\mathbf n$ (4.150)，分量式 $\nabla_\alpha N^{\alpha\beta}+p^\beta=0$，$b_{\alpha\beta}N^{\alpha\beta}+p=0$，$N^{\alpha\beta}=N^{\beta\alpha}$ (4.151)。4.32 肥皂膜：$N^{\alpha\beta}=T_0g^{\alpha\beta}$、$p^\alpha=0$，$(4.151)_{1,3}$ 自动满足，$(4.151)_2$ 化为平均曲率与压力的关系（原书印作 $H=-2p/T_0$ (4.152)；按 $H=\frac12b^\alpha_\alpha$ 直接代入得 $2T_0H+p=0$，即 $H=-p/(2T_0)$，编写时请核对）；无压肥皂膜张在金属丝上时能量正比于面积而取最小，故极小曲面平均曲率为零。4.33 Monge 形式 $z=\hat z(x,y)$：基向量、Christoffel 符号、$b_{\alpha\beta}$、$H$、$K$；令 $H=0$ 得 Lagrange 极小曲面方程 $(1+z_{,y}^2)z_{,xx}-2z_{,x}z_{,y}z_{,xy}+(1+z_{,x}^2)z_{,yy}=0$ (4.153)。4.34 令 $\mathbf k_\alpha=b_{\alpha\beta}\mathbf g^\beta\times\mathbf n+\frac14(\varepsilon^{\beta\gamma}\mathbf g_{\beta,\alpha}\cdot\mathbf g_\gamma)\mathbf n$ (4.154)，Gauss、Weingarten 方程可写成 $\mathbf g_{\alpha,\beta}=\frac12\Gamma^\gamma_{\gamma\beta}\mathbf g_\alpha+\mathbf k_\beta\times\mathbf g_\alpha$ (4.155)、$\mathbf n_{,\alpha}=\mathbf k_\alpha\times\mathbf n$ (4.156)（「转动向量」形式）。

第 IV 章本章要点

梯度：几何定义（最速上升方向与速率）→ 坐标形式 $\nabla f=f_{,i}\mathbf g^i$（偏导数是地窖/协变分量）；$df/ds=\nabla f\cdot\mathbf t$；梯度垂直等值面；约束驻值问题 $\nabla f=\lambda\mathbf x$ 即（非线性）特征值问题。
$\nabla=\mathbf g^i\partial/\partial u^i$；$\nabla\cdot\mathbf v$、$\nabla\times\mathbf v$、$\nabla\mathbf v$ 为不变量；梯度约定 $\mathrm{grad}\,\mathbf v=(\nabla\mathbf v)^T$。
协变导数 $\nabla_iv^k=v^k_{,i}+\Gamma^k_{ij}v^j$，$\nabla_iv_j=v_{j,i}-\Gamma^k_{ij}v_k$；由「不变量的协变导数=偏导」「乘积法则」两原则唯一确定；基向量与度量协变常数；Riemann 流形上 $\nabla_i\nabla_j\neq\nabla_j\nabla_i$（除非平坦）。
散度 $\nabla\cdot\mathbf v=\nabla_iv^i=J^{-1}(Jv^i)_{,i}$；$\nabla_iv_j$ 是 $\nabla\mathbf v$ 的地窖分量。
连续介质：Lagrange 与 Euler 描述；物质导数 $(\ )^\cdot=\mathbf v\cdot\nabla+\partial_t$，$\mathbf a=(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v+\mathbf v_{,t}$。
散度定理 $\int_R\nabla\cdot\mathbf v\,dV=\int_{\partial R}\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA$，坐标形式 $dV=|J|du^1du^2du^3$；「积分对任意区域成立 + 连续 ⇒ 被积函数为零」的局部化论证推出连续性方程。
微分几何：曲面 $\mathbf x(u^\alpha)$，第一基本形式 $g_{\alpha\beta}du^\alpha du^\beta$；测地线 $\ddot u^\gamma+\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\dot u^\alpha\dot u^\beta=0$（张紧涂油绳/无摩擦珠子的力学推导）；Gauss–Bonnet $2\pi-\sum\Delta\theta=\int K\,dA$；Gauss–Weingarten 方程、曲率张量 $\mathbf B$、平均曲率 $H$、$K=\det\mathbf B$；Codazzi 方程；绝妙定理 $K$ 只依赖度量。

第 IV 章与量化交易的关联

梯度、方向导数与约束优化：$\nabla f=f_{,i}\mathbf g^i$ 明确了梯度是协变向量，只有通过度量（$g^{ij}$）才能变成「方向」：$\nabla f$ 作为位移方向是 $g^{ij}f_{,j}$。组合优化中「在协方差度量下的最速下降方向」是 $\Sigma^{-1}\nabla f$，这正是均值–方差最优权重 $\mathbf w\propto\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu$ 与自然梯度/牛顿方向的几何来源。§4.2 的 $\nabla f=\lambda\mathbf x$ 就是拉格朗日乘子条件，直接对应带预算/风险约束的组合优化 KKT 条件与 Rayleigh 商（最大夏普比、最小方差组合）。
中值定理（习题 4.2） 用于交易成本/冲击函数的 Lipschitz 估计与优化收敛分析。
散度定理与守恒律：质量守恒 $\rho_t+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$ 与 Fokker–Planck（前向 Kolmogorov）方程 $p_t+\nabla\cdot(\mathbf bp)-\frac12\nabla\cdot\nabla\cdot(\mathbf Dp)=0$ 结构相同；守恒形式（习题 4.8）是有限体积法求解期权定价 PDE 时保证数值守恒性的依据。Laplace 算子在一般坐标下的形式 $\nabla^2f=J^{-1}(Jg^{ij}f_{,j})_{,i}$（由 (4.25) 推出）用于在对数价格、波动率等变换坐标下写 Black–Scholes/随机波动率 PDE 的扩散项。
协变导数、测地线、曲率：信息几何中，参数统计模型是以 Fisher 信息为度量的 Riemann 流形，测地线、曲率（如统计曲率）用于分析估计量效率与模型偏差；协方差矩阵流形（SPD 流形）上的测地距离与均值（如对数–欧氏、仿射不变度量）用于风险模型的平滑/插值与 regime 比较。这些属进阶应用，书中只提供工具。
刚体动力学、弹性理论、薄膜/肥皂膜与量化交易没有直接关联。

第 IV 章推荐习题

4.2（多元中值定理）、4.11（各坐标系下 Laplace 算子，PDE 变量替换的基本功）。
4.5、4.15、4.16、4.17（张量协变导数、迹与缩并、$\Gamma^j_{ji}=J^{-1}J_{,i}$）。
4.8、4.10（守恒形式与连续性方程，数值 PDE 的守恒性）。
4.13（Navier 方程，完整走一遍「本构 + 运动学 + 平衡」的张量推导）。
4.25–4.27、4.29、4.33（曲面几何计算：行列式的 $\varepsilon$ 表示、旋转曲面与 Monge 形式的曲率）。

索引（Index，PDF p.118–123）

原书第 107–112 页为英文主题索引，按字母排列，条目涵盖：Acceleration（centripetal / convective / local / path）、Base vectors（Cartesian / cellar / reciprocal / roof）、Christoffel symbols、Codazzi equations、Components（cellar / contravariant / covariant / physical / roof）、Coordinates（bipolar / circular cylindrical / elliptic / Eulerian / Gaussian surface / Lagrangian / oblique Cartesian / parabolic / plane polar / spherical）、Covariant derivative、Curvature（Gaussian / mean / of a curve）、Divergence theorem、Gauss–Bonnet theorem、Geodesic、Index（argument / cellar / dummy / free / Greek / raising and lowering / roof）、Jacobian、Kronecker delta、Metric tensor、Permutation tensor、Tensor（各类分量、curvature、identity、metric、moment of inertia、momentum flux、orthogonal、reflector、rotator、strain、stress、3rd order 等）、Theorema egregium、Weingarten's equation 等。可作为中文教材术语对照表的来源。原书第 106 页（空白页）未出现在扫描中。

极坐标（左栏）	一般形式（右栏）	编号
\(\mathbf x=\hat{\mathbf x}(r,\theta)=r\cos\theta\,\mathbf e_x+r\sin\theta\,\mathbf e_y\)	\(\mathbf x=\hat{\mathbf x}(u^j)=\hat x^i(u^j)\mathbf e_i\)	(3.23)
\(\mathbf v=\dot{\mathbf x}=(\partial\mathbf x/\partial r)\dot r+(\partial\mathbf x/\partial\theta)\dot\theta\)	\(\mathbf v=(\partial\mathbf x/\partial u^i)\dot u^i\)	(3.24)
\(\mathbf g_r\equiv\partial\mathbf x/\partial r=\cos\theta\,\mathbf e_x+\sin\theta\,\mathbf e_y\)；\(\mathbf g_\theta\equiv\partial\mathbf x/\partial\theta=-r\sin\theta\,\mathbf e_x+r\cos\theta\,\mathbf e_y\)	\(\mathbf g_i\equiv\partial\mathbf x/\partial u^i=(\partial x^k/\partial u^i)\mathbf e_k\)	(3.25)
\(J(\mathbf g_r,\mathbf g_\theta)=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r\)	\(J(\mathbf g_1,\dots)=\det[x^i_{,j}]\)	(3.26)
\(v^r=\dot r,\ v^\theta=\dot\theta\)	\(v^i=\dot u^i\)	(3.27)
\(\mathbf v=v^r\mathbf g_r+v^\theta\mathbf g_\theta\)	\(\mathbf v=v^i\mathbf g_i\)	(3.28)