元信息：《Matrix Analysis》(2nd ed., Cambridge University Press, 2013)，Roger A. Horn & Charles R. Johnson；本笔记负责 PDF 第 223–333 页（对应原书印刷页码 203–313；PDF 页码 = 印刷页码 + 20）。

第 3 章相似标准形与三角分解（Canonical forms for similarity and triangular factorizations）——（接上一块）

3.4 实 Jordan 标准形与 Weyr 标准形（The real Jordan and Weyr canonical forms）（接上一块，PDF p.223–235）

3.4.1 实 Jordan 标准形的若干推论（收尾部分，PDF p.223）

Corollary 3.4.1.8. 若 $A=\begin{bmatrix}B&C\\0&0\end{bmatrix}\in M_n$，且 $B\in M_m$ 相似于某个实矩阵，则 $A$ 相似于实矩阵。

证明要点：取非奇异 $S\in M_m$ 使 $SBS^{-1}=R$ 为实矩阵，则 $\mathcal A=(S\oplus I_{n-m})A(S\oplus I_{n-m})^{-1}=\begin{bmatrix}R&\star\\0&0\end{bmatrix}$。对 $\lambda\neq 0$，

(\mathcal A-\lambda I)^k=\begin{bmatrix}(R-\lambda I)^k&\star\\0&(-\lambda)^kI_{n-m}\end{bmatrix},\qquad (\bar{\mathcal A}-\lambda I)^k=\begin{bmatrix}(R-\lambda I)^k&\star\\0&(-\lambda)^kI_{n-m}\end{bmatrix}

二者列秩都等于 $n-m+\operatorname{rank}(R-\lambda I)^k$。由于对非零特征值的秩序列相同，且 $\lambda=0$ 处可由总阶数补齐（矩阵与其共轭的秩相同），故 $\mathcal A$ 与 $\bar{\mathcal A}$ 相似，于是由 (3.4.1.7)（"$A$ 相似于 $\bar A$ 当且仅当 $A$ 相似于实矩阵"）知 $\mathcal A$（从而 $A$）相似于实矩阵。

Corollary 3.4.1.9. 对任意 $A\in M_n$，$A\bar A$ 相似于 $\bar AA$，且相似于某个实矩阵。

证明要点：Theorem 3.2.11.1 保证 $AB$ 与 $BA$ 的非奇异 Jordan 结构相同，故 $A\bar A$ 与 $\bar AA$ 的非奇异部分相同；又矩阵与其共轭秩相同，$\operatorname{rank}(A\bar A)^k=\operatorname{rank}\overline{(A\bar A)^k}=\operatorname{rank}(\bar AA)^k$，所以幂零 Jordan 结构也相同，二者相似。因 $\bar AA=\overline{A\bar A}$，由 (3.4.1.7) 知 $A\bar A$ 相似于实矩阵。（这一结论是后文"共轭相似 consimilarity"(4.6 节) 的基础：$A\bar A$ 的负实特征值的 Jordan 块成对出现等。）

实对角化的类比：复方阵总可经复相似化为上三角矩阵 $T$（Schur, 2.3.1），可对角化时化为对角矩阵。实方阵 $A$ 可经实相似化为实上拟三角矩阵（quasitriangular，形如 (2.3.5)，$2\times2$ 对角块为 (2.3.5a) 型，即与 (3.4.1.3) 相同的 $C(a,b)=\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$）。

Corollary 3.4.1.10. 设 $A\in M_n(\mathbf R)$ 可对角化，实特征值为 $\mu_1,\dots,\mu_q$，非实特征值为 $a_1\pm ib_1,\dots,a_\ell\pm ib_\ell$（$b_j>0$）。则 $A$ 经实相似相似于

C_1(a_1,b_1)\oplus\cdots\oplus C_1(a_\ell,b_\ell)\oplus[\mu_1]\oplus\cdots\oplus[\mu_q].

证明：即实 Jordan 标准形 (3.4.1.6) 中所有块阶数均为 1 的情形。

直观：实矩阵可对角化（在 $\mathbf C$ 上）时，实意义下的"最简形"是 $1\times1$ 实块与 $2\times2$ 旋转-伸缩块 $\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 的直和——这正是实系数线性动力系统 $x_{t+1}=Ax_t$ 中振荡模态的标准表示。

3.4.2 Weyr 标准形（The Weyr canonical form）（PDF p.223–231）

背景：Weyr 特征（Weyr characteristic, 3.1.16）在 Jordan 形唯一性的讨论中起关键作用；它也可以定义一种相似标准形，并在"与之可交换的矩阵结构"方面优于 Jordan 形。回忆：$w_k(A,\lambda)=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{k-1}-\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k$，即"阶数 $\ge k$ 的 $\lambda$-Jordan 块个数"。

定义（Weyr 块，Weyr block）. 给定 $\lambda\in\mathbf C$、正整数 $q\ge1$ 及非增正整数列 $w_1\ge\cdots\ge w_q\ge1$，$w=(w_1,\dots,w_q)$。Weyr 块 $W(w,\lambda)$ 是 $q\times q$ 分块上三角块双对角矩阵

W(w,\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda I_{w_1}&G_{w_1,w_2}&&\\&\lambda I_{w_2}&G_{w_2,w_3}&\\&&\ddots&\ddots\\&&&G_{w_{q-1},w_q}\\&&&\lambda I_{w_q}\end{bmatrix}\quad(3.4.2.1)

其中 $G_{w_i,w_j}=\begin{bmatrix}I_{w_j}\\0\end{bmatrix}\in M_{w_i,w_j}$（$1\le i<j$）。注意 $\operatorname{rank}G_{w_i,w_j}=w_j$，且若 $w_i=w_{i+1}$ 则 $G_{w_i,w_{i+1}}=I_{w_i}$。

可把 Weyr 块看成 Jordan 块的"分块版本"：对角块是阶数非增的纯量矩阵 $\lambda I$，超对角块是列满秩块 $\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}$，尺寸由对角块决定。

Weyr 块的秩计算：

阶数为 $w_1+\cdots+w_q$；$\operatorname{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)=w_2+\cdots+w_q$。
关键恒等式：$G_{w_{k-1},w_k}G_{w_k,w_{k+1}}=G_{w_{k-1},w_{k+1}}$，即 $\begin{bmatrix}I_{w_k}\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_{w_{k+1}}\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_{w_{k+1}}\\0\end{bmatrix}$。
因而 $(W-\lambda I)^2$ 的非零块是 $G_{w_1,w_3},\dots,G_{w_{q-2},w_q}$ 落在第二条块超对角线上，$\operatorname{rank}(W-\lambda I)^2=w_3+\cdots+w_q$。一般地，每升一次幂，非零块整体上移一条块对角线：$\operatorname{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^p=w_{p+1}+\cdots+w_q$。
所以 $\operatorname{rank}(W-\lambda I)^{p-1}-\operatorname{rank}(W-\lambda I)^p=w_p$，$p=1,\dots,q$：$W(w,\lambda)$ 关于 $\lambda$ 的 Weyr 特征恰为 $w$。对角块个数 $q$ 等于 $\lambda$ 的指数（index，最大 Jordan 块阶数）。

Weyr 矩阵（Weyr matrix）：特征值两两不同的 Weyr 块的直和。

矩阵的 Weyr 块：对 $A\in M_n$ 及其特征值 $\lambda$（指数为 $q$），令 $w_k=w_k(A,\lambda)$，定义 $W_A(\lambda)=W(w(A,\lambda),\lambda)$。其阶数等于 $\lambda$ 的代数重数。

例 (3.4.2.2)：(3.1.16a) 中 Jordan 矩阵 $J\in M_{13}$（特征值 0，Jordan 块为 $J_3(0)$ 两个、$J_2(0)$ 三个、$J_1(0)$ 一个），$w_1=6,w_2=5,w_3=2$，

W_J(0)=\begin{bmatrix}0_6&G_{6,5}&\\&0_5&G_{5,2}\\&&0_2\end{bmatrix},\quad W_J(0)^2=\begin{bmatrix}0_6&0_{6,5}&G_{6,2}\\&0_5&0_{5,2}\\&&0_2\end{bmatrix},\ W_J(0)^3=0,

$\operatorname{rank}W_J(0)=7=w_2+w_3$，$\operatorname{rank}W_J(0)^2=2=w_3$，故 $W_J(0)$ 与 $J$ 有相同 Weyr 特征 6,5,2，从而相似。

Theorem 3.4.2.3（Weyr 标准形定理）. 设 $A\in M_n$，$\lambda_1,\dots,\lambda_d$ 为其按任意给定次序排列的互异特征值。存在非奇异 $S\in M_n$ 及 Weyr 块 $W_1,\dots,W_d$（形如 (3.4.2.1)），使 (a) $W_j$ 的唯一特征值为 $\lambda_j$；(b) $A=S(W_1\oplus\cdots\oplus W_d)S^{-1}$。在给定特征值排序下，该 Weyr 矩阵由 $A$ 唯一确定：$W_j=W_A(\lambda_j)$，即

A=S\,\big(W_A(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus W_A(\lambda_d)\big)\,S^{-1}.

若 $A$ 相似于某 Weyr 矩阵，则该矩阵是 $W_A$ 的直和项的某种置换。若 $A$ 为实矩阵且特征值全实，则 $S$ 可取为实矩阵。

证明要点：$W_A$ 与 $A$ 对每个特征值都有相同的 Weyr 特征；Lemma 3.1.18 说明 Weyr 特征决定 Jordan 形，所以二者相似于同一 Jordan 形，从而相似。两个 Weyr 矩阵相似则特征值与 Weyr 特征都相同，故含相同的 Weyr 块（仅排列不同）。实情形由 (1.3.29)（实矩阵复相似则实相似）得到。

术语：$W_A=W_A(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus W_A(\lambda_d)$ 称为 $A$ 的 Weyr 标准形（Weyr canonical form）。Weyr 形与 Jordan 形 $J_A$ 包含相同信息但呈现方式不同：Weyr 形直接显示 Weyr 特征，Jordan 形直接显示 Segre 特征（各 Jordan 块阶数）。用点图（dot diagram, 3.1.P11）可以互相转换；而且 $W_A$ 与 $J_A$ 置换相似（permutation similar，见 3.4.P8）。

例：$J=J_3(\lambda)\oplus J_2(\lambda)$，$w(J,\lambda)=(2,2,1)$，

W_J(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda&0&1&0&\\0&\lambda&0&1&\\&&\lambda&0&1\\&&0&\lambda&0\\&&&&\lambda\end{bmatrix}.

$J$ 与 $W_J$ 的非零元个数、非零非对角元个数都相同。

若干练习结论（书中以 Exercise 形式给出）：

若 $A$ 非减次（nonderogatory，每个特征值只有一个 Jordan 块），则 $w_1(A,\lambda_i)=\cdots=w_{p_i}(A,\lambda_i)=1$，Weyr 形即 Jordan 形；反之 $w_1(A,\lambda_i)=1$ 对所有 $i$ 成立则 $A$ 非减次。
若 $A$ 可对角化，则 $w_2(A,\lambda_i)=0$，$W_A(\lambda_i)=\lambda_iI_{w_1}$，Weyr 形即 Jordan 形；$w_2(A,\lambda_i)=0$ 时 $w_1$（总是等于几何重数）也等于代数重数；全部 $w_2=0$ 则可对角化。
每个特征值至多有 $p$ 个 Jordan 块 $\iff$ 所有 $w_1(A,\lambda_i)\le p$ $\iff$ 每个 Weyr 块的每个对角块至多 $p\times p$。

可交换矩阵的结构差异（核心动机）：由 3.2.4，与单个 Jordan 块 $J_k(\lambda)$ 可交换的矩阵恰为上三角 Toeplitz 矩阵；因此与非减次 Jordan 矩阵可交换的矩阵是（与 $J$ 共形的）上三角 Toeplitz 矩阵的直和，特别地是上三角的。但对减次（derogatory）矩阵，Jordan 形与 Weyr 形不同，与它们可交换的矩阵结构差别很大。例：$J=J_2(\lambda)\oplus J_2(\lambda)$，$W_J=\begin{bmatrix}\lambda I_2&I_2\\0_2&\lambda I_2\end{bmatrix}$；$A$ 与 $J$ 可交换 $\iff A=\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}$，$B,C,D,E\in M_2$ 均为上三角 Toeplitz（未必上三角！）；而 $A$ 与 $W_J$ 可交换 $\iff A=\begin{bmatrix}B&C\\0&B\end{bmatrix}$，分块上三角。

Lemma 3.4.2.4. 设 $\lambda\in\mathbf C$，$n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k\ge1$。考虑同样分块的上三角矩阵

F=\begin{bmatrix}\lambda I_{n_1}&F_{12}&&\star\\&\lambda I_{n_2}&\ddots&\\&&\ddots&F_{k-1,k}\\&&&\lambda I_{n_k}\end{bmatrix},\qquad F'=\begin{bmatrix}\lambda I_{n_1}&F'_{12}&&\star\\&\ddots&\ddots&\\&&&F'_{k-1,k}\\&&&\lambda I_{n_k}\end{bmatrix}\in M_n.

假设 $F'$ 的所有超对角块 $F'_{i,i+1}$ 列满秩。若 $A\in M_n$ 满足 $AF=F'A$，则 $A$ 与 $F,F'$ 共形分块上三角；若另有 $A$ 正规，则 $A$ 分块对角。

证明要点：把 $A=[A_{ij}]$ 共形分块，按特定顺序比较 $AF=F'A$ 的块。块位置 $(k,1)$ 已知后，看 $(k-1,1)$：$\lambda A_{k-1,1}=\lambda A_{k-1,1}+F'_{k-1,k}A_{k1}$，得 $F'_{k-1,k}A_{k1}=0$，列满秩推出 $A_{k1}=0$。再看 $(k-2,1)$：$F'_{k-2,k-1}A_{k-1,1}=0\Rightarrow A_{k-1,1}=0$。沿第一块列自下而上得 $A_{i1}=0$（$i=k,\dots,2$）；再对第二块列从 $(k-1,2)$ 起同样推，……从左到右、从下到上，得 $A$ 分块上三角。正规且分块三角则由 (2.5.2) 推出分块对角。

Theorem 3.4.2.5（Belitskii）. 设 $A\in M_n$，互异特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_d$（任意给定次序），$S$ 非奇异使 $A=S(W_A(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus W_A(\lambda_d))S^{-1}$。若 $B\in M_n$ 满足 $AB=BA$，则 (1) $S^{-1}BS=B^{(1)}\oplus\cdots\oplus B^{(d)}$ 与 $W_A(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus W_A(\lambda_d)$ 共形分块对角；(2) 每个 $B^{(\ell)}$ 与 $W_A(\lambda_\ell)$ 的分块 (3.4.2.1) 共形分块上三角。

证明：(1) 由基本结果 (2.4.4.2)（与特征值互异的分块对角矩阵可交换的矩阵分块对角）；(2) 由 Lemma 3.4.2.4（Weyr 块超对角块 $G$ 列满秩）。

标准分划（standard partition）与可交换矩阵的块恒等式（PDF p.228–230）：以 (3.4.2.2) 的 $W_J$ 为例。令 $m_k=w_k-w_{k+1}$ = 阶数恰为 $k$ 的 Jordan 块个数：$m_3=2,m_2=3,m_1=1$，$w_1=m_3+m_2+m_1=6$，$w_2=m_3+m_2=5$，$w_3=m_3=2$。把 $W_J$ 重新分划，对角块尺寸依次为 $m_3,m_2,m_1;\ m_3,m_2;\ m_3$ 即 $2,3,1;2,3;2$。这称为标准分划：使每个对角块为纯量方阵、每个非对角块为单位阵（方）或零矩阵（不必方）的最粗分划。此时

W_J=\left[\begin{array}{ccc|cc|c}0_2&0&0&I_2&0&\\&0_3&0&0&I_3&\\&&0_1&0&0&\\\hline&&&0_2&0&I_2\\&&&&0_3&0\\\hline&&&&&0_2\end{array}\right]\quad(3.4.2.6)

（注意标准分划后对角块不再必然按尺寸非增排列。）计算可知 $N$ 与 $W_J$ 可交换当且仅当 $N$ 具有如下共形结构（$\star$ 为任意块）：

N=\left[\begin{array}{ccc|cc|c}B&C&\star&D&\star&\star\\&F&\star&E&\star&\star\\&&G&0&\star&\star\\\hline&&&B&C&D\\&&&&F&E\\\hline&&&&&B\end{array}\right]\quad(3.4.2.7)

若回到粗分划 $N=[N_{ij}]_{i,j=1}^3$（$N_{11}\in M_6,N_{22}\in M_5,N_{33}\in M_2$），则 $N_{33}=[B]$，$N_{23}=\begin{bmatrix}D\\E\end{bmatrix}$，$N_{22}=\begin{bmatrix}B&C\\0&F\end{bmatrix}$，$N_{12}=\begin{bmatrix}D&\star\\E&\star\\0&\star\end{bmatrix}$，$N_{11}=\begin{bmatrix}B&C&\star\\0&F&\star\\0&0&G\end{bmatrix}$，规律为

N_{i-1,j-1}=\begin{bmatrix}N_{ij}&\star\\0&\star\end{bmatrix}\quad(3.4.2.8)

由此可从最后一块列出发、沿块对角线向上推出所有块间等式（含非对角零块的位置）。

练习示例：$J\in M_{4n_1+2n_2}$ 为 $n_1$ 个 $J_4(\lambda)$ 与 $n_2$ 个 $J_2(\lambda)$ 的直和：$w(J,\lambda)=(n_1+n_2,n_1+n_2,n_1,n_1)$；标准分划块大小为 $n_2,n_1;n_2,n_1;n_1;n_1$（去掉 $m_k=0$ 的块）；并给出 $W_J(\lambda)$ 及与之可交换的 $N$ 的块模式（同样满足 (3.4.2.8) 型等式）。

进一步化简为上三角（PDF p.229–230）：取酉矩阵与上三角矩阵使 $B=U_3\Delta_3U_3^*$、$F=U_2\Delta_2U_2^*$、$G=U_1\Delta_1U_1^*$（Schur 分解），令 $U=U_3\oplus U_2\oplus U_1\oplus U_3\oplus U_2\oplus U_3$，则 $N'=U^*NU$ 上三角，块形如 (3.4.2.9)（对角块 $\Delta_3,\Delta_2,\Delta_1,\Delta_3,\Delta_2,\Delta_3$，$C'=U_3^*CU_2$ 等），块间等式保持；并且 $U^*W_JU=W_J$（因 $W_J$ 的对角块是纯量、非对角块是单位或零）。

重要结论：设 $A\in M_{13}$ 有 Jordan 形 (3.1.16a)，$\mathcal F=\{A,B_1,B_2,\dots\}$ 是可交换族，$S^{-1}AS=W_A$。则 $S^{-1}\mathcal FS$ 仍可交换，每个 $S^{-1}B_iS$ 具有 (3.4.2.7) 形；标准分划中第 $j$ 个对角块（$j=1,\dots,6$）构成可交换族，可由同一酉矩阵 $U_j$ 同时上三角化 (2.3.3)；由于位置 (1,1),(4,4),(6,6) 的对角块被约束为相同，可取 $U_1=U_4=U_6$，同理 $U_2=U_5$。令 $U=U_1\oplus\cdots\oplus U_6$，则每个 $U^*(S^{-1}B_iS)U$ 上三角并具形 (3.4.2.9)，而 $U^*S^{-1}ASU=W_A$。即：存在可交换族的同时相似，把 $A$ 化为 Weyr 标准形、同时把每个 $B_i$ 化为上三角形。

Theorem 3.4.2.10. 设 $A\in M_n$ 的互异特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_d$（任意给定次序），指数分别为 $q_1,\dots,q_d$，代数重数为 $p_1,\dots,p_d$；$w(A,\lambda_i)=(w_1(A,\lambda_i),\dots,w_{q_i}(A,\lambda_i))$，$W_A=W_A(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus W_A(\lambda_d)$ (3.4.2.11) 为 Weyr 标准形，$A=SW_AS^{-1}$。

(a)（Belitskii）若 $B$ 与 $A$ 可交换，则 $S^{-1}BS=B^{(1)}\oplus\cdots\oplus B^{(d)}$ 与 $W_A$ 共形分块对角；把 $B^{(\ell)}=[B^{(\ell)}_{ij}]_{i,j=1}^{q_\ell}\in M_{p_\ell}$ 按 $B^{(\ell)}_{jj}\in M_{w_j(A,\lambda_\ell)}$ 分块，则 $B^{(\ell)}$ 分块上三角，且第 $k$ 条块超对角线上的块满足 $B^{(\ell)}_{j-k-1,\,j-1}=\begin{bmatrix}B^{(\ell)}_{j-k,\,j}&\star\\0&\star\end{bmatrix},\quad k=0,1,\dots,q_\ell-1;\ j=q_\ell,q_\ell-1,\dots,k+1.\quad(3.4.2.12)$
(b)（O'Meara–Vinsonhaler）设 $\mathcal F=\{A,A_1,A_2,\dots\}\subset M_n$ 为可交换族，则存在非奇异 $T$ 使 $T^{-1}\mathcal FT=\{W_A,T^{-1}A_1T,\dots\}$ 是上三角族；每个 $T^{-1}A_iT$ 与 (3.4.2.11) 共形分块对角，其对应 $W_A(\lambda_\ell)$ 的对角块按 $w_1(A,\lambda_\ell),\dots,w_{q_\ell}(A,\lambda_\ell)$ 分块后，第 $k$ 条块超对角线的块满足 (3.4.2.12) 型恒等式。

（证明：沿上述 $M_{13}$ 例子的思路推广即可。3.4.P7 说明把"Weyr"换成"Jordan"时 (b) 一般不成立。）

3.4.3 酉 Weyr 形（The unitary Weyr form）（PDF p.231–233）

Theorem 3.4.3.1（Littlewood）. 设 $A\in M_n$ 互异特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_d$（任意次序），指数 $q_1,\dots,q_d$，$q=q_1+\cdots+q_d$。则 $A$ 酉相似于上三角矩阵

F=\begin{bmatrix}\mu_1I_{n_1}&F_{12}&F_{13}&\cdots&F_{1p}\\&\mu_2I_{n_2}&F_{23}&\cdots&F_{2p}\\&&\mu_3I_{n_3}&\ddots&\vdots\\&&&\ddots&F_{p-1,p}\\&&&&\mu_pI_{n_p}\end{bmatrix}\quad(3.4.3.2)

其中 (a) $\mu_1=\cdots=\mu_{q_1}=\lambda_1$；$\mu_{q_1+1}=\cdots=\mu_{q_1+q_2}=\lambda_2$；…；$\mu_{p-q_d+1}=\cdots=\mu_p=\lambda_d$；(b) 对每个 $j$，与 $\lambda_j$ 对应的 $q_j$ 个整数 $n_i,\dots,n_{i+q_j-1}$ 恰为 $\lambda_j$ 的 Weyr 特征：$n_i=w_1(A,\lambda_j)\ge\cdots\ge n_{i+q_j-1}=w_{q_j}(A,\lambda_j)$；(c) 若 $\mu_i=\mu_{i+1}$，则 $n_i\ge n_{i+1}$，$F_{i,i+1}\in M_{n_i,n_{i+1}}$ 为上三角且对角元为正实数。若 $A$ 实且特征值全实，则 $A$ 实正交相似于满足 (a)(b)(c) 的实矩阵 $F$。 唯一性：若 $A$ 还酉相似于满足 (a)(b)(c) 的 $F'$，则存在与 $F$ 共形的分块对角酉矩阵 $U=U_1\oplus\cdots\oplus U_p$ 使 $F'=UFU^*$，即 $F'_{ij}=U_i^*F_{ij}U_j$。

证明要点：$A=SW_AS^{-1}$，对 $S$ 作 QR 分解 $S=QR$（$Q$ 酉，$R$ 上三角正对角元，2.1.14），则 $A=Q(RW_AR^{-1})Q^*$。$RW_AR^{-1}$ 上三角，对角块为 $R_{jj}W(A,\lambda_j)R_{jj}^{-1}$，只需考察 $TW(A,\lambda)T^{-1}$（$T$ 上三角正对角元）。按 $W(A,\lambda)$ 分块 $T=[T_{ij}]$、$T^{-1}=[T^{ij}]$，对角块为 $T_{ii}\lambda I_{w_i}T^{ii}=\lambda I_{w_i}$（因 $T^{ii}=T_{ii}^{-1}$，0.9.10）；超对角块为 $T_{ii}G_{i,i+1}T^{i+1,i+1}+\lambda(T_{ii}T^{i,i+1}+T_{i,i+1}T^{i+1,i+1})=T_{ii}G_{i,i+1}T^{i+1,i+1}$（括号内是 $TT^{-1}=I$ 的 $(i,i+1)$ 块，为 0）。把 $T_{ii}=\begin{bmatrix}C&\star\\0&D\end{bmatrix}$（$C\in M_{w_{i+1}}$ 上三角正对角），得

T_{ii}G_{i,i+1}T^{i+1,i+1}=\begin{bmatrix}C&\star\\0&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_{w_{i+1}}\\0\end{bmatrix}T^{-1}_{i+1,i+1}=\begin{bmatrix}CT^{-1}_{i+1,i+1}\\0\end{bmatrix},

上三角且对角元为正。实情形由 (2.3.1)、(3.4.2.3)、(2.1.14) 的实版本保证。唯一性：若 $A=V_1FV_1^*=V_2F'V_2^*$，则 $(V_2^*V_1)F=F'(V_2^*V_1)$，Lemma 3.4.2.4（酉矩阵是正规的）推出 $V_2^*V_1$ 分块对角。

Corollary 3.4.3.3（幂等矩阵的酉标准形）. 设 $A\in M_n$ 为投影（projection，幂等）$A^2=A$，奇异值 $\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_g>1\ge\sigma_{g+1}\ge\cdots\ge\sigma_r>0=\sigma_{r+1}=\cdots$，$r=\operatorname{rank}A$，$g$ 为大于 1 的奇异值个数。则 $A$ 酉相似于

\begin{bmatrix}1&(\sigma_1^2-1)^{1/2}\\0&0\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\begin{bmatrix}1&(\sigma_g^2-1)^{1/2}\\0&0\end{bmatrix}\oplus I_{r-g}\oplus 0_{n-r-g}.

证明要点：极小多项式 $t(t-1)$，可对角化，特征值 1 与 0 指数均为 1，$w_1(A,1)=r=\operatorname{tr}A$，$w_1(A,0)=n-r$。由 3.4.3.1，$A$ 酉相似于 $F=\begin{bmatrix}I_r&F_{12}\\0&0_{n-r}\end{bmatrix}$，$F_{12}$ 在酉等价意义下确定。对 $F_{12}=V\Sigma W^*$ 做 SVD（$h=\operatorname{rank}F_{12}$，奇异值 $s_1\ge\cdots\ge s_h>0$），$F$ 经 $V\oplus W$ 酉相似于 $\begin{bmatrix}I_r&\Sigma\\0&0\end{bmatrix}$，再置换相似于 $C=\bigoplus_{i\le h}\begin{bmatrix}1&s_i\\0&0\end{bmatrix}\oplus I_{r-h}\oplus 0_{n-r-h}$。$C$ 的奇异值为 $(s_i^2+1)^{1/2}$、$r-h$ 个 1 与 $n-r-h$ 个 0，故 $h=g$，$s_i=(\sigma_i^2-1)^{1/2}$。推论：两个同阶投影酉相似 $\iff$ 酉等价 $\iff$ 奇异值相同。（直观：斜投影的"斜度"完全由大于 1 的奇异值刻画；正交投影即所有非零奇异值为 1。）

3.4 习题（Problems，PDF p.233–235）概括

3.4.P1：$A\in M_n(\mathbf R)$，$A^2=-I_n$，则 $n$ 为偶数，且存在实非奇异 $S$ 使 $S^{-1}AS=\begin{bmatrix}0&-I_{n/2}\\I_{n/2}&0\end{bmatrix}$（复结构的标准形）。
3.4.P2–P4：中心化子（centralizer）$\mathcal C(A)=\{B:AB=BA\}$。P2 说明它是代数；P3 对 (3.1.16a) 的 $J$ 用 (3.4.2.7) 证 $\dim\mathcal C(J)=65=6^2+5^2+2^2$；P4 一般地 $\dim\mathcal C(A)=\sum_{j}\sum_{i=1}^{q_j}w_i(A,\lambda_j)^2\ge n$，等号当且仅当 $A$ 非减次；又已知 $\dim\mathcal C(A)=\sum_j\sum_{i=1}^{w_1}(2i-1)s_i(A,\lambda_j)$（$s_i$ 为 Segre 特征），解释两式相等。
3.4.P5：$A^2=0$，$r=\operatorname{rank}A$，正奇异值 $\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r$，则 $A$ 酉相似于 $\bigoplus_{i}\begin{bmatrix}0&\sigma_i\\0&0\end{bmatrix}\oplus 0_{n-2r}$；两个自零化矩阵酉相似 $\iff$ 奇异值相同。
3.4.P6：$A\in M_2(\mathbf R)$ 相似于 $\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}$ 当且仅当 $A=\begin{bmatrix}1+\alpha&(1+\alpha^2)/\beta\\-\beta&1-\alpha\end{bmatrix}$（$\beta\ne0$）。
3.4.P7：反例 $J=J_2(0)\oplus J_2(0)$，$A=\begin{bmatrix}0&I_2\\J_2(0)&0\end{bmatrix}$ 与 $J$ 可交换，但不存在同时相似使 $J$ 保持 Jordan 形且 $A$ 化为上三角（推导出 $s_{31}=s_{11}=0$ 与 $S$ 非奇异矛盾）。说明 3.4.2.10(b) 中"Weyr"不能换成"Jordan"。
3.4.P8：用标准 Young 表（Young tableau）构造 Weyr 形与 Jordan 形之间的置换相似：例 $J=J_3(0)\oplus J_2(0)$，$w=(2,2,1)$，点图逐行标号 1–5，再逐列读出得 $\sigma=(1,3,5,2,4)$，$P=[e_1\,e_3\,e_5\,e_2\,e_4]$，$J=P^TWP$。
3.4.P9：Weyr 形与 Jordan 形一样，在相似类中非零非对角元个数最少。
3.4.P10：Jordan 矩阵 $J$ 的 Weyr 形为 $J$ 本身 $\iff$ 每个特征值要么只有一个 Jordan 块，要么所有块都是 $1\times1$。
3.4.P11：Weyr 形与 Jordan 形相同 $\iff$ $A$ 非减次或可对角化，或 $A$ 相似于 $B\oplus C$（$B$ 非减次、$C$ 可对角化、无公共特征值）。

Notes：Weyr 于 1885 年提出（C. R. Acad. Sci. Paris，经 Hermite 推荐），1890 年详述；Shapiro (1999) 及 Clark–O'Meara–Vinsonhaler (2011) 给出不依赖 Jordan 形的现代推导；Belitskii 重新发现 Weyr 形（标准分划），动机是找到"与之可交换的矩阵都分块上三角"的相似标准形；O'Meara–Vinsonhaler (2006) 得到 3.4.2.10(b)；Theorem 3.4.3.1 源自 Littlewood (1953)。

3.5 三角分解与标准形（Triangular factorizations and canonical forms）（PDF p.236–243）

动机：若 $Ax=b$ 的系数矩阵是非奇异三角矩阵，求解极易。上三角时用回代（back substitution）：$a_{nn}x_n=b_n$ 定 $x_n$；$a_{n-1,n-1}x_{n-1}+a_{n-1,n}x_n=b_{n-1}$ 定 $x_{n-1}$（$a_{ii}\neq0$）……依次向上；下三角时用前代（forward substitution）。若 $A=LU$，先前代解 $Ly=b$，再回代解 $Ux=y$。每次代入 $O(n^2)$ 次运算。

Definition 3.5.1. $A\in M_n$ 写成 $A=LU$（$L$ 下三角、$U$ 上三角）称为 $A$ 的 LU 分解（LU factorization）。练习：$A$ 有 $L$ 非奇异的 LU 分解 $\iff$ 有 $L$ 为单位下三角（unit lower triangular，对角元全 1）的 LU 分解（令 $L=L'D$ 并把 $D$ 并入 $U$）；对 $U$ 同理。

Lemma 3.5.2. 若 $A=LU$，对任意 $2\times2$ 分块 $A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}$，$L=\begin{bmatrix}L_{11}&0\\L_{21}&L_{22}\end{bmatrix}$，$U=\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\0&U_{22}\end{bmatrix}$（$A_{11},L_{11},U_{11}\in M_k$），有 $A_{11}=L_{11}U_{11}$。故 $A$ 的每个顺序主子矩阵（leading principal submatrix）都有 LU 分解，因子即 $L,U$ 的对应顺序主子矩阵。

Theorem 3.5.3. 设 $A\in M_n$。

(a) $A$ 有 $L$ 非奇异的 LU 分解 $\iff$ $A$ 具有行包含性质（row inclusion property）：对每个 $i=1,\dots,n-1$，$A[\{i+1\};\{1,\dots,i\}]$（第 $i+1$ 行的前 $i$ 个元素）是 $A[\{1,\dots,i\}]$ 各行的线性组合。
(b) $A$ 有 $U$ 非奇异的 LU 分解 $\iff$ $A$ 具有列包含性质（column inclusion property）：对每个 $j$，$A[\{1,\dots,j\};\{j+1\}]$ 是 $A[\{1,\dots,j\}]$ 各列的线性组合。

证明要点：必要性：$A[\{1..i+1\}]=L[\{1..i+1\}]U[\{1..i+1\}]$，故只需在 (3.5.2) 中取 $k=n-1$；$L_{11}$ 非奇异，$A_{21}=L_{21}U_{11}=L_{21}L_{11}^{-1}L_{11}U_{11}=(L_{21}L_{11}^{-1})A_{11}$。充分性用归纳：设 $A_{11}=L_{11}U_{11}$，$L_{11}$ 非奇异，且 $A_{21}=y^TA_{11}=y^TL_{11}U_{11}$，取 $U_{12}=L_{11}^{-1}A_{12}$，$L_{21}=y^TL_{11}$，$L_{22}=1$，$U_{22}=A_{22}-L_{21}U_{12}$。列包含情形对 $A^T$ 用 (a)。

练习：全 1 矩阵 $J_n$ 有 $L$ 为单位下三角的 LU 分解（$L=[e\ e_2\ \cdots]$ 型，$U=e_1e^T$）；于是 $J_n=J_n^T=U^TL^T$ 给出单位上三角因子的分解。行包含性质等价于更强的形式：对每个 $i$，$A[\{i+1,\dots,n\};\{1,\dots,i\}]$ 的每一行都是 $A[\{1,\dots,i\}]$ 各行的线性组合。

若 $\operatorname{rank}A=k$ 且 $\det A[\{1..j\}]\ne0$（$j=1..k$），则 $A$ 同时有行、列包含性质：

Corollary 3.5.4. 设 $\operatorname{rank}A=k$，且 $A[\{1,\dots,j\}]$ 对 $j=1,\dots,k$ 非奇异，则 $A$ 有 LU 分解，且任一因子可取为单位三角；$L,U$ 都非奇异 $\iff k=n$，即 $A$ 及其所有顺序主子矩阵非奇异。

Example 3.5.5. 不是每个矩阵都有 LU 分解：$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$，若 $A=LU$ 则 $l_{11}u_{11}=0$，$L$ 或 $U$ 奇异，但 $LU=A$ 非奇异，矛盾。练习：非奇异矩阵若有奇异顺序主子矩阵，则无 LU 分解。练习：$A=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ 有 LU 分解，尽管它既无行包含也无列包含性质；但它是 $4\times4$ 矩阵 $\hat A=\begin{bmatrix}A&e_1\\0&0\end{bmatrix}$ 的主子矩阵，而 $\hat A$ 没有 LU 分解（用 $k=2$ 分块：$\hat A_{12}=L_{11}U_{12}$ 非奇异推出 $L_{11}$ 非奇异，再由 $0=L_{11}U_{11}$ 推 $U_{11}=0$，与 $L_{21}U_{11}=\hat A_{21}\ne0$ 矛盾）。练习：$A=\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\0&2-a\end{bmatrix}$ 对一切 $a$ 都等于 $\begin{bmatrix}0&1\\0&2\end{bmatrix}$，说明即使要求 $L$ 单位下三角，LU 分解也不必唯一。

Corollary 3.5.6（LDU 分解）. 设 $A=[a_{ij}]\in M_n$。

(a) 若 $A$ 非奇异，则 $A$ 有 LU 分解 $\iff$ $A[\{1,\dots,i\}]$ 对所有 $i=1,\dots,n$ 非奇异。
(b) 若 $A[\{1,\dots,i\}]$ 均非奇异，则 $A=LDU$，$L$ 单位下三角，$U$ 单位上三角，$D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$， $d_1=a_{11},\qquad d_i=\frac{\det A[\{1,\dots,i\}]}{\det A[\{1,\dots,i-1\}]},\ i=2,\dots,n.$ 因子 $L,D,U$ 唯一确定。练习：若 $A=LU$，则 $\ell_{11}u_{11}=\det A[\{1\}]$，$\ell_{ii}u_{ii}\det A[\{1..i-1\}]=\det A[\{1..i\}]$。（即主元 = 相邻顺序主子式之比。）

PLU 分解：若 $A$ 不能 LU 分解，但 $A=PLU$（$P$ 置换矩阵），相当于先对方程重新排序，再解 $Ly=P^Tb$、$Ux=y$。任何 $A$ 都可如此分解，且 $L$ 可取非奇异。

Lemma 3.5.7. 若 $A\in M_k$ 非奇异，则存在置换矩阵 $P$ 使 $\det(P^TA)[\{1,\dots,j\}]\ne0$，$j=1,\dots,k$。证明：对 $k$ 归纳。删去 $A$ 的最后一列，余下 $k-1$ 列线性无关，故含 $k-1$ 个线性无关的行；把它们置换到前 $k-1$ 行，对左上 $(k-1)\times(k-1)$ 非奇异子矩阵用归纳假设。

Theorem 3.5.8（PLU 分解）. 对每个 $A\in M_n$，存在置换矩阵 $P$、单位下三角 $L$、上三角 $U$ 使 $A=PLU$。 证明要点：只需找置换 $Q$ 使 $QA$ 具有行包含性质，然后用 3.5.3。非奇异时用 3.5.7。若 $\operatorname{rank}A=k<n$，先置换使前 $k$ 行线性无关，于是 $A[\{i+1\};\{1..i\}]$ 是 $A[\{1..i\}]$ 行的组合（$i=k,\dots,n-1$）；若 $A[\{1..k\}]$ 非奇异，再用 3.5.7 置换前 $k$ 行即可；若 $\operatorname{rank}A[\{1..k\}]=\ell<k$，对它重复同样处理，直到左上块为 0 或非奇异。练习：每个 $A$ 也可写成 $A=LUP$（$L$ 下三角，$U$ 单位上三角）。

记号 (3.5.9)：$X_{[p,q]}=X[\{1,\dots,p\},\{1,\dots,q\}]$（左上角 $p\times q$ 子矩阵）。练习：若 $A=LBU$（$L$ 下三角、$U$ 上三角），则 $A_{[p,q]}=L_{[p,p]}B_{[p,q]}U_{[q,q]}$；若 $L,U$ 非奇异，则

\operatorname{rank}A_{[p,q]}=\operatorname{rank}B_{[p,q]},\quad\forall p,q\in\{1,\dots,n\}.\quad(3.5.10)

Theorem 3.5.11（LPU 分解）. 对每个 $A\in M_n$，存在置换矩阵 $P$、单位下三角 $L$、上三角 $U$ 使 $A=LPU$。若 $A$ 非奇异，则因子 $P$ 唯一。

证明（构造性算法）：$A^{(0)}=A$。第 1 步：$\mathcal I_1=\{i:a^{(0)}_{i1}\ne0\}$，若非空取 $\pi_1=\min\mathcal I_1$，否则 $\pi_1$ 任取；用第 $\pi_1$ 行做第三类初等行变换消去第 1 列中 $\pi_1$ 以下的非零元，得 $A^{(1)}=\mathsf L_1A^{(0)}$（$\mathsf L_1$ 单位下三角）。第 $k$ 步：$\mathcal I_k=\{i\ne\pi_1..\pi_{k-1}: a^{(k-1)}_{ik}\ne0\}$，非空则取最小者为 $\pi_k$，否则在未用的行中任取；用行 $\pi_k$ 消去第 $k$ 列中 $\pi_k$ 以下的非零元（这些消元不改变前 $k-1$ 列，因为 $a^{(k-1)}_{\pi_k,j}=0$，$j<k$）。$n$ 步后得 $A^{(n)}=\mathsf LA$，$\mathsf L=\mathsf L_n\cdots\mathsf L_1$ 单位下三角，且当 $i>\pi_j$ 或（$i<\pi_j$ 且 $i\notin\{\pi_1..\pi_{j-1}\}$）时 $a^{(n)}_{ij}=0$。令 $L=\mathsf L^{-1}$，$P=[p_{ij}]$ 满足 $p_{\pi_j,j}=1$，则 $P^TA^{(n)}=U$ 上三角，$A=LPU$。非奇异时 $L,U$ 非奇异，由 (3.5.10) $\operatorname{rank}A_{[p,q]}=\operatorname{rank}P_{[p,q]}$，这些秩唯一确定 $P$（3.5.P11）。

Definition 3.5.12. 若存在非奇异下三角 $L$、非奇异上三角 $U$ 使 $A=LBU$，称 $A,B$ 三角等价（triangularly equivalent）。这是 $M_n$ 上的等价关系。

Theorem 3.5.11 给出非奇异矩阵三角等价的标准形：标准矩阵是置换矩阵；(3.5.10) 中的秩集合是完全不变量系。

Theorem 3.5.13. 设 $A,B\in M_n$ 非奇异，以下等价：(a) 存在唯一置换矩阵 $P$ 使 $A,B$ 都三角等价于 $P$；(b) $A,B$ 三角等价；(c) 秩等式 (3.5.10) 成立（$\operatorname{rank}A_{[p,q]}=\operatorname{rank}B_{[p,q]}$ 对所有 $p,q$）。证明：(a)⇒(b) 显然；(b)⇒(c) 即前述练习；(c)⇒(a)：设 $A=L_1PU_1$，$B=L_2P'U_2$，则 $\operatorname{rank}P_{[p,q]}=\operatorname{rank}A_{[p,q]}=\operatorname{rank}B_{[p,q]}=\operatorname{rank}P'_{[p,q]}$，由 3.5.P11 得 $P=P'$。

练习：$P$ 置换、$A$ 主对角元全为 1，则 $P^TAP$ 主对角元全为 1。

Theorem 3.5.14（LPDU 分解）. 对每个非奇异 $A\in M_n$，存在唯一的置换矩阵 $P$、唯一的非奇异对角 $D$、单位下三角 $L$、单位上三角 $U$，使 $A=LPDU$。证明：由 3.5.11，$A=LPU'$，$P$ 唯一，$U'$ 非奇异上三角；令 $D=\operatorname{diag}(\operatorname{diag}U')$，$U=D^{-1}U'$。若另有 $A=L_2PD_2U_2$，则

\big(P^T(L_2^{-1}L)P\big)D=D_2(U_2U^{-1})\quad(3.5.15)

$U_2U^{-1}$、$L_2^{-1}L$ 主对角全 1，由上一练习 $P^T(L_2^{-1}L)P$ 主对角也全 1，比较两边主对角得 $D=D_2$。（注：$L,U$ 本身未必唯一。）

算法与复杂度补充（与教材无关的常识，供编写者参考）：高斯消元得到 LU 需约 $\tfrac23n^3$ 次浮点运算；实践中用部分选主元（partial pivoting）得到 $PA=LU$ 以保证数值稳定。

3.5 习题概括（PDF p.241–243）

3.5.P1：讨论 $A=UL$ 分解的平行理论（因子可能不同）。
3.5.P2：用 $A=QR$ 解 $Ax=b$：$Rx=Q^*b$ 回代。
3.5.P3：单位三角等价（$A=LBU$，$L,U$ 为单位三角）：是 $M_n$ 与 $GL(n,\mathbf C)$ 上的等价关系；$PD=P'D'\iff P=P',D=D'$；每个非奇异矩阵单位三角等价于唯一的广义置换矩阵（generalized permutation matrix, 0.9.5）；广义置换矩阵构成该等价关系的标准形集合。
3.5.P4：顺序主子式全非零时用第三类初等行变换（高斯消元）得到 LU。
3.5.P5（Lanczos 三对角化算法）：$X=[x\ Ax\ \cdots\ A^{n-1}x]$（Krylov 序列）非奇异时，$X^{-1}AX$ 是特征多项式的友矩阵（companion matrix）；$S=XR$（$R$ 非奇异上三角）则 $S^{-1}AS$ 为上 Hessenberg；取 $Y=[y\ A^*y\ \cdots]$，若 $Y^*X=LDU$，可找非奇异上三角 $R,T$ 使 $(XR)^{-1}=T^*Y^*$ 且 $T^*Y^*AXR$ 是三对角、相似于 $A$；Hermitian 情形给出得到三对角 Hermitian 相似矩阵的算法。
3.5.P6：$(n,n)$ 元不影响 LU 分解是否存在。
3.5.P7：$C_n=[1/\max\{i,j\}]\in M_n(\mathbf R)$ 有分解 $C_n=L_nL_n^T$，其中下三角 $L_n$ 的元素为 $\ell_{ij}=1/\max\{i,j\}=1/i$（$i\ge j$）；由 $L_n$ 对角元为 $1/i$ 得 $\det L_n=1/n!$，从而 $\det C_n=(1/n!)^2$。
3.5.P8：3.5.6 中条件可改为"尾部主子矩阵 $A[\{j,\dots,n\}]$ 均非奇异"。
3.5.P9：三对角矩阵 $A=\operatorname{tridiag}(-1,2,-1)$：$L$ 次对角元 $-\tfrac12,-\tfrac23,\dots,-\tfrac{n-1}{n}$，$U$ 对角元 $2,\tfrac32,\dots,\tfrac{n+1}{n}$、超对角 $-1$；$\det A=n+1$；特征值 $\lambda_k=4\sin^2\frac{k\pi}{2(n+1)}$，$\lambda_1\to0$、$\lambda_n\to4$，$\det A\to\infty$（条件数随 $n$ 增长）。
3.5.P10：对称矩阵且顺序主子矩阵均非奇异，则存在非奇异下三角 $L$ 使 $A=LL^T$（复对称情形的"Cholesky 型"分解）。
3.5.P11：置换矩阵 $P$（$p_{\pi_j,j}=1$），令 $\operatorname{rank}P_{[\ell,0]}=0$，则 $\pi_j=\min\{k:\operatorname{rank}P_{[k,j]}=\operatorname{rank}P_{[k,j-1]}+1\}$；故 $n^2$ 个数 $\operatorname{rank}P_{[k,j]}$ 唯一确定 $P$。
3.5.P12–P13：互补零化度定律（law of complementary nullities, 0.7.5）：$A$ 非奇异，$A^{-1}=[B_{ij}]$，则 $\operatorname{nullity}A_{11}=\operatorname{nullity}B_{22}$。P12 对置换矩阵直接验证（$P_{11}$ 的零列数 = $P_{21}$ 中 1 的个数 = $P_{22}$ 的零行数）；P13 经 LPU 分解 $A=LPU$、$A^{-1}=U^{-1}P^TL^{-1}$ 归约到置换情形。

Further Readings：3.5.P5 取自 Stewart [Ste]；LPU/LPDU 与三角等价取自 L. Elsner (1979)，该文也讨论对称/斜对称矩阵的下三角合同 $A=LBL^T$。

（PDF p.244 为空白页。）

第 3 章本章要点（就本块覆盖的 3.4 后半与 3.5 而言）

实矩阵与其共轭相似当且仅当相似于实矩阵；$A\bar A$ 总相似于 $\bar AA$ 且相似于实矩阵。实可对角化矩阵经实相似化为 $1\times1$ 实块和 $\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 块的直和。
Weyr 块由 Weyr 特征 $w_1\ge w_2\ge\cdots$ 构造，$\operatorname{rank}(W-\lambda I)^p=w_{p+1}+\cdots+w_q$；Weyr 标准形与 Jordan 标准形信息等价、置换相似。
Weyr 形的核心优点：与 Weyr 矩阵可交换的矩阵都分块上三角（Belitskii），并且块之间满足 (3.4.2.12) 型恒等式；因此可交换族可同时相似为"$A$ 为 Weyr 形 + 其余为上三角"（O'Meara–Vinsonhaler），而 Jordan 形做不到。
酉 Weyr 形（Littlewood）：任何矩阵酉相似于对角块为纯量矩阵、超对角块为正对角上三角的块上三角矩阵，且在分块对角酉相似下唯一；由此得到幂等矩阵、平方零矩阵的酉标准形（由奇异值决定）。
LU 分解存在性由行/列包含性质刻画；非奇异时存在 $\iff$ 所有顺序主子式非零，此时 LDU 唯一，$d_i$ 为相邻顺序主子式之比。任意矩阵有 PLU 与 LPU 分解；非奇异时 LPU 中的 $P$ 唯一，LPDU 中 $P,D$ 唯一；置换矩阵是非奇异矩阵三角等价的标准形，左上角子矩阵的秩是完全不变量。

第 3 章与量化交易的关联

LU/PLU/LDU 分解是数值线性代数的基本工具：回归正规方程、协方差矩阵求逆、组合优化 KKT 系统的求解都依赖它（实践中对正定协方差矩阵用 LDU 的对称特例——Cholesky/LDLᵀ 分解）。$d_i=\det A_{[i]}/\det A_{[i-1]}$ 在对称正定情形就是逐次条件方差（Schur 补），对应"第 $i$ 个资产对前 $i-1$ 个资产回归后的残差方差"，这是因子正交化、Gram–Schmidt 式的顺序正交化与风险归因的代数基础。
3.5.P9 的三对角矩阵是二阶差分算子，在有限差分法期权定价（PDE 方法）中出现，其 LU 分解即 Thomas 算法（$O(n)$）。
实 Jordan 形中的 $\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 块对应 VAR 模型转移矩阵的复特征值，描述周期性/振荡响应；Weyr 形与可交换族理论在量化中没有直接应用，主要是理论结构。
幂等矩阵的酉标准形可解释回归中的"帽子矩阵"（正交投影，奇异值全为 1）与斜投影（如工具变量估计中的投影）的差别。

第 3 章推荐习题

3.4.P1（$A^2=-I$ 的实标准形，复结构）；3.4.P4（中心化子维数 $\sum w_i^2$，Weyr 与 Segre 特征的联系）；3.4.P5（平方零矩阵的酉标准形）；3.4.P7（Jordan 形不能替代 Weyr 形的反例）；3.4.P8（Young 表构造置换相似）。
3.5.P4（高斯消元得 LU）；3.5.P5（Lanczos 三对角化，与 Krylov 子空间方法相关）；3.5.P9（差分矩阵的 LU 与特征值，条件数直观）；3.5.P10（对称矩阵的 $LL^T$）；3.5.P11、P13（LPU 的唯一性与互补零化度定律）。

第 4 章 Hermitian 矩阵、对称矩阵与合同（Hermitian Matrices, Symmetric Matrices, and Congruences）（PDF p.245 起）

4.0 引言（Introduction）（PDF p.245–247）

本章研究复 Hermitian 矩阵与复对称矩阵，并通过特殊化说明实对称情形。引言以几个例子说明对称/Hermitian 矩阵为何自然出现：

Example 4.0.1（Hessian 矩阵）：$f:D\subset\mathbf R^n\to\mathbf R$ 二阶连续可微，$H(x)=\big[\partial^2f/\partial x_i\partial x_j\big]$ 为其 Hessian。由于混合偏导相等，Hessian 是实对称矩阵；它可用于判断临界点是相对极大还是极小（见 7.0）。
Example 4.0.2（二次型）：$Q(x)=x^TAx=\sum a_{ij}x_ix_j=x^T\big[\tfrac12(A+A^T)\big]x$。$A$ 与其对称部分 $\tfrac12(A+A^T)$ 生成同一二次型，故研究二次型只需研究对称矩阵。
Example 4.0.3（二阶线性偏微分算子）：$Lf=\sum a_{ij}(x)\partial^2f/\partial x_i\partial x_j$（4.0.4），同理只需考虑对称系数矩阵 $\tfrac12(A(x)+A(x)^T)$。
Example 4.0.5（无向图的邻接矩阵）：$a_{ij}=1$ 当且仅当 $\{P_i,P_j\}$ 是边，邻接矩阵对称。
Example 4.0.6（双线性型与 sesquilinear 型）：实双线性型 $Q(x,y)=y^TAx$（4.0.7）满足 $Q(x,y)=Q(y,x)$ 对一切 $x,y$ 成立当且仅当 $A$ 对称（取 $x=e_j,y=e_i$ 比较）。复型 $H(x,y)=y^*Ax=\sum a_{ij}\bar y_ix_j$（4.0.8）对第一变量线性、对第二变量共轭线性，$H(ax,by)=a\bar bH(x,y)$，称为半双线性型（sesquilinear form）；$H(x,y)=\overline{H(y,x)}$ 恒成立当且仅当 $a_{ij}=\bar a_{ji}$，即 $A=A^*$ Hermitian。

复 Hermitian 矩阵在很多方面是实对称矩阵的自然推广；复的非实对称矩阵则缺乏实对称矩阵的许多重要性质。

4.1 Hermitian 矩阵的性质与刻画（Properties and characterizations of Hermitian matrices）（PDF p.247–254）

Definition 4.1.1. $A\in M_n$ 若 $A=A^*$ 则称 Hermitian；若 $A=-A^*$ 则称斜 Hermitian（skew Hermitian）。

基本观察（$A,B\in M_n$）：

$A+A^*$、$AA^*$、$A^*A$ 均 Hermitian。
$A$ Hermitian ⇒ $A^k$ Hermitian；若还非奇异，则 $A^{-1}$ Hermitian。
$A,B$ Hermitian ⇒ 对实数 $a,b$，$aA+bB$ Hermitian。
$A-A^*$ 斜 Hermitian。
斜 Hermitian 的实线性组合仍斜 Hermitian。
$A$ Hermitian ⇒ $iA$ 斜 Hermitian；7. $A$ 斜 Hermitian ⇒ $iA$ Hermitian。
$A=\tfrac12(A+A^*)+\tfrac12(A-A^*)=H(A)+S(A)=H(A)+iK(A)$，其中 $H(A)=\tfrac12(A+A^*)$ 为 Hermitian 部分，$S(A)=\tfrac12(A-A^*)$ 为斜 Hermitian 部分，$K(A)=\tfrac1{2i}(A-A^*)$。
Hermitian 矩阵主对角元为实数；确定它需要 $n$ 个实数和 $\tfrac12n(n-1)$ 个复数。
写 $A=C+iD$（$C,D$ 实），则 $A$ Hermitian $\iff$ $C$ 对称且 $D$ 斜对称。
实对称矩阵是复 Hermitian 矩阵。

Theorem 4.1.2（Toeplitz 分解）. 每个 $A\in M_n$ 可唯一写成 $A=H+iK$（$H,K$ 均 Hermitian），也可唯一写成 $A=H+S$（$H$ Hermitian，$S$ 斜 Hermitian）。证明：$H=\tfrac12(A+A^*)$，$K=\tfrac1{2i}(A-A^*)$。唯一性：若 $A=E+iF$，则 $2H=A+A^*=(E+iF)+(E-iF)=2E$。

类比：把 $M_n$ 类比为复数域，则 Hermitian 矩阵类比实数，$*$ 运算类比共轭，$A=H+iK$ 类比 $z=s+it$。

Theorem 4.1.3. 设 $A$ Hermitian，则 (a) $x^*Ax$ 对所有 $x\in\mathbf C^n$ 为实数；(b) $A$ 的特征值为实数；(c) 对所有 $S\in M_n$，$S^*AS$ 为 Hermitian。证明：$\overline{x^*Ax}=(x^*Ax)^*=x^*A^*x=x^*Ax$；若 $Ax=\lambda x$、$x^*x=1$，则 $\lambda=x^*Ax$ 为实数；$(S^*AS)^*=S^*A^*S=S^*AS$。

Theorem 4.1.4（Hermitian 的刻画）. $A$ Hermitian 当且仅当下列至少一条成立：(a) $x^*Ax$ 对所有 $x\in\mathbf C^n$ 为实数；(b) $A$ 正规且特征值全为实数；(c) $S^*AS$ 对所有 $S$ 为 Hermitian。 证明要点：(a)：$(x+y)^*A(x+y)$ 为实，推出 $x^*Ay+y^*Ax$ 为实；取 $x=e_k,y=e_j$ 得 $a_{kj}+a_{jk}$ 为实，故 $\operatorname{Im}a_{kj}=-\operatorname{Im}a_{jk}$；取 $x=ie_k,y=e_j$ 得 $-ia_{kj}+ia_{jk}$ 为实，故 $\operatorname{Re}a_{kj}=\operatorname{Re}a_{jk}$；合起来 $a_{kj}=\bar a_{jk}$。(b)：正规则 $A=U\Lambda U^*$，$A^*=U\bar\Lambda U^*=U\Lambda U^*=A$。(c)：取 $S=I$。注意：(a) 只对复向量成立；实向量下 $x^TAx$ 只约束对称部分。

由于 Hermitian 矩阵正规（$AA^*=A^2=A^*A$），第 2 章关于正规矩阵的结论全部适用：不同特征值的特征向量正交，有特征向量构成的标准正交基，酉可对角化。

Theorem 4.1.5（Hermitian 矩阵的谱定理，2.5.6 的重述）. $A$ Hermitian $\iff$ 存在酉矩阵 $U$ 和实对角矩阵 $\Lambda$ 使 $A=U\Lambda U^*$。$A$ 实对称 $\iff$ 存在实正交 $P$ 和实对角 $\Lambda$ 使 $A=P\Lambda P^T$。

Hermitian 矩阵的实线性组合仍是 Hermitian，复线性组合则不一定（$iA$ Hermitian 仅当 $A=0$）。$A,B$ Hermitian 时 $(AB)^*=BA$，故 $AB$ Hermitian $\iff$ $AB=BA$。

Theorem 4.1.6（可交换 Hermitian 族的同时对角化，2.5.5 的特例）. 非空 Hermitian 族 $\mathcal F$ 存在酉矩阵 $U$ 使所有 $UAU^*$ 对角 $\iff$ 族中任意两矩阵可交换。（量子力学中有重要的算子推广——可同时测量的可观测量。）

Theorem 4.1.7（与 $A^*$ 相似的矩阵）. 对 $A\in M_n$，以下等价：(a) $A$ 相似于实矩阵；(b) $A$ 相似于 $A^*$；(c) $A$ 经 Hermitian 相似变换相似于 $A^*$；(d) $A=HK$，$H,K$ Hermitian 且至少一个非奇异；(e) $A=HK$，$H,K$ Hermitian。 证明要点：

(a)⇔(b)：每个复矩阵相似于其转置 (3.2.3.1)，故 $A\sim A^*=\bar A^T\iff A\sim\bar A\iff A$ 相似于实矩阵 (3.4.1.7)。
(b)⇒(c)：设 $S^{-1}AS=A^*$，令 $T=e^{i\theta}S$，仍有 $AT=TA^*$，等价地 $AT^*=T^*A^*$（取共轭转置得 $T^*A^*=AT^*$）。相加得 $A(T+T^*)=(T+T^*)A^*$。只需选 $\theta$ 使 $T+T^*$ 非奇异：$T^{-1}(T+T^*)=I+T^{-1}T^*$ 非奇异 $\iff -1\notin\sigma(T^{-1}T^*)$，而 $T^{-1}T^*=e^{-2i\theta}S^{-1}S^*$，选 $\theta$ 使 $-e^{2i\theta}\notin\sigma(S^{-1}S^*)$ 即可。
(c)⇒(d)：$R^{-1}AR=A^*$，$R$ Hermitian 非奇异，则 $R^{-1}A=A^*R^{-1}$，$A=R(A^*R^{-1})$，且 $(A^*R^{-1})^*=R^{-1}A=A^*R^{-1}$ 是 Hermitian。
(d)⇒(b)：$H$ 非奇异时 $H^{-1}AH=KH=(HK)^*=A^*$；$K$ 非奇异同理。
(e)⇒(a)：若 $H,K$ 均奇异，取酉 $U$ 使 $U^*HU=\begin{bmatrix}D&0\\0&0\end{bmatrix}$（$D\in M_k$ 非奇异实对角），$U^*KU=\begin{bmatrix}K'&\star\\\star&\star\end{bmatrix}$，则 $U^*AU=\begin{bmatrix}DK'&\star\\0&0\end{bmatrix}$；$DK'$ 是两 Hermitian 之积且 $D$ 非奇异，由 (d)⇒(a) 相似于实矩阵；再由 Corollary 3.4.1.8 得 $A$ 相似于实矩阵。

Theorem 4.1.8（正定性的刻画）. $x^*Ax$ 对所有非零 $x\in\mathbf C^n$ 为正实数（相应地，非负实数）$\iff$ $A$ Hermitian 且特征值全为正（相应地，非负）。证明：由 4.1.4(a) 得 Hermitian；单位特征向量 $u$ 给出 $\lambda=u^*Au>0$。反之 $A=U\Lambda U^*$，$x^*Ax=\sum_k\lambda_k|u_k^*x|^2$，$x\ne0$ 时某 $u_k^*x\ne0$。

Definition 4.1.9. $A\in M_n$：若 $x^*Ax$ 对所有非零 $x$ 为正实数，称正定（positive definite）；为非负实数，称半正定（positive semidefinite）；若 $x^*Ax$ 总为实数且存在 $y,z$ 使 $y^*Ay<0<z^*Az$，称不定（indefinite）。练习：$B=A^*A$ 半正定：(a) 用 SVD；(b) $x^*Bx=\|Ax\|_2^2$。

实情形的区别：复情形下定义中不必假设 Hermitian（4.1.8 自动推出）。但对实矩阵和实向量，$x^TAx=\tfrac12x^T(A+A^T)x$ 只约束对称部分，斜对称部分不受限，所以实情形必须加对称假设。

Theorem 4.1.10. 设 $A\in M_n(\mathbf R)$ 对称，则 $x^TAx>0$（$\ge0$）对所有非零实 $x$ 成立 $\iff$ $A$ 的特征值全正（非负）。证明：对 $z=x+iy$，$z^*Az=x^TAx+y^TAy+i(x^TAy-y^TAx)=x^TAx+y^TAy$（因 $y^TAx=(y^TAx)^T=x^TAy$），从而复情形结论成立。

Definition 4.1.11. 实对称 $A$：$x^TAx>0$（$\forall x\ne0$）称正定；$\ge0$ 称半正定；存在 $y^TAy<0<z^TAz$ 称不定。练习：半正定矩阵正定 $\iff$ 非奇异。

Definition 4.1.12（正半定部分）. $A$ Hermitian，特征值 $\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_n$（此处按非增），$A=U\Lambda U^*$。令 $\lambda_i^+=\max\{\lambda_i,0\}$，$\lambda_i^-=\min\{\lambda_i,0\}$，$\Lambda_+=\operatorname{diag}(\lambda_i^+)$，$A_+=U\Lambda_+U^*$；$\Lambda_-=\operatorname{diag}(\lambda_i^-)$，$A_-=-U\Lambda_-U^*$。$A_+$ 称为 $A$ 的半正定部分（positive semidefinite part）。

Proposition 4.1.13. $A$ Hermitian，则 $A=A_+-A_-$；$A_\pm$ 都半正定；$A_+,A_-$ 可交换；$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A_++\operatorname{rank}A_-$；$A_+A_-=A_-A_+=0$；$A_-$ 是 $-A$ 的半正定部分。因而 $A$ Hermitian $\iff$ $A=B-C$，$B,C$ 半正定。

4.1 习题概括（PDF p.252–254）

P1：Hermitian 的主子矩阵 Hermitian；斜 Hermitian 也是；正规矩阵则不一定。P2：$SAS^*$ Hermitian；$SAS^{-1}$ 一般不是。P3：两个 Hermitian 矩阵相似 $\iff$ 酉相似。
P5：实三对角矩阵若 $a_{i,i+1}a_{i+1,i}>0$，存在正对角 $D$ 使 $DAD^{-1}$ 对称，故特征值全实；$\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$ 说明符号条件必要；极限论证推广到 $\ge0$。
P6：复矩阵由其 sesquilinear 型 $x^*Ax$ 唯一确定。P7：$x^TAx=0\ \forall x\iff A^T=-A$，故实/复矩阵不由二次型确定。P8：$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$ 有 $|x^*Ax|=|x^*A^Tx|$，故不由 $|x^*Ax|$ 确定；P9：$|x^*Ay|=|x^*By|\ \forall x,y\iff A=e^{i\theta}B$。
P10：斜 Hermitian 的特征值为纯虚数，$B^2$ 的特征值非正。P11：$A,B$ Hermitian ⇒ $\operatorname{tr}(AB)^2\le\operatorname{tr}(A^2B^2)$，等号 $\iff AB=BA$。
P12：Hermitian 矩阵的秩等于非零特征值个数（非 Hermitian 不一定）；正规时 $\operatorname{rank}A\ge\operatorname{rank}H(A)$。P13：$\operatorname{rank}A\ge|\operatorname{tr}A|^2/\operatorname{tr}(A^*A)$，等号 $\iff A=aH$（$H$ 为 Hermitian 投影）；Hermitian 时 $\operatorname{rank}A\ge(\operatorname{tr}A)^2/\operatorname{tr}A^2$。
P14：$A=e^{i\theta}A^*\iff e^{-i\theta/2}A$ Hermitian（"本质 Hermitian"类）。P15：$A$ 相似于 Hermitian 矩阵 $\iff$ 可对角化且特征值全实。
P16–P17：$2\times2$ Hermitian：$\rho(A)=\tfrac12|\operatorname{tr}A|+\tfrac12(\operatorname{tr}A^2-2\det A)^{1/2}$；$(\lambda_1-\lambda_2)^2=(a_{11}-a_{22})^2+4|a_{12}|^2$，故谱宽 $\ge2|a_{12}|$。
P18：$A$ Hermitian $\iff A^2=A^*A$。P19–P20：投影是 Hermitian 投影 $\iff$ 正交投影 $\iff AA^*A=A$。
P21：$A=xy^*+yx^*$ 的特征值为 $\operatorname{Re}y^*x\pm(\|x\|^2\|y\|^2-(\operatorname{Im}y^*x)^2)^{1/2}$ 及 $n-2$ 个 0（$x,y$ 线性无关时一正一负）；$B=xy^*-yx^*$ 的特征值为 $i(\operatorname{Im}y^*x\pm(\|x\|^2\|y\|^2-(\operatorname{Re}y^*x)^2)^{1/2})$；$[z_i+\bar z_j]$ 的类似结论。
P22：$A_+$ 良定义（虽然 $U$ 不唯一）。P23：$\operatorname{tr}AB$ 为实数。P24：$\operatorname{adj}A$ 在 $A$ 半正定/正定时半正定/正定。P25：复合矩阵 $C_r(A)$ 继承 Hermitian 与（半）正定性。P26：Hermitian 投影 $=U(I_k\oplus0)U^*$。P27–P28：与非平凡 Hermitian 投影可交换 $\iff$ 酉可约（unitarily reducible）。P29：不定 $\iff$ 同时有正负特征值。
P30：$\operatorname{rank}A=r$ 的 Hermitian 矩阵满秩分解 $A=V\Lambda_rV^*$；$\det A[\alpha]=|\det V_\alpha|^2\det\Lambda_r$，所以所有非零 $r$ 阶主子式同号，且至少有一个非零（"秩主性"的加强）。

Notes：4.1.5 最早可追溯到 Cauchy (1829)：实对称矩阵特征值为实，实二次型可经正交变换化为平方和。

4.2 变分刻画与子空间交（Variational characterizations and subspace intersections）（PDF p.254–259）

约定 (4.2.1)：Hermitian 矩阵的特征值总按代数非减排列：$\lambda_{\min}=\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\le\lambda_n=\lambda_{\max}$；多个矩阵时记 $\lambda_i(A),\lambda_i(B)$。（注意与 4.1.12 的非增排列不同。）

Hermitian 矩阵最大、最小特征值可用 Rayleigh 商（Rayleigh quotient）$x^*Ax/x^*x$ 的极值刻画。依据：不同特征值的特征向量自动正交，同一特征值的特征空间有标准正交基，$\mathbf C^n$ 有由特征向量组成的标准正交基。

Theorem 4.2.2（Rayleigh）. 设 $A$ Hermitian，$1\le i_1<\cdots<i_k\le n$，$x_{i_1},\dots,x_{i_k}$ 标准正交且 $Ax_{i_p}=\lambda_{i_p}x_{i_p}$，$S=\operatorname{span}\{x_{i_1},\dots,x_{i_k}\}$。则

(a) $\displaystyle\lambda_{i_1}=\min_{0\ne x\in S}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{x\in S,\|x\|_2=1}x^*Ax\le\max_{x\in S,\|x\|_2=1}x^*Ax=\max_{0\ne x\in S}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}$；
(b) 对任意单位向量 $x\in S$，$\lambda_{i_1}\le x^*Ax\le\lambda_{i_k}$，右（左）等号成立 $\iff Ax=\lambda_{i_k}x$（$Ax=\lambda_{i_1}x$）；
(c) 对任意单位向量 $x\in\mathbf C^n$，$\lambda_{\min}\le x^*Ax\le\lambda_{\max}$，等号条件同上；并且 $\lambda_{\max}=\max_{x\ne0}\frac{x^*Ax}{x^*x}$，$\lambda_{\min}=\min_{x\ne0}\frac{x^*Ax}{x^*x}$。

证明：单位 $x\in S$ 写成 $x=\sum\alpha_px_{i_p}$，$\sum|\alpha_p|^2=1$，则 $x^*Ax=\sum|\alpha_p|^2\lambda_{i_p}$ 是 $\lambda_{i_1},\dots,\lambda_{i_k}$ 的凸组合，介于最小与最大之间；等于 $\lambda_{i_k}$ 当且仅当 $\lambda_{i_p}\ne\lambda_{i_k}$ 时 $\alpha_p=0$，即 $x$ 是 $\lambda_{i_k}$ 的特征向量。(c) 是 $k=n$、$S=\mathbf C^n$ 的情形。 几何解释：$\lambda_{\max}$（$\lambda_{\min}$）是连续函数 $f(x)=x^*Ax$ 在紧集单位球面上的最大（最小）值。练习：对任意非零 $x$，$\alpha=x^*Ax/x^*x$，则 $A$ 在 $(-\infty,\alpha]$ 与 $[\alpha,\infty)$ 中各至少有一个特征值。

Lemma 4.2.3（子空间交，Subspace intersection）. $S_1,\dots,S_k$ 为 $\mathbf C^n$ 子空间，若 $\delta=\dim S_1+\cdots+\dim S_k-(k-1)n\ge1$，则存在标准正交向量 $x_1,\dots,x_\delta$ 同时属于每个 $S_i$；特别地 $S_1\cap\cdots\cap S_k$ 含单位向量。证明：由 (0.1.7)，$\dim(S_1\cap\cdots\cap S_k)\ge\delta$，取交空间的标准正交基中 $\delta$ 个。练习：$\dim S_1+\dim S_2\ge n+1$ ⇒ $S_1\cap S_2$ 含单位向量；$\dim S_1+\dim S_2+\dim S_3\ge2n+2$ ⇒ 交中存在两个正交单位向量。

Lemma 4.2.4. $f$ 在 $S$ 上有界实值，$\emptyset\ne S_1\subset S_2\subset S$，则 $\sup_{S_2}f\ge\sup_{S_1}f\ge\inf_{S_1}f\ge\inf_{S_2}f$。（集合变大，sup 不减、inf 不增。）

Observation 4.2.5. $\lambda_k(-A)=-\lambda_{n-k+1}(A)$，$k=1,\dots,n$。（用于由上界得下界。）

Theorem 4.2.6（Courant–Fischer 极小极大定理）. $A$ Hermitian，特征值 $\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n$，$k\in\{1,\dots,n\}$，$S$ 表示 $\mathbf C^n$ 的子空间。则

\lambda_k=\min_{\{S:\dim S=k\}}\ \max_{\{x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\quad(4.2.7)

\lambda_k=\max_{\{S:\dim S=n-k+1\}}\ \min_{\{x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\quad(4.2.8)

证明：取标准正交特征向量 $x_1,\dots,x_n$。任取 $k$ 维 $S$，令 $S'=\operatorname{span}\{x_k,\dots,x_n\}$，$\dim S+\dim S'=n+1$，由 4.2.3 $S\cap S'$ 含非零向量。由 4.2.4 与 4.2.2：

\sup_{S}\frac{x^*Ax}{x^*x}\ge\sup_{S\cap S'}\ge\inf_{S\cap S'}\ge\inf_{S'}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k,

故 $\inf_{\dim S=k}\sup_S\ge\lambda_k$（4.2.9）。而 $S=\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_k\}$ 时 $\sup=\lambda_k$（在 $x_k$ 处达到），所以等号成立且 inf、sup 都可达到。(4.2.8) 对 $-A$ 用 (4.2.7) 与 4.2.5 推出。$k=n$（4.2.7）或 $k=1$（4.2.8）时外层优化可省，退化为 4.2.2(c)。

Theorem 4.2.10. $A$ Hermitian，$S$ 为给定 $k$ 维子空间，$c\in\mathbf R$。

(a) 若对所有单位向量 $x\in S$，$x^*Ax\ge c$（$>c$），则 $\lambda_{n-k+1}(A)\ge c$（$>c$）。
(b) 若对所有单位 $x\in S$，$x^*Ax\le c$（$<c$），则 $\lambda_k(A)\le c$（$<c$）。证明：$S_1=\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_{n-k+1}\}$，$\dim S+\dim S_1=n+1$，取交中单位向量 $x$，则 $c\le x^*Ax\le\lambda_{n-k+1}(A)$（4.2.11）。(b) 对 $-A$ 用 (a)。

Corollary 4.2.12. 若 $x^*Ax\ge0$ 对某 $k$ 维子空间中所有 $x$ 成立，则 $A$ 至少有 $k$ 个非负特征值；若 $x^*Ax>0$ 对该子空间所有非零 $x$ 成立，则至少有 $k$ 个正特征值。（因 $\lambda_n\ge\cdots\ge\lambda_{n-k+1}\ge0$。）

4.2 习题概括（PDF p.258）

P1：(4.2.7-8) 等价于在单位向量上取 min-max/max-min。P2：若有正特征值，$\lambda_{\max}=\max\{1/x^*x:x^*Ax=1\}$。
P3：$\lambda_{\max}(A)\ge a_{ii}\ge\lambda_{\min}(A)$；某个不等式取等号仅当第 $i$ 行（列）非对角元全为 0；$\operatorname{diag}(1,2,3)$ 说明反之不成立。P4：对 $A^*A$ 用 P3，$\sigma_1\ge\|a_j\|_2\ge|a_{ij}|$。
P5：$A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}$：特征值都是 1，但 $\max x^TAx/x^Tx=2$，说明 Rayleigh 结论依赖 Hermitian 假设。P6：一般 $A$，$\min|x^*Ax/x^*x|\le|\lambda_i|\le\max|x^*Ax/x^*x|$（数值域）。
P7：秩–零化度定理推出子空间交引理。P8：$B$ 半正定 ⇒ $\lambda_k(A+B)\ge\lambda_k(A)$。P9：4.2.10 的另一证法。

Notes：4.2.2 归功于 Rayleigh（1904 年因发现氩获诺贝尔奖）；min-max 刻画见 E. Fischer (1905)，Courant 推广到无穷维算子（Courant–Hilbert 1937）。

4.3 Hermitian 矩阵的特征值不等式（Eigenvalue inequalities for Hermitian matrices）（PDF p.259–280）

（约定：特征值按 (4.2.1) 非减排列 $\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n$。）

（一）Weyl 不等式及其推论（PDF p.259–263）

Theorem 4.3.1（Weyl）. $A,B\in M_n$ Hermitian，则对每个 $i=1,\dots,n$：

\lambda_i(A+B)\le\lambda_{i+j}(A)+\lambda_{n-j}(B),\quad j=0,1,\dots,n-i\quad(4.3.2a)

等号对某对 $i,j$ 成立 $\iff$ 存在非零 $x$ 使 $Ax=\lambda_{i+j}(A)x$、$Bx=\lambda_{n-j}(B)x$、$(A+B)x=\lambda_i(A+B)x$。并且

\lambda_{i-j+1}(A)+\lambda_j(B)\le\lambda_i(A+B),\quad j=1,\dots,i\quad(4.3.2b)

等号条件类似（$Ax=\lambda_{i-j+1}(A)x$，$Bx=\lambda_j(B)x$，$(A+B)x=\lambda_i(A+B)x$）。若 $A,B$ 没有公共特征向量，则 (4.3.2a,b) 中所有不等式均严格。

证明：取 $A,B,A+B$ 的标准正交特征向量组 $x_i,y_i,z_i$。对给定 $i,j$，令 $S_1=\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_{i+j}\}$，$S_2=\operatorname{span}\{y_1,\dots,y_{n-j}\}$，$S_3=\operatorname{span}\{z_i,\dots,z_n\}$，维数和 $=(i+j)+(n-j)+(n-i+1)=2n+1$，由 4.2.3 存在单位向量 $x\in S_1\cap S_2\cap S_3$。三次使用 Rayleigh 定理 4.2.2：

\lambda_i(A+B)\le x^*(A+B)x=x^*Ax+x^*Bx\le\lambda_{i+j}(A)+\lambda_{n-j}(B).

等号情形来自 4.2.2 的等号条件。(4.3.2b) 对 $-A,-B,-(A+B)$ 用 (4.3.2a) 及 4.2.5：$-\lambda_{n-i+1}(A+B)\le-\lambda_{n-i-j+1}(A)-\lambda_{j+1}(B)$，再令 $i'=n-i+1$，$j'=j+1$。

直观：Weyl 定理描述 Hermitian 矩阵 $A$ 被 Hermitian 矩阵 $B$ 加性扰动后特征值的变化范围。对 $B$ 作不同假设可得到一系列特例。

练习：$B$ 恰有 $\pi$ 个正特征值、$\nu$ 个负特征值，则 $\lambda_{n-\pi}(B)\le0$、$\lambda_{\nu+1}(B)\ge0$，等号 $\iff n>\pi+\nu$（$B$ 奇异）。

Corollary 4.3.3. $B$ 恰有 $\pi$ 个正、$\nu$ 个负特征值，则

\lambda_i(A+B)\le\lambda_{i+\pi}(A),\ i=1,\dots,n-\pi\quad(4.3.4a);\qquad \lambda_{i-\nu}(A)\le\lambda_i(A+B),\ i=\nu+1,\dots,n\quad(4.3.4b)

等号对某 $i$ 成立 $\iff$ $B$ 奇异且存在非零 $x$ 使 $Ax=\lambda_{i+\pi}(A)x$（或 $\lambda_{i-\nu}(A)x$）、$Bx=0$、$(A+B)x=\lambda_i(A+B)x$。若 $B$ 非奇异或 $Bx\ne0$ 对 $A$ 的每个特征向量成立，则全部严格。证明：(4.3.2a) 取 $j=n-\pi$，$\lambda_{n-\pi}(B)\le0$；(4.3.2b) 取 $j=\nu+1$。

Corollary 4.3.5. $B$ 奇异且 $\operatorname{rank}B=r$，则

\lambda_i(A+B)\le\lambda_{i+r}(A),\ i=1,\dots,n-r\quad(4.3.6a);\qquad\lambda_{i-r}(A)\le\lambda_i(A+B),\ i=r+1,\dots,n\quad(4.3.6b)

等号条件：$\lambda_{n-r}(B)=0$（相应 $\lambda_{r+1}(B)=0$）且存在公共向量 $x$ 使 $Ax=\lambda_{i\pm r}(A)x$、$Bx=0$、$(A+B)x=\lambda_i(A+B)x$。（秩 $r$ 扰动最多使特征值"移动 $r$ 个位置"。）

Corollary 4.3.7. $B$ 恰有一个正、一个负特征值，则

\lambda_1(A+B)\le\lambda_2(A);\quad\lambda_{i-1}(A)\le\lambda_i(A+B)\le\lambda_{i+1}(A),\ i=2,\dots,n-1;\quad\lambda_{n-1}(A)\le\lambda_n(A+B)\quad(4.3.8)

（等号情形同 4.3.3 取 $\pi=\nu=1$；$n=2$ 或 $Bx\ne0$ 对 $A$ 的每个特征向量成立时严格。）

Corollary 4.3.9（秩一扰动的交错定理，interlacing theorem）. $n\ge2$，$A$ Hermitian，$z\ne0$，则

\lambda_i(A)\le\lambda_i(A+zz^*)\le\lambda_{i+1}(A),\ i=1,\dots,n-1;\qquad\lambda_n(A)\le\lambda_n(A+zz^*)\quad(4.3.10)

\lambda_1(A-zz^*)\le\lambda_1(A);\qquad\lambda_{i-1}(A)\le\lambda_i(A-zz^*)\le\lambda_i(A),\ i=2,\dots,n\quad(4.3.11)

例如 $\lambda_i(A+zz^*)=\lambda_{i+1}(A)$ 当且仅当存在非零 $x$ 使 $Ax=\lambda_{i+1}(A)x$、$z^*x=0$、$(A+zz^*)x=\lambda_i(A+zz^*)x$。若 $A$ 没有与 $z$ 正交的特征向量，则全部严格。（$zz^*$ 的特征值：$\lambda_{n-1}(zz^*)=0=\lambda_2(zz^*)$。）

Corollary 4.3.12（单调性定理，monotonicity theorem）. $B$ 半正定，则 $\lambda_i(A)\le\lambda_i(A+B)$（4.3.13），等号 $\iff$ $B$ 奇异且存在 $x$ 使 $Ax=\lambda_i(A)x$、$Bx=0$、$(A+B)x=\lambda_i(A+B)x$；若 $B$ 正定，则 $\lambda_i(A)<\lambda_i(A+B)$（4.3.14）。（半正定 $B$：$\lambda_1(B)=0\iff B$ 奇异。）

Corollary 4.3.15. $A,B$ Hermitian，

\lambda_i(A)+\lambda_1(B)\le\lambda_i(A+B)\le\lambda_i(A)+\lambda_n(B),\quad i=1,\dots,n\quad(4.3.16)

（(4.3.2a) 取 $j=0$，(4.3.2b) 取 $j=1$。）上界等号 $\iff$ 存在 $x$ 使 $Ax=\lambda_i(A)x$、$Bx=\lambda_n(B)x$、$(A+B)x=\lambda_i(A+B)x$；下界类似。由此 $|\lambda_i(A+B)-\lambda_i(A)|\le\rho(B)=\|B\|_2$——Hermitian 特征值对扰动是 1-Lipschitz 的。

练习：$\mathcal K=\begin{bmatrix}0_n&y\\y^*&a\end{bmatrix}\in M_{n+1}$ 的特征值为 $(a\pm\sqrt{a^2+4y^*y})/2$ 及 $n-1$ 个 0；$y\ne0$ 时恰一正一负。

（二）Cauchy 交错定理与加边（PDF p.262–265）

Theorem 4.3.17（Cauchy 交错定理 / 分离定理，separation theorem）. $B\in M_n$ Hermitian，$y\in\mathbf C^n$，$a\in\mathbf R$，$A=\begin{bmatrix}B&y\\y^*&a\end{bmatrix}\in M_{n+1}$，则

\lambda_1(A)\le\lambda_1(B)\le\lambda_2(A)\le\cdots\le\lambda_n(A)\le\lambda_n(B)\le\lambda_{n+1}(A)\quad(4.3.18)

$\lambda_i(A)=\lambda_i(B)$ 当且仅当存在非零 $z$ 使 $Bz=\lambda_i(B)z$、$y^*z=0$、$Bz=\lambda_i(A)z$；$\lambda_i(B)=\lambda_{i+1}(A)$ 类似。若 $B$ 没有与 $y$ 正交的特征向量，则全部严格。

证明：平移 $A\to A+\mu I$ 不改变交错关系，可设 $A,B$ 正定。令 $\mathcal H=\begin{bmatrix}B&0\\0&0_1\end{bmatrix}$，$\mathcal K=\begin{bmatrix}0_n&y\\y^*&a\end{bmatrix}$，$A=\mathcal H+\mathcal K$。$\mathcal H$ 的有序特征值 $\lambda_1(\mathcal H)=0<\lambda_1(B)=\lambda_2(\mathcal H)\le\cdots$，即 $\lambda_{i+1}(\mathcal H)=\lambda_i(B)$。$\mathcal K$ 恰一正一负特征值，由 (4.3.8)：

\lambda_i(A)=\lambda_i(\mathcal H+\mathcal K)\le\lambda_{i+1}(\mathcal H)=\lambda_i(B)\quad(4.3.19)

另一半对 $-A$ 用 (4.3.19) 和 4.2.5：$-\lambda_{n+1-i+1}(A)=\lambda_i(-A)\le\lambda_i(-B)=-\lambda_{n-i+1}(B)$（4.3.20），即 $\lambda_{i'+1}(A)\ge\lambda_{i'}(B)$。等号由 (4.3.7) 的条件（把 $x=\begin{bmatrix}z\\\zeta\end{bmatrix}$ 分块计算）得到。

（4.3.9 与 4.3.17 互相蕴含，见 7.2.P15。）

逆定理：给定交错的实数组，是否一定能实现为加边矩阵或秩一扰动的特征值？答案肯定：

Theorem 4.3.21. 实数 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 与 $\mu_1,\dots,\mu_{n+1}$ 满足交错不等式

\mu_1\le\lambda_1\le\mu_2\le\lambda_2\le\cdots\le\lambda_{n-1}\le\mu_n\le\lambda_n\le\mu_{n+1}\quad(4.3.22)

$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，则可选实数 $a$ 和实向量 $y\in\mathbf R^n$，使

A=\begin{bmatrix}\Lambda&y\\y^T&a\end{bmatrix}\in M_{n+1}(\mathbf R)\quad(4.3.23)

的特征值为 $\mu_1,\dots,\mu_{n+1}$。

证明要点：迹条件定 $a=\sum\mu_i-\sum\lambda_i$。用 Cauchy 展开 (0.8.5.10)：

p_A(t)=(t-a)\prod_i(t-\lambda_i)-\sum_iy_i^2\prod_{j\ne i}(t-\lambda_j).

令 $\eta_i=y_i^2$，需求非负的 $\eta_i$ 满足

\sum_{i=1}^n\eta_i\prod_{j\ne i}(t-\lambda_j)=(t-a)\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i)-\prod_{i=1}^{n+1}(t-\mu_i)\quad(4.3.24)

对 $\Lambda$ 的每个重数为 $m$ 的特征值 $\lambda=\lambda_k=\cdots=\lambda_{k+m-1}$（一般情形 $1<k<n+1-m$），交错迫使 $\mu_{k+1}=\cdots=\mu_{k+m-1}=\lambda$。定义 $f_{\lambda+}(t)=\prod_{i<k}(t-\lambda_i)$，$f_{\lambda-}(t)=\prod_{i\ge k+m}(t-\lambda_i)$，$g_{\lambda+}(t)=\prod_{i\le k}(t-\mu_i)$，$g_{\lambda-}(t)=\prod_{i\ge k+m}(t-\mu_i)$。两边除以 $(t-\lambda)^{m-1}$ 并令 $t=\lambda$：

\eta_k+\cdots+\eta_{k+m-1}=\Big(\frac{g_{\lambda+}(\lambda)}{f_{\lambda+}(\lambda)}\Big)\Big(\frac{-g_{\lambda-}(\lambda)}{f_{\lambda-}(\lambda)}\Big)\quad(4.3.25)

若 $\mu_k=\lambda$ 或 $\lambda=\mu_{k+m}$ 则右端为 0，取这些 $\eta$ 为 0；否则 $g_{\lambda+}/f_{\lambda+}>0$，且 $\operatorname{sign}(-g_{\lambda-}(\lambda)/f_{\lambda-}(\lambda))=-(-1)^{n-k-m+2}/(-1)^{n-k-m+1}=+1$，右端为正，任取和为该值的非负 $\eta$ 即可。

Theorem 4.3.26. 实数满足 $\lambda_1\le\mu_1\le\lambda_2\le\mu_2\le\cdots\le\lambda_n\le\mu_n$（4.3.27），$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_i)$，则存在实向量 $z\in\mathbf R^n$ 使 $\Lambda+zz^*$ 的特征值为 $\mu_1,\dots,\mu_n$。证明：平移可设 $\lambda_1>0$。令 $\mu_0=0$，则 $0=\mu_0<\lambda_1\le\mu_1\le\cdots$；由 4.3.21 存在 $a,y$ 使奇异矩阵 $A=\begin{bmatrix}\Lambda&y\\y^T&a\end{bmatrix}$ 的特征值为 $0,\mu_1,\dots,\mu_n$。令 $R=\Lambda^{1/2}$。$A$ 前 $n$ 列线性无关，最后一列是它们的组合：$\begin{bmatrix}y\\a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\Lambda\\y^T\end{bmatrix}w$，得 $y=R^2w$，$a=y^Tw=(Rw)^T(Rw)$。令 $z=Rw$，则 $A=\begin{bmatrix}R\\z^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R&z\end{bmatrix}$，由 (1.3.22)（$XY$ 与 $YX$ 非零特征值相同）$\mu_1,\dots,\mu_n$ 是 $\begin{bmatrix}R&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R\\z^T\end{bmatrix}=R^2+zz^T=\Lambda+zz^T$ 的特征值。

（三）包含原理与 Poincaré 分离定理（PDF p.265–268）

删去任意一行及对应列（不必是最后一行）所得矩阵的特征值，等于对 $A$ 作某置换相似后删去最后行列所得矩阵的特征值。删去多行多列得到主子矩阵：

Theorem 4.3.28（包含原理，inclusion principle）. $A=\begin{bmatrix}B&C\\C^*&D\end{bmatrix}$ Hermitian，$B\in M_m$（4.3.29），则

\lambda_i(A)\le\lambda_i(B)\le\lambda_{i+n-m}(A),\quad i=1,\dots,m\quad(4.3.30)

下界等号对某 $i$ 成立 $\iff$ 存在非零 $\xi\in\mathbf C^m$ 使 $B\xi=\lambda_i(B)\xi$ 且 $C^*\xi=0$（此时 $\lambda_i(A)=\lambda_i(B)$）；上界类似（$B\xi=\lambda_{i+n-m}(A)\xi$，$C^*\xi=0$）。多重特征值情形：若 $1\le r\le i$ 且 $\lambda_{i-r+1}(A)=\cdots=\lambda_i(A)=\lambda_i(B)$（4.3.31），则 $\lambda_{i-r+1}(B)=\cdots=\lambda_i(B)$，且存在标准正交 $\xi_1,\dots,\xi_r$ 使 $B\xi_j=\lambda_i(B)\xi_j$、$C^*\xi_j=0$；若 $1\le r\le m-i+1$ 且 $\lambda_i(B)=\lambda_{i+n-m}(A)=\cdots=\lambda_{i+n-m+r-1}(A)$（4.3.32），结论类似。证明：$S_1=\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_{i+n-m}\}$（$A$ 的特征向量），$S_2=\operatorname{span}\{\hat y_i,\dots,\hat y_m\}$，$\hat y_j=\begin{bmatrix}y_j\\0\end{bmatrix}$（$y_j$ 为 $B$ 的特征向量），维数和 $n+1$，交中有单位向量 $x=\begin{bmatrix}\xi\\0\end{bmatrix}$，$x^*Ax=\xi^*B\xi$，于是 $\lambda_i(B)\le\xi^*B\xi=x^*Ax\le\lambda_{i+n-m}(A)$（4.3.33）。多重情形取 $S_2=\operatorname{span}\{\hat y_{i-r+1},\dots,\hat y_m\}$，维数和 $n+r$，交至少 $r$ 维。练习：(4.3.30) 在 $C$ 行满秩，或 $C^*x\ne0$ 对 $B$ 的每个特征向量 $x$ 成立时全部严格；$m=1,i=1$ 时即 4.2.P3。

Corollary 4.3.34. $A=[a_{ij}]$ 按 (4.3.29) 分块，则

a_{11}+\cdots+a_{mm}\ge\lambda_1(A)+\cdots+\lambda_m(A)\quad(4.3.35a);\qquad a_{11}+\cdots+a_{mm}\le\lambda_{n-m+1}(A)+\cdots+\lambda_n(A)\quad(4.3.35b)

任一取等号则 $C=0$、$A=B\oplus D$。更一般地，分块 $A=[A_{ij}]_{i,j=1}^k$，$A_{ii}\in M_{n_i}$，若对每个 $p=1,\dots,k-1$，$\operatorname{tr}A_{11}+\cdots+\operatorname{tr}A_{pp}=\sum_{i=1}^{n_1+\cdots+n_p}\lambda_i(A)$（4.3.36a），则 $A=A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{kk}$，且 $A_{11}$ 的特征值为 $\lambda_1(A),\dots,\lambda_{n_1}(A)$，$A_{22}$ 的为 $\lambda_{n_1+1},\dots,\lambda_{n_1+n_2}$，依此类推；(4.3.36b)（用最大特征值之和）类似。证明：(4.3.30) 左端给出 $\lambda_i(B)\ge\lambda_i(A)$，取迹等号推出全部 $\lambda_i(A)=\lambda_i(B)$；等号情形给出 $B$ 的标准正交特征向量 $\xi_1,\dots,\xi_m$ 均满足 $C^*\xi_j=0$，故 $C^*=0$。分块情形归纳。

Corollary 4.3.37（Poincaré 分离定理）. $A$ Hermitian，$1\le m\le n$，$u_1,\dots,u_m$ 标准正交，$B_m=[u_i^*Au_j]_{i,j=1}^m\in M_m$，则

\lambda_i(A)\le\lambda_i(B_m)\le\lambda_{i+n-m}(A),\quad i=1,\dots,m\quad(4.3.38)

证明：补全为酉矩阵 $U$，$B_m$ 是 $U^*AU$ 的主子矩阵，用 4.3.28。

Corollary 4.3.39（Ky Fan 迹极值）. $A$ Hermitian，$1\le m\le n$：

\lambda_1(A)+\cdots+\lambda_m(A)=\min_{V\in M_{n,m},\,V^*V=I_m}\operatorname{tr}V^*AV,\qquad\lambda_{n-m+1}(A)+\cdots+\lambda_n(A)=\max_{V^*V=I_m}\operatorname{tr}V^*AV\quad(4.3.40)

极值在 $V$ 的列为最小（最大）$m$ 个特征值对应的标准正交特征向量时达到；$m=n$ 时 $\operatorname{tr}V^*AV=\operatorname{tr}A$。（这是 4.2.2 的推广，对 (4.3.38) 求和即得。）

（四）优超（Majorization）（PDF p.268–276）

Definition 4.3.41. $x,y\in\mathbf R^n$，若

\max_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\sum_{j=1}^kx_{i_j}\ge\max_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}\sum_{j=1}^ky_{i_j}\quad(4.3.42)

对每个 $k=1,\dots,n$ 成立且 $k=n$ 时取等号，称 $x$ 优超（majorizes）$y$。

Definition 4.3.43. $z^\downarrow$ 为 $z$ 的非增重排（nonincreasing rearrangement），$z^\uparrow$ 为非减重排。练习：(4.3.42) 等价于"自上而下"不等式 $\sum_{i=1}^kx_i^\downarrow\ge\sum_{i=1}^ky_i^\downarrow$（4.3.44a，$k=n$ 取等），也等价于"自下而上"不等式 $\sum_{i=1}^ky_i^\uparrow\ge\sum_{i=1}^kx_i^\uparrow$（4.3.44b）。优超在置换下不变；$x$ 优超 $y$ 则 $x_1^\downarrow\ge y_1^\downarrow\ge y_n^\downarrow\ge x_n^\downarrow$。（直观："$x$ 比 $y$ 更分散"。）

Theorem 4.3.45（Schur）. Hermitian $A$ 的特征值向量 $\lambda(A)$ 优超其对角元向量 $d(A)=[a_{ii}]$：

\sum_{i=1}^k\lambda_i(A)^\downarrow\ge\sum_{i=1}^kd_i(A)^\downarrow,\quad k=1,\dots,n\quad(4.3.46)

$k=n$ 取等号。若对某 $k\in\{1,\dots,n-1\}$ 取等号，则 $A$ 置换相似于 $B\oplus D$，$B\in M_k$。证明：置换使 $PAP^T$ 的对角元按非增排列，用 (4.3.36)（即 4.3.35b 对前 $k$ 个最大对角元）。练习：$(x^\downarrow+y^\downarrow)^\downarrow=x^\downarrow+y^\downarrow$；$(-x)^\downarrow=-(x^\uparrow)$。

Theorem 4.3.47. $A,B$ Hermitian：

(a)（Fan）$\lambda(A)^\downarrow+\lambda(B)^\downarrow$ 优超 $\lambda(A+B)$；
(b)（Lidskii）$\lambda(A+B)$ 优超 $\lambda(A)^\downarrow+\lambda(B)^\uparrow$。

证明：(a) 由 (4.3.40)，$\sum_{i\le k}\lambda_i(A+B)^\downarrow=\max\operatorname{tr}V^*(A+B)V\le\max\operatorname{tr}V^*AV+\max\operatorname{tr}V^*BV=\sum_{i\le k}(\lambda_i(A)^\downarrow+\lambda_i(B)^\downarrow)$；$k=n$ 时迹相等。 (b) 等价改写：只需证 $\lambda(B)$ 优超 $\lambda(A+B)^\downarrow-\lambda(A)^\downarrow$，即对 $k<n$，$\sum_{i\le k}(\lambda_i(A+B)^\downarrow-\lambda_i(A)^\downarrow)^\downarrow\le\sum_{i\le k}\lambda_i(B)^\downarrow$。可设 $\lambda_k(B)^\downarrow=0$（否则用 $B-\lambda_k(B)^\downarrow I$，两边同减 $k\lambda_k(B)$）。用 4.1.13 写 $B=B_+-B_-$，则 $\sum_{i\le k}\lambda_i(B)^\downarrow=\operatorname{tr}B_+$。由单调性 (4.3.12)：$\lambda_i(A+B_+-B_-)^\downarrow-\lambda_i(A)^\downarrow\le\lambda_i(A+B_+)^\downarrow-\lambda_i(A)^\downarrow$，且后者 $\ge0$，于是

\sum_{i\le k}(\cdots)^\downarrow\le\sum_{i\le k}(\lambda_i(A+B_+)^\downarrow-\lambda_i(A)^\downarrow)^\downarrow\le\sum_{i=1}^n(\lambda_i(A+B_+)^\downarrow-\lambda_i(A)^\downarrow)=\operatorname{tr}B_+.

练习：$\lambda(A)^\uparrow+\lambda(B)^\uparrow$ 优超 $\lambda(A+B)$；$\lambda(B)$ 优超 $\lambda(A+B)^\uparrow-\lambda(A)^\uparrow$。

Theorem 4.3.48（Schur–Horn 定理的逆向部分）. $x$ 优超 $y$，$\Lambda=\operatorname{diag}x$，则存在实正交 $Q$ 使 $\operatorname{diag}(Q^T\Lambda Q)=y$，即存在实对称矩阵，特征值为 $x_1,\dots,x_n$、对角元为 $y_1,\dots,y_n$。（与 4.3.45 合起来：优超恰是 Hermitian 矩阵对角元与特征值之间的精确关系。） 证明要点：设 $x,y$ 均非增排列。$n=1$ 平凡；若 $x_1=x_n$ 则全相等，$Q=I$；设 $x_1>x_n$。$n=2$：$x_1\ge y_1\ge y_2=x_1+x_2-y_1\ge x_2$，取

P=\frac1{\sqrt{x_1-x_2}}\begin{bmatrix}\sqrt{x_1-y_2}&-\sqrt{y_2-x_2}\\\sqrt{y_2-x_2}&\sqrt{x_1-y_2}\end{bmatrix},

$P$ 正交，$P^T\Lambda P$ 的 (1,1) 元为 $x_1+x_2-y_2=y_1$，(2,2) 元为 $y_2$。$n\ge3$ 归纳：取最大的 $k$ 使 $x_k\ge y_1$（可证 $k\le n-1$，于是 $x_k\ge y_1>x_{k+1}$）。令 $\eta=x_k+x_{k+1}-y_1\ge x_{k+1}$，$[x_k,x_{k+1}]$ 优超 $[y_1,\eta]$，用 $n=2$ 情形得 $P_1$ 使 $\operatorname{diag}(P_1^TD_1P_1)=[y_1,\eta]$（$D_1=\operatorname{diag}(x_k,x_{k+1})$）。把其余 $x_i$ 放入 $D_2$，则

\begin{bmatrix}P_1&0\\0&I\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}D_1&0\\0&D_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_1&0\\0&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1&z^T\\z&[\eta]\oplus D_2\end{bmatrix}.

只需验证 $\hat x=\operatorname{diag}([\eta]\oplus D_2)$ 优超 $\hat y=[y_2,\dots,y_n]^T$（分 $k=1$ 与 $k>1$ 逐项验证部分和不等式），再用归纳假设得 $P_2$。

双随机矩阵（doubly stochastic）：元素非负、每行每列和为 1（即 $Ae=A^Te=e$）。Birkhoff 定理 (8.7.2)：双随机 $\iff$ 至多 $n!$ 个置换矩阵的凸组合。$P_1SP_2$ 仍双随机。

Theorem 4.3.49. $n\ge2$，$x,y\in\mathbf R^n$，以下等价：(a) $x$ 优超 $y$；(b) 存在双随机 $S$ 使 $y=Sx$；(c) $y\in\{\sum_{i=1}^{n!}\alpha_iP_ix:\alpha_i\ge0,\sum\alpha_i=1,P_i\text{ 为置换矩阵}\}$。证明：(a)⇒(b)：由 4.3.48 有正交 $Q$ 使 $y=\operatorname{diag}(Q\operatorname{diag}(x)Q^T)$，即 $y_i=\sum_jq_{ij}^2x_j$，$S=[q_{ij}^2]$ 为双随机（正交矩阵行列都是单位向量）——这类矩阵称为正交随机（orthostochastic）。(b)⇔(c) 即 Birkhoff 定理。(b)⇒(a)：可设 $x,y$ 非增；令 $w_j^{(k)}=\sum_{i\le k}s_{ij}\in[0,1]$，$\sum_jw_j^{(k)}=k$，则

\sum_{i\le k}x_i-\sum_{i\le k}y_i=\sum_{i\le k}(x_i-x_k)(1-w_i^{(k)})+\sum_{i>k}w_i^{(k)}(x_k-x_i)\ge0.

几何意义：被 $x$ 优超的向量全体 = $x$ 的各个置换（至多 $n!$ 个）的凸包（置换多面体，permutohedron）。

Theorem 4.3.50. $x\in\mathbf R^n$，$z\in\mathbf C^n$。$x$ 优超 $\operatorname{Re}z$ $\iff$ 存在 $A\in M_n$，特征值为 $z_1,\dots,z_n$，且 $H(A)=(A+A^*)/2$ 的特征值为 $x_1,\dots,x_n$。（即 Hermitian 部分的特征值优超特征值的实部。）证明：Schur 三角化 $A=UTU^*$，$H(A)=UH(T)U^*$，$\operatorname{diag}H(T)=[\operatorname{Re}\lambda_i]$，被 $H(T)$ 的特征值优超 (4.3.45)。反之，由 4.3.48 取 Hermitian $B$，特征值为 $x$、$\operatorname{diag}B=\operatorname{Re}z$；令上三角 $T$ 满足 $\operatorname{diag}T=z$，$t_{ij}=2b_{ij}$（$i<j$），则 $H(T)=B$。

练习：$x$ 优超 $y$ ⇒ $\sum_{i\le k}x_i^\downarrow\ge\sum_{i\le k}y_i$（$y$ 不必排序）；$x$ 优超 $y\iff-x$ 优超 $-y$。

Lemma 4.3.51. $x$ 优超 $y$，$w\in\mathbf R^n$，则

\sum_iw_i^\downarrow x_i^\uparrow\le\sum_iw_i^\downarrow y_i\le\sum_iw_i^\downarrow x_i^\downarrow\quad(4.3.52)

记 $\hat X_k=\sum_{i\le k}x_i^\downarrow$，$\check X_k=\sum_{i\le k}x_i^\uparrow$，$Y_k=\sum_{i\le k}y_i$。右不等式取等 $\iff(w_i^\downarrow-w_{i+1}^\downarrow)(\hat X_i-Y_i)=0$（4.3.52a）；左不等式取等 $\iff(w_i^\downarrow-w_{i+1}^\downarrow)(\check X_i-Y_i)=0$（4.3.52b），$i=1,\dots,n-1$。证明：Abel 分部求和：$\sum w_i^\downarrow y_i=\sum_{i<n}(w_i^\downarrow-w_{i+1}^\downarrow)Y_i+w_n^\downarrow Y_n\le\sum_{i<n}(w_i^\downarrow-w_{i+1}^\downarrow)\hat X_i+w_n^\downarrow\hat X_n=\sum w_i^\downarrow x_i^\downarrow$（用 $w_i^\downarrow-w_{i+1}^\downarrow\ge0$，$\hat X_k\ge Y_k$）。下界对 $-x,-y$ 用上界。

Theorem 4.3.53（迹不等式）. $A,B$ Hermitian：

\sum_{i=1}^n\lambda_i(A)^\downarrow\lambda_i(B)^\uparrow\le\operatorname{tr}AB\le\sum_{i=1}^n\lambda_i(A)^\downarrow\lambda_i(B)^\downarrow\quad(4.3.54)

任一取等号则 $A,B$ 可交换；右端取等 $\iff$ 存在酉 $U$ 使 $A=U\operatorname{diag}(\lambda(A)^\downarrow)U^*$ 且 $B=U\operatorname{diag}(\lambda(B)^\downarrow)U^*$（同序同时对角化）；左端取等则 $B=U\operatorname{diag}(\lambda(B)^\uparrow)U^*$（反序）。证明：$A=U\Lambda U^*$，$\tilde B=U^*BU=[\beta_{ij}]$，$\operatorname{tr}AB=\operatorname{tr}\Lambda\tilde B=\sum\lambda_i(A)^\downarrow\beta_{ii}$。$\tilde B$ 的特征值（即 $B$ 的）优超其对角元 (4.3.45)，用 4.3.51（$x=\lambda(B)$，$y=\operatorname{diag}\tilde B$，$w=\lambda(A)$）。等号情形：设 $A$ 有 $k$ 个互异特征值 $\alpha_1>\cdots>\alpha_k$，重数 $n_1,\dots,n_k$，按此分块 $\tilde B=[\tilde B_{ij}]$；(4.3.52a) 只在 $i=n_1,n_1+n_2,\dots$ 处有约束，推出 $\operatorname{tr}\tilde B_{11}+\cdots+\operatorname{tr}\tilde B_{pp}=\sum_{i\le n_1+\cdots+n_p}\lambda_i(\tilde B)^\downarrow$，由 4.3.34 得 $\tilde B=\tilde B_{11}\oplus\cdots\oplus\tilde B_{kk}$，与 $\Lambda=\alpha_1I_{n_1}\oplus\cdots$ 可交换；再把每个 $\tilde B_{ii}$ 酉对角化（特征值非增）得到共同的 $U\tilde U$。左端等号把 $B$ 换成 $-B$。（这是 von Neumann 迹不等式在 Hermitian 情形的版本。）

4.3 习题概括（PDF p.276–280）

4.3.P1（最简单的扰动定理）：$\lambda_1(B)\le\lambda_i(A+B)-\lambda_i(A)\le\lambda_n(B)$，故 $|\lambda_i(A+B)-\lambda_i(A)|\le\rho(B)$（更多扰动定理见 6.3）。P2：$A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}$ 说明非 Hermitian 时 Weyl 不等式不成立。P3：$\lambda_i(A+B)\le\min\{\lambda_j(A)+\lambda_k(B):j+k=i+n\}$。P4：$A-B$ 半正定 ⇒ $\lambda_i(A)\ge\lambda_i(B)$（Loewner 序保持特征值序）。
4.3.P5（Jacobi/Sylvester 符号规则）：顺序主子式 $a_k=\det A[\{1..k\}]$ 均非零时，$A$ 负特征值个数 = 序列 $+1,a_1,\dots,a_n$ 的变号次数；故正定 $\iff$ 所有顺序主子式为正（Sylvester 判据）；讨论 $a_i=0$ 的情形。
P6：若某 $a_{ii}=\lambda_1$ 或 $\lambda_n$，则第 $i$ 行列的非对角元全为 0。P7：用 Cauchy 交错归纳证明 Schur 优超定理。P8：$e$ 优超 $y\Rightarrow y=e$；$e_i$ 优超 $y\Rightarrow y_i\in[0,1]$。P9：$x$ 优超 $Ax$ 对所有 $x$ 成立 ⇒ $A$ 双随机。
P10：正规 $A=U\Lambda U^*$，$S=[|u_{ij}|^2]$ 双随机（unistochastic；$U$ 实时为 orthostochastic），$\operatorname{diag}A=S\operatorname{diag}\Lambda$。
P11–P12：行（列）长度平方 $R_i^2$ 与奇异值平方：$\sum_{i=n-k+1}^nR_i^2\ge\sum_{i=n-k+1}^n\sigma_i^2$——"小行/小列"必然带来"小奇异值"；若 $A$ 的 $m$ 个最大奇异值等于 $B$ 的奇异值，则 $C=0$。
P13：由 Cauchy 加边交错推出秩一扰动交错。P14：$f_r(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_r$ 是 Hermitian 矩阵空间上的凹函数，$g_r(A)=\lambda_{n-r+1}+\cdots+\lambda_n$ 是凸函数（由 4.3.39 的 min/max 表示）。
P15：$A$ 半正定，$V$ 列标准正交：$\lambda_1\cdots\lambda_m\le\det V^*AV\le\lambda_{n-m+1}\cdots\lambda_n$；一般 $X\in M_{n,m}$：$\lambda_1\cdots\lambda_m\det X^*X\le\det X^*AX\le\lambda_{n-m+1}\cdots\lambda_n\det X^*X$。
P16：谱宽（spread）$\ge2\max_{i\ne j}|a_{ij}|$。P17：不可约（unreduced）Hermitian 三对角矩阵（Jacobi 矩阵）：特征向量末分量非零；与 $n-1$ 阶主子矩阵的交错严格；特征值互异；顺序主子式多项式三项递推 $p_k(t)=(t-a_{kk})p_{k-1}(t)-|a_{k-1,k}|^2p_{k-2}(t)$（Sturm 序列）。
P18：$\Lambda$ 特征值互异、$z$ 无零元 ⇒ $\Lambda+zz^*$ 严格交错。P19：$\lambda_i(A+zz^*)=\lambda_i(A)+\mu_i$，$\mu_i\ge0$，$\sum\mu_i=\|z\|_2^2$。P20：$\begin{bmatrix}\lambda I_n&y\\y^*&a\end{bmatrix}$ 的特征值。P21：加边后秩变化 $\in\{0,1,2\}$；$A\pm yy^*$ 秩变化 $\in\{-1,0,1\}$。P22：$[a_i+a_j]$（$a_i>0$ 不全等）恰一正一负特征值。
P23：$x+y$ 被 $x^\downarrow+y^\downarrow$ 优超且优超 $x^\downarrow+y^\uparrow$。P24：Lidskii 的第三种等价形式：$\lambda(A-B)$ 优超 $\lambda(A)^\downarrow-\lambda(B)^\downarrow$。P25：上双对角矩阵奇异值只依赖元素绝对值；对角与超对角非零时奇异值互异。P26：三对角矩阵特征值几何重数 $\le2$。P27：加边后秩增量 $\delta\in[1,2]$ 的精确刻画。P28：$\lambda(A+B)^\downarrow+\lambda(A-B)^\downarrow$ 优超 $2\lambda(A)$ 与 Fan 不等式等价。P29–P30：$\lambda(A)$ 优超 $\lambda(A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{mm})$，后者又优超 $d(A)$（Schur 定理的分块加细）。

Notes：优超的系统论述见 Marshall–Olkin (1979)；Lidskii 不等式是许多扰动界的基础（6.3, 7.4），本书证明取自 Li–Mathias (1999)；Weyl、Fan、Lidskii 都是 Horn 不等式的特例（Bhatia 2001）；严格交错的 $2n-1$ 个实数唯一确定一个 Jacobi 矩阵（Hald 1976，逆特征值问题）。

4.4 酉合同与复对称矩阵（Unitary congruence and complex symmetric matrices）（PDF p.280–299）

动机：单位圆盘上解析函数 $f$（$f(0)=0,f'(0)=1$）单叶（univalent / schlicht）当且仅当满足 Grunsky 不等式，其代数形式为

x^*Ax\ge|x^TBx|\quad(4.4.1)

其中 $a_{ij}=\log\frac1{1-z_i\bar z_j}$（Hermitian），$b_{ij}=\log\Big(\frac{z_iz_j}{f(z_i)f(z_j)}\frac{f(z_i)-f(z_j)}{z_i-z_j}\Big)$（复对称）。酉变量替换 $x\to Ux$ 使 $A\to U^*AU$（酉相似）、$B\to U^TBU$（酉合同，unitary congruence）。复对称矩阵还出现在矩问题（Nehari 定理：Hankel 矩阵 $A_{n+1}=[a_{i+j}]$ 满足 $|x^TA_{n+1}x|\le cx^*x$ 一致成立 $\iff$ $a_k$ 是某本性有界函数的 Fourier 系数，$c=\|f\|_\infty$）、阻尼振动、波传播、广义相对论中。

基本观察：酉相似保持正规/Hermitian；酉合同 $U^TAU$ 保持对称/斜对称。若 $A=UBU^T$，则 $A\bar A=UB\bar B U^*$——$A\bar A$ 与 $B\bar B$ 酉相似，$AA^*$ 与 $BB^*$、$A^T\bar A$ 与 $B^T\bar B$ 也都酉相似（可用同一酉矩阵）。反之不成立：$A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$、$B=0_2$ 有 $A\bar A=B\bar B=0$，但不酉合同。上三角 $\Delta$ 的 $\Delta\bar\Delta$ 特征值 $|d_{ii}|^2\ge0$。$1\times1$ 的 $[a]=[|a|e^{i\theta}]$ 经 $U=[e^{-i\theta/2}]$ 酉合同于 $[|a|]$。

已知 (2.6.6a)：复对称矩阵酉合同于以奇异值为对角元的非负对角矩阵（Autonne–Takagi）。本节把它作为下述"酉合同下的 Schur 三角化类比"的推论。

Lemma 4.4.2. $\lambda$ 为 $A\bar A$ 的特征值，$x$ 为对应单位特征向量，$S=\operatorname{span}\{A\bar x,x\}$（1 或 2 维）。

(a) 若 $\dim S=1$，则 $\lambda$ 为非负实数，且存在单位 $z\in S$ 使 $A\bar z=\sigma z$，$\sigma\ge0$，$\sigma^2=\lambda$。
(b) 若 $\dim S=2$：$\lambda$ 非负实数时，存在单位 $z\in S$ 使 $A\bar z=\sigma z$，$\sigma=\sqrt\lambda$；$\lambda$ 非实或为负实数时，对所有 $y\in S$ 有 $A\bar y\in S$。

证明：(a) $A\bar x=\mu x$，则 $\lambda x=A\bar A x=A\overline{(A\bar x)}=A\bar\mu\bar x=\bar\mu\mu x$，$|\mu|^2=\lambda$；取 $\theta$ 使 $e^{-2i\theta}\mu=|\mu|$，$z=e^{i\theta}x$，则 $A\bar z=e^{-i\theta}\mu x=|\mu|z$。(b) $\{A\bar x,x\}$ 是 $S$ 的基，$y=\alpha A\bar x+\beta x$，$A\bar y=\bar\alpha\lambda x+\bar\beta A\bar x\in S$。$\lambda\ge0$ 时令 $\sigma=\sqrt\lambda$，$y=A\bar x+\sigma x\ne0$，$A\bar y=\lambda x+\sigma A\bar x=\sigma y$，$z=y/\|y\|$。

Definition（共轭不变子空间）：若 $A\bar x\in S$ 对所有 $x\in S$ 成立，称 $S$ 为 $A$-共轭不变（$A$-coninvariant）。类比 $A$-不变子空间：每个 $A$ 有 1 维不变子空间；而每个 $A$ 有 1 维或 2 维共轭不变子空间（$A\bar A$ 有非负特征值时为 1 维，否则 2 维）。

Theorem 4.4.3. $p\in\{0,\dots,n\}$，$A\bar A$ 至少有 $p$ 个非负实特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_p$，则存在酉 $U$ 使

A=U\begin{bmatrix}\Delta&\star\\0&C\end{bmatrix}U^T,

$\Delta=[d_{ij}]\in M_p$ 上三角，$d_{ii}=\sqrt{\lambda_i}\ge0$，$C\in M_{n-p}$。若 $A\bar A$ 恰有 $p$ 个非负实特征值，则 $C\bar C$ 没有非负实特征值。证明：取 $A\bar A$ 关于非负 $\lambda$ 的单位特征向量，由 4.4.2 得单位 $z$ 使 $A\bar z=\sigma z$。令 $V=[z\ v_2\ \cdots\ v_n]$ 酉，$\bar V^TA\bar V$ 的 (1,1) 元为 $z^*A\bar z=\sigma$，第一列其余元 $v_i^*A\bar z=\sigma v_i^*z=0$。于是 $A=V\begin{bmatrix}\sigma&\star\\0&A_2\end{bmatrix}V^T$，$A\bar A=V\begin{bmatrix}\lambda&\star\\0&A_2\bar A_2\end{bmatrix}V^*$。对 $A_2$ 重复（同 2.3.1 的归纳），至多 $p$ 步。

练习：上三角矩阵对称 $\iff$ 对角。

Corollary 4.4.4. 设 $A\in M_n$。

(a) 若 $A=U\Delta U^T$（$U$ 酉，$\Delta$ 上三角），则 $A\bar A$ 的特征值全非负。（$A\bar A=U\Delta\bar\Delta U^*$，特征值为 $|d_{ii}|^2$。）
(b) 若 $A\bar A$ 至少有 $n-1$ 个非负实特征值，则存在酉 $U$ 使 $A=U\Delta U^T$，$\Delta$ 上三角，$d_{ii}\ge0$，$d_{11}^2,\dots,d_{nn}^2$ 为 $A\bar A$ 的特征值（全部非负实数）。
(c)（Autonne）若 $A$ 对称，则存在酉 $U$ 使 $A=U\Sigma U^T$，$\Sigma$ 为非负对角矩阵，对角元为 $A$ 的奇异值（可任意排序）。证明：$A\bar A=AA^*$ 的特征值为奇异值平方，由 (b) $A=U\Delta U^T$；$\Delta$ 酉合同于对称矩阵故对称，又上三角，从而对角；用置换 $P$ 可任意排序。
(d)（唯一性）$A$ 对称、$\operatorname{rank}A=r$，$s_1,\dots,s_d$ 为互异正奇异值（重数 $n_1,\dots,n_d$），$\Sigma=s_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus s_dI_{n_d}\oplus0_{n-r}$。则 $A=U\Sigma U^T=V\Sigma V^T$ 当且仅当 $V=UZ$，$Z=Q_1\oplus\cdots\oplus Q_d\oplus\tilde Z$，$\tilde Z\in M_{n-r}$ 酉，每个 $Q_j\in M_{n_j}$ 实正交。若奇异值互异（$d\ge n-1$），则 $V=UD$，$D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$，$d_i=\pm1$（$i<n$），$A$ 非奇异时 $d_n=\pm1$，奇异时 $|d_n|=1$。

证明 (d)：$A=U\Sigma\bar U^*=V\Sigma\bar V^*$ 是 SVD，由 (2.6.5) $U=VX$、$\bar U=\bar VY$，$X=Z_1\oplus\cdots\oplus Z_d\oplus\tilde Z$，$Y=Z_1\oplus\cdots\oplus Z_d\oplus\tilde Y$；于是 $X=V^*U=\overline{V^T\bar U}=\bar Y$，推出 $Z_j=\bar Z_j$，即每个 $Z_j$ 实且酉——实正交。

$A\bar A$ 的特征值结构：由 3.4.1.9，$A\bar A$ 总相似于实矩阵，故 $\operatorname{tr}A\bar A$ 为实数、非实特征值成共轭对。对 $A\in M_2$，$p_{A\bar A}(t)=t^2-(\operatorname{tr}A\bar A)t+|\det A|^2$，有实根 $\iff$ 判别式 $(\operatorname{tr}A\bar A)^2-4|\det A|^2\ge0$。斜对称 $A$：$A\bar A=-AA^*$，特征值为非正实数。$\operatorname{tr}(A\bar A)$、$\det(A\bar A)=|\det A|^2$ 是酉合同不变量。

Proposition 4.4.5. $A\in M_2$，$\sigma_1\ge\sigma_2\ge0$ 为对称部分 $S(A)=\tfrac12(A+A^T)$ 的奇异值（相等时记 $\sigma$）。

(a) $A$ 酉合同于 $\begin{bmatrix}\sigma_1&\zeta\\-\zeta&\sigma_2\end{bmatrix}$，$\zeta\in\mathbf C$（4.4.6）。（对 $S(A)$ 用 Autonne，斜对称部分 $C(A)$ 经酉合同后仍斜对称，形如 $\begin{bmatrix}0&\zeta\\-\zeta&0\end{bmatrix}$。）
(b) $A\bar A$ 有一对非实共轭特征值 $\iff$ $A$ 酉合同于 (4.4.6) 形且 $2|\sigma_1\bar\zeta+\sigma_2\zeta|>\sigma_1^2-\sigma_2^2$（4.4.7）；$\sigma_1=\sigma_2$ 时等价于 $\sigma>0$ 且 $\operatorname{Re}\zeta\ne0$。（计算：$\operatorname{tr}A\bar A=\sigma_1^2+\sigma_2^2-2|\zeta|^2$，$|\det A|^2=\sigma_1^2\sigma_2^2+2\sigma_1\sigma_2\operatorname{Re}\zeta^2+|\zeta|^4$，判别式 $r(A)=(\sigma_1^2-\sigma_2^2)^2-4|\sigma_1\bar\zeta+\sigma_2\zeta|^2$。）
(c) $A\bar A$ 有两个负实特征值 $\iff$ $\sigma_1=\sigma_2$ 且 $A$ 酉合同于 $\begin{bmatrix}\sigma&i\xi\\-i\xi&\sigma\end{bmatrix}$，$\xi>\sigma\ge0$（4.4.8a），此时 $\sigma^2-\xi^2$ 是 $A\bar A$ 的二重负特征值；$\sigma=0$ 时酉合同于 $\begin{bmatrix}0&\xi\\-\xi&0\end{bmatrix}$（4.4.8b），$-\xi^2$ 为二重负特征值、$\xi$ 为二重奇异值。（证明关键：$r(A)\ge0$ 且 $\operatorname{tr}<0$ 时推出 $0\le r(A)\le-(\sigma_1-\sigma_2)^4$，故 $\sigma_1=\sigma_2$；进而 $r=-8\sigma^2|\operatorname{Re}\zeta|\ge0$ 推出 $\operatorname{Re}\zeta=0$ 或 $\sigma=0$。）
(d) $A\bar A$ 的两个特征值：若 $\lambda_1$ 非实则 $\lambda_2=\bar\lambda_1$；$\lambda_1$ 非负实则 $\lambda_2$ 也是；$\lambda_1$ 负实则 $\lambda_2=\lambda_1$。（$A\bar A$ 的负实特征值成对相等——这是很不平凡的。）练习：$\sigma_1=\sigma_2\iff$ $A$ 的对称部分是酉矩阵的纯量倍。

Theorem 4.4.9（Youla 分解）. $A\bar A$ 恰有 $p$ 个非负实特征值，则存在酉 $U$ 使

A=U\begin{bmatrix}\Delta&\star\\0&\Gamma\end{bmatrix}U^T\quad(4.4.10)

其中 $\Delta=[d_{ij}]\in M_p$ 上三角，$d_{ii}\ge0$，$d_{11}^2,\dots,d_{pp}^2$ 为 $A\bar A$ 的非负特征值（$p=0$ 时无 $\Delta$）；$q=n-p$ 为偶数，$\Gamma=[\Gamma_{ij}]_{i,j=1}^{q/2}$ 为 $2\times2$ 分块上三角，每个 $\Gamma_{jj}\bar\Gamma_{jj}$ 的特征值为非实共轭对或相等负实数对：

(a) 非实共轭对时 $\Gamma_{jj}$ 可取 $\begin{bmatrix}\sigma_1&\zeta\\-\zeta&\sigma_2\end{bmatrix}$，$\sigma_1>\sigma_2\ge0$，$2|\sigma_1\bar\zeta+\sigma_2\zeta|>\sigma_1^2-\sigma_2^2$（4.4.11a），或 $\begin{bmatrix}\sigma&\zeta\\-\zeta&\sigma\end{bmatrix}$，$\sigma>0$，$\operatorname{Re}\zeta\ne0$（4.4.11b）；
(b) 相等负实数对时取 $\begin{bmatrix}\sigma&i\xi\\-i\xi&\sigma\end{bmatrix}$，$\xi>\sigma>0$（4.4.12a），或 $\begin{bmatrix}0&\xi\\-\xi&0\end{bmatrix}$，$\xi>0$（4.4.12b）。证明：4.4.3 给出 $\Delta$ 部分；对 $C\in M_q$（$C\bar C$ 无非负特征值，$q\ge2$）：取特征向量 $x$，由 4.4.2，$S=\operatorname{span}\{C\bar x,x\}$ 为 2 维 $C$-共轭不变子空间，取其标准正交基 $u,v$ 并扩充为酉 $V$，则 $V^*C\bar V=\begin{bmatrix}C_{11}&\star\\0&D\end{bmatrix}$，$C_{11}\in M_2$；$q-2=1$ 不可能（$D\bar D$ 会有非负特征值），归纳；最后对每个 $2\times2$ 对角块用 4.4.5 化成标准形。

Corollary 4.4.13. $A\bar A$ 的非实特征值成共轭对出现；负实特征值成相等的对出现。（更强：对负实特征值 $\lambda$，$A\bar A$ 的 Jordan 形中每个 $J_k(\lambda)$ 都出现偶数次，见 4.6.16。） Youla 分解之于酉合同，犹如 Schur 分解之于酉相似；但二者都不是标准形（对角块确定，非对角部分不确定）。

Definition 4.4.14. $A$ 称为共轭正规（conjugate normal），若 $AA^*=\overline{A^*A}$。复对称、复斜对称、酉矩阵、实正规矩阵都是共轭正规的。共轭正规性在酉合同、纯量乘、直和下保持；$[a]$ 和 $\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}\in M_2(\mathbf R)$ 都是共轭正规。

Lemma 4.4.15（类比 2.5.2）. $A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}$ 共轭正规 $\iff$ $A_{11},A_{22}$ 共轭正规且 $A_{12}=0$。分块上三角共轭正规 $\iff$ 分块对角且对角块共轭正规；上三角共轭正规 $\iff$ 对角。证明：比较 $\overline{A^*A}=AA^*$ 的 (1,1) 块：$\overline{A_{11}^*A_{11}}=A_{11}A_{11}^*+A_{12}A_{12}^*$，取迹（Hermitian 矩阵的迹为实数）得 $\operatorname{tr}A_{12}A_{12}^*=0$。

Theorem 4.4.16（共轭正规矩阵的酉合同标准形）. $A$ 共轭正规 $\iff$ 酉合同于

\Sigma\oplus\tau_1\begin{bmatrix}a_1&b_1\\-b_1&a_1\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\tau_q\begin{bmatrix}a_q&b_q\\-b_q&a_q\end{bmatrix}\quad(4.4.17)

$2q\le n$，$\Sigma\in M_{n-2q}$ 非负对角，$a_j\ge0$，$0<b_j\le1$，$a_j^2+b_j^2=1$，$\tau_j>0$。参数由 $A\bar A$ 的特征值唯一确定：$\Sigma^2$ 的对角元为 $A\bar A$ 的非负实特征值；其余特征值写成 $r_je^{\pm2i\theta_j}$（$r_j>0$，$0<\theta_j\le\pi/2$），则 $\tau_j=\sqrt{r_j}$，$a_j=\cos\theta_j$，$b_j=\sin\theta_j$。 证明要点：Youla 分解 + 4.4.15 ⇒ $\Delta$ 对角、$\Gamma$ 块对角且每块共轭正规。(4.4.11a) 型块共轭正规时计算得 $\sigma_1\bar\zeta=\sigma_2\zeta$，推出 $\sigma_1=\sigma_2$、$\zeta$ 为正实数，即 $\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{bmatrix}$，$\alpha,\beta>0$，令 $\tau=(\alpha^2+\beta^2)^{1/2}$；(4.4.12a) 块不共轭正规（$2i\sigma\xi\ne0$）；(4.4.12b) 块是实正规，对应 $a=0,b=1$。(4.4.17) 是实矩阵，其平方与 $A\bar A$ 同特征值，$2\times2$ 块特征值 $\tau_je^{\pm i\theta_j}$，平方后 $\tau_j^2e^{\pm2i\theta_j}$。

Corollary 4.4.18. 方阵共轭正规 $\iff$ 酉合同于若干实正交矩阵的非负纯量倍的直和。

Corollary 4.4.19（斜对称矩阵的酉合同标准形）. $A$ 斜对称，则 $r=\operatorname{rank}A$ 为偶数，非零奇异值成对 $\sigma_1=\sigma_2=s_1\ge\sigma_3=\sigma_4=s_2\ge\cdots$，且 $A$ 酉合同于

0_{n-r}\oplus\begin{bmatrix}0&s_1\\-s_1&0\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\begin{bmatrix}0&s_{r/2}\\-s_{r/2}&0\end{bmatrix}\quad(4.4.20)

（标准形 (4.4.17) 必须斜对称，故 $\Sigma=0$、$a_j=0$。）

Corollary 4.4.21（酉矩阵的酉合同标准形）. 酉矩阵 $V$ 酉合同于

I_{n-2q}\oplus\begin{bmatrix}a_1&b_1\\-b_1&a_1\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\begin{bmatrix}a_q&b_q\\-b_q&a_q\end{bmatrix}\quad(4.4.22)

$a_j\ge0$，$0<b_j\le1$，$a_j^2+b_j^2=1$；$n-2q$ 是 $+1$ 作为 $V\bar V$ 特征值的重数；$V\bar V$ 的其余特征值为 $e^{\pm2i\theta_j}$，$a_j=\cos\theta_j$，$b_j=\sin\theta_j$。

复对称矩阵的 Jordan 形：令

S_m=\frac1{\sqrt2}(I_m+iK_m)\quad(4.4.23)

$K_m$ 为反序矩阵（reversal matrix，0.9.5.1），对称且 $K_m^2=I$。练习：$S_m$ 酉；$K_mJ_m(0)$ 与 $J_m(0)K_m$ 对称；$K_mJ_m(0)K_m=J_m(0)^T$。

练习：$S_mJ_m(\lambda)S_m^{-1}=\lambda I+\tfrac12(J_m(0)+K_mJ_m(0)K_m)+\tfrac i2(K_mJ_m(0)-J_m(0)K_m)$ 是对称矩阵。

Theorem 4.4.24. 每个 $A\in M_n$ 都相似于一个复对称矩阵。（每个 Jordan 块经 $S_m$ 相似于对称矩阵。）所以复对称矩阵的 Jordan 形没有任何特殊性——与实对称（必可对角化）截然不同。推论：每个复方阵相似于其转置，且是两个复对称矩阵之积。

Corollary 4.4.25. 每个 $A$ 可写成 $A=BC$，$B,C$ 对称，且可任选其一非奇异。证明：$A=SES^{-1}$，$E=E^T$，则 $A=(SES^T)(SS^T)^{-1}=(SS^T)(S^{-T}ES^{-1})$。

Lemma 4.4.26. $X\in M_{n,k}$，$k\le n$。$X^TX$ 非奇异 $\iff$ $X=YB$，$Y^TY=I_k$，$B\in M_k$ 非奇异。证明：由 Autonne（4.4.4c）$X^TX=U\Sigma U^T$；令 $R=\Sigma^{1/2}$，$Y=X\bar UR^{-1}$，$B=RU^T$ 即可。例：$X=[1\ i]^T$ 秩为 1 但 $X^TX=0$（迷向向量，isotropic vector：$x^Tx=0$）。对称矩阵 $A$：$x$ 为右特征向量 $\iff\bar x$ 为左特征向量。

Theorem 4.4.27. 复对称矩阵 $A$ 可对角化 $\iff$ 可经复正交矩阵对角化（$A=Q\Lambda Q^T$，$Q^TQ=I$）。证明：若 $Ax=\lambda x$、$Ay=\mu y$、$\lambda\ne\mu$，由双正交原理 (1.4.7) $y^Tx=0$。$A=S\Lambda S^{-1}$，$\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\cdots$，$S=[S_1\ \cdots\ S_d]$，则 $S^TS=S_1^TS_1\oplus\cdots\oplus S_d^TS_d$ 非奇异，各块非奇异，由 4.4.26 $S_i=Y_iB_i$，$Y_i^TY_i=I$，且 $Y_i^TY_j=0$；$Y=[Y_1\cdots Y_d]$ 复正交，$A=Y\Lambda Y^T$。推广：若存在多项式 $p$ 使 $A^T=p(A)$、$B^T=p(B)$，则 $A,B$ 相似 $\iff$ 复正交相似（HJ 1991，6.4.18）。

4.4 习题概括（PDF p.292–298）

P1：$A$ 对称 $\iff A=SS^T$（$\operatorname{rank}S=\operatorname{rank}A$）；对称酉 $\iff A=VV^T$（$V$ 酉）。P2–P3：Autonne 分解的另两种证明（实表示 $R_2(A)=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_2&-A_1\end{bmatrix}$；或 $A\bar A$ Hermitian 对角化后用对称正规矩阵的实正交对角化）。P4：实对称时 Autonne 与谱分解的关系。
P5：$A$ 酉相似于复对称矩阵 $\iff$ 经对称酉矩阵相似于 $A^T$；$n\le7$ 时"酉相似于 $A^T$"足以推出，$n=8$ 不行（Garcia–Tener 2012）。P6：$2\times2$ 时 $A\bar A$ 有非实共轭特征值 $\iff-2|\det A|<\operatorname{tr}A\bar A<2|\det A|$；两负特征值 $\iff\operatorname{tr}A\bar A\le-2|\det A|<0$。P7–P8：约化算法的具体计算（$\begin{bmatrix}1&i\\-i&1\end{bmatrix}=U\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}U^T$；$\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}$ 酉合同于 $\operatorname{diag}(\sqrt2,\sqrt2)$）。
P9：$UAU^*$ 实 $\iff$ 存在对称酉 $W$ 使 $\bar A=WAW^*$。P10：迷向 $v$ 时 $vv^T$ 幂零不可对角化。P11–P13：对称非奇异的逆对称；每个方阵相似于其转置；实方阵相似于复对称矩阵但一般不经实相似相似于实对称矩阵。P14：解析函数的复 Hessian 经酉变量替换可在一点对角化。
P15–P16：共轭正规 $A,B$ 酉合同 $\iff A\bar A$ 与 $B\bar B$ 特征值相同；另一标准形：块 $[\sigma]$ 或 $\tau\begin{bmatrix}0&1\\e^{i\theta}&0\end{bmatrix}$（$0<\theta\le\pi$）（4.4.28）。P17：对称 $A$ 有 $\{x^TAx:\|x\|=1\}=\{|z|\le\sigma_1\}$。P18：共轭正规 $\iff$ 酉合同于实正规矩阵。P19：$\operatorname{tr}AA^*\ge\operatorname{tr}A\bar A$（后者为实数）。
P20–P21：$K_mJ_m(\lambda)$ 对称，给出 4.4.25 的不依赖 4.4.24 的证明；实矩阵是两个实对称矩阵之积。P22：对称且 $A^2=I$ ⇒ $A=Q(-I_k\oplus I_{n-k})Q^T$。P23：Toeplitz 矩阵 $A$ 有 SVD $A=(K_nU)\Sigma U^T$。P24–P25：迷向特征向量对应的特征值不是单特征值；对称矩阵有 $n$ 个互异特征值则无迷向特征向量。P26：实矩阵复正交相似 $\iff$ 实正交相似。
P27：对称 $A=U\Sigma U^T$，$\operatorname{diag}A=S\operatorname{diag}\Sigma$，$S=[u_{ij}^2]$；推出 $\sigma_1\le|a_{11}|+\cdots+|a_{nn}|+\sigma_2+\cdots+\sigma_n$；对角为零时 $\sigma_1\le\sigma_2+\cdots+\sigma_n$。P28：$\det(I+A\bar A)\ge0$。
P29（四元数型矩阵）：$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\-\bar A_{12}&\bar A_{11}\end{bmatrix}$；$\det A\ge0$ 实；$S_{2n}A=\bar AS_{2n}$；对多项式运算封闭；Jordan 形由成对 $J_k(\lambda)\oplus J_k(\bar\lambda)$ 组成，$A\sim F\oplus\bar F$。
P30–P34：$A=BC$ 分解（对称×斜对称、斜×斜、对称×对称）是相似不变性质，由 Jordan 形刻画：对称×斜对称 $\iff A\sim-A$；斜×斜 $\iff$ 非奇异部分由 $J_k(\lambda)\oplus J_k(\lambda)$ 对组成且零特征值 Segre 特征满足 $s_{2k-1}-s_{2k}\le1$；斜对称矩阵的 Jordan 形只含 $J_k(\lambda)\oplus J_k(-\lambda)$（$\lambda\ne0$）、偶数阶 $J_k(0)$ 对、奇数阶 $J_k(0)$。
P35–P37：实正交矩阵可对角化；复正交矩阵可不可对角化（例：Jordan 形 $J_2(2)\oplus J_2(\tfrac12)$）；复正交矩阵 Jordan 形的五类直和项（$J_k(\lambda)\oplus J_k(\lambda^{-1})$ 等）。
P38–P39（QS 分解）：$A=QS$（$Q$ 复正交，$S$ 复对称）存在 $\iff\operatorname{rank}(AA^T)^k=\operatorname{rank}(A^TA)^k\ \forall k$ $\iff AA^T\sim A^TA$；非奇异时总存在且 $S=p(A^TA)$；由此强化 4.4.27。
P40：$A$ 正规 $\iff\begin{bmatrix}0&A\\\bar A&0\end{bmatrix}$ 共轭正规。P41–P43：合同正规（congruence normal，$A\bar A$ 正规）矩阵酉合同于块 $[\sigma]$ 或 $\tau\begin{bmatrix}0&1\\\mu&0\end{bmatrix}$（$\mu\ne1$）的直和（4.4.29）；$A\bar A$ Hermitian 时 $\mu\in[-1,1)$（4.4.30）；$A\bar A$ 半正定时 $\mu\in[0,1)$（4.4.31）。P44：$A\bar A=AA^*\iff A$ 对称；$A\bar A=-AA^*\iff$ 斜对称。P45：对称酉矩阵两两酉合同。
P46–P47（判定酉合同的算法）：$A,B$ 酉合同 ⇒ 三对 $(AA^*,BB^*)$、$(A\bar A,B\bar B)$、$(A^T\bar A,B^T\bar B)$ 可同时酉相似（且已知充分）；构造 $4n\times4n$ 分块上三角矩阵
$K_A=\begin{bmatrix}0&I&AA^*&A\bar A\\&0&I&A^T\bar A\\&&0&I\\&&&0\end{bmatrix}\quad(4.4.32)$ 则 $A,B$ 酉合同 $\iff K_A,K_B$ 酉相似——把酉合同问题化为酉相似问题。P48：奇异值互异时共轭正规 $\iff$ 对称。P49：$A=U\Sigma U^T$（$\Sigma$ 为单位阵与 $\begin{bmatrix}0&\sigma^{-1}\\\sigma&0\end{bmatrix}$（$\sigma>1$）块的直和）是共轭对合（coninvolutory，$A\bar A=I$）的特殊 SVD。

Notes：Youla (1961) 给出酉合同下的分块三角形；Horn–Sergeichuk (2009) 给出酉合同与 *合同的标准形；Faßbender–Ikramov (2008) 列出 45 条共轭正规的等价条件；Autonne (1915) 最早发现 (4.4.4c)（Autonne–Takagi 分解），后被 Takagi (1925)、Siegel、Hua、Schur 等多次重新发现；QS 分解的秩条件见 Kaplansky (1990)。

4.5 合同与对角化（Congruences and diagonalizations）（PDF p.299–320）

三个动机例子：

二阶 PDE 的变量替换：$Lf=\sum a_{ij}(x)\partial^2f/\partial x_i\partial x_j+$ 低阶项（4.5.1），$A(x)$ 实对称。非奇异变量替换 $s=s(x)$，Jacobian $S(x)=[\partial s_i/\partial x_j]$，则新系数矩阵 $B=SAS^T$（式 4.5.3 的转置形式）。物理定律不应依赖坐标选择，因此关心 $\{SAS^T\}$ 的不变量。
协方差矩阵（统计）：复随机向量 $X$（有限二阶矩），$\operatorname{Cov}(X)=[E(X_i-\mu_i)\overline{(X_j-\mu_j)}]$ 为 Hermitian 矩阵。对线性变换 $SX$：$E(SX)=S\mu$，且 $\operatorname{Cov}(SX)=S\operatorname{Cov}(X)S^*\quad(4.5.3^*)$
二次型与 Hermitian 型：$Q_A(x)=x^TAx$，$H_B(x)=x^*Bx$；$Q_A(Sx)=Q_{S^TAS}(x)$，$H_B(Sx)=H_{S^*BS}(x)$。

Definition 4.5.4. $S$ 非奇异。(a) $B=SAS^*$：$B$ 与 $A$ *合同（star-congruent，或 conjunctive）；(b) $B=SAS^T$：合同或 $^T$合同（tee-congruent）。合同矩阵秩相同。$S$ 即使奇异，$SAS^*$ 也保持 Hermitian、$SAS^T$ 也保持对称；通常对 Hermitian 用 *合同，对对称用 $^T$合同。

Theorem 4.5.5. *合同与合同都是等价关系。（自反 $A=IAI^*$；对称 $B=S^{-1}A(S^{-1})^*$；传递 $A=(S_1S_2)C(S_1S_2)^*$。）

Definition 4.5.6（惯性，inertia）. Hermitian $A$ 的惯性为三元组 $i(A)=(i_+(A),i_-(A),i_0(A))$：正、负、零特征值个数。符号差（signature）为 $i_+(A)-i_-(A)$。$\operatorname{rank}A=i_++i_-$；惯性由秩与符号差唯一确定。

惯性矩阵：$A=U\Lambda U^*$，特征值排成正、负、零，令 $D=\operatorname{diag}(\lambda_1^{1/2},\dots,\lambda_{i_+}^{1/2},(-\lambda_{i_++1})^{1/2},\dots,1,\dots,1)$，则 $\Lambda=DI(A)D$，其中

I(A)=I_{i_+(A)}\oplus(-I_{i_-(A)})\oplus0_{i_0(A)}

为惯性矩阵（inertia matrix），$A=SI(A)S^*$，$S=UD$。

Theorem 4.5.7. 每个 Hermitian 矩阵 *合同于其惯性矩阵。（实对称矩阵经实矩阵合同于其惯性矩阵。）

Theorem 4.5.8（Sylvester 惯性定律，law of inertia）. Hermitian $A,B$ *合同 $\iff$ 惯性相同（正、负特征值个数分别相同）。证明：充分性由 4.5.7。必要性：$A=SBS^*$，秩相同故 $i_0$ 相同，只需证 $i_+$ 相同。令 $S_+(A)$ 为 $A$ 正特征值的特征向量张成的子空间（维数 $i_+(A)$），其上 $x^*Ax>0$。$S^*S_+(A)$ 也是 $i_+(A)$ 维，且对 $y=S^*x\ne0$，$y^*By=x^*SBS^*x=x^*Ax>0$，由 4.2.12 $i_+(B)\ge i_+(A)$；交换角色得等号。练习：Hermitian $A$ *合同于 $I$ $\iff$ 正定。实对称矩阵经复矩阵 *合同 $\iff$ 经实矩阵合同。$A$ 与 $SAS^*$ 的第 $j$ 个（非减序）特征值同号（负、零、正）。

Theorem 4.5.9（Ostrowski，惯性定律的定量形式）. $A$ Hermitian，$S$ 非奇异，$A,SAS^*,SS^*$ 的特征值非减排列，$\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_n>0$ 为 $S$ 的奇异值。则对每个 $k$ 存在 $\theta_k\in[\sigma_n^2,\sigma_1^2]$ 使

\lambda_k(SAS^*)=\theta_k\lambda_k(A)\quad(4.5.10)

证明：$\sigma_n^2=\lambda_1(SS^*)\le\cdots\le\lambda_n(SS^*)=\sigma_1^2$。$A-\lambda_k(A)I$ 的第 $k$ 个特征值为 0，由 Sylvester，$S(A-\lambda_k(A)I)S^*=SAS^*-\lambda_k(A)SS^*$ 的第 $k$ 个特征值也是 0。用 Weyl (4.3.2a,b)：

0=\lambda_k(SAS^*-\lambda_k(A)SS^*)\le\lambda_k(SAS^*)-\lambda_1(\lambda_k(A)SS^*),\qquad 0\ge\lambda_k(SAS^*)-\lambda_n(\lambda_k(A)SS^*)

于是 $\lambda_1(\lambda_k(A)SS^*)\le\lambda_k(SAS^*)\le\lambda_n(\lambda_k(A)SS^*)$。$\lambda_k(A)<0$ 时得 $\sigma_1^2\lambda_k(A)\le\lambda_k(SAS^*)\le\sigma_n^2\lambda_k(A)$；$>0$ 时 $\sigma_n^2\lambda_k(A)\le\lambda_k(SAS^*)\le\sigma_1^2\lambda_k(A)$。特例：$A=I$ 时 $\theta_k=\lambda_k(SS^*)=\sigma_{n-k+1}^2$；$S$ 酉时 $\theta_k=1$（酉相似不变）。$S$ 奇异时由连续性（$S+\epsilon I$，$\epsilon\to0$）得 $0\le\theta_k\le\sigma_1^2$——Sylvester 定律推广到奇异合同。

Corollary 4.5.11. $A$ Hermitian，$S$ 任意（可奇异），则存在 $\theta_k\in[\sigma_n^2,\sigma_1^2]$（非负）使 $\lambda_k(SAS^*)=\theta_k\lambda_k(A)$。特别地，$SAS^*$ 的正（负）特征值个数不超过 $A$ 的。（原书此处写"nonincreasing order (4.2.1)"，按 4.2.1 实为非减排列。）

Theorem 4.5.12（复对称矩阵的 $^T$合同标准形）. 复对称 $A,B$ 存在非奇异 $S$ 使 $A=SBS^T$ $\iff\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}B$。证明：Autonne：$A=U_1\Sigma_1U_1^T=(U_1D_1)I(\Sigma_1)(U_1D_1)^T$，$D_1=\operatorname{diag}(d_i)$，$d_i=\sqrt{\sigma_i}$（$\sigma_i>0$）或 1，$I(\Sigma_1)=I_r\oplus0$ 只依赖秩。$B$ 同理，$S=(U_1D_1)(U_2D_2)^{-1}$。即复对称矩阵在合同下的标准形为 $I_r\oplus0_{n-r}$（复数域上没有"符号"）。练习：对称 $A,B$：存在非奇异 $X,Y$ 使 $A=XBY$ $\iff$ 存在非奇异 $S$ 使 $A=SBS^T$。

Theorem 4.5.13（Ostrowski 型结论的 $^T$合同版本）. $A$ 对称，$A=U\Sigma U^T$、$SAS^T=VMV^T$ 为 Autonne 分解，$\sigma_i,\mu_i,\lambda_i(SS^*)$ 都非减排列，则对每个 $k$ 存在 $\theta_k\in[\lambda_1(SS^*),\lambda_n(SS^*)]$ 使 $\mu_k=\theta_k\sigma_k$；$S$ 非奇异时 $\theta_k>0$。证明：$\mu_k^2=\lambda_k(SAS^T\bar S\bar AS^*)=\hat\theta_k\lambda_k(AS^T\bar S\bar A)$（4.5.11），再用 (1.3.22) $=\hat\theta_k\lambda_k(SA\bar AS^*)\cdot$…$=\hat\theta_k\tilde\theta_k\sigma_k^2$，$\theta_k=(\hat\theta_k\tilde\theta_k)^{1/2}$。

（二）同时对角化（PDF p.305–308）

动机（小振动力学）：稳定平衡点附近势能 $V=\sum a_{ij}q_iq_j$、动能 $T=\sum b_{ij}\dot q_i\dot q_j$（$A,B$ 实对称）。Lagrange 方程 $\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial V}{\partial q_i}=0$ 是耦合的二阶常系数线性 ODE 组。若存在实非奇异 $S$ 使 $SAS^T$、$SBS^T$ 同时对角，则在新坐标 $q_i=\sum_js_{ij}p_j$（4.5.14）下方程解耦为 $n$ 个独立方程（简正模态，normal modes）。动能正定是同时合同对角化的充分（非必要）条件。

Theorem 4.5.15（酉型同时对角化）.

(a) $A,B$ Hermitian：存在酉 $U$ 和实对角 $\Lambda,M$ 使 $A=U\Lambda U^*$、$B=UMU^*$ $\iff AB$ Hermitian（$AB=BA$）。（即 4.1.6。）
(b) $A,B$ 对称：存在酉 $U$ 和对角 $\Lambda,M$ 使 $A=U\Lambda U^T$、$B=UMU^T$ $\iff A\bar B$ 正规；可取实对角 $\iff A\bar B$ Hermitian（$A\bar B=B\bar A$）。
(c) $A$ Hermitian、$B$ 对称：存在酉 $U$ 和对角 $\Lambda,M$ 使 $A=U\Lambda U^*$、$B=UMU^T$ $\iff AB$ 对称（$AB=B\bar A$）。 证明 (c)：必要性：$AB=U\Lambda MU^T$ 对称，且 $AB=(AB)^T=B^TA^T=B\bar A$。充分性：$A=U\Lambda U^*$，$\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\cdots$（互异），由 $AB=B\bar A$ 得 $\Lambda U^*B\bar U=U^*B\bar U\Lambda$，故 $U^*B\bar U=B_1\oplus\cdots\oplus B_d$ 分块对角（2.4.4.2），每块对称，Autonne 给出 $B_j=V_j\Sigma_jV_j^T$；$V=\oplus V_j$ 与 $\Lambda$ 可交换，$W=UV$ 即为所求。

Definition 4.5.16. $A$ 可共轭对角化（condiagonalizable）：存在非奇异 $S$、对角 $\Lambda$ 使 $A=S\Lambda\bar S^{-1}$。三个事实：(1) $\Lambda$ 对角元可任意排序；(2) 可取 $\Lambda$ 为非负实对角（$\Lambda=D|\Lambda|D$，$D=\operatorname{diag}(|\lambda_j|^{1/2}e^{i\theta_j/2})=\bar D^{-1}$ 的适当形式）；(3) $A$ 非奇异时 $A$ 可共轭对角化 $\iff A^{-1}$ 可共轭对角化。

Theorem 4.5.17（非奇异合同下的同时对角化）.

(a) $A,B$ Hermitian，$A$ 非奇异，$C=A^{-1}B$。存在非奇异 $S$ 和实对角 $\Lambda,M$ 使 $A=S\Lambda S^*$、$B=SMS^*$ $\iff$ $C$ 可对角化且特征值全实。
(b) $A,B$ 对称，$A$ 非奇异，$C=A^{-1}B$。存在非奇异 $S$ 和复对角 $\Lambda,M$ 使 $A=S\Lambda S^T$、$B=SMS^T$ $\iff C$ 可对角化。
(c) $A$ Hermitian、$B$ 对称，至少一个非奇异；$C=A^{-1}B$（$A$ 非奇异时）或 $C=B^{-1}A$（$B$ 非奇异时）。存在非奇异 $S$ 和实对角 $\Lambda,M$ 使 $A=S\Lambda S^*$、$B=SMS^T$ $\iff C$ 可共轭对角化。

证明 (a) 充分性：$C=S\Lambda S^{-1}$，$\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus\lambda_dI_{n_d}$ 实且互异。$BS=AS\Lambda$，故 $S^*BS=S^*AS\Lambda$。按 $\Lambda$ 分块 $S^*BS=[B_{ij}]$、$S^*AS=[A_{ij}]$：$B_{ij}=\lambda_jA_{ij}$、$B_{ji}=\lambda_iA_{ji}$，再由 Hermitian 性 $B_{ij}^*=B_{ji}$ 等得 $(\lambda_i-\lambda_j)A_{ij}^*=0$，故 $i\ne j$ 时 $A_{ij}=0$，$S^*AS=A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{dd}$，$S^*BS=S^*AS\Lambda$。各 $A_{ii}=V_i^*D_iV_i$（实对角 $D_i$），$V=\oplus V_i$ 与 $\Lambda$ 可交换，$A=RDR^*$、$B=R(D\Lambda)R^*$，$R=S^{-*}V^*$。 (b) 与 (a) 平行（用转置，$A_{ii}=V_i^TD_iV_i$ 由 Autonne 得非负对角 $D_i$）。 (c) $A$ 非奇异：$C=S\Lambda\bar S^{-1}$，$\Lambda$ 实非负，$0\le\lambda_1<\cdots<\lambda_d$。$B\bar S=AS\Lambda$，$S^*B\bar S=S^*AS\Lambda$；分块后得 $\lambda_jA_{ij}=\lambda_i\bar A_{ij}$，看元素 $\lambda_ja=\lambda_i\bar a\Rightarrow\lambda_j|a|=\lambda_i|a|\Rightarrow a=0$（$i\ne j$），故 $S^*AS$ 分块对角 Hermitian；$B_{ii}=\lambda_iA_{ii}$ 同时对称与 Hermitian，所以 $\lambda_i\ne0$ 时 $A_{ii}$ 实对称，用实正交 $V_i$ 对角化；$\lambda_1=0$ 时用酉 $V_1$。得 $A=RDR^*$，$B=R(\Lambda D)R^T$，$R=S^{-*}V^*$。$B$ 非奇异情形类似。

练习：结合 4.4.25 说明 (b) 的条件对 $A,B$ 限制很强。(c) 中"$C$ 可共轭对角化"等价于 $\operatorname{rank}C=\operatorname{rank}C\bar C$、$C\bar C$ 的特征值全为非负实数且 $C\bar C$ 可对角化（4.6.11）。

（量化相关的关键特例）：若 $A$ 正定，则 $C=A^{-1}B$ 相似于 Hermitian 矩阵 $A^{-1/2}BA^{-1/2}$，必可对角化且特征值实，故 $A,B$ 可同时 *合同对角化——这就是广义特征值问题 $Bx=\lambda Ax$ 的理论基础。

（三）*合同与合同标准形（PDF p.309–315）

Lemma 4.5.18. $A=H+iK$（Toeplitz 分解）。$A$ 可经 *合同对角化 $\iff H,K$ 可同时 *合同对角化。（$SAS^*=SHS^*+iSKS^*$；若 $B+iC$ 对角（$B,C$ Hermitian），则 $j\ne k$ 时 $b_{jk}+ic_{jk}=0$、$\overline{b_{kj}+ic_{kj}}=b_{jk}-ic_{jk}=0$，故 $b_{jk}=c_{jk}=0$。）因此两个 Hermitian 矩阵的同时 *合同对角化等价于一个复矩阵的 *合同对角化，可通过 *合同标准形研究。

三类标准块：

Type 0：奇异 Jordan 块 $J_k(0)$，$k=1,2,\dots$（最小为 $[0]$）；
Type I：非奇异 Hankel 矩阵 $\Delta_k=\begin{bmatrix}&&&1\\&&\iddots&i\\&1&\iddots&\\1&i&&\end{bmatrix}\in M_k\quad(4.5.19)$ （反对角线为 1，其下一条反对角线为 $i$），$\Delta_1=[1]$，$\Delta_2=\begin{bmatrix}0&1\\1&i\end{bmatrix}$；
Type II：$H_{2k}(\mu)=\begin{bmatrix}0&I_k\\J_k(\mu)&0\end{bmatrix}\in M_{2k}$，$\mu\ne0$（4.5.20），最小 $H_2=\begin{bmatrix}0&1\\\mu&0\end{bmatrix}$。

Theorem 4.5.21（*合同标准形定理）. 每个复方阵 *合同于下列三类矩阵的直和，且在直和项置换意义下唯一：Type 0：$J_k(0)$；Type I：$\lambda\Delta_k$，$\lambda=e^{i\theta}$，$0\le\theta<2\pi$；Type II：$H_{2k}(\mu)$，$|\mu|>1$。Type I 也可换成实矩阵 $\Gamma_k$（4.5.24）或任何使 $F_k^{-*}F_k$ 相似于 $J_k(e^{i\phi_k})$ 的非奇异 $F_k$。

练习：$A=SBS^*$（均非奇异）⇒ $A^{-*}A=S^{-*}(B^{-*}B)S^*$，与 $B^{-*}B$ 有相同 Jordan 形。$A=[i]$、$B=[-i]$：$A^{-*}A=B^{-*}B=[-1]$，但不 *合同（$sis^*=|s|^2i$）。

术语：上述块为 *合同标准块；其直和为 *合同标准形。若标准形恰含 $m$ 个 $e^{i\theta}\Delta_k$，称 $\theta$ 为 $A$ 的 $k$ 阶、重数 $m$ 的标准角（canonical angle），射线 $\{re^{i\theta}:r>0\}$ 为标准射线（canonical ray）；正规矩阵的 Type I 块都是 $1\times1$。Type 0 块之和为奇异部分（唯一）；与 Type I、II 块之和 *合同的矩阵为正则部分（其 *合同类唯一）。非奇异 $A$ 的 $A^{-*}A$ 称为 *余平方（*cosquare）。*合同的非奇异矩阵有相似的 *余平方，但反之不成立。 *余平方的 Jordan 结构：$(A^{-*}A)^{-*}=AA^{-*}$ 相似于 $A^{-*}A$，所以若 $J_k(\mu)$ 出现，则 $J_k(\bar\mu^{-1})$ 也出现；$|\mu|\ne1$ 时成对出现。于是 *余平方的 Jordan 形只含 $J_k(e^{i\theta})$ 与对 $J_k(\mu)\oplus J_k(\bar\mu^{-1})$（$0\ne|\mu|\ne1$）。计算：$H_{2k}(\mu)^{-*}H_{2k}(\mu)=\begin{bmatrix}J_k(\mu)&0\\0&J_k(\mu)^{-*}\end{bmatrix}\sim J_k(\mu)\oplus J_k(\bar\mu^{-1})$，Type II 块与 *余平方中 $|\mu|\ne1$ 的配对一一对应；$|\lambda|=1$ 时 $(\lambda\Delta_k)^{-*}(\lambda\Delta_k)\sim J_k(\lambda^2)$（4.5.P15）。若 *余平方的 Jordan 形为 $J_{k_1}(e^{i\theta})\oplus\cdots\oplus J_{k_p}(e^{i\theta})\oplus J$（$e^{i\theta}$ 不是 $J$ 的特征值），则 *合同标准形为 $\pm e^{i\theta/2}\Delta_{k_1}\oplus\cdots\oplus\pm e^{i\theta/2}\Delta_{k_p}\oplus C$——符号 $\pm$ 不能由 *余平方确定，需其他信息。练习：*余平方的 Jordan 形只决定标准射线所在的直线及其阶数，不决定重数。

Theorem 4.5.22（消去定理，cancellation theorem）. $A,B\in M_p$，$C\in M_q$。$A\oplus C$ 与 $B\oplus C$ *合同 $\iff A,B$ *合同。证明：充分性取 $S\oplus I_q$。必要性：设 $L_A,L_B,L_C$ 为标准形，则 $L_A\oplus L_C$ 与 $L_B\oplus L_C$ *合同，由标准形唯一性它们只差直和项的置换，去掉 $L_C$ 的项后 $L_A$ 与 $L_B$ 相同。

求 *合同标准形的三步法：

正则化（regularization）：构造非奇异 $S$ 使 $A=S(B\oplus N)S^*$，$N=J_{r_1}(0)\oplus\cdots$ 为幂零 Jordan 块之和、$B$ 非奇异。由唯一性 $N$ 就是奇异部分，由消去定理 $B$ 是正则部分。
计算正则部分 *余平方的 Jordan 形：它完全决定 Type II 块，并在差一个符号的意义下决定 Type I 块。
用已知算法或特殊方法确定 Type I 块的符号。

练习：$\nu=\dim\operatorname{null}A$、$\delta=\dim(\operatorname{null}A\cap\operatorname{null}A^*)$ 是 *合同不变量；$\nu=\delta\iff A$ 与 $A^*$ 零空间相同。正则化算法：$1\times1$ 块 $J_1(0)$ 的个数为 $\delta$；若 $\nu=\delta$ 则奇异部分为 $0_\delta$，算法终止；否则约化为特殊块形后在某子块上重复，输出决定各 $J_k(0)$ 个数的整数不变量。

*合同可对角化的刻画：$A$ 可经 *合同对角化 $\iff$ 标准形 (a) 无 Type II 块，(b) Type 0 块都是 $[0]$，(c) Type I 块都是 $1\times1$ 的 $[\lambda]$，$|\lambda|=1$。等价地 $A=S(\Lambda\oplus0_{n-r})S^*$，$|\lambda_j|=1$；用 QR 分解 $S_1=U_1R$ 得 $U^*AU=R\Lambda R^*\oplus0_{n-r}$，$R\Lambda R^*$ 为正则部分。若非奇异 $B$ 可 *合同对角化，则 $B^{-*}B$ 可对角化且特征值模为 1。设 $B^{-*}B=S\Lambda S^{-1}$，$\Lambda=e^{i\theta_1}I_{n_1}\oplus\cdots\oplus e^{i\theta_d}I_{n_d}$（$\theta_j\in[0,2\pi)$ 互异）。令 $\mathcal B=S^*BS$，则 $\mathcal B=\mathcal B^*\Lambda$，推出 $\Lambda\mathcal B=\mathcal B\Lambda$，$\mathcal B=B_1\oplus\cdots\oplus B_d$，且 $e^{-i\theta_j/2}B_j$ Hermitian；由 4.5.7 $e^{-i\theta_j/2}B_j=S_j(I_{n_j^+}\oplus-I_{n_j^-})S_j^*$。故 $B$ *合同于

e^{i\theta_1/2}I_{n_1^+}\oplus e^{i(\pi+\theta_1/2)}I_{n_1^-}\oplus\cdots\oplus e^{i\theta_d/2}I_{n_d^+}\oplus e^{i(\pi+\theta_d/2)}I_{n_d^-}\quad(4.5.23)

标准角为 $\tfrac12\theta_j$（重数 $n_j^+$）和 $\pi+\tfrac12\theta_j$（重数 $n_j^-$）。

判定 *合同可对角化的算法：

Step 1：检查 $A$ 与 $A^*$ 零空间是否相同；否则不可。若相同，取 $U_2$ 为 $\operatorname{null}A$ 的标准正交基，$U=[U_1\ U_2]$ 酉，则 $U^*AU=U_1^*AU_1\oplus0_{n-r}$，$B=U_1^*AU_1$ 为正则部分。
Step 2：检查 $B^{-*}B$ 是否可对角化且特征值模全为 1；否则不可。
Step 3：对角化 $B^{-*}B=S\Lambda S^{-1}$，$S^*BS=B_1\oplus\cdots\oplus B_d$，$n_j^+$ 为 $e^{-i\theta_j/2}B_j$ 的正特征值个数，$n_j^-=n_j-n_j^+$，标准形为 (4.5.23)$\oplus0_{n-r}$。

Theorem 4.5.24. $A=H+iK$，$B$ 为正则部分，$\mathcal B=B^{-*}B$。下列等价：(a) $H,K$ 可同时 *合同对角化；(b) $A$ 可 *合同对角化；(c) $A$ 与 $A^*$ 零空间相同，$\mathcal B$ 可对角化且特征值模全为 1。练习：$A,A^*$ 零空间相同时，若 $A=V\Sigma W^*$ 是 SVD、$V=[V_1\ V_2]$，则 $V_1^*AV_1$ 是正则部分。

$^T$合同标准形：新标准块

\Gamma_k=\begin{bmatrix}&&&&(-1)^{k+1}\\&&&\iddots&(-1)^k\\&&-1&\iddots&\\&1&1&&\\-1&-1&&&\\1&1&&&\end{bmatrix}\in M_k\quad(4.5.24)

（反对角线及其下一条反对角线交替为 $\pm1$），$\Gamma_1=[1]$，$\Gamma_2=\begin{bmatrix}0&-1\\1&1\end{bmatrix}$。

Theorem 4.5.25（合同标准形定理）. 每个复方阵合同于下列三类矩阵的直和（在置换意义下唯一）：Type 0：$J_k(0)$；Type I：$\Gamma_k$；Type II：$H_{2k}(\mu)$，$0\ne\mu\ne(-1)^{k+1}$，$\mu$ 可换成 $\mu^{-1}$。练习：$A=SBS^T$ ⇒ $A^{-T}A=S^{-T}(B^{-T}B)S^T$；余平方（cosquare）$A^{-T}A$ 相似于 $(A^{-T}A)^{-T}$ 即相似于其逆，故 $J_k(\mu)$（$\mu\ne\pm1$）必与 $J_k(\mu^{-1})$ 成对。余平方的 Jordan 形只含 $J_k((-1)^{k+1})$ 与对 $J_k(\mu)\oplus J_k(\mu^{-1})$（$0\ne\mu\ne(-1)^{k+1}$）。$\Gamma_k$ 的余平方相似于 $J_k((-1)^{k+1})$（4.5.P25），$H_{2k}(\mu)$ 的余平方相似于 $J_k(\mu)\oplus J_k(\mu^{-1})$。

Theorem 4.5.26（合同消去定理）. $A\oplus C$ 与 $B\oplus C$ 合同 $\iff A,B$ 合同。

求合同标准形只需两步：(1) 正则化 $A=S(B\oplus N)S^T$；(2) 计算余平方 $B^{-T}B$ 的 Jordan 形：每个 $J_k((-1)^{k+1})$ 对应一个 $\Gamma_k$，每对 $J_k(\mu)\oplus J_k(\mu^{-1})$ 对应一个 $H_{2k}(\mu)$。合同情形没有 *合同中"Type I 块符号"的麻烦。

Theorem 4.5.27. 非奇异 $A,B$ 合同 $\iff A^{-T}A$ 与 $B^{-T}B$ 相似。由两个标准形定理还可导出任意一对 Hermitian 矩阵、以及一对（复对称，复斜对称）矩阵的标准对（Appendix F）。

4.5 习题概括（PDF p.315–319）

P1：$B$ 非奇异时 $A=BC$，$SAS^*=(SBS^*)C'$，$C'$ 相似于 $C$。P2：斜对称 $A,B$ 合同 $\iff$ 秩相同。P3：$A$ *合同 $B$ ⇒ $A^k$ *合同 $B^k$；反例 $C=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$、$D=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}$ *合同但 $C^2$ 不 *合同 $D^2$（因 (a) 要求 Hermitian）。
P4：Hermitian 族 $A_1,\dots,A_k$（$A_1$ 非奇异）可同时 *合同对角化 $\iff\{A_1^{-1}A_i\}$ 是特征值全实的可对角化可交换族。
P5：PDE 的椭圆型（$A(x)$ 非奇异、特征值同号）与双曲型（$n-1$ 个同号、1 个异号）由惯性刻画，坐标变换下不变（Sylvester）；Laplace 方程椭圆、波动方程双曲。
P6–P7：$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$ 可同时酉合同对角化但不能同时 *合同对角化；$\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 两种都不行。
P8（相对扰动界）：由 Ostrowski，$|\lambda_k(SAS^*)-\lambda_k(A)|/|\lambda_k(A)|\le\rho(I-SS^*)$；$S$ 近酉时特征值相对变化小。
P9：*合同正则化一步终止 $\iff\operatorname{null}A=\operatorname{null}A^*\iff\operatorname{range}A=\operatorname{range}A^*\iff A=U(B\oplus0)U^*\iff A$ 是 EP 矩阵。P10：此时 $A$ 秩主（有非奇异 $r\times r$ 主子矩阵）。
P11–P12：正规矩阵的 *合同标准形为 $[e^{i\theta_1}]\oplus\cdots\oplus[e^{i\theta_r}]\oplus0$，标准角即非零特征值的辐角；两个正规矩阵 *合同 $\iff$ 秩相同且每条射线上的特征值个数相同；Hermitian 时只有角 0 和 $\pi$，重数即 $i_+,i_-$——*合同标准形定理是 Sylvester 惯性定律的推广。P13：酉矩阵 *合同 $\iff$ 相似 $\iff$ 特征值相同。
P14：$H$ 非奇异时 $H^{-1}K$ 实特征值可对角化 $\iff A$ 非奇异且可 *合同对角化；Cayley 变换 $\mu_j=(1+i\lambda_j)/(1-i\lambda_j)$。P15：$\Delta_k^{-1}$ 的显式形式（首行由 $1,-i,-1,i,\dots$ 自右向左填入），$\Delta_k^{-*}\Delta_k$ 为上三角 Toeplitz、对角 1、超对角 $2i$，Jordan 形 $J_k(1)$。
P16–P17：$n\times n$ Hermitian 矩阵的 *合同类个数（$=\binom{n+2}{2}$，由 $(i_+,i_-)$ 决定）；复对称矩阵在合同下 $n+1$ 类（按秩）；实对称在实合同下按惯性分类。
P18：$\det(tA-B)$ 有 $n$ 个互异零点（广义特征值）时 $A,B$ 可同时合同对角化。P19：Sylvester 定律的同伦证明：$S=QR$，$S(t)=tQ+(1-t)QR$ 在 $[0,1]$ 上非奇异，惯性沿连续路径不变。P20：秩相同的 Hermitian 矩阵连通集惯性相同。
P21（Haynsworth 惯性加性定理）：$A=\begin{bmatrix}B&C\\C^*&D\end{bmatrix}$，$B$ 非奇异，Schur 补 $S=D-C^*B^{-1}C$，则 $A$ 与 $B\oplus S$ *合同，$i_\pm(A)=i_\pm(B)+i_\pm(S)$，$i_0(A)=i_0(S)$（4.5.28）。P22：由此证明 Cauchy 交错。
P23–P24：对称族可同时酉合同对角化 $\iff\{A_i\bar A_j\}$ 可交换；混合族类似。P25：$\Gamma_k^{-T}\Gamma_k$ 为对角 $(-1)^{k+1}$、超对角 2 倍的上三角，相似于 $J_k((-1)^{k+1})$。P26：$H_{2k}(\mu)$ 合同于 $H_{2k}(\bar\mu)$ $\iff\mu$ 实或 $|\mu|=1$。P27：$C=B\oplus\bar B$，$S=\frac{e^{i\pi/4}}{\sqrt2}\begin{bmatrix}0&iI\\-iI&0\end{bmatrix}$ 酉、对称、共轭对合，$SCS^T$ 与 $SCS^*$ 都是实矩阵……（续见下页）

（4.5.P27 续）$C$ 既合同又 *合同于实矩阵，也都合同、*合同于 $\bar C$。

P28–P31：$A$ 合同（*合同）于 $\bar A$ $\iff$ 合同（*合同）于实矩阵；按标准块给出实块的分类；例 $\begin{bmatrix}0&1\\i&0\end{bmatrix}$ 合同于实矩阵而 $\begin{bmatrix}0&1\\2i&0\end{bmatrix}$ 不是，两者都不 *合同于实矩阵。P32：四元数型矩阵经 $S_{2n}$ 合同于 $\bar A$。P33–P34：每个 $A$ 合同于 $A^T$、*合同于 $A^T$。
P35：$A=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}$、$B=\operatorname{diag}(1,-1)$ 既不能同时 *合同也不能同时合同对角化，但 $x^*Ax=0\Rightarrow x^*Bx=0$。P36：$A$ 不定、且 $x^*Ax=0\Rightarrow x^*Bx=0$，则 $B=\kappa A$（$\kappa$ 实）；实对称版本同样成立；$A$ 不定的假设不可去（Notes：在狭义相对论中 $A=\operatorname{diag}(1,1,1,-c)$，推出 Lorentz 变换是唯一与光速不变相容的线性坐标变换）。
P37（可正规化矩阵，normalizable）：非奇异 $A$ 下列等价：(a) $A=SDS^*$，$D$ 对角酉；(b) $A^{-*}A$ 可对角化且特征值模为 1；(c) $A=S\Lambda S^*$，$\Lambda$ 非奇异对角；(d) 存在基 $X,Y$ 使 $X^*Y=I$、$Ax_j=\lambda_jy_j$；(e) 存在正定 $B$ 使 $A^*BA=ABA^*$；(f) $A=BCB$，$B$ 正定、$C$ 非奇异正规。这些都是正规矩阵性质的类比，故称 *合同可对角化的矩阵为"可正规化的"。

Notes：多矩阵同时对角化见 Hong–Horn (1985)；*合同与合同标准形定理的证明、正则化算法、Type I 符号的两种算法见 Horn–Sergeichuk (2006, 2008)；"normalizable" 一词源自 K. Fan (1983)。

4.6 共轭相似与共轭对角化（Consimilarity and condiagonalization）（PDF p.320–331）

Definition 4.6.1. 若存在非奇异 $S$ 使 $A=SB\bar S^{-1}$，称 $A,B$ 共轭相似（consimilar）。

$U$ 酉：$\bar U^{-1}=U^T$，故酉合同（$A=UBU^T$）与酉共轭相似相同；
$Q$ 复正交：$\bar Q^{-1}=Q^*$，复正交 *合同与复正交共轭相似相同；
$R$ 实非奇异：实相似与实共轭相似相同。
$1\times1$ 时相似平凡，但共轭相似是旋转：$s=|s|e^{i\theta}$ 时 $sa\bar s^{-1}=e^{2i\theta}a$。故 $[a]$ 共轭相似于 $[\bar a]$、$[-a]$、$[|a|]$。练习：经共轭对合（coninvolutory，$S\bar S=I$）矩阵共轭相似的 $A,B$ 有何关系？（$\bar S^{-1}=S$，故 $A=SBS$。）共轭相似是等价关系。

Definition 4.6.2. 若存在非奇异 $S$ 使 $S^{-1}A\bar S$ 上三角（分块上三角），称 $A$ 可共轭三角化（contriangularizable）（可分块共轭三角化）；可取为对角时称可共轭对角化（condiagonalizable）；若可经酉合同达到，则加"酉"字。若 $S^{-1}A\bar S=\Delta$ 上三角，则 $\Delta\bar\Delta=S^{-1}(A\bar A)S$ 对角元非负（$|\delta_{ii}|^2$）。反之 $A\bar A$ 特征值全非负时由 4.4.4 可酉共轭三角化；否则由 Youla (4.4.9) 只能分块（$1\times1$ 与 $2\times2$）共轭三角化。

Theorem 4.6.3. 下列等价：(a) $A$ 可共轭三角化；(b) $A$ 可酉共轭三角化；(c) $A\bar A$ 的特征值全为非负实数。

Theorem 4.6.4. $A$ 可酉共轭对角化 $\iff$ $A$ 对称。（$A=U\Lambda\bar U^{-1}=U\Lambda U^T$；反之用 Autonne 4.4.4c。）

Definition 4.6.5（共轭特征值）. 非零 $x$ 满足 $A\bar x=\lambda x$，称 $x$ 为 $A$ 的共轭特征向量（coneigenvector），$\lambda$ 为共轭特征值（coneigenvalue），$(\lambda,x)$ 为共轭特征对（coneigenpair）。练习：$A$ 奇异时，与共轭特征值 0 对应的共轭特征向量是 $\overline{\mathcal N}$ 中的非零向量（$\mathcal N$ 为零空间）。共轭特征向量张成 1 维共轭不变子空间；由 4.4.2，每个 $A$ 有 1 维或 2 维共轭不变子空间。 $S^{-1}A\bar S=\Lambda$ 对角 $\iff A\bar S=S\Lambda$ $\iff S$ 的列都是共轭特征向量。所以 $A$ 可共轭对角化 $\iff$ 有 $n$ 个线性无关的共轭特征向量。 相位自由：若 $A\bar x=\lambda x$，则 $A(\overline{e^{i\theta}x})=e^{-i\theta}\lambda x=(e^{-2i\theta}\lambda)(e^{i\theta}x)$，所以 $e^{-2i\theta}\lambda$ 对一切 $\theta$ 都是共轭特征值；通常选非负代表 $|\lambda|$。练习：$\mathcal S=\{x:A\bar x=\lambda x\}$ 当 $\lambda\ne0$ 时不是 $\mathbf C$-向量空间，而是 $\mathbf R$-向量空间（共轭特征空间，coneigenspace）。若 $A\bar x=\lambda x$，则 $A\bar Ax=A\overline{(\lambda x)}=\bar\lambda A\bar x=|\lambda|^2x$：$\lambda$ 是共轭特征值仅当 $|\lambda|^2$ 是 $A\bar A$ 的（非负）特征值。练习：$A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$：$A\bar A=-I$ 无非负特征值，故 $A$ 无共轭特征向量。

Proposition 4.6.6. $\lambda\ge0$，$\sigma=\sqrt\lambda$，存在非零 $x$ 使 $A\bar Ax=\lambda x$，则存在非零 $y$ 使 $A\bar y=\sigma y$。

(a) $\lambda=0$：$\bar A$ 奇异，取 $y=\bar z$，$z\in\operatorname{null}\bar A$ 非零；
(b) $\lambda>0$：取 $y=e^{-i\theta}A\bar x+e^{i\theta}\sigma x$，$\theta\in[0,\pi)$ 满足 $A\bar x\ne-e^{2i\theta}\sigma x$（至多排除一个 $\theta$）；验证 $A\bar y=e^{i\theta}A\bar Ax+e^{-i\theta}\sigma A\bar x=\sigma(e^{-i\theta}A\bar x+e^{i\theta}\sigma x)=\sigma y$；
(c) 若 $\lambda$ 作为 $A\bar A$ 的特征值几何重数为 1，则 $x$ 本身是共轭特征向量，对应共轭特征值 $e^{2i\theta}\sigma$，且 $y=e^{i\theta}x$ 满足 $A\bar y=\sigma y$。（证：$A\bar A(A\bar x)=\lambda A\bar x$，故 $A\bar x=cx$；$\lambda x=A\bar Ax=\bar c cx$，$|c|=\sigma$。）练习：$A=\begin{bmatrix}\sigma&i\\0&\sigma\end{bmatrix}$，$x=[1\ i]^T$ 是 $A\bar A$ 关于 $\sigma^2$ 的特征向量，但不是 $A$ 的共轭特征向量；$\sigma=0$ 时 $e_1$ 是共轭特征向量；$\sigma>0$ 时 $y=A\bar x+\sigma x$ 是。若正特征值 $\lambda$ 的几何重数为 $g$，则共轭特征值 $\sqrt\lambda$ 的共轭特征空间是 $g$ 维实向量空间（4.6.P16–P18）。

Proposition 4.6.7（类比 1.3.8）. 共轭特征向量 $x_1,\dots,x_k$ 对应共轭特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ 且 $|\lambda_i|$ 两两不同，则线性无关。（它们是 $A\bar A$ 对应不同特征值 $|\lambda_i|^2$ 的特征向量。）

Corollary 4.6.8. $A\bar A$ 有 $k$ 个互异非负特征值，则 (a) $A$ 至少有 $k$ 个线性无关的共轭特征向量；(b) $k=0$ 时 $A$ 无共轭特征向量；(c) 若 $k=n$，则 $A$ 可共轭对角化；且若 $A\bar A=S\Lambda S^{-1}$（$\Lambda$ 非负对角），则 $S^{-1}A\bar S=D$ 对角，存在对角酉 $\Theta$ 使 $A=Y\Sigma\bar Y^{-1}$，$Y=S\Theta$，$\Sigma$ 非负对角，$\Sigma^2=\Lambda$。——$A\bar A$ 特征值互异时，任何对角化 $A\bar A$ 的矩阵也共轭对角化 $A$。证明：每列 $s_j$ 是 $A\bar A$ 关于单特征值 $\lambda_j$ 的特征向量，由 4.6.6(c) $A\bar s_j=e^{2i\theta_j}\sigma_js_j$，$y_j=e^{i\theta_j}s_j$ 满足 $A\bar y_j=\sigma_jy_j$；$D=\Sigma\Theta^2$。

Lemma 4.6.9. $A\bar A=I\iff$ 存在非奇异 $S$ 使 $A=S\bar S^{-1}$（共轭对合矩阵共轭相似于 $I$）。证明：令 $S_\theta=e^{i\theta}A+e^{-i\theta}I$，则

A\bar S_\theta=A(e^{-i\theta}\bar A+e^{i\theta}I)=e^{-i\theta}A\bar A+e^{i\theta}A=S_\theta\quad(4.6.10)

选 $\theta_0\in[0,\pi)$ 使 $-e^{-2i\theta_0}$ 不是 $A$ 的特征值（至多排除 $n$ 个），$S_{\theta_0}$ 非奇异，$A=S_{\theta_0}\bar S_{\theta_0}^{-1}$。

Theorem 4.6.11（共轭对角化判据）. $A$ 可共轭对角化 $\iff$ $A\bar A$ 可（相似）对角化、特征值全为非负实数，且 $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A\bar A$。证明：必要性：$A=SD\bar S^{-1}$ ⇒ $A\bar A=SD\bar DS^{-1}$，秩都等于 $D$ 的非零对角元个数。充分性：$A\bar A=S\Lambda S^{-1}$，$\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus\lambda_dI_{n_d}$，$0\le\lambda_1<\cdots<\lambda_d$。令 $B=S^{-1}A\bar S$，则 $B\bar B=\Lambda=\bar\Lambda=\bar BB$，于是 $B\Lambda=B(\bar BB)=(B\bar B)B=\Lambda B$，$B=B_{11}\oplus\cdots\oplus B_{dd}$，$B_{ii}\bar B_{ii}=\lambda_iI_{n_i}$。$\lambda_i>0$ 时 $(\sigma_i^{-1}B_{ii})\overline{(\sigma_i^{-1}B_{ii})}=I$，由 4.6.9 $B_{ii}=\sigma_iR_i\bar R_i^{-1}$。秩条件：$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}B=\operatorname{rank}B_{11}+\sum_{i\ge2}n_i$，$\operatorname{rank}A\bar A=\beta_1+\sum_{i\ge2}n_i$（$\lambda_1=0$ 时 $\beta_1=0$），故 $\lambda_1=0$ 时 $B_{11}=0$。取 $R=\oplus R_i$，$\Sigma=\oplus\sigma_iI_{n_i}$，$A=(SR)\Sigma\overline{(SR)}^{-1}$。

背景：普通相似源于线性变换在不同基下的表示；共轭相似源于半线性/反线性变换（semilinear / antilinear transformation）$T(x+y)=Tx+Ty$、$T(ax)=\bar aTx$ 在不同基下的表示（如量子力学中的时间反演）。

Theorem 4.6.12（共轭相似标准形，concanonical form）. 每个复方阵共轭相似于下列三类的直和（置换意义下唯一）：Type 0：$J_k(0)$；Type I：$J_k(\sigma)$，$\sigma>0$；Type II：$H_{2k}(\mu)$（形如 4.5.20），$\mu$ 非实或为负实数。练习：$H_{2k}(\mu)\overline{H_{2k}(\mu)}$ 相似于 $J_k(\mu)\oplus J_k(\bar\mu)$。

Theorem 4.6.13（共轭相似消去定理）. $A\oplus C$ 与 $B\oplus C$ 共轭相似 $\iff A,B$ 共轭相似。

$A\bar A$ 的 Jordan 结构：非奇异部分只含 $J_k(\lambda)$（$\lambda>0$）及对 $J_k(\mu)\oplus J_k(\bar\mu)$（$\mu$ 非正实）；奇异部分相似于某幂零矩阵的平方（4.6.P22）。

求共轭相似标准形的两步法：

令 $r_0=n$，$r_1=\operatorname{rank}A$，$r_{2k}=\operatorname{rank}(A\bar A)^k$，$r_{2k+1}=\operatorname{rank}((A\bar A)^kA)$；$w_j=r_{j-1}-r_j$；$J_k(0)$ 块的个数为 $w_k-w_{k+1}$（"交替乘积"的秩序列扮演 Weyr 特征的角色）。
计算 $A\bar A$ Jordan 形的非奇异部分：每个 $J_k(\lambda)$（$\lambda>0$）对应 Type I 块 $J_k(\sigma)$，$\sigma=\sqrt\lambda$；每对 $J_k(\mu)\oplus J_k(\bar\mu)$（$\mu$ 非实或负实）对应 Type II 块 $H_{2k}(\mu)$。

Corollary 4.6.14. $A,B$ 共轭相似 $\iff$ $A\bar A$ 相似于 $B\bar B$，$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}B$，且 $\operatorname{rank}(A\bar A)^kA=\operatorname{rank}(B\bar B)^kB$（$k=1,\dots,\lfloor n/2\rfloor$）。若 $A,B$ 非奇异，则共轭相似 $\iff A\bar A\sim B\bar B$。证明：Type I、II 块由 $A\bar A$ 的 Jordan 形决定；秩条件（连同 $A\bar A\sim B\bar B$ 推出的 $\operatorname{rank}(A\bar A)^k$ 相等）保证 Type 0 块相同。练习：每个复方阵共轭相似于 $-A$、$\bar A$、$A^T$、$A^*$。

每类共轭相似标准块都共轭相似于 Hermitian 矩阵，也共轭相似于实矩阵，于是：

Corollary 4.6.15. 每个 $A$ 共轭相似于 $-A$、$\bar A$、$A^T$、$A^*$、某个 Hermitian 矩阵、某个实矩阵。

Corollary 4.6.16. $A\bar A$ 相似于某实矩阵的平方。（$A=SR\bar S^{-1}$，$R$ 实 ⇒ $A\bar A=SR^2S^{-1}$。） 解释 4.4.13 的现象：设 $\lambda<0$ 是 $A\bar A$ 的特征值，$\mu$ 纯虚、$\mu^2=\lambda$、$\operatorname{Im}\mu>0$。$J_k(\lambda)$ 出现在 $R^2$ 的 Jordan 形中 $\iff$ $J_k(\mu)$ 或 $J_k(-\mu)$ 出现在 $R$ 中；$R$ 实且 $\bar\mu=-\mu$，二者必同时且同样多地出现，所以 $A\bar A$ 中 $J_k(\lambda)$ 的个数为偶数。

Corollary 4.6.17. (a) $A=HS$（也可 $A=SH$），$H$ Hermitian、$S$ 对称，且任一因子可取非奇异；(b) $A=BE$（也可 $A=EB$），$B$ 相似于实矩阵，$E$ 共轭对合。证明：(a) $A=SH\bar S^{-1}$（$H$ Hermitian），$A=(SHS^*)(S^{-*}\bar S^{-1})=(SHS^*)(\bar S^{-T}\bar S^{-1})$；另写 $A=SB\bar S^{-1}$（$B$ 对称）得 $A=(SS^*)(\bar S^{-T}B\bar S^{-1})$；反序用 $A=(SS^T)(\bar S^{-T}H\bar S^{-1})$ 等。(b) $A=SR\bar S^{-1}=(SRS^{-1})(S\bar S^{-1})=(S\bar S^{-1})(\bar SR\bar S^{-1})$。（(b) 是复数极坐标 $z=re^{i\theta}$ 的类比。）

Theorem 4.6.18. 下列等价：(a) $A,B$ 共轭相似；(b) $\begin{bmatrix}0&A\\\bar A&0\end{bmatrix}$ 相似于 $\begin{bmatrix}0&B\\\bar B&0\end{bmatrix}$；(c) $\begin{bmatrix}0&A\\-\bar A&0\end{bmatrix}$ 相似于 $\begin{bmatrix}0&B\\-\bar B&0\end{bmatrix}$。（(a)⇒(b)(c)：用相似矩阵 $S\oplus\bar S$。）——把共轭相似问题转化为普通相似问题。

4.6 习题概括（PDF p.327–331）

P1：共轭相似是等价关系。P2：$\begin{bmatrix}i&1\\0&i\end{bmatrix}$ 不可对角化但可共轭对角化；$\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}$ 可对角化但不可共轭对角化；$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ 两者都不行——两概念互不包含。P3：正共轭特征值的共轭特征向量在 $\mathbf C$ 上线性无关 $\iff$ 在 $\mathbf R$ 上线性无关。
P4：同时共轭对角化 $A_i=S\Lambda_i\bar S^{-1}$ 的必要条件：$A_i\bar A_j$ 可对角化、$\{A_i\bar A_j\}$ 可交换、$A_i\bar A_j+A_j\bar A_i$ 特征值实、$A_i\bar A_j-A_j\bar A_i$ 特征值纯虚（也是充分的）。P5：$A\bar A=\Lambda$ 非负互异分块对角时 $A=U(\Delta_1\oplus\cdots)U^T$。P6：$A=U\bar U^{-1}=UU^T$（$U$ 酉）$\iff A^{-1}=\bar A$ 且 $A$ 对称。P7：共轭对合 $A$，存在 $S$ 使所有满足 $A\bar X=XA$ 的 $X$ 有 $SXS^{-1}$ 实。
P8：对角/上三角矩阵：$\lambda$ 为特征值 ⇒ $e^{i\theta}\lambda$ 对所有 $\theta$ 都是共轭特征值。P9：$n$ 为奇数时 $A$ 必有共轭特征对（$A\bar A$ 的非实特征值成对、负实特征值成对，奇数阶必剩一个非负实特征值）。P10：对称矩阵共轭对角化可取酉矩阵——Autonne 定理的又一证明。P11：实矩阵共轭相似标准形的奇异部分与 Jordan 形的奇异部分相同。P12：$A=\begin{bmatrix}1&i\\i&-1\end{bmatrix}$ 的 Jordan 形为 $J_2(0)$，但共轭相似标准形为 $J_1(2)\oplus J_1(0)$（它对称，奇异值 2 和 0）。
P13：$A=RE$（$R$ 实、$E$ 共轭对合）的必要条件 $\operatorname{range}A=\operatorname{range}\bar A$（也充分）。P14–P15：$H_{2k}(\mu)$ 共轭相似于 $H_{2k}(\bar\mu)$；$A$ 共轭相似于 $e^{i\theta}A$。
P16–P18：正特征值 $\lambda$（几何重数 $g$）对应的共轭特征空间是 $g$ 维实向量空间；四种由 $A\bar A$ 的特征向量基 $X$ 构造共轭特征空间基 $Y$ 的算法（Algorithm I：解 $A\bar X=XB$，取 $Y=e^{-i\theta}X(B+e^{2i\theta}\sigma I)$；Algorithm II：$Y=e^{-i\theta}A\bar X+e^{i\theta}\sigma X$；Algorithm III：$\sigma^{-1}B=E^2$ 共轭对合，$Y=XE$；P18 用实表示 $R_2(A)=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_2&-A_1\end{bmatrix}$：$A\bar x=\sigma x\iff R_2(A)w=\sigma w$，非零特征值 $\pm$ 成对）。P19：$R_2(A)\sim R_2(B)\iff A,B$ 共轭相似。P20：$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A\bar A$ 时 $\{x:A\bar x=0\}=\operatorname{null}A\bar A$。
P21（共轭对角化算法）：$A\bar A=S\Lambda S^{-1}$，$\lambda_1>\cdots>\lambda_d\ge0$，$S=[S_1\cdots S_d]$；$Y_j=e^{-i\theta_j}A\bar S_j+e^{i\theta_j}\sigma_jS_j$（选 $\theta_j$ 使满秩），$Y=[Y_1\cdots Y_d]$，则 $A=Y\Sigma\bar Y^{-1}$。
P22：幂零 Jordan 矩阵是某幂零矩阵之平方的 Jordan 形 $\iff$ Weyr 特征不含相邻重复的奇数、且块数为奇数时 $w_1-w_2>0$；判断 $J_2(0)$、$J_2\oplus J_2$、$J_3\oplus J_1$、$J_5\oplus J_2\oplus J_1$ 等。P23：$A\bar A$ 的 Jordan 形 $=B\oplus N$ 的结构；$J_1(1)\oplus J_2(0)$ 能否是 $A\bar A$ 的 Jordan 形？P24：$\begin{bmatrix}0&A\\\bar A&0\end{bmatrix}$ 的 Jordan 形只含 $J_k(\lambda)\oplus J_k(-\lambda)$（$\lambda\ge0$）与 $J_k(\lambda)\oplus J_k(-\lambda)\oplus J_k(\bar\lambda)\oplus J_k(-\bar\lambda)$。P25：4.5.P35 中不存在 $S$ 使 $S^*AS$、$S^TBS$ 同时对角。P26：上三角 $\Delta$ 与 $D$ 主对角相同、$\Delta\bar\Delta$ 正规 ⇒ $\Delta$ 分块对角。
P27：$B\bar B=I$ 时 $B=U(I_{n-2q}\oplus\bigoplus\begin{bmatrix}0&\sigma_j^{-1}\\\sigma_j&0\end{bmatrix})U^T$（4.6.19）——共轭对合矩阵的特殊 SVD；$A\bar A$ 半正定 $\iff A$ 酉合同于 $[\sigma]$、$\begin{bmatrix}0&s\\0&0\end{bmatrix}$、$\tau\begin{bmatrix}0&t\\t^{-1}&0\end{bmatrix}$ 块的直和（4.6.20）。P28：$A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 无实特征向量、无复共轭特征向量，但有四元数右共轭特征值 $\pm i$（$x_\pm=[\pm j\ \ k]^T$），而无左共轭特征值。

Notes：共轭相似标准形及共轭相似于 Hermitian/实矩阵的证明见 Hong–Horn (1988)；4.6.16 也可不用标准形证明（Asano–Nakayama 1938）；4.6.17 见 Hsu (1955)、Horn–Merino (1995)；(4.6.19) 见 Horn–Sergeichuk (2009)；四元数共轭相似见 Huang Liping (2001)。

（PDF p.332 为空白页。）

第 4 章本章要点（本块覆盖 4.0–4.6，即第 4 章全部）

Hermitian 矩阵 $\iff x^*Ax$ 恒实 $\iff$ 正规且特征值实；谱定理 $A=U\Lambda U^*$；Toeplitz 分解 $A=H+iK$；可交换 Hermitian 族可同时酉对角化；$A$ 相似于实矩阵 $\iff A$ 是两个 Hermitian 矩阵之积。正定 $\iff x^*Ax>0\ \forall x\ne0\iff$ Hermitian 且特征值为正（实情形必须另加对称假设）。
变分刻画：Rayleigh 商给出 $\lambda_{\min},\lambda_{\max}$；Courant–Fischer 极小极大公式；子空间交引理是本章所有特征值不等式的统一工具。
特征值不等式：Weyl 不等式及其推论（秩 $r$ 扰动、单调性、$|\lambda_i(A+B)-\lambda_i(A)|\le\|B\|_2$）；Cauchy 交错（加边与秩一扰动）及其逆定理；包含原理、Poincaré 分离、Ky Fan 迹极值 $\sum_{i\le m}\lambda_i=\min\operatorname{tr}V^*AV$。
优超：Schur（特征值优超对角元）、Schur–Horn 逆定理、Fan 与 Lidskii 不等式、优超 $\iff$ 双随机变换 $\iff$ 置换凸包；迹不等式 $\sum\lambda_i^\downarrow(A)\lambda_i^\uparrow(B)\le\operatorname{tr}AB\le\sum\lambda_i^\downarrow(A)\lambda_i^\downarrow(B)$。
酉合同与复对称矩阵：$A\bar A$ 的谱结构（非实成共轭对、负实成相等对）；Youla 分解；共轭正规矩阵标准形；Autonne–Takagi 分解 $A=U\Sigma U^T$；斜对称与酉矩阵的酉合同标准形；每个复方阵相似于复对称矩阵；复对称矩阵可对角化 $\iff$ 可复正交对角化。
合同：Sylvester 惯性定律、Ostrowski 定量版本；复对称在合同下只由秩决定；同时对角化的三套判据（酉型 4.5.15、非奇异型 4.5.17）；*合同与合同的标准形（Type 0/I/II 块）、消去定理、余平方。
共轭相似：共轭特征值与 $A\bar A$ 的关系；可共轭三角化 $\iff A\bar A$ 特征值非负；可共轭对角化判据 4.6.11；共轭相似标准形；每个矩阵共轭相似于实矩阵和 Hermitian 矩阵。

第 4 章与量化交易的关联

协方差矩阵与风险模型：协方差矩阵是 Hermitian（实对称）半正定矩阵，$\operatorname{Cov}(SX)=S\operatorname{Cov}(X)S^*$（4.5.3*）正是组合风险 $w^T\Sigma w$、因子暴露变换、PCA 旋转的代数形式。Sylvester 惯性定律说明线性变换不改变协方差矩阵的正定性；Ostrowski 定理给出变换后特征值（风险）缩放的上下界 $[\sigma_n^2,\sigma_1^2]$。
PCA 与因子模型：Rayleigh 商与 Courant–Fischer 是主成分"方差最大化"定义的数学依据；Ky Fan 定理 $\max_{V^*V=I_m}\operatorname{tr}V^*\Sigma V=\sum_{i>n-m}\lambda_i$ 说明前 $m$ 个主成分捕获的方差是任意 $m$ 维正交投影中最大的——这是统计因子模型选因子数、解释方差比的理论基础。
协方差估计误差与收缩：Weyl 不等式 $|\lambda_i(\hat\Sigma)-\lambda_i(\Sigma)|\le\|\hat\Sigma-\Sigma\|_2$ 用于分析样本协方差的特征值偏差；秩 $r$ 扰动推论（4.3.5）解释了"低秩因子 + 对角特异风险"结构下特征值的位置；单调性定理说明加入半正定的特异风险矩阵只会抬高每个特征值。交错定理说明从资产池中剔除一只资产，剩余协方差矩阵的特征值与原矩阵交错——子组合的最小方差不会低于全组合的最小特征值。
优超与风险分散度：Schur 定理说明对角元（各资产方差）被特征值优超，特征值比方差"更分散"；这与集中度/分散度指标（如有效因子数、熵型指标）相关，双随机矩阵刻画的"平均化"可解释组合权重的分散化效应。迹不等式 4.3.53 可用于 $\operatorname{tr}(\Sigma W)$ 型目标的界（如风险平价、跟踪误差的上下界）。
广义特征值与同时对角化：4.5.17(a) 在 $A$ 正定时保证 $A,B$ 可同时合同对角化，即广义特征问题 $Bx=\lambda Ax$。量化中用于：两个协方差矩阵的比较（如样本内/样本外、不同市场状态）、最大化 Sharpe 比的 $\Sigma^{-1}\mu$ 型问题、信号对噪声的 Fisher 判别、CCA（典型相关分析）。
正定性检验：Sylvester 判据（顺序主子式全正，4.3.P5）与 Haynsworth 惯性加性（Schur 补，4.5.P21）在检查协方差/相关矩阵是否正定、做矩阵修补（nearest PSD）、以及分块协方差矩阵条件化（条件协方差 = Schur 补）时直接使用。4.1.13 的 $A=A_+-A_-$ 分解对应"把不正定的估计相关矩阵截断负特征值"的修正方法。
复对称矩阵、酉合同、*合同标准形、共轭相似等内容在量化交易中基本没有直接应用，属于纯理论结构，编写教材时可作选读或略去。

第 4 章推荐习题

4.1.P5（三对角矩阵对称化，特征值全实）、4.1.P13（$\operatorname{rank}A\ge(\operatorname{tr}A)^2/\operatorname{tr}A^2$，可用于估计有效秩）、4.1.P21（$xy^*+yx^*$ 的特征值）、4.1.P30（Hermitian 矩阵的主子式符号）。
4.2.P3（对角元介于最小与最大特征值之间）、4.2.P8（半正定扰动的单调性）。
4.3.P1、P4（扰动与 Loewner 序）、4.3.P5（Sylvester 正定判据与 Jacobi 符号规则）、4.3.P14（部分特征值和的凸凹性）、4.3.P15（行列式的 Poincaré 型界）、4.3.P17（Jacobi 矩阵与 Sturm 序列）、4.3.P24（Lidskii 的差形式）。
4.4.P1（对称矩阵 $=SS^T$）、4.4.P27（对称矩阵奇异值与对角元的关系）、4.4.P38（QS 分解）。
4.5.P5（PDE 类型与惯性）、4.5.P8（Ostrowski 推出相对扰动界）、4.5.P18（广义特征值互异 ⇒ 同时对角化）、4.5.P19（惯性定律的同伦证明）、4.5.P21（Haynsworth 惯性加性）、4.5.P37（可正规化矩阵的六种等价刻画）。
4.6.P2（可对角化与可共轭对角化互不包含）、4.6.P9、4.6.P12、4.6.P21（共轭对角化算法）。

第 5 章向量与矩阵的范数（Norms for Vectors and Matrices）（续见下一块）

5.0 引言（Introduction）（PDF p.333，本块只覆盖起始一页）

欧氏长度 $\|x\|_2=(x^Tx)^{1/2}$ 是 $\mathbf R^2,\mathbf R^3$ 中最熟悉的"大小"与"接近程度"的度量：$\|x\|_2$ 小则 $x$ "小"，$\|x-y\|_2$ 小则二者"接近"。本章问：是否有其他有用的方式度量实/复向量的大小？如何度量矩阵的大小，使之反映 $M_n$ 的代数结构？范数（norm）是欧氏长度的推广，但不只是数学推广——它在矩阵幂级数研究和数值算法的分析评估中自然出现。

Example 5.0.1（收敛性）. 对复数 $|x|<1$，$(1-x)^{-1}=1+x+x^2+\cdots$。类比得

(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\cdots

（Neumann 级数）。何时成立？只要 $A$ 的任意一个矩阵范数小于 1 即足够。许多其他用幂级数定义的矩阵函数，如 $e^A=\sum_{k\ge0}\frac1{k!}A^k$，其收敛性同样借助范数分析。（本例后续内容见下一块。）

第 3 章 相似标准形与三角分解（Canonical forms for similarity and triangular factorizations）——（接上一块）