Horn & Johnson《Matrix Analysis》(2nd ed., Cambridge, 2013) 精读笔记（二）——负责 PDF 第 112–222 页（原书正文 p.92–202）

页码对应：PDF 页码 = 原书页码 + 20。本块从第 2 章 2.1 节习题中段开始（接上一块），覆盖 2.2–2.7 节（酉相似、Schur 三角化、正规矩阵、QR/奇异值分解、CS 分解等）与第 3 章（Jordan 标准形及其应用、有理标准形等，续见下一块）。记号：$M_n$ 为 $n\times n$ 复矩阵，$M_{m,n}$ 为 $m\times n$ 复矩阵，$A^*$ 为共轭转置，$\bar A$ 为逐元共轭，$\|\cdot\|_2$ 为欧氏范数，$\sigma(A)$ 为谱（特征值集合）。

第 2 章酉相似与酉等价（Unitary similarity and unitary equivalence）

2.1 酉矩阵与 QR 分解——习题后半（PDF p.112–114，接上一块）

本块从 2.1.P5 开始。习题题型与要点如下（编写者可作为教材习题选用）：

2.1.P5：置换矩阵（permutation matrices, 0.9.5）构成实正交群的子群；$M_n$ 中共有 $n!$ 个置换矩阵。
2.1.P6：给出 $3\times3$ 正交群的参数表示（2×2 情形见 2.1.5 后练习：旋转 $\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$ 与反射 $\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\end{bmatrix}$）。
2.1.P7：若 $A,B\in M_n$ 且 $AB=I$，则 $BA=I$。论证：任意 $y=A(By)$，故 $\operatorname{rank}A=n$，零空间维数为 0；而 $A(AB-BA)=A-(AB)A=0$，所以 $AB-BA=0$。
2.1.P8 复正交矩阵（complex orthogonal）：$A^TA=I$。(a) 复正交矩阵是酉的当且仅当它是实的；(b) 取 $S=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$，$A(t)=(\cosh t)I+(i\sinh t)S$ 对所有实 $t$ 是复正交的，但仅在 $t=0$ 时酉；(c) 复正交矩阵集无界，故不紧（与酉群相反）；(d) 构成群；实正交矩阵组成的较小（且紧）的群称正交群；(e) $|\det A|=1$ 但特征值可以 $|\lambda|\ne1$（用 $A(t)$）；(f) $\bar A, A^T, A^*$ 也都是复正交且非奇异；(g) 刻画对角复正交矩阵（对角元为 $\pm1$）；(h) 同时复正交且酉 ⟺ 实正交。
2.1.P9–P10：$U$ 酉 ⟹ $\bar U,U^T,U^*$ 酉；$x\perp y \iff Ux\perp Uy$。
2.1.P11 斜正交（skew orthogonal）：$A^{-1}=-A^T$ ⟺ $\pm iA$ 正交；一般地 $A^{-1}=e^{i\theta}A^T \iff e^{i\theta/2}A$ 是（复）正交的。
2.1.P12–P13：若 $A$ 相似于某酉矩阵，则 $A^{-1}$ 相似于 $A^*$；反之不成立：$\operatorname{diag}(2,\tfrac12)$ 满足 $A^{-1}\sim A^*$ 但不与酉矩阵相似（特征值模不为 1）。
2.1.P14：酉群 ∩ 复正交群 = 实正交群。
2.1.P15：$U$ 酉、$U[\alpha,\alpha^c]=0$ ⟹ $U[\alpha^c,\alpha]=0$，且 $U[\alpha]$、$U[\alpha^c]$ 都是酉的（酉矩阵的块三角 ⟹ 块对角）。
2.1.P16 Palais 矩阵：$x,y\in\mathbb R^n$ 线性无关单位向量，$w=x+y$，$P_{x,y}=I-2(w^Tw)^{-1}ww^T+2yx^T$。证明：(a) $P_{x,y}=(I-2(w^Tw)^{-1}ww^T)(I-2xx^T)=U_wU_x$ 为两个实 Householder 矩阵之积，故实正交；(b) $\det P_{x,y}=+1$，是真旋转（proper rotation）；(c) $P_{x,y}x=y$，$P_{x,y}y=-x+2(x^Ty)y$；(d) 对 $z\perp x,z\perp y$ 有 $P_{x,y}z=z$；(e) 在 $(\operatorname{span}\{x,y\})^\perp$ 上为恒等，在二维平面 $\operatorname{span}\{x,y\}$ 上为把 $x$ 转到 $y$ 的旋转；(f) $n=3$ 时它是唯一把 $x$ 转到 $y$ 且固定 $x\times y$ 的真旋转；(g) 特征值为 $x^Ty\pm i(1-(x^Ty)^2)^{1/2}=e^{\pm i\theta}$（$\cos\theta=x^Ty$）及 $n-2$ 个 1。
2.1.P17：对满列秩 $A\in M_{n,m}$ 的列做 Gram–Schmidt，逐列得到 $Q=AR$（$Q$ 列正交、$R$ 上三角），与 (2.1.14) 的 QR 分解关系是 $A=QR^{-1}$。
2.1.P18：$A=QR$ 时 $\{q_1,\dots,q_k\}$ 是 $\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_k\}$ 的标准正交基；$r_{kk}$ 等于 $a_k$ 到 $\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_{k-1}\}$ 的欧氏距离。
2.1.P19 对偶基（dual / reciprocal basis）：$X=QR$ 满列秩，$Y=QR^{-*}$，则 $Y^*X=I_m$，$Y$ 的列是 $S=\operatorname{span}\{x_i\}$ 的对偶基且唯一；对偶基的对偶基是原基；$n=m$ 时 $X^{-*}$ 的列即对偶基。
2.1.P20：$\operatorname{adj}U=(\det U)U^*$，故 $\operatorname{adj}U$ 酉。
2.1.P21：(2.1.10)（酉的上三角矩阵必对角）对复正交同样成立。
2.1.P22：$X,Y\in M_{n,m}$ 列正交，则二者列空间相同 ⟺ 存在酉 $U\in M_m$ 使 $X=YU$。
2.1.P23 Hadamard 不等式：由 $A=QR$，$|\det A|=\det R=r_{11}\cdots r_{nn}$，且 $\|a_i\|_2=\|r_i\|_2\ge r_{ii}$，等号 ⟺ $a_i=r_{ii}q_i$。故 $|\det A|\le\prod_{i=1}^n\|a_i\|_2,$ 等号 ⟺ 某 $a_i=0$ 或 $A$ 的列两两正交（$A^*A=\operatorname{diag}(\|a_1\|_2^2,\dots,\|a_n\|_2^2)$）。
2.1.P24：全 1 的 $E\in M_3$ 有 $\operatorname{per}E=6$；用 Hadamard 不等式（$|\det B|\le 3^{3/2}<6$）说明 $\pm1$ 矩阵 $B$ 不可能使 $\operatorname{per}E=\det B$。
2.1.P25：酉矩阵的复合矩阵（compound matrix）$C_r(U)$ 是酉的。
2.1.P26：(a) $A=H_1\cdots H_{n-1}R$（Householder 矩阵之积乘上三角）；(b) 酉 $U=H_1\cdots H_{n-1}D$，$D$ 对角酉；(c) 实正交 $Q=H_1\cdots H_{n-1}D$，$D=\operatorname{diag}(1,\dots,1,(-1)^{n-1}\det Q)$。
2.1.P27–P29（平面旋转版本）：用平面旋转 $U(\theta;i,j)$ 逐个把向量末尾分量消零（取 $\cos\theta_1=x_{n-1}/\sqrt{x_n^2+x_{n-1}^2}$，$\sin\theta_1=-x_n/\sqrt{\cdot}$），且保持 2-范数；任意 $A\in M_{n,m}(\mathbb R)$ 可经 $N=m(n-\frac{m+1}{2})$ 个平面旋转化为 $\begin{bmatrix}B\\0\end{bmatrix}$（$B$ 上三角、前 $m-1$ 个对角元非负）；$A\in M_n(\mathbb R)$ 可写为 $A=U_1\cdots U_NR$，$N=n(n-1)/2$；实正交 $Q=U_1\cdots U_ND$，$D=\operatorname{diag}(1,\dots,1,\det Q)$。

延伸阅读：满足 (2.1.9)（$A^{-1}$ 相似于 $A^*$）的矩阵见 DePrima & Johnson (1974)。

2.2 酉相似（Unitary similarity）（PDF p.114–121）

定义 2.2.1：$A,B\in M_n$。若存在酉 $U$ 使 $A=UBU^*$，称 $A$ 酉相似于 $B$；若 $U$ 可取实（即实正交），称实正交相似（real orthogonally similar）。$A$ 酉相似于对角矩阵称可酉对角化（unitarily diagonalizable）；实正交相似于对角阵称可实正交对角化。酉相似是等价关系。

定理 2.2.2（Frobenius 范数不变）：$U\in M_n$、$V\in M_m$ 酉，$A=UBV\in M_{n,m}$，则

\sum_{i,j}|b_{ij}|^2=\sum_{i,j}|a_{ij}|^2 .

特别地酉相似的矩阵元素平方和相同。证明：只需 $\operatorname{tr}B^*B=\operatorname{tr}A^*A$；$\operatorname{tr}A^*A=\operatorname{tr}(V^*B^*U^*UBV)=\operatorname{tr}V^*B^*BV=\operatorname{tr}B^*BVV^*=\operatorname{tr}B^*B$。

练习：$\begin{bmatrix}3&1\\-2&0\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}$ 相似（特征值都是 1,2）但不酉相似（元素平方和 14 ≠ 6）。酉相似蕴含相似，反之不然；酉相似把 $M_n$ 划分为更细的等价类，对应于标准正交基之间的基变换。平面旋转 $U(\theta;i,j)$ 的实正交相似只改变第 $i,j$ 行和列；$U(y,x)^*AU(y,x)=U_w^*AU_w$，即经由本质 Hermite 的 $U(y,x)$ 的酉相似就是 Householder 相似，称为 Householder 变换。

例 2.2.3（酉相似于对角元全相等的矩阵）：对任意 $A\in M_n$ 存在酉 $U$（$A$ 实时可取实正交）使 $U^*AU$ 的主对角元全相等，因而都等于 $\frac1n\operatorname{tr}A$。

复 2×2 情形：以 $A-\frac12(\operatorname{tr}A)I$ 代替，可设 $\operatorname{tr}A=0$，特征值 $\pm\lambda$。要找单位向量 $u$ 使 $u^*Au=0$。$\lambda=0$ 时取 $Au=0$ 的 $u$；$\lambda\ne0$ 时取单位特征向量 $w,z$（对应 $\lambda,-\lambda$），令 $x(\theta)=e^{i\theta}w+z\ne0$，算得 $x(\theta)^*Ax(\theta)=2i\lambda\operatorname{Im}(e^{i\theta}z^*w)$；若 $z^*w=e^{i\phi}|z^*w|$，则 $x(-\phi)^*Ax(-\phi)=0$。令 $u=x(-\phi)/\|x(-\phi)\|_2$，$U=[u\ v]$，则 $(U^*AU)_{11}=0$，由迹为 0 得 $(U^*AU)_{22}=0$。
实 2×2 情形：用平面旋转 $U_\theta$，$U_\theta AU_\theta^T$ 对角元相等的条件为 $(\cos^2\theta-\sin^2\theta)(a_{11}-a_{22})=2\sin\theta\cos\theta(a_{12}+a_{21})$，取 $\theta\in(0,\pi/2)$ 使 $\cot2\theta=(a_{12}+a_{21})/(a_{11}-a_{22})$。
$n>2$：定义 $f(A)=\max_{i,j}|a_{ii}-a_{jj}|$。若 $f(A)>0$，取达到最大值的 $(i,j)$，用 2×2 结果构造只作用于 $i,j$ 行列的 $U(i,j)$，把 $a_{ii},a_{jj}$ 都换成平均值 $\frac12(a_{ii}+a_{jj})$。由三角不等式，对 $k\ne i,j$： $\Big|a_{kk}-\tfrac12(a_{ii}+a_{jj})\Big|\le\tfrac12|a_{kk}-a_{ii}|+\tfrac12|a_{kk}-a_{jj}|\le f(A),$ 等号要求 $a_{kk}-a_{ii}$ 与 $a_{kk}-a_{jj}$ 同向且等模，从而 $a_{ii}=a_{jj}$，矛盾；所以严格小于。于是达到最大值的指标对数目减少 1，重复有限次得 $f(U^*AU)<f(A)$。最后在紧集 $R(A)=\{U^*AU:U\text{ 酉}\}$ 上连续函数 $f$ 取到最小值 $f(B)$；若 $f(B)>0$ 可再降，矛盾，故 $f(B)=0$。
用途：2.2.P9（迹零矩阵是两个幂零矩阵之和）、2.2.P8。

例 2.2.4（酉相似于上 Hessenberg 矩阵）：任意 $A$ 酉相似于次对角元非负的上 Hessenberg 矩阵。构造：第一列写成 $a_1^T=[a_{11}\ \xi^T]$，$\xi\in\mathbb C^{n-1}$；若 $\xi\ne0$ 用 (2.1.13) 的 Householder 型酉矩阵 $U_1=U(\|\xi\|_2e_1,\xi)$ 把 $\xi$ 变为 $\|\xi\|_2e_1$；$V_1=I_1\oplus U_1$，$\mathcal A_1=V_1AV_1^*$ 第一列为 $[a_{11},\|\xi\|_2,0,\dots,0]^T$（右乘 $V_1^*$ 不改变第一列）。对右下 $A_2\in M_{n-1}$ 的第一列重复，至多 $n-1$ 步。练习：若 $A$ Hermite（或斜 Hermite），结果是三对角 Hermite（斜 Hermite）矩阵——这是 Householder 三对角化，是对称特征值算法的第一步。

词（word）与 Specht 定理：两个非交换变量 $s,t$ 的有限形式乘积

W(s,t)=s^{m_1}t^{n_1}s^{m_2}t^{n_2}\cdots s^{m_k}t^{n_k},\quad m_i,n_i\ge0 \tag{2.2.5}

称为 $s,t$ 的词，长度为 $\sum(m_i+n_i)$。$W(A,A^*)=A^{m_1}(A^*)^{n_1}\cdots$。若 $A=UBU^*$，则 $W(A,A^*)=UW(B,B^*)U^*$，故 $\operatorname{tr}W(A,A^*)=\operatorname{tr}W(B,B^*)$；取 $W=ts$ 即得 2.2.2。

定理 2.2.6（Specht）：$A,B\in M_n$ 酉相似 ⟺ 对每个词 $W(s,t)$，

\operatorname{tr}W(A,A^*)=\operatorname{tr}W(B,B^*). \tag{2.2.7}

（书中不证。）用途：举出一个违反 (2.2.7) 的词即可证明不酉相似；但要证明酉相似需验证无穷多个条件。

定理 2.2.8（Specht 定理的有限化）： (a) 只需验证所有长度不超过 $n\sqrt{\frac{2n^2}{n-1}+\frac14}+\frac n2-2$ 的词； (b) $n=2$：只需三个词 $s,\ s^2,\ st$； (c) $n=3$：七个词 $s,\ s^2,\ st,\ s^3,\ s^2t,\ s^2t^2,\ s^2t^2st$； (d) $n=4$：20 个词：$s;\ s^2,st;\ s^3,s^2t;\ s^4,s^3t,s^2t^2,stst;\ s^3t^2;\ s^2ts^2t,s^2t^2st,t^2s^2ts;\ s^3t^2st;\ s^3t^2s^2t,s^3t^3st,t^3s^3ts;\ s^3ts^2tst,s^2t^2sts^2t;\ s^3t^3s^2t^2$。两个实矩阵酉相似 ⟺ 实正交相似（见 2.5.21），故上述准则也判定实正交相似。

2.2 节习题：

2.2.P1 Jacobi 方法：实对称非对角 $A$，取 $|a_{ij}|=\max_{p<q}|a_{pq}|$，$\cot2\theta=(a_{ii}-a_{jj})/2a_{ij}$，$B=U(\theta;i,j)^TAU(\theta;i,j)$，则 $b_{ij}=0$ 且 $\sum_{p\ne q}|b_{pq}|^2=\sum_{p\ne q}|a_{pq}|^2-2|a_{ij}|^2\le\Big(1-\frac{2}{n^2-n}\Big)\sum_{p\ne q}|a_{pq}|^2 ,$ 因此非对角质量几何收敛到 0，极限对角阵给出特征值，旋转乘积给出特征向量。实际实现不需三角函数（Golub & Van Loan）。
2.2.P2 Givens 方法：$n\ge3$，用平面旋转 $U(\theta;1,3),U(\theta;1,4),\dots$ 依次消去第一行 $1,3$ 到 $1,n$ 位置，再从第二行 $2,4$ 开始……至第 $n-3$ 行，得到实下 Hessenberg 矩阵（对称时为三对角），但特征值需进一步计算。
2.2.P3：$A\in M_2$，对 (2.2.8b) 三个词有 $\operatorname{tr}W(A,A^*)=\operatorname{tr}W(A^T,\bar A)$，故每个 2×2 复矩阵都酉相似于其转置。
2.2.P4：$A\in M_3$ 酉相似于 $A^T$ ⟺ $\operatorname{tr}(A^2(A^*)^2AA^*)=\operatorname{tr}((A^T)^2\bar A^2A^T\bar A)$ ⟺ $\operatorname{tr}(AA^*(A^*A-AA^*)A^*A)=0$；例 $\begin{bmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\-1&-1&-1\end{bmatrix}$ 不酉相似于其转置（尽管任何方阵都相似于其转置，3.2.3）。
2.2.P5：若 $A^*=UAU^*$，则 $U$ 与 $A+A^*$ 交换；用于证明上例的酉相似只能是对角的，再证对角酉做不到。
2.2.P6：$B,C$ 酉相似 ⟺ $A\oplus B$ 与 $A\oplus C$ 酉相似 ⟺ $B\oplus\cdots\oplus B$ 与 $C\oplus\cdots\oplus C$ 酉相似（个数相同）等（酉相似的消去律）。
2.2.P7：举出满足 (2.2.2) 但不酉相似的 2×2 矩阵。
2.2.P8：$A,B\in M_2$，$C=AB-BA$，则 $C^2=\lambda I$（用 2.2.3：迹零 2×2 矩阵酉相似于零对角矩阵）。
2.2.P9：$\operatorname{tr}A=0$ ⟺ $A$ 是两个幂零矩阵之和（由 2.2.3 把对角化为 0，再分上、下严格三角部分）。
2.2.P10 Fourier 矩阵与循环矩阵：$\omega=e^{2\pi i/n}$，$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k\ell}=0$ 除非 $n\mid\ell$（此时为 $n$）；$F_n=n^{-1/2}[\omega^{(i-1)(j-1)}]$ 对称、酉、共轭对合（$F_nF_n^*=F_n\bar F_n=I$）；基本循环置换 $C_n$ 满足 $C_nF_n=F_nD$，$D=\operatorname{diag}(1,\omega,\dots,\omega^{n-1})$，故 $C_n=F_nDF_n^*$；首行为 $[a_1\dots a_n]$ 的循环矩阵 $A=F_n\Lambda F_n^*$， $\lambda_\ell=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}\omega^{k(\ell-1)},\quad \ell=1,\dots,n, \tag{2.2.9}$ 且 $\lambda$ 向量为 $n^{1/2}F_n^*Ae_1$。若某 $|a_i|>\sum_{j\ne i}|a_j|$ 则 $A$ 非奇异。$F_n=\mathcal C_n+i\mathcal S_n$ 分实虚部，Hartley 矩阵 $H_n=\mathcal C_n+\mathcal S_n$ 实对称正交；$\mathcal C_n^2+\mathcal S_n^2=I$，$\mathcal C_n\mathcal S_n=0$；与反序矩阵 $K_n$ 有 $\mathcal C_nK_n=\mathcal C_n$，$\mathcal S_nK_n=-\mathcal S_n$，均为中心对称；对 $A=E+K_nF$（$E,F$ 实循环，$E$ 对称，$F$ 斜对称）有 $H_nAH_n=\Lambda$，因而 Hartley 矩阵给出实对称循环矩阵的显式实正交对角化。

注记：Specht 原始证明 (1940)；Đoković–Johnson (2007) 综述；4×4 词表来自 Đoković (2007)；4×4 复矩阵酉相似于其转置 ⟺ 七个零迹恒等式（Garcia–Poore–Tener 2012）；非奇异矩阵的近似版 Specht 定理（Marcoux–Mastnak–Radjavi 2007）：$A,B$ 酉相似 ⟺ 对每个词 $|\operatorname{tr}W(A,A^*)-\operatorname{tr}W(B,B^*)|\le1$ 且对逆亦然。

2.3 酉与实正交三角化（Unitary and real orthogonal triangularizations）（PDF p.121–128）

本节核心是 Schur 定理：任意复方阵酉相似于上三角矩阵，对角元为特征值且顺序可任意指定。作者称之为"初等矩阵理论中最根本有用的事实"。证明手法是逐次收缩（deflation）。

定理 2.3.1（Schur 形；Schur 三角化）：设 $A\in M_n$ 的特征值按任意指定顺序为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，$x\in\mathbb C^n$ 为单位向量且 $Ax=\lambda_1x$。 (a) 存在酉 $U=[x\ u_2\ \dots\ u_n]$ 使 $U^*AU=T=[t_{ij}]$ 为上三角，$t_{ii}=\lambda_i$。 (b) 若 $A\in M_n(\mathbb R)$ 只有实特征值，则 $x$ 可取实，并存在实正交 $Q=[x\ q_2\dots q_n]$ 使 $Q^TAQ=T$ 上三角、$t_{ii}=\lambda_i$。

证明：取以 $x$ 为第一列的酉矩阵 $U_1$（如 (2.1.13) 的 $U(x,e_1)$，或 2.3.P1 的构造），则

U_1^*AU_1=U_1^*[\lambda_1x\ Au_2\ \cdots\ Au_n]=\begin{bmatrix}\lambda_1&\star\\0&A_1\end{bmatrix},

其中第一列下方 $\lambda_1u_i^*x=0$（列正交），$A_1=[u_i^*Au_j]_{i,j=2}^n\in M_{n-1}$ 的特征值为 $\lambda_2,\dots,\lambda_n$。对 $A_1$ 取 $\lambda_2$ 的单位特征向量 $\xi$ 及以之为首列的酉 $U_2\in M_{n-1}$，令 $V_2=[1]\oplus U_2$，得 $(U_1V_2)^*AU_1V_2=\begin{bmatrix}\lambda_1&\star&\star\\0&\lambda_2&\star\\0&0&A_2\end{bmatrix}$。继续得 $U=U_1V_2\cdots V_{n-1}$。若特征值全实，所有特征向量与酉矩阵都可取实（1.1.P3、2.1.13）。

练习：若 $U^*A^TU$ 上三角，令 $V=\bar U$，则 $V^*AV$ 下三角（即也有下三角 Schur 形）。

例 2.3.2（Schur 形不唯一）：特征值次序改变时，$T$ 的上三角部分可不同：

T_1=\begin{bmatrix}1&1&4\\0&2&2\\0&0&3\end{bmatrix},\ T_2=\begin{bmatrix}2&-1&3\sqrt2\\0&1&\sqrt2\\0&0&3\end{bmatrix},\ U=\tfrac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1&1&0\\1&-1&0\\0&0&\sqrt2\end{bmatrix},\quad T_2=UT_1U^*.

Schur 不等式（偏离正规性，defect from normality）：若 $A$ 酉相似于上三角 $T$，由 2.2.2，

\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2=\sum_{i,j}|a_{ij}|^2-\sum_{i<j}|t_{ij}|^2\le\sum_{i,j}|a_{ij}|^2=\operatorname{tr}(AA^*), \tag{2.3.2a}

等号 ⟺ $T$ 对角（即 $A$ 正规，见 2.5）。$\sum_{i<j}|t_{ij}|^2$ 称为偏离正规性的度量，它与所选 Schur 形无关。练习：2×2 矩阵若特征值相同且元素平方和相同，则（由 2.2.8b）酉相似；但 3×3 不成立：

A=\begin{bmatrix}1&3&0\\0&2&4\\0&0&3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&5\\0&0&3\end{bmatrix} \tag{2.3.2b}

特征值与平方和都相同（$\sum=39$），但不酉相似；它们相似（特征值互异，均可对角化）。

定理 2.3.3（交换族的同时酉三角化）：$\mathcal F\subseteq M_n$ 为非空交换族，则存在酉 $U$ 使对每个 $A\in\mathcal F$，$U^*AU$ 都是上三角的。证明：沿用 2.3.1 的证明，每步利用 (1.3.19)（交换族有公共特征向量）选公共单位特征向量作为 $U$ 的首列，它以同样方式收缩族中每个矩阵；相似保持交换性，且若 $\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\0&B_{22}\end{bmatrix}$ 交换，则 $A_{22},B_{22}$ 交换，可以归纳。注意：2.3.3 不能指定特征值在对角线上的顺序——每步公共特征向量对应各矩阵的某个特征值，只能"来者照单全收"。

实情形与拟三角：练习：实矩阵 $\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 的特征值为 $a\pm ib$。实矩阵若有非实特征值，就不可能经实相似化为上三角（对角元会非实），但总能经实正交相似化为实上拟三角形（upper quasitriangular），非实共轭特征值对对应 2×2 对角块。

定理 2.3.4（实 Schur 形）：$A\in M_n(\mathbb R)$。 (a) 存在实非奇异 $S$ 使 $S^{-1}AS$ 为实上拟三角矩阵

\begin{bmatrix}A_1&&\star\\&\ddots&\\0&&A_m\end{bmatrix},\quad A_i\ \text{为 }1\times1\text{ 或 }2\times2, \tag{2.3.5}

满足：(i) 1×1 块给出实特征值；(ii) 每个 2×2 块具有特殊形式

\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix},\ a,b\in\mathbb R,\ b>0,\ a\pm ib\ \text{是 }A\text{ 的特征值}; \tag{2.3.5a}

(iii) 对角块完全由特征值决定，可按任意指定顺序出现。 (b) 存在实正交 $Q$ 使 $Q^TAQ$ 为实上拟三角：1×1 块是实特征值；2×2 块各含一对共轭非实特征值（但不一定是特殊形式）；实特征值与共轭对的出现顺序可任意指定。证明：(a) 对实特征对，用 2.3.1 的实收缩得 $\begin{bmatrix}\lambda&*\\0&\mathcal A\end{bmatrix}$；对非实特征对 $\lambda,x$，用 1.3.P33 的实相似收缩出特殊形式 2×2 块 $B$：$\begin{bmatrix}B&*\\0&\mathcal A\end{bmatrix}$；有限步完成，每步选择特征值即可控制顺序。(b) 对 (a) 中的 $S$ 做 QR 分解 $S=QR$（$Q$ 实正交、$R$ 实上三角），按 (2.3.5) 分块 $R=[R_{ij}]$，则

Q^TAQ=R(S^{-1}AS)R^{-1}=\begin{bmatrix}R_{11}A_1R_{11}^{-1}&&\star\\&\ddots&\\0&&R_{mm}A_mR_{mm}^{-1}\end{bmatrix},

仍是上拟三角，1×1 块不变，2×2 块与原块相似（故不再是特殊形式）。

交换族的实版本：把 (2.3.5) 的分块结构描述为"与拟对角矩阵 $D=J_{n_1}\oplus\cdots\oplus J_{n_m}$ 共形"（$J_k$ 为 $k\times k$ 全 1 矩阵，$n_j\in\{1,2\}$）。

定理 2.3.6：$\mathcal F\subseteq M_n(\mathbb R)$ 非空交换族。 (a) 存在实非奇异 $S$ 与拟对角 $D$，使：(i) 每个 $A\in\mathcal F$，$S^{-1}AS$ 是与 $D$ 共形的实上拟三角形 (2.3.6.1)，对角块 $A_1(A),\dots,A_m(A)$；(ii) 若 $n_j=2$，则 $A_j(A)=\begin{bmatrix}a_j(A)&b_j(A)\\-b_j(A)&a_j(A)\end{bmatrix}$ (2.3.6.2)，$a_j(A)\pm ib_j(A)$ 是 $A$ 的特征值；(iii) 对每个 $n_j=2$ 的 $j$，存在某 $A\in\mathcal F$ 使 $b_j(A)\ne0$。若族中矩阵特征值全实，则 $S^{-1}AS$ 全上三角。 (b) 存在实正交 $Q$ 与拟对角 $D$，使每个 $Q^TAQ$ 是与 $D$ 共形的上拟三角形，且对每个 $n_j=2$ 的 $j$，存在某 $A$ 使 $A_j(A)$ 有一对共轭非实特征值；特征值全实时全部上三角。证明：(a) 取公共单位特征向量 $x=u+iv$（$u,v\in\mathbb R^n$）。情形 (i)：$\{u,v\}$ 线性相关，则 $u=\alpha w,v=\beta w$，$w=(\alpha+i\beta)^{-1}x$ 是公共实单位特征向量，用以 $w$ 为首列的实正交 $Q$ 得 $Q^TAQ=\begin{bmatrix}\lambda(A)&*\\0&*\end{bmatrix}$。情形 (ii)：$\{u,v\}$ 线性无关，按 1.3.P3 构造实 $S$ 使 $S^{-1}AS=\begin{bmatrix}A_1(A)&*\\0&*\end{bmatrix}$，$A_1(A)$ 具 (2.3.6.2) 形；若 $b_1(A)\ne0$ 得一对非实特征值，若 $b_1(A)=0$ 则 $a_1(A)$ 为二重实特征值；若对所有 $A$ 都有 $b_1(A)=0$，就把 2×2 块拆成两个 1×1。(b) 对 $S$ 做 QR 分解，同 2.3.4 论证。同样不能控制特征值出现顺序。

$A\bar A$ 为实的矩阵：练习：$A$ 与 $\bar A$ 交换 ⟺ $A\bar A$ 实；$A=\begin{bmatrix}1&i\\-i&1\end{bmatrix}$ 时 $A\bar A$ 实，且 $\operatorname{Re}A$ 与 $\operatorname{Im}A$ 交换；$A=B+iC$（$B,C$ 实）则 $A\bar A=\bar AA\iff BC=CB$。集合 $\mathcal S=\{A:A\bar A=\bar AA\}$ 比 $M_n(\mathbb R)$ 大，但有共同性质：都能实正交相似于（复）上拟三角形。

推论 2.3.7：$A\in M_n$ 且 $A\bar A=\bar AA$，则存在实正交 $Q$ 和拟对角 $D$，使 $Q^TAQ$ 是与 $D$ 共形的复上拟三角矩阵，且对每个 $n_j=2$，$\operatorname{Re}A_j$ 或 $\operatorname{Im}A_j$ 至少一个有共轭非实特征值对。若 $\operatorname{Re}A$ 与 $\operatorname{Im}A$ 特征值都实，则 $Q^TAQ$ 上三角。证明：$A=B+iC$，$B,C$ 实且交换，用 2.3.6(b) 同时化 $B,C$，$Q^TAQ=Q^TBQ+iQ^TCQ$。

2.3 节习题：

2.3.P1（显式构造以给定单位向量为首列的酉矩阵）：$x=[x_1\ y^T]^T$，取 $\theta$ 使 $e^{i\theta}x_1\ge0$，$z=e^{i\theta}x=[z_1\ \zeta^T]^T$，令 Hermite 矩阵 $V_x=\begin{bmatrix}z_1&\zeta^*\\ \zeta&-I+\frac1{1+z_1}\zeta\zeta^*\end{bmatrix}, \tag{2.3.8}$ 分块计算 $V_x^*V_x=V_x^2=I$，于是 $U=e^{-i\theta}V_x=[x\ u_2\dots u_n]$ 是酉的。2.3.P2：实单位向量的简化版本。
2.3.P3：实矩阵的非实特征值成共轭对出现。
2.3.P4：$\mathcal F=\{\begin{bmatrix}0&-1\\0&-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\end{bmatrix}\}$ 不交换但可同时上三角化——交换性充分但不必要。
2.3.P5：若两两乘积族 $\mathcal G=\{A_iA_j\}$ 交换，则 $\mathcal F$ 可同时酉上三角化 ⟺ 每个交换子 $A_iA_j-A_jA_i$ 的特征值全为 0（Hong–Horn 1985）；该假设弱于 $\mathcal F$ 交换。
2.3.P6：若 $A,B$ 可同时相似上三角化，则 $AB-BA$ 的特征值全为 0。
2.3.P7–P8（复正交相似的局限）：若 $A=Q\Delta Q^T$（$Q$ 复正交、$\Delta$ 上三角），则 $A$ 有特征向量满足 $x^Tx\ne0$；$\begin{bmatrix}1&i\\i&-1\end{bmatrix}$ 不可复正交三角化；复正交 $Q$ 的特征值 $\lambda\ne\pm1$ 对应的特征向量必有 $x^Tx=0$。
2.3.P9（加边矩阵的特征值）：$Ax=\lambda x$，$\mathcal A=\begin{bmatrix}\alpha&y^*\\x&A\end{bmatrix}$ 的特征值为 $\begin{bmatrix}\alpha&y^*x\\1&\lambda\end{bmatrix}$ 的两个特征值加上 $\lambda_2,\dots,\lambda_n$；若 $y\perp x$，特征值为 $\alpha,\lambda,\lambda_2,\dots,\lambda_n$。
2.3.P10：$c=\max|a_{ij}|$，则 $|\det A|\le c^nn^{n/2}$：(a) AM–GM 与 (2.3.2a)：$|\det A|^2\le((|\lambda_1|^2+\dots+|\lambda_n|^2)/n)^n\le(nc^2)^n$；(b) 用 Hadamard 不等式。
2.3.P11：特征值全为 0 ⟹ $A^n=0$。
2.3.P12 复合矩阵：$C_r(A)$ 的特征值是 $\binom nr$ 个乘积 $\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_r}$；$\operatorname{tr}C_r(A)=S_r(\lambda)=E_r(A)$；$\rho(C_r(A))=|\lambda_1\cdots\lambda_r|$（按模降序）；$p_A(t)=\sum_k(-1)^kt^{n-k}\operatorname{tr}C_k(A)$，$\det(I+A)=\sum_k\operatorname{tr}C_k(A)$；$A$ 非奇异时 $\det(A+B)=\sum_{k=0}^n\operatorname{tr}(\operatorname{adj}_k(A)C_k(B))$；证明 (0.8.12.3)。
2.3.P13：$A=\begin{bmatrix}-2&5\\-1&2\end{bmatrix}$ 特征值 $\pm i$，实相似于 $B=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$，但不实正交相似（平方和不等，或 $B$ 正规而 $A$ 不正规）。
2.3.P14：$|\operatorname{tr}VA|\le\sum_{i,j}|a_{ji}|$（$V$ 酉）；从而 $\sum|\lambda_i|\le\sum_{i,j}|a_{ij}|$。

延伸：(3.4.3.1) 对 2.3.1 的精化；Hong & Horn (1985)。

2.4 Schur 三角化定理的推论（Consequences of Schur's triangularization theorem）（PDF p.128–151）

本节是 Schur 定理的"丰收"：迹与行列式、多项式的特征值、Cayley–Hamilton、Sylvester 方程、Schur 形的唯一性、分块对角化、几乎可对角化、交换族与 McCoy 定理、特征值连续性、秩一扰动、双正交原理。

2.4.1 迹与行列式

若 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则 $\sum\lambda_i=\operatorname{tr}A$，$\sum_i\prod_{j\ne i}\lambda_j=\operatorname{tr}(\operatorname{adj}A)$，$\det A=\prod\lambda_i$。用 Schur 形可直接看出：对非奇异 $S$，$\operatorname{tr}(S^{-1}AS)=\operatorname{tr}A$，$\operatorname{tr}\operatorname{adj}(S^{-1}AS)=\operatorname{tr}((\operatorname{adj}S)(\operatorname{adj}A)(\operatorname{adj}S)^{-1})=\operatorname{tr}\operatorname{adj}A$，$\det(S^{-1}AS)=\det A$；于是用上三角 $T$ 计算：$\operatorname{tr}T=\sum t_{ii}$，$\det T=\prod t_{ii}$，$\operatorname{adj}T$ 的对角元为 $\prod_{j\ne i}t_{jj}$。

2.4.2 多项式的特征值

(1.1.6) 只说明 $p(A)$ 的不同特征值是 $\{p(\lambda_i)\}$；Schur 定理给出重数：$A=UTU^*$ ⟹ $p(A)=Up(T)U^*$，$p(T)$ 上三角，对角元为 $p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n)$，故这些（计重数）就是 $p(A)$ 的特征值。特别地

\operatorname{tr}A^k=\lambda_1^k+\cdots+\lambda_n^k. \tag{2.4.2.1}

练习：严格上三角 $T$ 的 $T^p$ 主对角线及前 $p-1$ 条超对角线全为零，故 $T^n=0$。由此：以下等价：(a) $A$ 幂零；(b) $A^n=0$；(c) $\sigma(A)=\{0\}$。（(c)⟹(b)：$A=UTU^*$，$T$ 严格上三角。）

2.4.3 Cayley–Hamilton 定理

引理 2.4.3.1：$R,T\in M_n$ 上三角，$r_{ij}=0$（$1\le i,j\le k<n$），且 $t_{k+1,k+1}=0$，则 $S=RT$ 满足 $s_{ij}=0$（$1\le i,j\le k+1$）。证明：$R=\begin{bmatrix}0_k&R_{12}\\0&R_{22}\end{bmatrix}$，$T=\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}$，$T_{22}=[0\ Z]$（首列为零），则 $RT=\begin{bmatrix}0_k&[0\ R_{12}Z]\\0&[0\ R_{22}Z]\end{bmatrix}$，左上 $(k+1)$ 阶主子阵为零。

定理 2.4.3.2（Cayley–Hamilton）：$p_A(t)$ 为 $A\in M_n$ 的特征多项式，则 $p_A(A)=0$。证明：$p_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n)$，$A=UTU^*$，$p_A(A)=U[(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_nI)]U^*$。$T-\lambda_1I$ 的左上 1×1 块为 0，$T-\lambda_2I$ 的 (2,2) 元为 0，由引理乘积左上 2×2 为 0；归纳：左上 $k\times k$ 为 0，乘以 $(k+1,k+1)$ 元为 0 的 $T-\lambda_{k+1}I$ 后左上 $(k+1)\times(k+1)$ 为 0。最终全零。

两个错误论证的练习：(1) "$p_A(A)$ 的特征值 $p_A(\lambda_i)=0$，故 $p_A(A)=0$"——错，特征值全零只说明幂零（例：$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ 非零）；(2) "$p_A(A)=\det(AI-A)=\det0=0$"——错，$p_A(A)$ 是先算标量多项式再代入矩阵，左边是矩阵右边是数。C–H 是纯形式结果，对任何交换环上的矩阵成立（2.4.P3）。

用途：把 $A^k(k\ge n)$ 写成 $I,A,\dots,A^{n-1}$ 的线性组合。 例 2.4.3.3：$A=\begin{bmatrix}3&1\\-2&0\end{bmatrix}$，$p_A(t)=t^2-3t+2$，$A^2=3A-2I$，$A^3=7A-6I$，$A^4=15A-14I$；$A^{-1}=-\frac12A+\frac32I=\begin{bmatrix}0&-1/2\\1&3/2\end{bmatrix}$，$A^{-2}=-\frac34A+\frac74I$。 推论 2.4.3.4：$A$ 非奇异，$p_A(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0$，则 $A^{-1}=q(A)$，$q(t)=-(t^{n-1}+a_{n-1}t^{n-2}+\cdots+a_2t+a_1)/a_0$。

练习：$A\sim B$ ⟹ $g(A)\sim g(B)$，$A,B$ 满足相同多项式方程；反之不成立。 例 2.4.3.5：$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}$，$p_A=(t-1)^3$，但 $(A-I)^2=0$，满足 2 次方程，而无 1 次方程。练习：可对角化矩阵有 $d$ 个不同特征值时 $q(t)=\prod(t-\lambda_i)$ 零化 $A$ 且无更低次的；不可对角化时零化多项式最小次数可严格大于不同特征值个数（引出最小多项式，3.3 节）。

2.4.4 Sylvester 线性矩阵方程

$AX-XB=C$ 称 Sylvester 方程（$AX-XA=0$ 是交换性的特例）。若 $AX=XB$，则 $A^kX=XB^k$，从而： 引理 2.4.4.0：$A\in M_n,B\in M_m,X\in M_{n,m}$，$AX-XB=0$ ⟹ 对任意多项式 $g$，$g(A)X-Xg(B)=0$。

定理 2.4.4.1（Sylvester）：$AX-XB=C$ 对每个 $C\in M_{n,m}$ 有唯一解 $X$ ⟺ $\sigma(A)\cap\sigma(B)=\varnothing$。特别地此时 $AX=XB$ 只有零解。若 $A,B$ 实，则对实 $C$ 有唯一实解。证明：线性映射 $T(X)=AX-XB$ 在 $M_{n,m}$ 上，只需证核为零。若 $AX=XB$，则 $p_B(A)X=Xp_B(B)=0$（C–H）。$p_B(A)=\prod_j(A-\lambda_jI)$（$\lambda_j$ 为 $B$ 的特征值）。谱不交 ⟹ 每个因子非奇异 ⟹ $p_B(A)$ 非奇异 ⟹ $X=0$。反之若 $p_B(A)X=0$ 有非零解，则某 $A-\lambda_jI$ 奇异。实情形同理（即使 $B$ 有非实特征值，实矩阵 $p_B(A)$ 非奇异 ⟺ 谱不交）。

$AX=XB$ 称缠绕关系（intertwining relation）；例：$AB=BA$、$AB=-BA$、$AB=BA^T$、$AB=B\bar A$、$AB=BA^*$。 推论 2.4.4.2：$B=B_1\oplus\cdots\oplus B_k$，$C=C_1\oplus\cdots\oplus C_k$ 共形分块，$i\ne j$ 时 $\sigma(B_i)\cap\sigma(C_j)=\varnothing$。若 $AB=CA$，则 $A=A_1\oplus\cdots\oplus A_k$ 共形块对角，且 $A_iB_i=C_iA_i$。证明：$A_{ij}B_j=C_iA_{ij}$，$i\ne j$ 时由 Sylvester 定理 $A_{ij}=0$。 基本原则：若 $AX=XB$ 且 $A,B$ 结构特殊，则 $X$ 也很可能结构特殊——用标准形代替 $A,B$ 研究。 推论 2.4.4.3：$A=S(A_1\oplus\cdots\oplus A_d)S^{-1}$，$A_j\in M_{n_j}$，各块谱两两不交。则 $AB=BA$ ⟺ $B=S(B_1\oplus\cdots\oplus B_d)S^{-1}$ 且 $A_iB_i=B_iA_i$。常见应用：$A_i=\lambda_iI_{n_i}$（于是与可对角化矩阵交换的矩阵在同一基下块对角）。

2.4.5 Schur 三角化的唯一性

不同的上三角矩阵（对角相同）可以酉相似。问：若 $T'=WTW^*$（$WT=T'W$），$W$ 是什么样？

定理 2.4.5.1：$n_1+\cdots+n_d=n$，$\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus\lambda_dI_{n_d}$（$\lambda_i$ 互异），$T,T'$ 上三角且主对角线与 $\Lambda$ 相同，按 $\Lambda$ 共形分块 $T=[T_{ij}]$、$T'=[T'_{ij}]$、$W=[W_{ij}]$，$WT=T'W$。则 (a) $W_{ij}=0$（$i>j$），即 $W$ 块上三角； (b) 若 $W$ 酉，则 $W=W_{11}\oplus\cdots\oplus W_{dd}$ 块对角； (c) 若每个 $T_{ii}$ 的第一超对角元全非零，则 $W$ 上三角；若再酉，则 $W=\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)$； (d) 若 $W$ 酉且 $t_{i,i+1}>0$、$t'_{i,i+1}>0$（所有 $i$），则 $W=wI$ 为纯量酉矩阵，此时 $T=T'$。证明：(a) 比较 $WT=T'W$ 的 $(d,1)$ 块：$W_{d1}T_{11}=T'_{dd}W_{d1}$，谱不交 ⟹ $W_{d1}=0$；再 $(d,2)$ 块 $W_{d2}T_{22}=T'_{dd}W_{d2}$ ⟹ $W_{d2}=0$……逐行向上、自左向右。(b) $W=\begin{bmatrix}W_{11}&X\\0&\hat W\end{bmatrix}$ 酉 ⟹ $X=0$（2.1.10），归纳。(c) 归结为 $d=1$：$t_{ii}=t'_{ii}=\lambda$，$t_{i,i+1}\ne0$。比较第 $n$ 行：位置 $(n,2)$：$w_{n1}t_{12}+w_{n2}\lambda=\lambda w_{n2}$ ⟹ $w_{n1}t_{12}=0$ ⟹ $w_{n1}=0$；依次 $w_{ni}t_{i,i+1}+w_{n,i+1}\lambda=\lambda w_{n,i+1}$ ⟹ $w_{ni}=0$；逐行向上得上三角。(d) $W$ 对角酉，比较 $(i,i+1)$：$w_it_{i,i+1}=t'_{i,i+1}w_{i+1}$，$w_{i+1}/w_i=t_{i,i+1}/t'_{i,i+1}$ 正实且模 1，故为 1。练习：纯量酉相似 ⟹ $A=B$；对角互异的上三角 $T,T'$ 酉相似则相似矩阵必对角，且第一超对角元正实时 $T=T'$；若 $a_{i,i+1}\ne0$，取 $D=\operatorname{diag}(1,a_{12}/|a_{12}|,a_{12}a_{23}/|a_{12}a_{23}|,\dots)$ 使 $DAD^*$ 第一超对角元为正实数。

2.4.6 每个方阵可分块对角化

定理 2.4.6.1：$A$ 的不同特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_d$，重数 $n_1,\dots,n_d$。由 2.3.1，$A$ 酉相似于 $d\times d$ 块上三角 $T=[T_{ij}]$，$T_{ii}=\lambda_iI_{n_i}+R_i$（$R_i$ 严格上三角）。则 $A$ 相似于

T_{11}\oplus T_{22}\oplus\cdots\oplus T_{dd}. \tag{2.4.6.2}

若 $A$ 实且特征值全实，两步相似都可取实。证明：$T=\begin{bmatrix}T_{11}&Y\\0&S_2\end{bmatrix}$，$\sigma(T_{11})=\{\lambda_1\}$ 与 $\sigma(S_2)=\{\lambda_2,\dots,\lambda_d\}$ 不交，Sylvester 定理给出 $T_{11}X-XS_2=-Y$ 的解；令 $M=\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}$，$M^{-1}=\begin{bmatrix}I&-X\\0&I\end{bmatrix}$，

M^{-1}TM=\begin{bmatrix}T_{11}&T_{11}X-XS_2+Y\\0&S_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&S_2\end{bmatrix}.

对 $S_2$ 重复，共 $d-1$ 次。这是通向 Jordan 标准形的重要一步。练习：若某 $T_{ij}\ (j>i)$ 非零，则由 2.2.2，$T$ 不酉相似于 $T_{11}\oplus\cdots\oplus T_{dd}$（元素平方和不同）——块对角化一般需要非酉相似。

定理 2.4.6.3：$\mathcal F$ 交换族，$A_0\in\mathcal F$ 有不同特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_d$（重数 $n_i$）。存在非奇异 $S$ 使 (a) $\hat A_0=S^{-1}A_0S=T_1\oplus\cdots\oplus T_d$，$T_i\in M_{n_i}$ 上三角、对角元全为 $\lambda_i$；(b) 对每个 $A\in\mathcal F$，$S^{-1}AS$ 上三角且与 $\hat A_0$ 共形块对角。证明：先用 2.4.6.1 取 $S_0$ 使 $S_0^{-1}A_0S_0=R_1\oplus\cdots\oplus R_d$；对 $B\in S_0^{-1}\mathcal FS_0$，$R_iB_{ij}=B_{ij}R_j$，Sylvester ⟹ $B_{ij}=0\ (i\ne j)$。各对角块族 $\mathcal F_i$ 交换，由 2.3.3 用酉 $U_i$ 同时上三角化，$S=S_0(U_1\oplus\cdots\oplus U_d)$。 推论 2.4.6.4：交换族 $\mathcal F$，存在非奇异 $S$ 与 $n_1+\cdots+n_k=n$，使每个 $A\in\mathcal F$，$S^{-1}AS=A_1\oplus\cdots\oplus A_k$，每个 $A_i$ 上三角且只有一个特征值。证明：选不同特征值最多的 $A_0$ 做 2.4.6.3，各块对应的子族若仍有矩阵具两个以上不同特征值则再分，有限步终止。

2.4.7 每个方阵几乎可对角化

定理 2.4.7.1：对任意 $A$ 和 $\epsilon>0$，存在有 $n$ 个不同特征值（故可对角化）的 $A(\epsilon)$ 使 $\sum_{i,j}|a_{ij}-a_{ij}(\epsilon)|^2<\epsilon$。证明：$U^*AU=T$，取 $E=\operatorname{diag}(\varepsilon_i)$，$|\varepsilon_i|<(\epsilon/n)^{1/2}$ 且 $t_{ii}+\varepsilon_i$ 互异；$A(\epsilon)=A+UEU^*$ 相似于 $T+E$，特征值互异；由 2.2.2，$\sum|a_{ij}-a_{ij}(\epsilon)|^2=\sum|\varepsilon_i|^2<\epsilon$。练习：条件可换为 $\max|a_{ij}-a_{ij}(\epsilon)|<\epsilon$（用 $\epsilon^2$）。 定理 2.4.7.2：对任意 $\epsilon>0$ 存在非奇异 $S_\epsilon$ 使 $S_\epsilon^{-1}AS_\epsilon=T_\epsilon$ 上三角且 $|t_{ij}(\epsilon)|\le\epsilon\ (i<j)$。证明：$U^*AU=T$，$D_\alpha=\operatorname{diag}(1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1})$，$t=\max_{i<j}|t_{ij}|$，设 $\epsilon<1$。$t\le1$ 时 $S_\epsilon=UD_\epsilon$：$t_{ij}(\epsilon)=t_{ij}\epsilon^{j-i}$，$|\cdot|\le\epsilon^{j-i}\le\epsilon$；$t>1$ 时先用 $D_{1/t}$ 预处理使非对角元模 $\le1$，$S_\epsilon=UD_{1/t}D_\epsilon$。练习变体：$\sum_{j>i}|t_{ij}(\epsilon)|\le\epsilon$。直观：可对角化矩阵在 $M_n$ 中稠密；特征值互异的矩阵构成开稠集（2.4.P1）。这是用"先对可对角化矩阵证明再取极限"这一常用技巧的依据。

2.4.8 交换族与同时三角化

定理 2.4.8.1：$A,B$ 交换，则存在特征值排序 $\alpha_1..\alpha_n$、$\beta_1..\beta_n$ 使 $A+B$ 的特征值为 $\alpha_i+\beta_i$，$AB$ 的特征值为 $\alpha_i\beta_i$。特别 $\sigma(A+B)\subseteq\sigma(A)+\sigma(B)$，$\sigma(AB)\subseteq\sigma(A)\sigma(B)$。证明：2.3.3 同时酉上三角化，$T+R$、$TR$ 的对角元。练习：交换时谱半径次可加、次可乘：$\rho(A+B)\le\rho(A)+\rho(B)$，$\rho(AB)\le\rho(A)\rho(B)$。 例 2.4.8.2：$A=\operatorname{diag}(1,2),B=\operatorname{diag}(3,4)$，$1+4=5\notin\sigma(A+B)=\{4,6\}$——包含可以是真包含。 例 2.4.8.3：不交换时，$A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}$，$\sigma(A+B)=\{\pm1\}\not\subseteq\{0\}$；且 $\rho(A+B)>\rho(A)+\rho(B)$，谱半径在 $M_n$ 上不次可加。 例 2.4.8.4（逆命题不成立）：$A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\0&0&0\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}$，$p_{\alpha A+\beta B}(t)=t^3$，特征值对所有 $\alpha,\beta$ "相加"，但 $\sigma(AB)=\{-1,0,1\}\not\subseteq\{0\}$，故不可同时三角化，更不交换。刻画"特征值可加"的矩阵对是未解决问题。 推论 2.4.8.5：$A,B$ 交换且 $\alpha_i\ne-\beta_j$（对所有 $i,j$），则 $A+B$ 非奇异。练习：$T,R$ 上三角，$p(s,t)$ 是两个非交换变量的多项式，则 $p(T,R)$ 上三角，对角元为 $p(t_{ii},r_{ii})$。

定理 2.4.8.6：$A_1,\dots,A_m$ 可同时相似上三角化 ⟺ 可同时酉相似上三角化。证明：$S=QR$，$Q^*A_iQ=RT_iR^{-1}$ 为三个上三角之积。

定理 2.4.8.7（McCoy）：$m\ge2$，$A_1,\dots,A_m\in M_n$。以下等价： (a) 对每个 $m$ 元非交换多项式 $p$ 及每对 $k,\ell$，$p(A_1,\dots,A_m)(A_kA_\ell-A_\ell A_k)$ 幂零； (b) 存在酉 $U$ 使每个 $U^*A_iU$ 上三角； (c) 存在各 $A_i$ 特征值的排序 $\lambda^{(i)}_1,\dots,\lambda^{(i)}_n$ 使对任意非交换多项式 $p$，$p(A_1,\dots,A_m)$ 的特征值为 $p(\lambda^{(1)}_i,\dots,\lambda^{(m)}_i)$，$i=1..n$。证明：(b)⟹(c)：$p(A_1..)=Up(T_1..)U^*$，看对角元。(c)⟹(a)：令 $q_{k\ell}=p\cdot(t_kt_\ell-t_\ell t_k)$，其特征值 $p(\cdot)\cdot(\lambda^{(k)}_i\lambda^{(\ell)}_i-\lambda^{(\ell)}_i\lambda^{(k)}_i)=0$，故幂零。(a)⟹(b)：由下面引理存在公共单位特征向量 $x$，$U_1$ 以之为首列：$U_1^*A_iU_1=\begin{bmatrix}\lambda^{(i)}_1&\star\\0&\tilde A_i\end{bmatrix}$ (2.4.8.8)；$U^*p(A)(A_kA_\ell-A_\ell A_k)U$ 幂零，其右下块 $p(\tilde A)(\tilde A_k\tilde A_\ell-\tilde A_\ell\tilde A_k)$ 也幂零（1,1 元为 0）(2.4.8.9)，故 $\tilde A_i$ 继承 (a)，归纳。

引理 2.4.8.10：若条件 (a) 成立，则对任意非零 $x$，存在非交换多项式 $q$ 使 $q(A_1,\dots,A_m)x$ 是 $A_1,\dots,A_m$ 的公共特征向量。 证明（$m=2$）：$C=AB-BA$，$p(A,B)C$ 对所有 $p$ 幂零。由 (1.1.9) 取 $g_1$ 使 $\xi_1=g_1(A)x$ 为 $A$ 的特征向量（$A\xi_1=\lambda\xi_1$）。情形 I：对所有多项式 $p$，$Cp(B)\xi_1=0$，即 $ABp(B)\xi_1=BAp(B)\xi_1$ (2.4.8.11)。归纳得 $AB^k\xi_1=B^kA\xi_1$，于是 $Ap(B)\xi_1=\lambda p(B)\xi_1$，$p(B)\xi_1$（非零时）是 $A$ 的特征向量；再取 $g_2$ 使 $g_2(B)\xi_1$ 是 $B$ 的特征向量，$q(s,t)=g_2(t)g_1(s)$ 即可。情形 II：存在 $f_1$ 使 $Cf_1(B)\xi_1\ne0$，取 $q_1$ 使 $\xi_2=q_1(A)Cf_1(B)\xi_1$ 为 $A$ 的特征向量；若对 $\xi_2$ 落入情形 I 则完成，否则继续构造

\xi_k=q_{k-1}(A)Cf_{k-1}(B)\xi_{k-1}\quad(2.4.8.12)

直到情形 I 出现或 $k=n+1$。若始终不出现，$\xi_1..\xi_{n+1}$ 线性相关：$\sum c_i\xi_i=0$，$r=\min\{i:c_i\ne0\}$；用 (2.4.8.12) 展开 (2.4.8.13) 得 $-c_r\xi_r=p(A,B)Cf_r(B)\xi_r$ 的形式，即 $f_r(B)\xi_r$ 是 $p(A,B)C$ 对应非零特征值 $-c_r$ 的特征向量，与幂零矛盾。注：若 (b) 改为同时相似（非酉），McCoy 定理对包含所有特征值的 $\mathbb C$ 的任何子域成立。

2.4.9 特征值的连续性

引理 2.4.9.1：$A_k\to A$（逐元收敛），则存在子列 $k_1<k_2<\cdots$ 与酉 $U_{k_i}$ 使 (a) $T_i=U_{k_i}^*A_{k_i}U_{k_i}$ 上三角；(b) $U=\lim U_{k_i}$ 存在且酉；(c) $T=U^*AU$ 上三角；(d) $T_i\to T$。证明：酉群紧（引理 2.1.8）取收敛子列，三因子乘积收敛，上三角极限仍上三角。

定理 2.4.9.2（特征值连续依赖于元素）：$A_k\to A$，$\lambda(A),\lambda(A_k)$ 为给定的特征值排列向量，$S_n$ 为置换群。则对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $N$ 使

\min_{\pi\in S_n}\max_{i}|\lambda_{\pi(i)}(A_k)-\lambda_i(A)|\le\varepsilon,\quad k\ge N. \tag{2.4.9.3}

证明：反证，存在 $\varepsilon_0$ 和子列使对所有 $\pi$，$\max_i|\cdot|>\varepsilon_0$ (2.4.9.4)；但引理给出子子列使 Schur 形对角线（特征值的某种排列）收敛到 $T$ 的对角线，矛盾。显式界见附录 D (D2)。证明同时用到 Schur 定理的两面：酉（紧性）与三角（对角线就是特征值）。

2.4.10 秩一扰动的特征值

定理 2.4.10.1（A. Brauer）：$A$ 特征值 $\lambda,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，$Ax=\lambda x$（$x\ne0$），则对任意 $v\in\mathbb C^n$，$A+xv^*$ 的特征值为 $\lambda+v^*x,\lambda_2,\dots,\lambda_n$。证明：$\xi=x/\|x\|_2$，$U=[\xi\ u_2\dots u_n]$ 酉，$U^*AU=\begin{bmatrix}\lambda&\star\\0&A_1\end{bmatrix}$；$U^*xv^*U=\begin{bmatrix}\|x\|_2\\0\end{bmatrix}[v^*\xi\ v^*u_2\cdots]=\begin{bmatrix}v^*x&\star\\0&0\end{bmatrix}$，相加即得。（另一途径见 1.2.8。）意义：秩一扰动可任意移动一个特征值而不动其他特征值（如 Google PageRank、紧缩法）。

2.4.11 完整的双正交原理（complete principle of biorthogonality）

定理 2.4.11.1：$A\in M_n$，单位向量 $x,y$，$\lambda,\mu\in\mathbb C$。 (a) 若 $Ax=\lambda x$，$y^*A=\mu y^*$，$\lambda\ne\mu$，则 $y^*x=0$；令 $U=[x\ y\ u_3\dots u_n]$ 酉，则

U^*AU=\begin{bmatrix}\lambda&\star&\star\\0&\mu&0\\0&\star&A_{n-2}\end{bmatrix}. \tag{2.4.11.2}

(b) 若 $Ax=\lambda x$，$y^*A=\lambda y^*$，$y^*x=0$，则 $U^*AU$ 同上形式但 (2,2) 元为 $\lambda$ (2.4.11.3)，且 $\lambda$ 的代数重数至少为 2。 (c) 若 $Ax=\lambda x$，$y^*A=\lambda y^*$，$y^*x\ne0$，令 $S=[x\ S_1]$，$S_1$ 的列为 $y^\perp$ 的基，则 $S$ 非奇异，$S^{-*}$ 首列是 $y$ 的非零倍数，且

S^{-1}AS=\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&A_{n-1}\end{bmatrix}. \tag{2.4.11.4}

在 (c) 的假设（存在非正交的左右特征向量对）下，若 $\lambda$ 的几何重数为 1，则其代数重数也为 1。反之若 $A$ 相似于 (2.4.11.4) 形式，则对 $\lambda$ 存在非正交的左右特征向量对。 (d) 若 $Ax=\lambda x$，$x^*A=\lambda x^*$（$x$ 称正规特征向量，normal eigenvector），$U=[x\ U_1]$ 酉，则 $U^*AU$ 为 (2.4.11.4) 形式（酉的块对角收缩）。 证明要点：(a) 第二行额外的零来自左特征向量：$y^*Au_i=\mu y^*u_i=0$；(b) 同理，重数见 1.2.P14；(c) 见 1.4.7、1.4.12；(d) $x^*AU_1=\lambda x^*U_1=0$ 给出第一行的零。

2.4 节习题（PDF p.144–151）

2.4.P1：特征值互异的矩阵构成 $M_n$ 的开子集（由 2.4.9.2）。
2.4.P2：上三角矩阵的秩 ≥ 非零对角元个数；$A$ 恰有 $k$ 个非零特征值则 $\operatorname{rank}A\ge k$（可对角化时取等）；由 $\Big|\sum_{i=1}^k\lambda_i\Big|^2\le k\sum|\lambda_i|^2=k\sum|t_{ii}|^2\le k\sum|t_{ij}|^2=k\sum|a_{ij}|^2$ 得 $\operatorname{rank}A\ge|\operatorname{tr}A|^2/\operatorname{tr}(A^*A)$，等号 ⟺ $T=aI_k\oplus0_{n-k}$。
2.4.P3（交换环上的 Cayley–Hamilton，Buchheim 1884 证法）：$(tI-A)\operatorname{adj}(tI-A)=p_A(t)I=It^n+a_{n-1}It^{n-1}+\cdots+a_0I$ (2.4.12)；$\operatorname{adj}(tI-A)=A_{n-1}t^{n-1}+\cdots+A_1t+A_0$ (2.4.13)，$A_0=(-1)^{n-1}\operatorname{adj}A$；比较系数得 $A_{n-1}=I$，$A_{n-2}-AA_{n-1}=a_{n-1}I$，…，$A_0-AA_1=a_1I$，$-AA_0=a_0I$ (2.4.15)；第 $k$ 式左乘 $A^{n-k+1}$ 相加得 $p_A(A)=0$；左乘 $A^{n-k}$ 加前 $n$ 式得 $\operatorname{adj}A=(-1)^{n-1}(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_2A+a_1I) \tag{2.4.16}$ （adj $A$ 是 $A$ 的多项式，系数为特征多项式系数倒序）；且 $A_{n-k-1}=A^k+a_{n-1}A^{k-1}+\cdots+a_{n-k}I$ (2.4.17)。只用加法和乘法，无除法、无求根。
2.4.P4：$A,B$ 交换 ⟹ $B$ 与 $\operatorname{adj}A$ 交换，$\operatorname{adj}A$ 与 $\operatorname{adj}B$ 交换；$A$ 非奇异时 $B$ 与 $A^{-1}$ 交换。
2.4.P5：$\begin{bmatrix}0&\epsilon\\0&0\end{bmatrix}$ 说明不可对角化矩阵可以任意接近可对角化矩阵（0）；若原矩阵特征值互异则不会。
2.4.P6：$A=\operatorname{diag}(1,2,3)$，$B=\begin{bmatrix}-2&1&2\\-1&-2&-1\\1&1&1\end{bmatrix}$，$\sigma(aA+bB)=\{a-2b,2a-2b,3a+b\}$ 对所有 $a,b$ 成立（性质 L），但不可同时三角化；问 $AB$ 的特征值。
2.4.P7：用 2.3.P6 判据（$AB-BA$ 特征值全零）检验 2.4.8.4 与 2.4.P6。
2.4.P8：$A=UBU^*$ ⟹ $p(A,A^*)=Up(B,B^*)U^*$，故 $\operatorname{tr}p(A,A^*)=\operatorname{tr}p(B,B^*)$——与 Specht 定理的关系。
2.4.P9 Newton 恒等式：$p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_0$ 的零点 $\lambda_i$，幂和 $\mu_k=\sum\lambda_i^k$（$\mu_0=n$）： $ka_{n-k}+a_{n-k+1}\mu_1+\cdots+a_{n-1}\mu_{k-1}+\mu_k=0\ (k=1,\dots,n-1), \tag{2.4.18}$ $a_0\mu_k+a_1\mu_{k+1}+\cdots+a_{n-1}\mu_{n+k-1}+\mu_{n+k}=0\ (k\ge0). \tag{2.4.19}$ 证法：$|t|>R$ 时 $f(t)=\sum(t-\lambda_i)^{-1}=nt^{-1}+\mu_1t^{-2}+\mu_2t^{-3}+\cdots$，且 $p'(t)=p(t)f(t)$，比较系数。前 $n$ 个幂和唯一决定首一多项式的系数（另见 3.3.P18）。
2.4.P10：$A,B$ 特征多项式相同 ⟺ $\operatorname{tr}A^k=\operatorname{tr}B^k$（$k=1..n$）；$A$ 幂零 ⟺ $\operatorname{tr}A^k=0$（$k=1..n$）。
2.4.P11 交换子：$C=AB-BA$：(a) $\operatorname{tr}C=0$；(b) 交换子不必幂零；(c) $\operatorname{rank}C\le1$ ⟹ $C$ 幂零；(d) $\operatorname{rank}C=0$ ⟹ 同时酉三角化；(e) Laffey 定理：$\operatorname{rank}C=1$ ⟹ $A,B$ 可同时三角化（证明概要：设 $A$ 奇异；若 $\ker A$ 为 $B$-不变则得公共不变子空间；否则取 $Ax=0,ABx\ne0$，$C=ABxz^T$，推出 $\operatorname{range}BA\subset\operatorname{range}AB\subset\operatorname{range}A$，$\operatorname{range}A$ 为 $B$-不变；化为块三角后对角块交换子至少一个为零，递归）。
2.4.P12：(a) Jacobson 引理：若 $C$ 与 $A$ 或 $B$ 交换，则 $\operatorname{tr}C^k=\operatorname{tr}(AC^{k-1}B-C^{k-1}BA)=0$，故 $C$ 幂零；(b) $n=2$ 时 $C$ 与 $A,B$ 都交换 ⟺ $C=0$；(c) $A$ 可对角化时 $C$ 与 $A$ 交换 ⟺ $C=0$；(d)(e) 拟交换（quasicommute）：$A,B$ 都与 $C$ 交换，则 $p(A,B)C$ 幂零，由 McCoy 定理可同时三角化（小 McCoy 定理）；(f) $n=2$：可同时三角化 ⟺ $C^2=0$；(g) $n=3$ 反例 $A=E_{12}$，$B=E_{23}+E_{31}$：$A$ 与 $C$ 交换但 $B$ 不，$B,C$ 不可同时三角化；(h) Laffey：$n=3$ 时可同时三角化 ⟺ $C,AC^2,BC^2$ 及 $A^2C^2,ABC^2,B^2C^2$ 之一幂零；$C^2=0$ 足够，$C^3=0$ 不够。
2.4.P13：Sylvester 定理的另一证明：$T_1(X)=AX$、$T_2(X)=XB$ 交换，$T=T_1-T_2$ 的特征值是差 $\lambda-\mu$；$X=xy^*$（$x$ 为 $A$ 的右特征向量、$y$ 为 $B$ 的左特征向量）给出 $T(X)=(\lambda-\mu)X$，谱恰为所有差。
2.4.P14：$\operatorname{rank}A=r$ ⟹ $A$ 酉相似于前 $r$ 行线性无关、后 $n-r$ 行为零的上三角矩阵。
2.4.P15 二元 Cayley–Hamilton：$p_{A,B}(s,t)=\det(tB-sA)$；可同时三角化时 $=\prod(t\beta_i-s\alpha_i)$；$A,B$ 交换时 $p_{A,B}(B,A)=\prod(\beta_iA-\alpha_iB)=0$；$n=2$：$(\det B)A^2-(\operatorname{tr}(A\operatorname{adj}B))AB+(\det A)B^2=0$；$n=3$ 类似公式；$B=I$ 即普通 C–H。
2.4.P16：2×2 中 $\mu=a+d-\lambda$ 为另一特征值，$(A-\lambda I)(A-\mu I)=0$，故 $A-\lambda I$ 的非零列是 $\mu$ 的特征向量，非零行给出 $\lambda$ 的左特征向量（快速求 2×2 特征向量的技巧）。
2.4.P17：$A,B$ 生成的子代数 $\mathcal A(A,B)$；$n=2$，$A=E_{12},B=A^T$ 时维数为 $n^2$；$\dim\mathcal A(A,I)\le n$（C–H）；Gerstenhaber 定理：交换时 $\dim\mathcal A(A,B)\le n$。
2.4.P18–P19：块上三角矩阵幂零 ⟺ 对角块幂零；块上三角的同时三角化 ⟺ 对应对角块族分别可同时三角化。
2.4.P20：$AB=0$ ⟹ $C^2=0$，由 McCoy 可同时三角化。
2.4.P21 矩矩阵与判别式：Hankel 矩阵 $K=[\operatorname{tr}A^{i+j-2}]$，$K=VV^T$（$V$ 为 Vandermonde），$\det K=\prod_{i<j}(\lambda_j-\lambda_i)^2$ 是判别式；特征值互异 ⟺ $K$ 非奇异；$K$ 相似不变。例 (2.4.20)：符号模式 $A=\begin{bmatrix}a&b&0\\0&0&c\\d&-e&0\end{bmatrix}$（$a..e>0$）的 $\det K=-27b^2c^2d^2-4c^3e^3-4a^4ce-8a^2c^2e^2-4a^3bcd-36abc^2de<0$，故总有三个互异特征值（"要求互异特征值"的符号模式）。
2.4.P22：$K_m=V_mDV_m^T$，$\operatorname{rank}K=$ 不同特征值个数；$d=\max\{m:K_m\text{ 非奇异}\}$。
2.4.P23–P24：$\operatorname{adj}T$ 上三角，对角元 $\prod_{j\ne i}t_{jj}$；$\operatorname{adj}A$ 的特征值为 $\prod_{j\ne i}\lambda_j$。
2.4.P25：2×2 时 $A$ 酉相似于 $\begin{bmatrix}\lambda_1&x\\0&\lambda_2\end{bmatrix}$，$x\ge0$，$x^2=\operatorname{tr}AA^*-|\lambda_1|^2-|\lambda_2|^2$；$A,B\in M_2$ 酉相似 ⟺ $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B$，$\operatorname{tr}A^2=\operatorname{tr}B^2$，$\operatorname{tr}AA^*=\operatorname{tr}BB^*$。
2.4.P26–P28：$BCp(BC)=Bp(CB)C$；$A=BC$（$B\in M_{n,k}$）则存在次数 ≤ $k+1$ 的零化多项式；奇异 $A$ 秩为 $r$ 则存在次数 ≤ $r+1$ 的零化多项式。
2.4.P29：$\lambda$ 为单特征值、$Ax=\lambda x$、$y^*A=\lambda y^*$，则 $A-\lambda I+\kappa xy^*$ 对 $\kappa\ne0$ 非奇异。
2.4.P30：$p(t)=h(t)p_A(t)+r(t)$，$\deg r<n$，则 $p(A)=r(A)$（系统计算高次幂）。
2.4.P31–P32：特征值全零 ⟹ $A^n=0$；$\operatorname{tr}(AB-BA)=0$，故 $AB-BA=cI$（$c\ne0$）不可能（有限维中无 Heisenberg 关系）。
2.4.P33：$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}$ 对角块谱不交，$B^p=A$ ⟹ $B$ 共形块上三角，$B_{11}^p=A_{11}$，$B_{22}^p=A_{22}$。
2.4.P34：2×2 直接验证 $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0$。
2.4.P35：$A$ 与所有酉矩阵交换 ⟺ $A$ 为纯量矩阵。

注记：同时三角化专著见 Radjavi & Rosenthal (2000)；McCoy (1936)；证明改编自 Drazin–Dungey–Gruenberg (1951)。性质 L：$\sigma(aA+bB)=\{a\alpha_j+b\beta_{i_j}\}$ 对所有 $a,b$；条件 (2.4.8.7c) 称性质 P；P ⟹ L，L ⟹ P 仅 $n=2$ 成立；正规矩阵对有性质 L ⟺ 交换（Wiegmann 1953）。近似版：非奇异 $A,B$ 特征多项式相同 ⟺ $|\operatorname{tr}A^k-\operatorname{tr}B^k|\le1$（$k=\pm1,\pm2,\dots$）。量子力学中 $xp_x-p_xx=i\hbar I$（无穷维），位置与动量都与其交换子交换（拟交换）。历史：Cayley (1858) 只验证 2×2（与 3×3），Frobenius (1878) 首个严格证明（先引入最小多项式）。

2.5 正规矩阵（Normal matrices）（PDF p.151–169）

正规矩阵类在矩阵分析中无处不在，包括酉、Hermite、斜 Hermite、实正交、实对称、实斜对称矩阵。

定义 2.5.1：$A\in M_n$ 称正规，若 $AA^*=A^*A$。练习（性质清单）：正规类对复数数乘、酉相似、直和封闭；$A\oplus B$ 正规 ⟹ $A,B$ 正规；$\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 正规，特征值 $a\pm ib$；酉、Hermite、斜 Hermite 矩阵都正规；$A=\begin{bmatrix}1&e^{i\pi/4}\\-e^{i\pi/4}&1\end{bmatrix}$ 正规，但其任何纯量倍都不是酉、Hermite 或斜 Hermite 的（正规类严格更大）；对角矩阵正规，Hermite 对角阵必实；酉/Hermite/斜 Hermite 类对酉相似封闭；Hermite 矩阵对角元实，斜 Hermite 对角元纯虚，实斜对称对角元为 0；$A$ 可酉对角化 ⟺ 存在 $n$ 个标准正交特征向量。

几何解释：$A=[c_1\dots c_n]$，$A^T=[r_1\dots r_n]$。$A^*A=AA^*$ ⟺ $c_i^*c_j=\overline{r_i^*r_j}$ 对所有 $i,j$。特别 $\|c_i\|_2=\|r_i\|_2$：每列与对应行等长；列为零 ⟺ 对应行为零。实正规矩阵还有 $\langle c_i,c_j\rangle=\langle r_i,r_j\rangle$，即第 $i,j$ 列夹角等于第 $i,j$ 行夹角。

引理 2.5.2：$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}$（对角块方阵），则 $A$ 正规 ⟺ $A_{11},A_{22}$ 正规且 $A_{12}=0$。块上三角矩阵正规 ⟺ 非对角块全零、对角块全正规；特别上三角矩阵正规 ⟺ 对角。证明：比较 $AA^*=A^*A$ 的 (1,1) 块：$A_{11}^*A_{11}=A_{11}A_{11}^*+A_{12}A_{12}^*$，取迹得 $\operatorname{tr}A_{12}A_{12}^*=0$，即 $A_{12}$ 元素平方和为 0，$A_{12}=0$。块上三角情形对 $B=\begin{bmatrix}B_{11}&X\\0&\tilde B\end{bmatrix}$ 归纳。练习：$A$ 正规，$A[\alpha,\alpha^c]=0$ ⟹ $A[\alpha^c,\alpha]=0$。

定理 2.5.3（正规矩阵的谱定理，spectral theorem for normal matrices）：$A$ 特征值 $\lambda_1..\lambda_n$。以下等价： (a) $A$ 正规；(b) $A$ 可酉对角化；(c) $\sum_{i,j}|a_{ij}|^2=\sum_i|\lambda_i|^2$；(d) $A$ 有 $n$ 个标准正交特征向量。（(a)⟺(b) 通常称为正规矩阵的谱定理。）证明：$A=UTU^*$。(a)⟹(b)：$T$ 正规且上三角 ⟹ 对角（2.5.2）。(b)⟹(c)：2.2.2。(c)⟹(d)：$\operatorname{tr}A^*A=\sum|\lambda_i|^2+\sum_{i<j}|t_{ij}|^2$，(c) 迫使 $\sum_{i<j}|t_{ij}|^2=0$，$T$ 对角，$AU=UT$ 即 $Au_i=t_{ii}u_i$，$U$ 的列是标准正交特征向量。(d)⟹(a)：标准正交组线性无关，故 $A$ 可对角化且对角化矩阵可取酉的，$A=U\Lambda U^*$，$AA^*=U|\Lambda|^2U^*=A^*A$。

正规矩阵表示 $A=U\Lambda U^*$（$U$ 酉、$\Lambda$ 对角）称为 $A$ 的谱分解（spectral decomposition）。练习：正规矩阵无亏（nondefective），每个特征值几何重数 = 代数重数；正规时 $Ax=\lambda x\iff x^*A=\lambda x^*$（右特征向量也是左特征向量，取 $x$ 为 $U$ 的首列，$A^*=U\bar\Lambda U^*$）；不同特征值的特征向量正交（结合双正交原理）。

酉对角化的操作流程：已知不同特征值 $\lambda_1..\lambda_d$，对每个特征空间求基并正交化；特征空间两两正交且维数等于重数（都由正规性保证），并起来即 $\mathbb C^n$ 的标准正交基，排成 $U$。但对角化酉矩阵从不唯一：若 $X,Y\in M_{n,k}$ 列标准正交且列空间相同，则 $X=YG$，$G$ 必酉。

定理 2.5.4（谱分解的唯一性）：$A$ 正规，不同特征值 $\lambda_1..\lambda_d$，重数 $n_i$，$\Lambda=\lambda_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus\lambda_dI_{n_d}$，$A=U\Lambda U^*$。 (a) $A=V\Lambda V^*$（$V$ 酉）⟺ 存在酉 $W_i\in M_{n_i}$ 使 $U=V(W_1\oplus\cdots\oplus W_d)$； (b) 两个正规矩阵酉相似 ⟺ 特征值相同。证明：(a) $W=U^*V$ 与 $\Lambda$ 交换，由 2.4.4.2 块对角；反之直接计算。(b) $B=V\Lambda V^*$，则 $(UV^*)B(UV^*)^*=A$。

定理 2.5.5：$\mathcal N\subseteq M_n$ 为正规矩阵族，则 $\mathcal N$ 交换 ⟺ 可同时酉对角化。对给定 $A_0\in\mathcal N$ 及其特征值的任意排序，可取 $U$ 使 $U^*A_0U=\operatorname{diag}(\lambda_1..\lambda_n)$ 且对每个 $B\in\mathcal N$，$U^*BU$ 对角。（证明：2.3.3 + 三角正规 ⟹ 对角；排序靠置换矩阵。）

定理 2.5.6（Hermite 矩阵谱定理）：$A$ Hermite，特征值 $\lambda_1..\lambda_n$，则 (a) 特征值全实；(b) 可酉对角化；(c) 存在酉 $U$ 使 $A=U\Lambda U^*$。证明：Hermite 类对酉相似封闭，Hermite 对角阵对角元实。对比第 1 章：这里不需假设特征值互异，也不需假设可对角化——标准正交特征基由正规性结构性保证。

实正规矩阵：

引理 2.5.7：$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in M_2(\mathbb R)$ 正规且有共轭非实特征值对，则 $c=-b\ne0$，$d=a$。证明：$AA^T=A^TA\iff b^2=c^2$ 且 $ac+bd=ab+cd$；$b=c$ 则对称、特征值实，矛盾；故 $b=-c\ne0$，$b(d-a)=b(a-d)$ ⟹ $a=d$。

定理 2.5.8（实正规矩阵的实正交标准形）：$A\in M_n(\mathbb R)$ 正规。 (a) 存在实正交 $Q$ 使 $Q^TAQ=A_1\oplus\cdots\oplus A_m$（实拟对角，2.5.9），1×1 块给出所有实特征值，2×2 块为特殊形式

\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix},\ b>0,\ \text{特征值 }a\pm ib; \tag{2.5.10}

(b) 直和项完全由特征值决定，可按任意顺序； (c) 两个实正规矩阵实正交相似 ⟺ 特征值相同。证明：2.3.4(b) 得实上拟三角形，正规 + 2.5.2 ⟹ 拟对角，2×2 块正规有非实特征值，由 2.5.7 为特殊形式（用 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 相似可使 $b>0$），置换调整顺序。

推论 2.5.11：$A\in M_n(\mathbb R)$。 (a) $A=A^T$ ⟺ 存在实正交 $Q$ 使 $Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1..\lambda_n)$ (2.5.12)；两个实对称矩阵实正交相似 ⟺ 特征值相同。 (b) $A=-A^T$ ⟺ 存在实正交 $Q$ 与 $p\ge0$ 使

Q^TAQ=0_{n-2p}\oplus b_1\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus b_p\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix},\ b_j>0; \tag{2.5.13}

非零特征值为 $\pm ib_1..\pm ib_p$。 (c) $AA^T=I$ ⟺ 存在实正交 $Q$ 使

Q^TAQ=\Lambda_{n-2p}\oplus\begin{bmatrix}\cos\theta_1&\sin\theta_1\\-\sin\theta_1&\cos\theta_1\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\begin{bmatrix}\cos\theta_p&\sin\theta_p\\-\sin\theta_p&\cos\theta_p\end{bmatrix}, \tag{2.5.14}

$\Lambda_{n-2p}=\operatorname{diag}(\pm1,\dots,\pm1)$，$\theta_j\in(0,\pi)$，特征值为 $\pm1$ 与 $e^{\pm i\theta_j}$。证明：都是实正规，看 (2.5.9) 各块：对称 ⟹ 无 2×2 块；斜对称 ⟹ 1×1 块为 0、2×2 块对角为 0；正交 ⟹ 1×1 块 $\pm1$，2×2 块 $a^2+b^2=1$，$a=\cos\theta,b=\sin\theta$。练习：$A_1=\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$（$b\ne0$）与 $A_2=\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{bmatrix}$ 交换 ⟺ $\alpha=\delta,\gamma=-\beta$；$\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}$ 经 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 实正交相似。

定理 2.5.15（交换实正规族）：$\mathcal N\subseteq M_n(\mathbb R)$ 交换实正规族，存在实正交 $Q$ 与 $q\ge0$，使每个 $A\in\mathcal N$

Q^TAQ=\Lambda(A)\oplus\begin{bmatrix}a_1(A)&b_1(A)\\-b_1(A)&a_1(A)\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\begin{bmatrix}a_q(A)&b_q(A)\\-b_q(A)&a_q(A)\end{bmatrix} \tag{2.5.15a}

$\Lambda(A)\in M_{n-2q}(\mathbb R)$ 对角，且每个 $j$ 存在某 $A$ 使 $b_j(A)>0$。证明：2.3.6(b) + 2.5.2 得拟对角；每个 2×2 位置的交换族中有一个是特殊形式（$b\ne0$），由上一练习所有成员都是特殊形式。

定理 2.5.16（Fuglede–Putnam）：$A\in M_n,B\in M_m$ 正规，$X\in M_{n,m}$，则 $AX=XB\iff A^*X=XB^*$。证明：$A=U\Lambda U^*$，$B=VMV^*$，$U^*XV=[\xi_{ij}]$。$AX=XB\iff\Lambda(U^*XV)=(U^*XV)M\iff\xi_{ij}(\lambda_i-\mu_j)=0\iff\xi_{ij}\overline{(\lambda_i-\mu_j)}=0\iff\bar\Lambda(U^*XV)=(U^*XV)\bar M\iff A^*X=XB^*$。关键事实：$ab=0\iff a\bar b=0$。（另证见 2.5.P26。）

练习：$A$ 正规，$\bar AA=A\bar A$，$A=B+iC$（$B,C$ 实），则 $B,C$ 正规且交换（$B=(A+\bar A)/2$）。练习：$A=\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}\in M_2(\mathbb C)$，$b\ne0$，$A_0=\begin{bmatrix}1&i\\-i&1\end{bmatrix}$，$Q=\operatorname{diag}(1,-1)$：(a) $A$ 非奇异 ⟺ $A=c\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{bmatrix}$，$c,\beta\ne0$，$\alpha^2+\beta^2=1$；(b) $A$ 奇异非零 ⟺ $A$ 是 $A_0$ 或 $\bar A_0$ 的非零倍；(c) $\bar A_0=QA_0Q^T$。

定理 2.5.17：$A$ 正规，以下等价：(a) $\bar AA=A\bar A$；(b) $A^TA=AA^T$；(c) 存在实正交 $Q$ 使 $Q^TAQ$ 是（任意指定顺序的）零块或下列块的非零纯量倍的直和：

[1],\ \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}1&i\\-i&1\end{bmatrix},\quad a\ne0\ne b,\ a^2+b^2=1. \tag{2.5.17.1}

反之，实正交相似于这类块的复纯量倍直和的矩阵必正规且 $A\bar A=\bar AA$。证明：(a)⟺(b)：由 Fuglede–Putnam，$\bar AA=A\bar A\iff A^TA=(\bar A)^*A=A(\bar A)^*=AA^T$。$A=B+iC$，$\{B,C\}$ 是交换实正规族，2.5.15 给出 $Q^TBQ$、$Q^TCQ$ 同形，合起来

Q^TAQ=\Lambda(A)\oplus\begin{bmatrix}\alpha_1(A)&\beta_1(A)\\-\beta_1(A)&\alpha_1(A)\end{bmatrix}\oplus\cdots \tag{2.5.17.2}

$\alpha_j=a_j(B)+ia_j(C)$，$\beta_j=b_j(B)+ib_j(C)\ne0$；再由前述练习分类每个 2×2 块。练习：(2.5.17.1) 前两块酉；第三块复正交但非酉；第四块奇异。

推论 2.5.18：$U$ 酉。(a) 若 $U$ 对称，存在实正交 $Q$ 和实 $\theta_j\in[0,2\pi)$ 使 $U=Q\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n})Q^T$ (2.5.19.1)；(b) 若 $U$ 斜对称，则 $n$ 偶且 $U=Q\big(e^{i\theta_1}\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus e^{i\theta_{n/2}}\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\big)Q^T$ (2.5.19.2)。反之这些形式分别是酉对称、酉斜对称的。证明：$UU^T=U^TU$，用 2.5.17，只能选对称（或斜对称）块，模为 1。练习：$U$ 同时酉且复正交 ⟺ 实正交（$U^{-1}=U^*=U^T$）。

推论 2.5.20：$U$ 酉。(a) 若 $U$ 对称，存在酉对称 $V$ 使 $V^2=U$ 且 $V$ 是 $U$ 的多项式（故与所有和 $U$ 交换的矩阵交换）；(b) 酉矩阵的 QS 分解：存在实正交 $Q$ 与对称酉 $S$ 使 $U=QS$，且 $S$ 是 $U^TU$ 的多项式。证明：(a) $U=P\operatorname{diag}(e^{i\theta_j})P^T$，取插值多项式 $p(e^{i\theta_j})=e^{i\theta_j/2}$（0.9.11.4），$V=p(U)=P\operatorname{diag}(e^{i\theta_j/2})P^T$。(b) 对对称酉 $U^TU$ 用 (a) 得 $S^2=U^TU$，$Q=US^*$，$Q^TQ=S^*U^TUS^*=S^*S^2S^*=I$，$Q$ 既酉又复正交 ⟹ 实正交。练习：也有 $U=SQ$，$S$ 为 $UU^T$ 的多项式。

定理 2.5.21（实矩阵的酉相似 ⟹ 实正交相似）：$\mathcal F=\{A_\alpha\},\mathcal G=\{B_\alpha\}\subset M_n(\mathbb R)$。若存在酉 $U$ 使对所有 $\alpha$，$A_\alpha=UB_\alpha U^*$，则存在实正交 $Q$ 使 $A_\alpha=QB_\alpha Q^T$。特别两实矩阵酉相似 ⟺ 实正交相似（类比 1.3.29：实矩阵复相似 ⟺ 实相似）。证明：$A_\alpha=\bar A_\alpha=\bar UB_\alpha U^T$，故 $U^TUB_\alpha=B_\alpha U^TU$；QS 分解 $U=QS$，$S$ 是 $U^TU$ 的多项式，与 $B_\alpha$ 交换，$A_\alpha=QSB_\alpha S^*Q^T=QB_\alpha SS^*Q^T=QB_\alpha Q^T$。

2.5 节习题（PDF p.161–167）

P1：$A$ 正规 ⟺ $\|Ax\|_2=\|A^*x\|_2$ 对所有 $x$。P2–P4：正规矩阵是酉/Hermite/斜 Hermite ⟺ 特征值模 1/实/纯虚。P5：$iA$ 在 Hermite 与斜 Hermite 间转换。
P6：$A$ 正规 ⟺ 与某个特征值互异的正规矩阵交换。P7：$A=B^{-1}B^*$ 酉 ⟺ $B$ 正规；$B=HNH$ 时 $A$ 相似于酉矩阵。
P8：$A=H(A)+iK(A)$（Hermite 部与斜部）正规 ⟺ $H(A),K(A)$ 交换。P9：$H(A)$ 的每个特征向量都是 $K(A)$ 的特征向量 ⟹ 正规；逆不成立（$\begin{bmatrix}1&i\\-i&1\end{bmatrix}$）。
P10：$A,B$ 正规且交换 ⟹ $AB,A\pm B$ 正规；反例 $A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}-1&1\\1&1\end{bmatrix}$：$A,B,AB,BA$ 都正规但不交换。
P11–P13：$\bar z=e^{i\theta}z$，$|z|=e^{i\tau}z$；对角 $\Lambda$ 存在对角酉 $U,V$ 使 $\bar\Lambda=U\Lambda$，$|\Lambda|=V\Lambda$；$A$ 正规 ⟺ 存在酉 $V$ 使 $A^*=AV$；正规时 $\operatorname{range}A=\operatorname{range}A^*$。
P14：实矩阵正规且特征值全实 ⟺ 对称。P15–P16：两个正规矩阵相似 ⟺ 特征多项式相同 ⟺ 酉相似（非正规时不成立：$0_2$ 与 $E_{12}$）；给出相似但不酉相似的可对角化矩阵例。
P17–P19：$p(A)$ 正规；$p(A)$ 正规不推出 $A$ 正规；$A$ 正规 ⟺ $A+aI$ 正规（直接从定义）。P20–P21：正规时右特征向量即左特征向量；$\ker A=\ker A^*$；$B=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}$ 可对角化但 $\ker B\ne\ker B^*$。
P22：Hermite 矩阵特征多项式系数实。P23：$\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}$ 正规、$\begin{bmatrix}i&i\\i&-1\end{bmatrix}$ 不正规——复对称矩阵不必正规（与实对称的重要区别）。P24：正规且幂零 ⟹ $A=0$。
P25：$A,B$ 正规，$AX=X\bar B\iff A^*X=XB^T$。P26：(a) $A^*=p(A)$ ⟹ 正规；(b) 正规 ⟹ 存在次数 ≤ $n-1$ 的 $p$ 使 $A^*=p(A)$（Lagrange 插值）；(c)(d) 实系数版本；(e)(f) 对两正规矩阵同一多项式；(g) 由此证 Fuglede–Putnam。
P27：$AB^*,B^*A$ 正规 ⟹ $BA^*A=AA^*B$；$A\bar A$ 正规（合同正规，congruence normal）⟺ $AA^*A^T=A^TA^*A$；此时 $A\bar A,\overline{A^*A},AA^*$ 交换。
P28：Hermite $A,B$ 且 $AB$ 正规：$BA$ 正规；$A$ 与 $B^2$ 交换；若 $A=p(A^2)$ 或 $B=p(B^2)$ 则 $A,B$ 交换且 $AB$ Hermite（如 $A$ 或 $B$ 半正定）；例 $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}$。
P29：$A\in M_2$，$bc\ne0$：正规 ⟺ $c=e^{i\theta}b$ 且 $a-d=e^{i\theta}b(\bar a-\bar d)/\bar b$；正规时 $e^{-i(\phi+\theta/2)}(A-aI)$ Hermite（本质 Hermite）；实情形：正规 ⟺ $A=A^T$ 或 $c=-b,a=d$。
P30：正规 ⟺ $(Ax)^*(Ay)=(A^*x)^*(A^*y)$；实情形 $Ax,Ay$ 夹角等于 $A^Tx,A^Ty$ 夹角。P31：实正规且 $AA^T$ 有 $n$ 个互异特征值 ⟹ 对称。
P32 Euler 定理：$A\in M_3(\mathbb R)$ 正交、$\det A>0$ ⟹ 正交相似于 $[1]\oplus$ 平面旋转：绕过原点某固定轴的旋转（刚体运动 = 平移 + 绕轴旋转）。
P33：交换正规族存在单个 Hermite $B$ 使每个 $A_\alpha=p_\alpha(B)$（$\deg\le n-1$）。P34 正规特征向量：$Ax=\lambda x,x^*A=\mu x^*$ ⟹ $\lambda=\mu$；正规特征向量给出 $[\lambda]\oplus A_1$；$A$ 正规 ⟺ 每个特征向量都是正规特征向量。
P35：$xx^*=yy^*\iff x=e^{i\theta}y$；秩一 $xy^*$ 正规 ⟺ $x=re^{i\theta}y$ ⟺ 本质 Hermite。P36 正规膨胀：$\begin{bmatrix}A&A^*\\A^*&A\end{bmatrix}$ 正规，任何方阵都是某正规矩阵的主子阵。
P37–P38：$\operatorname{rank}(FF^*-F^*F)\ne1$；正规矩阵主子阵 $B$ 要么正规要么 $\operatorname{rank}(BB^*-B^*B)=2$；$C=AA^*-A^*A$ Hermite，幂零 ⟺ $C=0$；$A$ 正规 ⟺ 与 $C$ 交换；近正规（nearly normal）：$\operatorname{rank}C=2$；三对角 Toeplitz 矩阵 $C=\operatorname{diag}(\alpha,0..0,-\alpha)$，$\alpha=|a_{12}|^2-|a_{21}|^2$。
P39：对称/斜对称酉矩阵的表示由特征值唯一决定；斜对称酉矩阵特征值成 $\pm$ 对。P40：$A=\begin{bmatrix}0&B\\0&0\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&i\\-i&1\end{bmatrix}$：与 $A^T$、$\bar A$ 交换但不正规。P41：$z=x+iy$，$\{z,\bar z\}$ 线性相关 ⟺ $\{x,y\}$ 线性相关 ⟺ $z=cu$（$u$ 实单位）；线性无关时 $\operatorname{span}\{z,\bar z\}$ 有实标准正交基。
P42 偏离正规性 $\Delta(A)=\operatorname{tr}A^*A-\sum|\lambda_i|^2\ge0$：$A,B,AB$ 正规 ⟹ $BA$ 正规；$A$ 正规、$B$ 与之特征多项式相同且 $\operatorname{tr}A^*A=\operatorname{tr}B^*B$ ⟹ $B$ 正规且与 $A$ 酉相似。
P43：正规 $A=[A_{ij}]$ 若对角块的特征值合起来就是 $A$ 的特征值，则 $A$ 块对角；每个对角元都是特征值 ⟹ 对角。P44：$A$ Hermite ⟺ $\operatorname{tr}A^2=\operatorname{tr}A^*A$；Hermite $A,B$ 交换 ⟺ $\operatorname{tr}(AB)^2=\operatorname{tr}(A^2B^2)$。
P45：交换实对称族可用同一实正交矩阵同时对角化。P46：实矩阵非实特征值成共轭对。P47：正规 $A$ 的 $\operatorname{adj}A$ 正规、特征值 $\prod_{j\ne i}\lambda_j$，保持 Hermite/正定/酉性。
P48：正规 $A$ 秩 $r$：$A=V\Lambda_rV^*$ 为满秩分解；$\det A[\alpha]=|\det V_\alpha|^2\det\Lambda_r$，所有 $r$ 阶主子式在同一射线 $\{se^{i\theta}\}$ 上且至少一个非零——正规矩阵是**秩主（rank principal）**的。
P49：上三角可对角化矩阵可用上三角相似对角化。P50：反序矩阵 $K_n$ 实对称正交，特征值 $\pm1$，$n$ 偶时各 $n/2$ 个，$n$ 奇时 $+1$ 有 $(n+1)/2$ 个。
P51：正规 $A$ 的 $x^*Ax=\sum|\xi_i|^2\lambda_i$ 正是特征值凸包中的点，且凸包每点都可达到（正规矩阵的数值域 = 特征值凸包）。
P52 Marcus–Thompson 定理：乘法交换子 $C=ABA^{-1}B^{-1}$；$C=I\iff AB=BA$；若 $A,C$ 正规且 0 不在 $B$ 特征值凸包内，则 $A$ 与 $C$ 交换 ⟺ $A$ 与 $B$ 交换（证明：$\mathcal B=U^*BU$ 对角元 $\beta_{ii}\ne0$，$M\mathcal B=\Lambda\mathcal B\Lambda^{-1}$ ⟹ $\mu_i\beta_{ii}=\beta_{ii}$ ⟹ $M=I$）。P53 Frobenius 定理：$V$ 为"受限酉矩阵"（cramped unitary，特征值位于长度 $<\pi$ 的开弧上），$C=UVU^*V^*$，则 $U$ 与 $C$ 交换 ⟺ $U$ 与 $V$ 交换。
P54：正规 $A$：$\ker A\perp\operatorname{range}A$；$\operatorname{range}A=\operatorname{range}A^*$；$\ker A\subseteq\ker B\iff\operatorname{range}A\supseteq\operatorname{range}B$。
P55：正规矩阵的 Specht 简化：$A,B$ 正规，酉相似 ⟺ $\operatorname{tr}A^k=\operatorname{tr}B^k$（$k=1..n$）。
P56：$A^k=A^*$ ⟺ $A$ 正规且谱 $\subseteq\{0,1,\omega,\dots,\omega^k\}$，$\omega=e^{2\pi i/(k+1)}$；非奇异时为酉。
P57：$A$ 正规且对称 ⟺ $A=Q\Lambda Q^T$（$Q$ 实正交、$\Lambda$ 复对角）；正规且斜对称 ⟺ $Q^TAQ$ 为零块与 $\begin{bmatrix}0&z_j\\-z_j&0\end{bmatrix}$ 的直和。P58：正规 $A$：$A\bar A=0\iff AA^T=A^TA=0$。P59：$A$ 正规且特征值互异、$AB=BA$ ⟹ $B$ 正规。
P60–P61 特征值散布界：$x^Te=0$ ⟹ $\max|x_i|\le\sqrt{(n-1)/n}\,\|x\|_2$； $\max_i\Big|\lambda_i-\frac{\operatorname{tr}A}{n}\Big|\le\sqrt{\frac{n-1}{n}}\Big(\operatorname{tr}A^*A-\frac{|\operatorname{tr}A|^2}{n}\Big)^{1/2},$ 等号 ⟺ $A$ 正规且特征值为 $(n-1)c,-c,\dots,-c$；谱散布（spread）$\operatorname{spread}A=\max|\lambda-\mu|\le2\sqrt{\frac{n-1}{n}}(\operatorname{tr}A^*A-|\operatorname{tr}A|^2/n)^{1/2}$，Hermite 时以 $\operatorname{tr}A^2$ 代替（下界见 4.3.P16）。
P62：正规且恰 $k$ 个非零特征值 ⟹ $\operatorname{rank}A=k$。P63：正规三对角 ⟹ $|a_{i,i+1}|=|a_{i+1,i}|$。P64：$\operatorname{rank}(AA^*-A^*A)\ne1$。P65：正规 ⟹ 复合矩阵 $C_r(A)$ 正规。
P66 平方正规（squared normal，$A^2$ 正规）：⟺ $A$ 酉相似于 $[\lambda]$ 与 $\tau\begin{bmatrix}0&1\\\mu&0\end{bmatrix}$（$\tau>0,|\mu|<1$）的直和 (2.5.22a)；等价地酉相似于 $[\lambda]$ 与 $\begin{bmatrix}\nu&r\\0&-\nu\end{bmatrix}$（$r>0$，$\nu\in\mathcal D_+$ 右半平面并正虚轴）的直和 (2.5.22b)，在块置换意义下唯一。
P67–P68：$A,B$ 正规：$AB=0\iff BA=0$；$B$ 正规且 $A$ 的每个零向量都是正规特征向量时亦然。
P69–P70：块 Jordan 型矩阵 $M_A$（$A_{i,i+1}=I_n$，上方块为任意 $A_{ij}$）的酉相似 $W$ 必为 $U\oplus\cdots\oplus U$；由此把有限多对矩阵的同时酉相似化为单个大矩阵的酉相似，进而可用 Specht 定理有限步判定。
P71：$\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ 是复数 $a+ib$ 的实表示 $R_1$（见 3.1.P20）。P72：$A_1=\operatorname{diag}(i,-i)$ 与 $A_2=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$ 都正规且与共轭交换、特征值相同、酉相似，但不实正交相似——(2.5.17) 中块的选取需要比特征值更多的信息。
P73：实正规 $A$ 的非实特征对 $(\lambda,x)$：$x^Tx=0$；$x=u+iv$ 时 $u^Tu=v^Tv\ne0$，$u^Tv=0$，由此给出不依赖 2.3.4b 的 2.5.8 证明。P74–P75：$X$ 正规、$AX=XB$ 未必有 $AX^*=X^*B$；但若 $AX=XB$ 且 $XA=BX$ 且 $X$ 正规，则 $AX^*=X^*B$（考虑 $\begin{bmatrix}0&X\\X&0\end{bmatrix}$ 与 $A\oplus B$ 交换 + Fuglede）。
P76：0-1 矩阵正规 ⟺ $Ae=A^Te$ 且 $c_i^Tc_j=r_i^Tr_j$（$i\ne j$）；⟺ $J-A$ 正规。

注记：正规性的 89 种刻画（Grone–Johnson–Sa–Wolkowicz 1987；Elsner–Ikramov 1998 增补）。(2.5.17) 在直和项置换并允许以转置替换的意义下确为实正交相似的标准形（Goodson–Horn 2009）。平方正规的标准形见 Horn–Sergeichuk (2009)。4.4.P38：每个非奇异复方阵都有 QS 分解（2.5.20b 的推广）。

2.6 酉等价与奇异值分解（Unitary equivalence and the singular value decomposition）（PDF p.169–179）

背景：$A$ 是线性变换 $T:V\to V$ 在标准正交基下的表示，酉相似 $A\to UAU^*$ 对应换另一组标准正交基；若 $T:V_1\to V_2$，$A\in M_{m,n}$，则酉等价 $A\to UAW^*$ 对应两边独立地换标准正交基。两个独立的酉矩阵带来额外的灵活性，可以达到酉相似达不到的简化形式。

定理 2.6.1（两个矩阵同时酉等价三角化）：任意 $A,B\in M_n$，存在酉 $V,W$ 使 $A=VT_AW^*$，$B=VT_BW^*$，$T_A,T_B$ 上三角。若 $B$ 非奇异，$T_B^{-1}T_A$ 的对角元是 $B^{-1}A$ 的特征值。（与同时酉相似需交换性不同，这里无需任何条件。）证明：$B$ 非奇异时，$B^{-1}A=UTU^*$（Schur），$BU=QR$（QR 分解），则 $A=BUTU^*=Q(RT)U^*$，$B=QRU^*$，$RT$ 上三角；$B^{-1}A=UR^{-1}Q^*QRTU^*=UTU^*$。$A,B$ 都奇异时，$B_\varepsilon=B+\varepsilon I$ 对小 $\varepsilon>0$ 非奇异（1.2.17），取 $\varepsilon_k\to0$ 使 $V_{\varepsilon_k}\to V$、$W_{\varepsilon_k}\to W$（酉群紧，2.1.8），极限仍上三角。练习：$A$ 上三角、$B$ 上拟三角 ⟹ $AB$ 是与 $B$ 共形的上拟三角。 定理 2.6.2（实版本）：$A,B\in M_n(\mathbb R)$，存在实正交 $V,W$ 使 $A=VT_AW^T$，$B=VT_BW^T$，$T_A$ 实上拟三角，$T_B$ 实上三角。（$B^{-1}A=UTU^T$ 用 2.3.4，$BU=QR$ 实 QR，$RT$ 上拟三角；奇异时实极限论证。）这是广义特征值问题 QZ 算法的理论基础。

只有正规矩阵能被酉相似对角化，但任何复矩阵都能被酉等价对角化：

定理 2.6.3（奇异值分解，SVD）：$A\in M_{n,m}$，$q=\min\{m,n\}$，$\operatorname{rank}A=r$。 (a) 存在酉 $V\in M_n$、$W\in M_m$ 和方对角阵 $\Sigma_q=\operatorname{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_q)$ (2.6.3.1)，$\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r>0=\sigma_{r+1}=\cdots=\sigma_q$，使 $A=V\Sigma W^*$，其中

\Sigma=\Sigma_q\ (m=n);\quad \Sigma=[\Sigma_q\ 0]\in M_{n,m}\ (m>n);\quad \Sigma=\begin{bmatrix}\Sigma_q\\0\end{bmatrix}\ (n>m). \tag{2.6.3.2}

(b) $\sigma_1..\sigma_r$ 是 $AA^*$ 的非零特征值（降序）的正平方根，也等于 $A^*A$ 的非零特征值的正平方根。证明：$m=n$：$AA^*$ 与 $A^*A$ 是 Hermite 且特征值相同（1.3.22），故酉相似（2.5.4），$A^*A=U(AA^*)U^*$；于是 $(UA)^*(UA)=A^*A=UAA^*U^*=(UA)(UA)^*$，$UA$ 正规。其特征值 $\lambda_j=|\lambda_j|e^{i\theta_j}$ 按模降序，$r=\operatorname{rank}UA$ 等于非零特征值个数（正规）。$UA=X\Lambda X^*$，$D=\operatorname{diag}(e^{i\theta_j})$，$\Sigma_q=\operatorname{diag}(|\lambda_j|)$，$A=U^*X\Sigma_qDX^*=(U^*X)\Sigma_q(XD^*)^*$，$V=U^*X$，$W=XD^*$。$m>n$：取 $\ker A$ 中 $m-n$ 个标准正交向量 $X_2$，扩充为酉 $X=[X_1\ X_2]$，$AX=[AX_1\ 0]$，$AX_1\in M_n$ 用方阵情形 $AX_1=V\Sigma_qW^*$，得 $A=V[\Sigma_q\ 0]\big(\begin{bmatrix}W^*&0\\0&I_{m-n}\end{bmatrix}X^*\big)$。$n>m$：对 $A^*$ 应用。(b)：$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\Sigma$；$AA^*=V\Sigma\Sigma^TV^*$，$\Sigma\Sigma^T=\Sigma_q^2$ 或 $\Sigma_q^2\oplus0_{n-m}$。

定义：$\sigma_1..\sigma_q$ 称 $A$ 的奇异值（singular values）；奇异值 $\sigma$ 的重数是 $\sigma^2$ 作为 $AA^*$（或 $A^*A$）特征值的重数；$\sigma^2$ 为单特征值时称 $\sigma$ 单（simple）。$\operatorname{rank}A$ 等于非零奇异值个数，而 $\operatorname{rank}A$ 不小于（可大于）非零特征值个数。$\Sigma$ 在对角元置换意义下唯一，惯例取降序。练习：$A,\bar A,A^T,A^*$ 奇异值相同。

\sigma_1\cdots\sigma_n=|\det A|,\qquad \sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2=\operatorname{tr}A^*A. \tag{2.6.3.3}

2×2：

\sigma_1^2,\sigma_2^2=\tfrac12\Big(\operatorname{tr}A^*A\pm\sqrt{(\operatorname{tr}A^*A)^2-4|\det A|^2}\Big). \tag{2.6.3.4}

练习：只在第一超对角线有非零元的幂零矩阵（$a_{12},\dots,a_{n-1,n}$），奇异值为 $0,|a_{12}|,\dots,|a_{n-1,n}|$——特征值全为 0 但奇异值可以很大，说明特征值与奇异值是完全不同的量。

定理 2.6.4（奇异值的连续性）：$A_k\to A$（$M_{n,m}$ 中逐元），$\sigma_i$ 均降序排列，则 $\lim_k\sigma_i(A_k)=\sigma_i(A)$，$i=1..q$。证明：反证，存在 $\varepsilon_0$ 与子列使 $\max_i|\sigma_i(A_{k_j})-\sigma_i(A)|>\varepsilon_0$ (2.6.4.1)；$A_{k_j}=V_{k_j}\Sigma_{k_j}W_{k_j}^*$，紧性取子子列 $V_{k_{j_\ell}}\to V$，$W_{k_{j_\ell}}\to W$，则 $\Sigma_{k_{j_\ell}}=V^*_{k_{j_\ell}}A_{k_{j_\ell}}W_{k_{j_\ell}}\to V^*AW=:\Sigma$，非负对角降序，$A=V\Sigma W^*$；奇异值唯一性给出矛盾。（与特征值不同，奇异值有自然的降序排列，所以连续性陈述更干净。）

定理 2.6.5（Autonne 唯一性定理）：$A\in M_{n,m}$ 秩 $r$，$s_1..s_d$ 是不同的正奇异值（任意次序），重数 $n_1..n_d$，$\Sigma_d=s_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus s_dI_{n_d}\in M_r$，$A=V\Sigma W^*$，$\Sigma=\begin{bmatrix}\Sigma_d&0\\0&0\end{bmatrix}$。设 $\hat V\in M_n,\hat W\in M_m$ 酉。则 $A=\hat V\Sigma\hat W^*$ ⟺ 存在酉 $U_i\in M_{n_i}$、$\tilde V\in M_{n-r}$、$\tilde W\in M_{m-r}$ 使

\hat V=V(U_1\oplus\cdots\oplus U_d\oplus\tilde V),\qquad \hat W=W(U_1\oplus\cdots\oplus U_d\oplus\tilde W). \tag{2.6.5.1}

若 $A$ 实且 $V,W,\hat V,\hat W$ 实正交，则 $U_i,\tilde V,\tilde W$ 可取实正交。要点：正奇异值对应块上左右两侧必须用同一个 $U_i$；零奇异值对应部分左右可独立。证明：$A^*A=W\Sigma^T\Sigma W^*=\hat W\Sigma^T\Sigma\hat W^*$，由 2.5.4，$\hat W=W(W_1\oplus\cdots\oplus W_{d+1})$；同理 $AA^*$ 给出 $\hat V=V(V_1\oplus\cdots\oplus V_{d+1})$。由 $\Sigma=(V^*\hat V)\Sigma(\hat W^*W)$ 得 $s_iI_{n_i}=V_i(s_iI_{n_i})W_i^*$，即 $V_i=W_i$（$i\le d$）；$\tilde V,\tilde W$ 任意。

SVD 是矩阵分析中极重要的工具，广泛用于工程、数值计算、统计、图像压缩（详见第 7 章与 Horn–Johnson《Topics》第 3 章）。

推论 2.6.6：$A\in M_n$，$r=\operatorname{rank}A$。 (a) （Autonne / Takagi 分解） $A=A^T$ ⟺ 存在酉 $U$ 与非负对角 $\Sigma$ 使 $A=U\Sigma U^T$；$\Sigma$ 的对角元是 $A$ 的奇异值。 (b) 若 $A=-A^T$，则 $r$ 为偶数，且存在酉 $U$、正实数 $s_1..s_{r/2}$ 使

A=U\Big(\begin{bmatrix}0&s_1\\-s_1&0\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\begin{bmatrix}0&s_{r/2}\\-s_{r/2}&0\end{bmatrix}\oplus0_{n-r}\Big)U^T, \tag{2.6.6.1}

非零奇异值为 $s_1,s_1,\dots,s_{r/2},s_{r/2}$；反之 (2.6.6.1) 形式必斜对称。证明：(a) $A=V\Sigma W^*=\bar W\Sigma V^T$（转置），由 2.6.5，存在 $U_V=U_1\oplus\cdots\oplus U_d\oplus\tilde V$、$U_W=U_1\oplus\cdots\oplus U_d\oplus\tilde W$ 使 $\bar W=VU_V$，$\bar V=WU_W$；$U_W=W^*\bar V=(V^*\bar W)^T=U_V^T$，故每个 $U_j=U_j^T$ 是对称酉矩阵；由 2.5.20(a) 取对称酉 $R_j$，$R_j^2=U_j$，$R=R_1\oplus\cdots\oplus R_d\oplus I_{n-r}$，$U_V\Sigma=R^2\Sigma=R\Sigma R$，$A=\bar W\Sigma V^T=VU_V\Sigma V^T=VR\Sigma RV^T=(VR)\Sigma(VR)^T$。(b) 同理得 $U_j=-U_j^T$ 为斜对称酉，由 2.5.18(b) $n_j$ 偶，$U_j=Q_j(e^{i\theta_1^{(j)}}\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\oplus\cdots)Q_j^T$，令 $Q=Q_1\oplus\cdots\oplus Q_d\oplus I_{n-r}$、$S=S_1\oplus\cdots\oplus S_d\oplus0_{n-r}$，$U_V\Sigma=QSQ^T\Sigma=QS\Sigma Q^T$，$A=(VQ)S\Sigma(VQ)^T$，$r=\sum n_j$ 为偶数。

推论 2.6.7（实 SVD）：$A\in M_{n,m}(\mathbb R)$，则 $A=P\Sigma Q^T$，$P,Q$ 实正交，$\Sigma$ 非负对角形如 (2.6.3.1)/(2.6.3.2)。证明：$V\Sigma W^*=A=\bar A=\bar V\Sigma\bar W^*$，2.6.5 给出 $\bar V=VU_V$，$\bar W=WU_W$；$U_V=V^*\bar V=\bar V^T\bar V$ 对称酉，同理 $U_W$；各块 $U_i$ 对称酉；取对称酉平方根 $R_{\tilde V},R_{\tilde W},R_i$，$R_V=R_1\oplus\cdots\oplus R_d\oplus R_{\tilde V}$ 等，满足 $R_V^{-1}=\bar R_V$，$R_V\Sigma\overline{R_W}=\Sigma$，$A=(VR_V)\Sigma(WR_W)^*$；又 $\overline{VR_V}=\bar VR_V^*=VR_V$，故 $VR_V$、$WR_W$ 实正交。

2.6 节习题（PDF p.174–177）

P1：$n\ge m$，$A\in M_{n,m}$ 满列秩 ⟺ 奇异值全正。
P2–P5 同时酉等价对角化：$A,B$ 可同时被 $X^*\cdot Y$ 对角化 ⟹ $AB^*$、$B^*A$ 正规；反之亦然（P3）；$AB^*,B^*A$ 都 Hermite ⟺ 可同时化为实对角（P4），非负 ⟺ Hermite 矩阵特征值非负；实情形用实正交；$A=B+iC$ 可实正交等价对角化 ⟺ $BC^T$、$C^TB$ 实对称（P5）。
P6：$A=QR$，$QR$ 正规 ⟺ $RQ$ 正规；$A$ 正规 ⟺ $Q$ 与 $R^*$ 可同时酉等价对角化。
P7：同型复矩阵酉等价 ⟺ 奇异值相同。P8：用 SVD 证 $\operatorname{rank}AB\le\min\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B\}$。
P9：若 $A^*A=W\Sigma^2W^*$，存在酉 $V$ 使 $A=V\Sigma W^*$。P10：等价：(a) $A^*A=B^*B$；(b) $A=X\Sigma W^*$，$B=Y\Sigma W^*$；(c) $B=UA$（$U$ 酉）（推广见 7.3.11）。
P11：$B$ 正规，$A^*A$ 与 $B$ 交换 ⟺ $A=V\Sigma W^*$、$B=W\Lambda W^*$。
P12 伴随矩阵的 SVD：$\operatorname{adj}A=X^*SY$，$X=(\det W)\operatorname{adj}W$，$Y=(\det V)\operatorname{adj}V$，$S=\operatorname{diag}(s_i)$，$s_i=\prod_{j\ne i}\sigma_j$；$\operatorname{rank}A\le n-2$ ⟹ $\operatorname{adj}A=0$；$\operatorname{rank}A=n-1$ 时 $\operatorname{adj}A=\sigma_1\cdots\sigma_{n-1}e^{i\theta}w_nv_n^*$。
P13：$A$ 酉 ⟺ $\Sigma=I$；$A$ 是酉矩阵纯量倍 ⟺ 保持正交性。
P14：正规 $A=U\Lambda U^*$，$\lambda_j=e^{i\theta_j}|\lambda_j|$，则 $A=(UD)\Sigma U^*$ 是 SVD，正规矩阵的奇异值 = 特征值的模；$A$ 正规 ⟺ $V=WU$（$U$ 与 $\Sigma$ 共形块对角酉）；正规且奇异值互异则 $V=WD$。
P15：$\sum|a_{ij}|^2=\operatorname{tr}A^*A=\sum\sigma_i^2$；$\sum|\lambda_i|^2\le\sum\sigma_i^2$（Schur 不等式），等号 ⟺ 正规；$\sigma_i=|\lambda_i|\ \forall i$ ⟺ 正规；$|a_{ii}|=\sigma_i\ \forall i$ ⟹ 对角。
P16：任意酉 $U,V$ 有 $U=XDY$，$V=Y^*DX^*$（$D$ 对角酉）；酉等价 = 酉相似 ∘ 对角酉合同 ∘ 酉相似。
P17：$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}AA^*=\operatorname{rank}A^*A$。
P18 投影（幂等）矩阵：秩 $r$ 的幂等 $A$ 酉相似于 $\begin{bmatrix}I_r&X\\0&0_{n-r}\end{bmatrix}$，进而 $\begin{bmatrix}I_r&\Sigma\\0&0\end{bmatrix}$；奇异值为 $(I_r+\Sigma\Sigma^T)^{1/2}\oplus0_{n-r}$ 的对角元；酉相似于 $0_{n-r-g}\oplus I_{r-g}\oplus\bigoplus_i\begin{bmatrix}1&(\sigma_i^2-1)^{1/2}\\0&0\end{bmatrix}$（$\sigma_i>1$）。
P19：酉 $U=\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}$（$k\le\ell$）：$\sigma_i(U_{11})=\sigma_i(U_{22})$，$\sigma_i(U_{12})=\sigma_i(U_{21})=(1-\sigma_{k-i+1}^2(U_{11}))^{1/2}$（$i\le k$），$\sigma_i(U_{22})=1$（$i>k$）；$|\det U_{11}|=|\det U_{22}|$（CS 分解的前奏）。
P20：奇异对称矩阵的 Autonne 分解：(a) 用 $A+\varepsilon I$ 与极限；(b) 用零空间基分块，$U^TAU$ 仅 $A_{22}$ 非零且非奇异对称。
P21–P22：对称 $A,B$：$A\bar B$ 正规 ⟺ 可同时 $U\cdot U^T$ 对角化（$\Sigma\ge0$）；Hermite ⟺ 对角阵实；Hermite 且特征值非负 ⟺ 对角阵都非负。
P23 自零化（$A^2=0$）矩阵：秩 $r$，酉相似于 $\sigma_1\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\oplus\cdots\oplus\sigma_r\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\oplus0_{n-2r}, \tag{2.6.8}$ $\sigma_i$ 为正奇异值（证法：$\operatorname{range}A\subseteq\ker A$，$2r\le n$；用 $\ker A^*$ 基构造 $U$，$U^*AU=\begin{bmatrix}0&B\\0&0\end{bmatrix}$，再对 $B$ 做 SVD）。
P24：共轭自零化（$A\bar A=0$）矩阵酉合同于 (2.6.8)。
P25–P26：秩 $r<n$ 时 $A=U\begin{bmatrix}\Sigma_rK&\Sigma_rL\\0&0_{n-r}\end{bmatrix}U^*$，$KK^*+LL^*=I_r$ (2.6.9)；$A$ 正规 ⟺ $L=0$ 且 $\Sigma_rK=K\Sigma_r$；$A^2=0$ ⟺ $K=0$。
P27：斜对称且秩 ≤1 ⟹ $A=0$。
P28 EP 矩阵：$\operatorname{range}A=\operatorname{range}A^*$（正规矩阵和非奇异矩阵都是 EP）；EP 且秩 $r$ ⟺ $A=V\begin{bmatrix}B&0\\0&0\end{bmatrix}V^*$（$B\in M_r$ 非奇异、$V$ 酉）；EP 矩阵秩主。
P29：$x$ 为正规特征向量（特征值 $\lambda$）⟹ $|\lambda|$ 是奇异值。P30：$\operatorname{rank}A=r\iff A=S\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}T$。
P31–P32 Jordan–Wielandt 矩阵：$\begin{bmatrix}0&A\\A^*&0\end{bmatrix}$ Hermite，酉相似于 $\begin{bmatrix}0&\Sigma\\\Sigma^T&0\end{bmatrix}$，方阵时特征值为 $\pm\sigma_i$——把奇异值问题化为 Hermite 特征值问题的标准技巧；$\begin{bmatrix}0&A\\A^T&0\end{bmatrix}$ 的奇异值为每个 $\sigma_i$ 重复两次。
P33：复合矩阵 $C_r(A)$ 的奇异值是 $\sigma_{i_1}\cdots\sigma_{i_r}$；$\sigma_1\cdots\sigma_r$ 是 $C_r(A)$ 的最大奇异值。
P34–P35 Schur 不等式的加强： $\sum|\lambda_i(A)|^2\le\sqrt{(\operatorname{tr}AA^*)^2-\tfrac12\operatorname{tr}((AA^*-A^*A)^2)} \tag{2.6.9}$ （等号 ⟺ $A^2$ 与 $C_2(A)$ 都正规；$A$ 正规时等号成立），以及 $\sum|\lambda_i|^2\le\sqrt{(\operatorname{tr}AA^*-\tfrac1n|\operatorname{tr}A|^2)^2-\tfrac12\operatorname{tr}((AA^*-A^*A)^2)}+\tfrac1n|\operatorname{tr}A|^2, \tag{2.6.10}$ 后者更强（等号 ⟺ $\operatorname{tr}A=0$ 或正规）。推导用到 $\sum|\lambda_i|^4\le\sum\sigma_i^2(A^2)$ 与 $C_2(A)$ 上的 Schur 不等式。
P36：$A$ 对称 ⟺ $V=\bar W(S_1\oplus\cdots\oplus S_d\oplus\tilde W)$（$S_j$ 对称酉）；奇异值互异时 $V=\bar WD$。P37：奇异值互异时 SVD 的酉因子只差对角酉矩阵（非奇异时左右用同一个 $D$；奇异时至多差一个对角元）。
P38：$A$ 非奇异，$A+A^{-*}$ 的最小奇异值 $\ge2$。P39：共轭对合（coninvolutory，$A=\bar A^{-1}$）矩阵不等于 1 的奇异值成倒数对。
P40：(2.4.5.1) 中若 $T,T'$ 酉相似，则各块 $T_{ij},T'_{ij}$ 奇异值相同（必要条件），$n=2$ 时充要，$n=4,d=2$ 有反例。

注记：复对称矩阵的特殊 SVD（2.6.6a）由 Autonne 于 1915 年发表，此后被多次重新发现（常称 Takagi 分解）；SVD 历史见 Horn–Johnson (1991) 3.0 节。

2.7 CS 分解（The CS decomposition）（PDF p.179–182）

CS 分解是分块酉矩阵在分块酉等价下的标准形，证明综合用到 SVD、QR 分解和下面的观察。

练习（关键引理）：$\Gamma=\operatorname{diag}(\gamma_1..\gamma_p)$，$0\le\gamma_1\le\cdots\le\gamma_p\le1$，$L=[\ell_{ij}]\in M_p$ 下三角，且 $[\Gamma\ L\ 0]\in M_{p,2p+k}$ 的行标准正交，则 $L$ 对角，$|\lambda_j|^2=1-\gamma_j^2$。（提示：$\gamma_1=1$ 时 $L=0$；否则 $|\ell_{11}|^2=1-\gamma_1^2$，正交性迫使 $\ell_{21}=\cdots=\ell_{p1}=0$，逐行向下。）

定理 2.7.1（CS 分解）：$1<p\le q<n$，$p+q=n$，$U=\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}\in M_n$ 酉，$U_{11}\in M_p$，$U_{22}\in M_q$。存在酉 $V_1,W_1\in M_p$，$V_2,W_2\in M_q$ 使

\begin{bmatrix}V_1&0\\0&W_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_2&0\\0&W_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C&S&0\\-S&C&0\\0&0&I_{q-p}\end{bmatrix}, \tag{2.7.1.2}

$C=\operatorname{diag}(\sigma_1..\sigma_p)$，$\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_p$ 为 $U_{11}$ 的奇异值（降序），$S=\operatorname{diag}((1-\sigma_1^2)^{1/2},\dots,(1-\sigma_p^2)^{1/2})$。（书中分块记号里 $V_1,W_1$ 的位置以 (2.7.1.2) 原式为准：左乘 $\operatorname{diag}(V_1,W_1)$，右乘 $\operatorname{diag}(V_2,W_2)$ 的分块大小分别与 $p,q$ 对应。）证明（一串分块酉等价）：

SVD：$U_{11}=V\Sigma W=(VK_p)(K_p\Sigma K_p)(K_pW)=\tilde V\Gamma\tilde W$，$K_p$ 为反序矩阵，$\Gamma=\operatorname{diag}(\sigma_p..\sigma_1)$ 升序。$\begin{bmatrix}\tilde V^*&0\\0&I_q\end{bmatrix}U\begin{bmatrix}\tilde W^*&0\\0&I_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\Gamma&\tilde V^*U_{12}\\U_{21}\tilde W^*&U_{22}\end{bmatrix}$ 酉，列单位长 ⟹ $\sigma_1=\gamma_p\le1$。
QR：$\tilde V^*U_{12}=[L\ 0]\tilde Q$（$L$ 下三角），$U_{21}\tilde W^*=Q\begin{bmatrix}R\\0\end{bmatrix}$（$R$ 上三角），用 $I_p\oplus Q^*$、$I_p\oplus\tilde Q^*$ 变换得 $\begin{bmatrix}\Gamma&[L\ 0]\\\begin{bmatrix}R\\0\end{bmatrix}&Q^*U_{22}\tilde Q^*\end{bmatrix}$。
由上述引理 $L,R$ 都对角，$|r_{ii}|=|\ell_{ii}|=\sqrt{1-\gamma_i^2}$。令 $M=\operatorname{diag}(\sqrt{1-\gamma_i^2})$，$t=\max\{i:\gamma_i<1\}$（若 $\gamma_1=1$ 则 $\Gamma=I_p$，$M=0$，直接得结论）。用对角酉 $D_1R=-M$，$LD_2=M$ 做分块酉合同，得 $\begin{bmatrix}\Gamma&[M\ 0]\\\begin{bmatrix}-M\\0\end{bmatrix}&Z\end{bmatrix}$；按 $\Gamma=\Gamma_1\oplus I_{p-t}$、$M=M_1\oplus0_{p-t}$（$M_1$ 非奇异）细分，$Z=[Z_{ij}]_{3\times3}$。
第一、三块列正交 + $M_1$ 非奇异 ⟹ $Z_{11}=\Gamma_1$；行列单位长 ⟹ $Z_{12},Z_{13},Z_{21},Z_{31}=0$。右下 $\tilde Z=\begin{bmatrix}Z_{22}&Z_{23}\\Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}\in M_{q-t}$ 是酉矩阵的直和项，故酉，$\tilde Z=\hat VI\hat W$，用 $I_{p+t}\oplus\hat V^*$、$I_{p+t}\oplus\hat W^*$ 化为单位阵。
最后用 $K_p\oplus K_p\oplus I_{q-p}$ 的酉相似把升序改回降序，得 (2.7.1.2)。

参数化解读：CS 分解给出了所有按 $I_p\oplus I_q$ 分块的酉矩阵的参数描述：参数为四个较小的任意酉矩阵 $V_1,W_1\in M_p$、$V_2,W_2\in M_q$，以及 $p$ 个实数 $1\ge\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_p\ge0$：

U_{11}=V_1CW_1,\quad U_{12}=V_1[S\ 0]W_2,\quad U_{21}=V_2\begin{bmatrix}-S\\0\end{bmatrix}W_1,\quad U_{22}=V_2\begin{bmatrix}C&0\\0&I_{q-p}\end{bmatrix}W_2. \tag{2.7.1.3}

（(2.7.1.3) 中的 $V_i,W_i$ 与 (2.7.1.2) 中的酉矩阵互为共轭转置关系，编写时注意记号一致。）$C,S$ 即"余弦""正弦"——它们正是两个子空间之间的主角（principal angles） 的余弦与正弦，CS 分解因此广泛用于子空间距离与夹角问题。

2.7 节习题（要求用 CS 分解解答）：定义 $A\in M_{n,m}$ 为**压缩（contraction）**若最大奇异值 ≤1。

P1：酉矩阵的任何子矩阵（不必主、不必方）都是压缩。
P2 酉膨胀（unitary dilation）：压缩 $A\in M_{m,n}$ 恰有 $\nu$ 个奇异值 <1，则存在 $B,C,D$ 使 $\begin{bmatrix}D&B\\C&A\end{bmatrix}\in M_{\max\{m,n\}+|m-n|+\nu}$ 为酉。
P3：$n\times n$ 酉矩阵的 $k\times k$ 子矩阵在 $2k>n$ 时必有奇异值等于 1。
P4：$U_{11},U_{22}$ 零化度相等，$U_{12},U_{21}$ 零化度相等（对比 0.7.5）。P5：证明 2.6.P19。
P6：2×2 酉矩阵 $|u_{11}|=|u_{22}|$，$|u_{21}|=|u_{12}|=(1-|u_{11}|^2)^{1/2}$；对角酉相似于复对称矩阵。

延伸：任意 2×2 分块（$U_{ij}\in M_{r_i,c_j}$）的 CS 分解与历史见 Paige & Wei (1994)。

第 2 章本章要点

酉相似保持 Frobenius 范数和所有"词迹" $\operatorname{tr}W(A,A^*)$；Specht 定理（2.2.6）给出酉相似的完整不变量，$n=2,3,4$ 只需 3、7、20 个词。
Schur 三角化（2.3.1）：任意方阵酉相似于上三角阵，对角元顺序任意；交换族可同时酉三角化（2.3.3）；实矩阵有实 Schur 形（实正交相似于上拟三角，2.3.4）。
Schur 定理的推论：迹/行列式与特征值关系、$p(A)$ 特征值计重数、Cayley–Hamilton（2.4.3.2）、Sylvester 方程 $AX-XB=C$ 唯一可解 ⟺ 谱不交（2.4.4.1）、分块对角化（2.4.6.1）、可对角化矩阵稠密（2.4.7.1）、McCoy 同时三角化定理（2.4.8.7）、特征值连续性（2.4.9.2）、Brauer 秩一扰动（2.4.10.1）、双正交原理（2.4.11.1）。
正规矩阵（$AA^*=A^*A$）⟺ 可酉对角化 ⟺ $\sum|a_{ij}|^2=\sum|\lambda_i|^2$ ⟺ 有标准正交特征基（2.5.3）；Hermite 矩阵特征值实、可酉对角化（2.5.6）；交换正规族可同时酉对角化（2.5.5）；实正规/对称/斜对称/正交矩阵的实正交标准形（2.5.8、2.5.11）；Fuglede–Putnam（2.5.16）；实矩阵酉相似 ⟺ 实正交相似（2.5.21）。
SVD（2.6.3）：任意 $A=V\Sigma W^*$，奇异值为 $A^*A$ 特征值的平方根，连续依赖于元素（2.6.4），酉因子的非唯一性由 Autonne 定理（2.6.5）精确刻画；对称矩阵有 $A=U\Sigma U^T$（2.6.6），实矩阵有实 SVD（2.6.7）。
CS 分解（2.7.1）：分块酉矩阵的标准形，参数为四个小酉矩阵与 $p$ 个"余弦"。

第 2 章与量化交易的关联

协方差矩阵与风险模型：协方差/相关矩阵是实对称（Hermite）半正定矩阵，谱定理（2.5.6、2.5.11a）保证 $\Sigma=Q\Lambda Q^T$，这是 PCA、统计因子模型、风险分解（按特征组合分解组合方差）、协方差矩阵收缩与特征值裁剪（随机矩阵理论去噪）的数学基础。交换族同时对角化（2.5.5、2.5.P45）说明：若两个协方差估计"交换"，可以在同一组特征组合下比较。
SVD 与因子提取：收益矩阵 $R\in M_{T,N}$ 的 SVD 给出 PCA 因子与载荷；截断 SVD 是低秩近似（Eckart–Young，第 7 章）；奇异值连续性（2.6.4）说明小扰动下主成分强度稳定，但 Autonne 定理（2.6.5）说明奇异值重复/接近时奇异向量不唯一——这正是 PCA 因子在相邻窗口间"旋转""翻号"的根源，回测中需做符号与子空间对齐。
最小二乘与回归：QR 分解（2.1）与 SVD 是数值稳定求解因子回归、截面回归（Fama–MacBeth）、病态设计矩阵伪逆的标准方法；Gram–Schmidt 正交化对应因子的逐步正交化（剔除已有因子暴露）。
Sylvester / Lyapunov 方程（2.4.4）：出现在 VAR 模型的平稳协方差 $\Sigma=A\Sigma A^T+Q$、卡尔曼滤波稳态、连续时间利率/波动率模型的矩估计中；唯一可解条件"谱不交"直接对应模型平稳性条件。
Cayley–Hamilton 与矩阵函数（2.4.3）：矩阵指数、矩阵幂可降为 $n-1$ 次多项式，用于多因子仿射期限结构模型中 $e^{At}$ 的计算、马尔可夫链（信用评级迁移矩阵）的多期转移。
特征值连续性与秩一扰动（2.4.9、2.4.10）：解释"加入一个市场因子"或"相关矩阵加一个常数相关"时谱如何变化（市场模式对应最大特征值被平移），对相关矩阵正则化和压力测试有直接意义。
CS 分解与子空间夹角（2.7）：比较两个时期 PCA 因子子空间的主角，衡量风险模型的稳定性、因子漂移；跟踪误差子空间分析也可用。
第 2 章其余内容（Specht 定理、McCoy 定理、复正交/斜对称标准形）属于纯理论，与量化实务无直接关联。

第 2 章推荐习题

2.1.P23（Hadamard 不等式）：由 QR 分解证明，理解行列式与列范数（体积）关系。
2.2.P1（Jacobi 方法）：对称特征值算法的收敛性，适合编程实现。
2.2.P10（Fourier 与循环矩阵）：循环矩阵的显式对角化，对应时间序列中循环卷积与谱分析。
2.3.P10：$|\det A|\le c^nn^{n/2}$，练习 Schur 不等式与 AM-GM。
2.4.P3：无除法的 Cayley–Hamilton 证明与 $\operatorname{adj}A$ 的多项式表示。
2.4.P9 / P10：Newton 恒等式，特征多项式由幂迹决定。
2.4.P13：Sylvester 方程的谱刻画。
2.5.P1、P8、P26、P51：正规性的等价刻画；正规矩阵数值域等于特征值凸包。
2.5.P60–P61：特征值散布上界（可用于估计相关矩阵最大最小特征值之差）。
2.6.P10、P15、P31：$A^*A=B^*B$ 的刻画、Schur 不等式的奇异值形式、Jordan–Wielandt 矩阵技巧。
2.7.P1–P3：压缩与酉膨胀。

第 3 章相似标准形与三角分解（Canonical forms for similarity and triangular factorizations）

3.0 引言（PDF p.183–184）

如何判断两个矩阵相似？例：

A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \tag{3.0.0}

特征值、特征多项式、迹、行列式、秩全相同，但 $A^2=0\ne B^2$，所以不相似。

思路：找一组"特殊矩阵"作为代表，把两个矩阵都化到特殊矩阵再比较。上三角矩阵类太大（不唯一，2.3.2b 中对角相同的不同上三角矩阵可以相似）；对角矩阵类太小（有些相似类不含对角矩阵，存在性失败）。Jordan 矩阵是两者之间的巧妙折中：任何复矩阵都相似于某个 Jordan 矩阵；两个 Jordan 矩阵相似 ⟺ 对角块（不计顺序）相同；且相似类中没有其他矩阵的非零非对角元比 $J$ 更少。

**标准形（canonical form）**的一般概念：对一个等价关系，选一组代表矩阵，使 (a) 每个等价类中都有代表；(b) 不同代表互不等价。判断等价时把两者都化为代表看是否相同。已有例子：正规矩阵在酉相似下的标准形是对角阵（2.5.3，对角阵按置换相似视为相同）；$M_n$ 在酉等价下的标准形是 $\Sigma=\operatorname{diag}(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_n\ge0)$（SVD，2.6.3）。

3.1 Jordan 标准形定理（The Jordan canonical form theorem）（PDF p.184–195）

定义 3.1.1：Jordan 块 $J_k(\lambda)$ 是 $k\times k$ 上三角矩阵

J_k(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{bmatrix};\quad J_1(\lambda)=[\lambda],\ J_2(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{bmatrix} \tag{3.1.2}

对角线上 $k$ 个 $\lambda$，第一超对角线上 $k-1$ 个 1，其余为 0。Jordan 矩阵 $J\in M_n$ 是 Jordan 块的直和

J=J_{n_1}(\lambda_1)\oplus J_{n_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{n_q}(\lambda_q),\quad n_1+\cdots+n_q=n, \tag{3.1.3}

块大小 $n_i$ 和 $\lambda_i$ 都不必互异。

存在性三步走：

第 1 步（2.3.1）：任意复矩阵相似于上三角阵，特征值在对角线上且相等的特征值排在一起；
第 2 步（2.4.6.1）：进一步相似于块对角上三角阵 (2.4.6.2)，每个对角块对角元全相等；
第 3 步（本节）：对角元全相等的上三角阵相似于 Jordan 矩阵。若实矩阵只有实特征值，三步都可用实相似完成。

$k\times k$ 特征值为 0 的 Jordan 块称幂零 Jordan 块。 引理 3.1.4：$k\ge2$，则 $J_k(0)^TJ_k(0)=\begin{bmatrix}0&0\\0&I_{k-1}\end{bmatrix}$，$J_k(0)^p=0$（$p\ge k$），$J_k(0)e_{i+1}=e_i$（$i=1..k-1$），$[I_k-J_k^T(0)J_k(0)]x=(x^Te_1)e_1$。

定理 3.1.5（严格上三角矩阵的 Jordan 形）：$A\in M_n$ 严格上三角，则存在非奇异 $S$ 与整数 $n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_m\ge1$，$\sum n_i=n$，使

A=S(J_{n_1}(0)\oplus\cdots\oplus J_{n_m}(0))S^{-1}. \tag{3.1.6}

$A$ 实时 $S$ 可取实。证明（对 $n$ 归纳）：$A=\begin{bmatrix}0&a^T\\0&A_1\end{bmatrix}$，$A_1\in M_{n-1}$ 严格上三角，由归纳 $S_1^{-1}A_1S_1=\begin{bmatrix}J_{k_1}&0\\0&J\end{bmatrix}$ (3.1.7)，$k_1\ge\cdots\ge k_s$，$J=J_{k_2}\oplus\cdots\oplus J_{k_s}$，由于 $J$ 中块都不超过 $k_1$，$J^{k_1}=0$。

$\begin{bmatrix}1&0\\0&S_1^{-1}\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&0\\0&S_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&a^TS_1\\0&S_1^{-1}A_1S_1\end{bmatrix}$ (3.1.8)，记 $a^TS_1=[a_1^T\ a_2^T]$（$a_1\in\mathbb C^{k_1}$）。
用 $\begin{bmatrix}1&-a_1^TJ_{k_1}^T&0\\0&I&0\\0&0&I\end{bmatrix}$ 相似，利用 $(I-J_k^TJ_k)x=(x^Te_1)e_1$，把第一行中 $a_1^T$ 化为 $(a_1^Te_1)e_1^T$： $\begin{bmatrix}0&(a_1^Te_1)e_1^T&a_2^T\\0&J_{k_1}&0\\0&0&J\end{bmatrix}. \tag{3.1.9}$
情形 $a_1^Te_1\ne0$：用 $\operatorname{diag}(1/a_1^Te_1,I,(1/a_1^Te_1)I)$ 相似缩放得 $\begin{bmatrix}\tilde J&e_1a_2^T\\0&J\end{bmatrix}$，其中 $\tilde J=\begin{bmatrix}0&e_1^T\\0&J_{k_1}\end{bmatrix}=J_{k_1+1}(0)$。由 $\tilde Je_{i+1}=e_i$，用 $\begin{bmatrix}I&e_{i+1}a_2^TJ^{i-1}\\0&I\end{bmatrix}$ 逐次相似把右上块 $e_ia_2^TJ^{i-1}$ 推成 $e_{i+1}a_2^TJ^i$；因 $J^{k_1}=0$，至多 $k_1$ 步后右上块消失，$A\sim\tilde J\oplus J$。
情形 $a_1^Te_1=0$：(3.1.9) 为 $\begin{bmatrix}0&0&a_2^T\\0&J_{k_1}&0\\0&0&J\end{bmatrix}$，置换相似于 $\begin{bmatrix}J_{k_1}&0&0\\0&0&a_2^T\\0&0&J\end{bmatrix}$ (3.1.10)，右下 $\begin{bmatrix}0&a_2^T\\0&J\end{bmatrix}\in M_{n-k_1}$ 严格上三角，归纳假设化为 Jordan 矩阵 $\hat J$，故 $A\sim J_{k_1}\oplus\hat J$，必要时块置换使块大小降序。
实情形所有相似都是实的。

一般情形：若 $A$ 上三角且对角元全为 $\lambda$，则 $A_0=A-\lambda I$ 严格上三角，$S^{-1}AS=S^{-1}A_0S+\lambda I$ 是 $J_{n_i}(\lambda)$ 的直和。于是：

定理 3.1.11（Jordan 标准形定理）：$A\in M_n$，存在非奇异 $S$、正整数 $q$ 与 $n_1+\cdots+n_q=n$、标量 $\lambda_1..\lambda_q$ 使

A=S\begin{bmatrix}J_{n_1}(\lambda_1)&&\\&\ddots&\\&&J_{n_q}(\lambda_q)\end{bmatrix}S^{-1}. \tag{3.1.12}

Jordan 矩阵 $J_A=J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_q}(\lambda_q)$ 在直和项置换意义下由 $A$ 唯一决定。$A$ 实且特征值全实时 $S$ 可取实。$J_A$ 称 $A$ 的 Jordan 标准形；$J_k(\lambda)$ 是相似的标准块（canonical blocks）。

唯一性的证明（秩序列）：两个关键事实：(1) 两矩阵同时平移同一纯量矩阵仍相似；(2) 秩是相似不变量。若 $A=SJS^{-1}$，则 $(A-\lambda I)^k\sim(J-\lambda I)^k$。把 $J$ 写成 $J_{m_1}(\lambda)\oplus\cdots\oplus J_{m_p}(\lambda)\oplus\hat J$（$\hat J$ 不含特征值 $\lambda$，$\hat J-\lambda I\in M_m$ 非奇异，$m=n-\sum m_i$），则

\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}J_{m_1}(0)^k+\cdots+\operatorname{rank}J_{m_p}(0)^k+m. \tag{3.1.13}

幂零块的幂：$J_\ell(0)^k$ 的 1 每次上移一条超对角线，$\operatorname{rank}J_\ell(0)^k=\max\{\ell-k,0\}$，故

\operatorname{rank}J_\ell(0)^{k-1}-\operatorname{rank}J_\ell(0)^k=\begin{cases}1,&k\le\ell\\0,&k>\ell\end{cases}\quad(\operatorname{rank}J_\ell(0)^0=\ell). \tag{3.1.14}

定义

r_k(A,\lambda)=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k,\ r_0(A,\lambda):=n; \tag{3.1.15}

w_k(A,\lambda)=r_{k-1}(A,\lambda)-r_k(A,\lambda),\ w_1(A,\lambda)=n-r_1(A,\lambda). \tag{3.1.16}

练习：$\lambda$ 不是特征值时 $w_k=0$。 例 (3.1.16a)：$J=J_3(0)\oplus J_3(0)\oplus J_2(0)\oplus J_2(0)\oplus J_2(0)\oplus J_1(0)$（$n=13$）：$r_1=7,r_2=2,r_3=r_4=0$；$w_1=6$（块数）、$w_2=5$（≥2 的块数）、$w_3=2$、$w_4=0$；$w_1-w_2=1$ 个 1 阶块、$w_2-w_3=3$ 个 2 阶块、$w_3-w_4=2$ 个 3 阶块。由 (3.1.13)(3.1.14)：

w_k(A,\lambda)=\sum_{i=1}^p\big(\operatorname{rank}J_{m_i}(0)^{k-1}-\operatorname{rank}J_{m_i}(0)^k\big)=\#\{\text{特征值 }\lambda\text{ 的块中大小}\ge k\text{ 的块}\}. \tag{3.1.17}

于是 $w_1(A,\lambda)$ = 特征值 $\lambda$ 的 Jordan 块数 = 几何重数；$w_k-w_{k+1}$ = 大小恰为 $k$ 的块数。练习组：相似 ⟹ $w_k$ 相同；$w_1\ge w_2\ge\cdots$ 非增（差为非负整数）；设 $q$ 为特征值 $\lambda$ 最大 Jordan 块的阶：(a) $k\ge q$ 时 $\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{k+1}$；(b) $w_q$ 是最大块的个数；(c) $k>q$ 时 $w_k=0$。$q$ 称 $\lambda$ 的指标（index），等价定义：使 $\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{k+1}$ 的最小 $k\ge0$（非特征值的指标为 0）。指标为 $q$ 时：$w_1$ = 几何重数；$w_1+\cdots+w_q$ = 代数重数；$w_p+\cdots+w_q=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{p-1}$（$p=2..q$）。

Weyr 特征（Weyr characteristic）：$w(A,\lambda)=(w_1(A,\lambda),\dots,w_q(A,\lambda))$，$q$ 为指标。Jordan 结构完全由各特征值的 Weyr 特征决定：$J_k(\lambda)$ 块的个数为 $w_k-w_{k+1}$。两个本质不同的 Jordan 矩阵不能同时相似于 $A$——唯一性得证。

引理 3.1.18：$J_k(\lambda)$ 在 $A$ 的 Jordan 标准形中出现的次数为 $w_k(A,\lambda)-w_{k+1}(A,\lambda)$。$A,B\in M_n$ 相似 ⟺ (a) 不同特征值相同；(b) 对每个特征值 $\lambda_i$ 和所有 $k$，$w_k(A,\lambda_i)=w_k(B,\lambda_i)$。

Segre 特征（Segre characteristic）：特征值 $\lambda$ 的 Jordan 块大小降序列表

s_1(A,\lambda)\ge s_2(A,\lambda)\ge\cdots\ge s_{w_1}(A,\lambda)>0=s_{w_1+1}=\cdots \tag{3.1.19}

$s_1$ 为指标，$s_{w_1}$ 为最小块阶。例 (3.1.16a) 零特征值的 Segre 特征为 3,3,2,2,2,1。相应 Jordan 部分为 $J_{s_1}(\lambda)\oplus\cdots\oplus J_{s_{w_1}}(\lambda)$ (3.1.20)。Weyr 与 Segre 特征互相可导：Segre 3,3,2,2,2,1 ⟹ ≥1 的 6 块、≥2 的 5 块、≥3 的 2 块，Weyr = 6,5,2；反之 Weyr 6,5,2 ⟹ $6-5=1$ 个 1 阶、$5-2=3$ 个 2 阶、$2-0=2$ 个 3 阶。（二者是同一整数 $n$ 的共轭分拆，见 3.1.P11 的点图/Young 图。）

数值上的警告：上述推导是显式算法，但不适合在软件中计算 Jordan 形。例：$A_\epsilon=\begin{bmatrix}\epsilon&0\\1&0\end{bmatrix}$（$\epsilon\ne0$）$=S_\epsilon J_\epsilon S_\epsilon^{-1}$，$S_\epsilon=\begin{bmatrix}0&\epsilon\\1&1\end{bmatrix}$，$J_\epsilon=\begin{bmatrix}0&0\\0&\epsilon\end{bmatrix}$；$\epsilon\to0$ 时 $J_\epsilon\to J_1(0)\oplus J_1(0)$，但 $A_\epsilon\to A_0=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}$，其 Jordan 形为 $J_2(0)$。元素的微小变化可导致 Jordan 形剧变，根源是秩不是元素的连续函数。

推论 3.1.21（$\epsilon$-Jordan 形）：$A\in M_n$，$\epsilon\ne0$，存在非奇异 $S(\epsilon)$ 使

A=S(\epsilon)\big(J_{n_1}(\lambda_1,\epsilon)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k,\epsilon)\big)S(\epsilon)^{-1}, \tag{3.1.22}

$J_m(\lambda,\epsilon)$ 是把 $J_m(\lambda)$ 超对角线上的 1 换为 $\epsilon$。实矩阵实特征值且 $\epsilon$ 实时 $S(\epsilon)$ 可取实。证明：$S_1^{-1}AS_1$ 为 Jordan 形，$D_{\epsilon,i}=\operatorname{diag}(1,\epsilon,\dots,\epsilon^{n_i-1})$，$D_\epsilon=\oplus D_{\epsilon,i}$，$S(\epsilon)=S_1D_\epsilon$。

3.1 节习题：

P1：验证引理 3.1.4。P2：(3.0.0) 两矩阵的 Jordan 形（$J_2(0)\oplus J_2(0)$ 与 $J_3(0)\oplus J_1(0)$）。P3：只有实特征值的复矩阵相似于实矩阵；相似矩阵一般不能取实。
P4：$A$ 相似于 $cA$（$|c|\ne1$）⟹ $\sigma(A)=\{0\}$，$A$ 幂零；反之幂零矩阵对所有 $c\ne0$ 相似于 $cA$。
P5：$J_k(\lambda)$ 的特征空间一维，几何重数 1，代数重数 $k$。
P6：按三步求 $\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}3&1&2\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ 的 Jordan 形，用 3.1.18 验证。
P7：$r_{k-1}-2r_k+r_{k+1}$ = 特征值 $\lambda$、阶为 $k$ 的块数。P8：$A^2=0$、秩 $r$ ⟹ Jordan 形 $J_2(0)^{\oplus r}\oplus0_{n-2r}$（对比 2.6.P23）。
P9：$J_n(0)^2$ 的 Jordan 形：$n=2m$ 时 $J_m(0)\oplus J_m(0)$，$n=2m+1$ 时 $J_{m+1}(0)\oplus J_m(0)$。P10：$-J_k(\lambda)$ 的 Jordan 形为 $J_k(-\lambda)$。
P11 点图（Ferrers/Young 图）：第 $k$ 行放 $w_k$ 个点，列长即 Segre 特征；Segre 与 Weyr 是共轭分拆。P12：Weyr 与 Segre 特征之间的一系列不等式关系（如 $s_{w_k}\ge k$，$w_{s_k}\ge k$，$s_k\ge p>s_{k+1}\iff w_p=k$ 等）。
P13：块 Jordan 矩阵 $J_k^+(\lambda I_m)$（对角为 $\lambda I_m$、超对角为 $I_m$）的 Jordan 形为 $J_k(\lambda)^{\oplus m}$。
P14：$A$ 与 $A^T$ 相似（Weyr 特征相同）；$A$ 与 $A^*$ 未必相似。
P15：秩一 $A=xy^*$ 的 Jordan 形为 $\begin{bmatrix}y^*x&0\\0&0\end{bmatrix}\oplus0_{n-2}$（$y^*x\ne0$）或 $J_2(0)\oplus0_{n-2}$（$y^*x=0$）；秩一矩阵可对角化 ⟺ 迹非零。
P16：$\lambda\ne0$ 时 $J_k(\lambda)^{-1}$ 是上三角 Toeplitz，对角 $\lambda^{-1}$，第一超对角为 $-\lambda^{-2}$（全非零），故 Jordan 形为 $J_k(\lambda^{-1})$。
P17：非奇异 $A$ 与 $A^{-1}$ 相似 ⟺ 对 $\lambda\ne\pm1$，$J_k(\lambda)$ 与 $J_k(\lambda^{-1})$ 成对出现。P18：特征值全为 $\pm1$ ⟹ $A\sim A^{-1}$；$A=BC$，$B^{-1}=SBS^{-1}$，$C^{-1}=SCS^{-1}$ ⟹ $A\sim A^{-1}$。
P19 Heisenberg 群：$A_{x,y,t}=\begin{bmatrix}1&x^T&t\\&I_n&y\\&&1\end{bmatrix}$，$A_{x,y,t}A_{\xi,\eta,\tau}=A_{x+\xi,y+\eta,t+\tau}$（书中如此印刷；按矩阵乘法直接计算，右上角元应为 $t+\tau+x^T\eta$，编写时宜核对），构成群；Jordan 形按 $x^Ty\ne0$、$x^Ty=0$ 等情形为 $J_3(1)\oplus I_{n-1}$、$J_2(1)\oplus J_2(1)\oplus I_{n-2}$、$J_2(1)\oplus I_n$、$I_{n+2}$；总与其逆相似。
P20：$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^2$（0 为半单特征值）⟹ $A$ 秩主（0.7.6）。
P21：不可约上 Hessenberg 矩阵每个特征值几何重数为 1（非减次，nonderogatory）；可对角化时特征值必互异（如 Hermite 三对角）。
P22–P23：实三对角 $a_{i,i+1}a_{i+1,i}>0$ ⟹ $n$ 个互异实特征值；≥0 ⟹ 全实；对角为 0 且乘积为负 ⟹ $n$ 个互异纯虚特征值，成 $\pm$ 对，$n$ 奇时奇异。
P24：两个 0-1 幂零矩阵 $A,B$ 各次幂中 1 的个数相同、彼此相似，但不置换相似。
P25：$A$ 可对角化 ⟺ 对每个特征值，$(A-\lambda I)^2x=0\Rightarrow(A-\lambda I)x=0$。P26–P27：由此不用谱定理证明正规矩阵可对角化，再结合 QR 证明可酉对角化。
P28：$A,B$ 相似 ⟺ 对所有特征值与 $k=1..n$，$r_k(A,\lambda)=r_k(B,\lambda)$。P29：$a_{ii}=1$、$a_{i,i+1}\ne0$ 的上三角矩阵相似于 $J_k(1)$。P30：唯一特征值为 1 ⟹ $A\sim A^k$（所有 $k$）。

注记：C. Jordan 1870 年于 Traité des Substitutions 发表；本节证明遵循 Fletcher–Sorensen (1983) 的算法推导；组合证明见 Brualdi (1987)。

3.2 Jordan 标准形的推论（Consequences of the Jordan canonical form）（PDF p.195–211）

3.2.1 Jordan 矩阵的结构

对 (3.2.1.1) $J=J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)$：

块数 $k$ = $J$ 的线性无关特征向量的最大个数；
$J$ 可对角化 ⟺ $k=n$（所有块 1×1）；
给定特征值的块数 = 几何重数（特征空间维数）；块大小之和 = 代数重数；
对非零 $A$ 及其特征值 $\lambda$，存在正整数 $q$ 使 $r_1(A,\lambda)>r_2(A,\lambda)>\cdots>r_q(A,\lambda)=r_{q+1}(A,\lambda)$；$q$ 即 $\lambda$ 的指标 = 最大 Jordan 块阶。

3.2.2 常系数线性常微分方程组

初值问题

x'(t)=Ax(t),\quad x(0)=x_0. \tag{3.2.2.1}

$A$ 非对角时方程耦合。令 $A=SJS^{-1}$，$x=Sy$，$y_0=S^{-1}x_0$：

y'(t)=Jy(t),\quad y(0)=y_0. \tag{3.2.2.2}

可对角化时解耦为 $y_k'=\lambda_ky_k$，$y_k(t)=y_k(0)e^{\lambda_kt}$；$\lambda_k=a_k+ib_k$ 非实时为 $y_k(0)e^{a_kt}[\cos b_kt+i\sin b_kt]$，即振荡项乘实指数因子。不可对角化时，不同 Jordan 块不耦合，只需看单块 $J=J_m(\lambda)$：$y_i'=\lambda y_i+y_{i+1}$（$i<m$），$y_m'=\lambda y_m$，自下而上解：$y_m(t)=y_m(0)e^{\lambda t}$，$y_{m-1}(t)=e^{\lambda t}[y_m(0)t+y_{m-1}(0)]$，$y_{m-2}(t)=e^{\lambda t}[y_m(0)\frac{t^2}2+y_{m-1}(0)t+y_{m-2}(0)]$，一般地

y_k(t)=e^{\lambda t}q_k(t)=e^{\lambda t}\sum_{i=k}^my_i(0)\frac{t^{i-k}}{(i-k)!},

$q_k$ 是次数 ≤ $m-k$ 的多项式。结论：解的每个分量形如

x_j(t)=e^{\lambda_1t}p_1(t)+\cdots+e^{\lambda_kt}p_k(t),

$\lambda_i$ 为不同特征值，$p_i$ 的次数严格小于 $\lambda_i$ 的指标（最大 Jordan 块阶）。实特征值对应实指数项，非实特征值对应振荡项（可能带指数因子）。

3.2.3 矩阵与其转置相似

$K_m$ 为 $m\times m$ 反序矩阵（0.9.5.1），对称且对合：$K_m=K_m^T=K_m^{-1}$。练习：$K_mJ_m(\lambda)=J_m(\lambda)^TK_m$，$J_m(\lambda)K_m=K_mJ_m(\lambda)^T$；故 $K_mJ_m(\lambda)$ 与 $J_m(\lambda)K_m$ 对称（Hankel 型），且 $J_m(\lambda)=K_mJ_m(\lambda)^TK_m$。于是 Jordan 矩阵 $J^T=KJK$，$K=K_{n_1}\oplus\cdots\oplus K_{n_k}$ 对称对合。若 $A=SJS^{-1}$，则

A^T=S^{-T}J^TS^T=S^{-T}KJKS^T=(SKS^T)^{-1}A(SKS^T),

相似矩阵 $SKS^T$ 是对称的。

定理 3.2.3.1：任意 $A\in M_n$，存在非奇异复对称矩阵 $S$ 使 $A^T=SAS^{-1}$。（若 $A$ 非减次，则 $A$ 与 $A^T$ 之间的每个相似都必经对称矩阵，见 3.2.4.4。）又 $A=SJS^{-1}=(SKS^T)(S^{-T}KJS^{-1})=(SJKS^T)(S^{-T}KS^{-1})$，其中 $KJ$、$JK$ 对称： 定理 3.2.3.2：每个复方阵都是两个复对称矩阵之积，且可任选其中一个因子非奇异。对任意域 $\mathbb F$，$M_n(\mathbb F)$ 中每个矩阵都经 $M_n(\mathbb F)$ 中某个对称矩阵相似于其转置；特别实方阵经实对称矩阵相似于转置。

3.2.4 交换性与非减次矩阵

$p(A)$ 总与 $A$ 交换。反之，若 $B$ 与 $A$ 交换，$B$ 是否为 $A$ 的多项式？不一定：$A=I$ 与所有矩阵交换，但 $p(I)=p(1)I$ 只能是纯量矩阵。问题在于 $A$ 的形式允许它与很多矩阵交换，却只能生成有限的多项式集合。练习：$B$ 与 $J_m(\lambda)$ 交换 ⟺ 与 $J_m(0)$ 交换；$B\in M_2$ 与 $J_2(0)$ 交换 ⟺ $b_{21}=0,b_{11}=b_{22}$ ⟺ $B=b_{11}I+b_{12}J_2(0)$；$B\in M_3$ 与 $J_3(0)$ 交换 ⟺ $B$ 是上三角 Toeplitz 矩阵（0.9.7）⟺ $B=b_{11}I+b_{12}J_3(0)+b_{13}J_3(0)^2$；$J_4(0)$ 类似。

定义 3.2.4.1：方阵称非减次（nonderogatory），若每个特征值几何重数为 1。等价：每个不同特征值在 Jordan 形中恰对应一个块。例：$n$ 个互异特征值的矩阵；只有一个特征值且几何重数 1 的矩阵（相似于单个 Jordan 块）。纯量矩阵是其反面。练习：非减次 ⟹ $\operatorname{rank}A\ge n-1$。

定理 3.2.4.2：$A$ 非减次，$B$ 与 $A$ 交换，则存在次数 ≤ $n-1$ 的多项式 $p$ 使 $B=p(A)$。证明：$A=SJ_AS^{-1}$，$(S^{-1}BS)J_A=J_A(S^{-1}BS)$；若 $S^{-1}BS=p(J_A)$ 则 $B=p(A)$，故设 $A=J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)$，$\lambda_i$ 互异。由 2.4.4.2，$B=B_{11}\oplus\cdots\oplus B_{kk}$，$B_{ii}J_{n_i}(0)=J_{n_i}(0)B_{ii}$，故 $B_{ii}$ 为上三角 Toeplitz

B_{ii}=\begin{bmatrix}b_1^{(i)}&b_2^{(i)}&\cdots&b_{n_i}^{(i)}\\&\ddots&\ddots&\vdots\\&&\ddots&b_2^{(i)}\\&&&b_1^{(i)}\end{bmatrix}=\sum_{j=1}^{n_i}b_j^{(i)}(J_{n_i}(\lambda_i)-\lambda_iI)^{j-1}. \tag{3.2.4.3}

构造 $p_i$（$\deg\le n-1$）使 $p_i(J_{n_j}(\lambda_j))=0$（$j\ne i$）、$p_i(J_{n_i}(\lambda_i))=B_{ii}$，再取 $p=\sum p_i$。令 $q_i(t)=\prod_{j\ne i}(t-\lambda_j)^{n_j}$（次数 $n-n_i$），则 $q_i(J_{n_j}(\lambda_j))=0$（$j\ne i$），而 $q_i(J_{n_i}(\lambda_i))$ 是对角元 $q_i(\lambda_i)\ne0$ 的上三角 Toeplitz 矩阵，非奇异。关键：上三角 Toeplitz 矩阵之积与逆仍是上三角 Toeplitz（0.9.7），所以 $[q_i(J_{n_i}(\lambda_i))]^{-1}B_{ii}=r_i(J_{n_i}(\lambda_i))$，$\deg r_i\le n_i-1$。取 $p_i=q_ir_i$（次数 ≤ $n-1$），则 $p_i(J_{n_j}(\lambda_j))=0$（$j\ne i$），$p_i(J_{n_i}(\lambda_i))=q_i(\cdot)(q_i(\cdot))^{-1}B_{ii}=B_{ii}$。（逆命题见 3.2.P2。）

推论 3.2.4.4：$A$ 非减次。(a) 若 $AB=BA^T$，则 $B$ 对称；(b) 若 $S$ 非奇异且 $A^T=S^{-1}AS$，则 $S$ 对称。证明：(a) 由 3.2.3.1 有对称非奇异 $R$，$A^T=RAR^{-1}$，$AB=BRAR^{-1}$ ⟹ $A(BR)=(BR)A$，故 $BR=p(A)$；$RB^T=(BR)^T=p(A^T)=p(RAR^{-1})=Rp(A)R^{-1}=R(BR)R^{-1}=RB$，$R$ 非奇异 ⟹ $B^T=B$。(b) $SA^T=AS$，用 (a)。

3.2.5 收敛矩阵与幂有界矩阵

定义：$A$ **收敛（convergent）**若 $A^m$ 的每个元素当 $m\to\infty$ 时趋于 0；**幂有界（power bounded）**若 $\{A^m\}$ 的所有元素有界。收敛 ⟹ 幂有界；$I$ 幂有界但不收敛。收敛矩阵在数值线性代数的迭代算法分析中很重要。

对角（可对角化）矩阵收敛 ⟺ 所有特征值模 <1。对不可对角化矩阵同样成立，但需仔细分析：$A^m=SJ_A^mS^{-1}$，只需看单个 Jordan 块。$J_1(\lambda)^m=[\lambda^m]\to0\iff|\lambda|<1$。$k\ge2$ 时由二项式定理与 $J_k(0)^m=0$（$m\ge k$）：

J_k(\lambda)^m=(\lambda I+J_k(0))^m=\sum_{j=0}^{k-1}\binom{m}{m-j}\lambda^{m-j}J_k(0)^j,\quad m\ge k.

对角元为 $\lambda^m$，故 $J_k(\lambda)^m\to0$ ⟹ $|\lambda|<1$。反之若 $0<|\lambda|<1$、$j\ge1$：

\Big|\binom{m}{m-j}\lambda^{m-j}\Big|=\Big|\frac{m(m-1)\cdots(m-j+1)\lambda^m}{j!\lambda^j}\Big|\le\Big|\frac{m^j\lambda^m}{j!\lambda^j}\Big|, \tag{3.2.5.1}

只需 $m^j|\lambda|^m\to0$：取对数 $j\log m+m\log|\lambda|\to-\infty$（因 $\log|\lambda|<0$ 且 $(\log m)/m\to0$）。（不依赖 Jordan 形的另一途径见 5.6.12。）幂有界：$|\lambda|=1$ 时 $J_1(\lambda)^m$ 有界；但 $k\ge2$、$|\lambda|=1$ 时由 (3.2.5.1) 超对角元 $m\lambda^{m-1}$ 无界。

定理 3.2.5.2：$A$ 收敛 ⟺ 每个特征值模 <1（即谱半径 $\rho(A)<1$）；$A$ 幂有界 ⟺ 每个特征值模 ≤1 且模为 1 的特征值对应的 Jordan 块都是 1×1（即模为 1 的特征值都半单）。

3.2.6 几何重数–代数重数不等式

几何重数 = 对应 Jordan 块数 ≤ 块大小之和 = 代数重数。二者相等（$\lambda$ 半单，semisimple）⟺ $\lambda$ 的所有 Jordan 块都是 1×1。（先前从不同角度讨论过：1.2.18、1.3.7、1.4.10。）

3.2.7 可对角化 + 幂零：Jordan 分解

$J_k(\lambda)=\lambda I_k+J_k(0)$，$J_k(0)^k=0$：每个 Jordan 块是对角矩阵与幂零矩阵之和。一般地 $J=D+N$，$D$ 为 $J$ 的对角部分，$N=J-D$ 幂零，$N^k=0$（$k$ 为最大块阶 = 0 作为 $N$ 特征值的指标）。若 $A=SJ_AS^{-1}$，则

A=SDS^{-1}+SNS^{-1}=A_D+A_N,

$A_D$ 可对角化、$A_N$ 幂零，且 $A_DA_N=A_NA_D$（$D,N$ 共形块对角，$D$ 的对角块是纯量矩阵），二者也都与 $A$ 交换。以上确立了 Jordan 分解：任意复方阵是两个交换矩阵之和，一个可对角化、一个幂零。（唯一性见 3.2.P18。）

3.2.8 直和的 Jordan 标准形

若 $A_i=S_iJ_iS_i^{-1}$，则 $A=A_1\oplus\cdots\oplus A_m$ 经 $S=S_1\oplus\cdots\oplus S_m$ 相似于 $J=J_1\oplus\cdots\oplus J_m$；$J$ 本身是 Jordan 矩阵，由唯一性即为 $A$ 的 Jordan 形。

3.2.9 Jordan 标准形的最优性

Jordan 形未必是相似类中非零元最少的。例

A=\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&2\\0&0&1&0\end{bmatrix} \tag{3.2.9.1}

有 5 个非零元，而其 Jordan 形 $J_2(1)\oplus J_2(-1)$ 有 6 个；但 $A$ 有 5 个非零非对角元，$J$ 只有 2 个。下面说明相似类中非零非对角元不可能少于 Jordan 形。

观察 3.2.9.2：$B\in M_m$ 的非零非对角元少于 $m-1$ 个，则存在置换矩阵 $P$ 使 $P^TBP=B_1\oplus B_2$（$B_i\in M_{n_i}$，$n_i\ge1$）。直观论证（"岛与桥"）：$m$ 个岛 $C_i$，当 $b_{ij}\ne0$ 或 $b_{ji}\ne0$ 时在 $C_i,C_j$ 间架桥；连通全部岛至少需要 $m-1$ 座桥；桥少于 $m-1$ 时从 $C_1$ 出发可达的岛 $\nu<m$ 个，重新编号后得到直和结构（图论中的连通分支）。 置换相似下不可分解（indecomposable under permutation similarity）：不存在 $P$ 使 $P^TBP=B_1\oplus B_2$。由 3.2.9.2，不可分解的 $B\in M_m$ 至少有 $m-1$ 个非零非对角元。 观察 3.2.9.3：任意 $B$ 置换相似于若干置换相似下不可分解矩阵的直和（取使 $B\sim_PB_1\oplus\cdots\oplus B_q$ 的最大 $q$）。 观察 3.2.9.4：$B\in M_n$ 有 $p$ 个非零非对角元，其 Jordan 形有 $r$ 个块，则 $r\ge n-p$。证明：$B\sim_PB_1\oplus\cdots\oplus B_q$ 各不可分解，$p\ge\sum(n_i-1)=n-q$；由 3.2.8，$J_B$ 至少有 $q$ 个块。 $n\times n$ Jordan 矩阵 $J_{n_1}\oplus\cdots\oplus J_{n_r}$ 的非零非对角元恰为 $\sum(n_i-1)=n-r$ 个。 定理 3.2.9.5：$B$ 与 $A$ 相似且有 $p$ 个非零非对角元，$J_A$ 有 $r$ 个块，则 $p\ge n-r$——即 $J_A$ 的非零非对角元个数是整个相似类中的最小值。

3.2.10 块上三角矩阵特征值的指标

$\lambda$ 在 $A$ 中的指标等价于：(a) 最大 Jordan 块阶；(b) 使 $\operatorname{rank}(A-\lambda I)^m=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{m+1}$ 的最小 $m$。直和 $A_{11}\oplus A_{22}$ 中指标为 $\max\{\nu_1,\nu_2\}$。练习：$A=\begin{bmatrix}J_2(0)&I_2\\0&J_2(0)^T\end{bmatrix}$，两对角块中 0 的指标都是 2，但在 $A$ 中为 4。块上三角 $A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}$（取 $\lambda=0$），$m=\nu_1+\nu_2$：

A^m=\begin{bmatrix}A_{11}^m&\sum_{k=0}^mA_{11}^kA_{12}A_{22}^{m-k}\\0&A_{22}^m\end{bmatrix},

$A_{11}^m=A_{22}^m=0$，且每项中 $k\ge\nu_1$ 或 $m-k\ge\nu_2$，故 $A^m=0$，指标 ≤ $\nu_1+\nu_2$。 定理 3.2.10.1：块上三角 $A=[A_{ij}]_{i,j=1}^p$，$\lambda$ 在 $A_{ii}$ 中指标为 $\nu_i$，则 $\lambda$ 在 $A$ 中的指标 ≤ $\nu_1+\cdots+\nu_p$。（练习：完成归纳。） 推论 3.2.10.2：$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&\lambda I_{n_2}\end{bmatrix}$，$A_{11}$ 可对角化，则 $A$ 中特征值 $\ne\lambda$ 的 Jordan 块都是 1×1，特征值 $\lambda$ 的块为 1×1 或 2×2。

3.2.11 $AB$ 与 $BA$

$A\in M_{m,n}$，$B\in M_{n,m}$，(1.3.22) 已知 $AB$ 与 $BA$ 非零特征值（含重数）相同。更强地： 定理 3.2.11.1：对 $AB$ 的每个非零特征值 $\lambda$ 和每个 $k$，$AB$ 与 $BA$ 的 Jordan 形中 $J_k(\lambda)$ 的个数相同（"非奇异部分"的 Jordan 结构完全相同）。证明：由 1.3.22 的证明，$C_1=\begin{bmatrix}AB&0\\B&0_n\end{bmatrix}$ 与 $C_2=\begin{bmatrix}0_m&0\\B&BA\end{bmatrix}$ 相似。$\lambda\ne0$，$(C_1-\lambda I)^k=\begin{bmatrix}(AB-\lambda I_m)^k&0\\\star&(-\lambda I_n)^k\end{bmatrix}$ 的秩为 $n+\operatorname{rank}(AB-\lambda I_m)^k$；$(C_2-\lambda I)^k$ 的秩为 $m+\operatorname{rank}(BA-\lambda I_n)^k$。二者相等：

\operatorname{rank}(AB-\lambda I_m)^k=\operatorname{rank}(BA-\lambda I_n)^k+m-n,

故秩差（Weyr 特征）对所有 $k$ 相同，由 3.1.18 得结论。（零特征值的 Jordan 结构可以不同，见 3.2.P 习题。）

3.2.12 Drazin 逆

满足 $AXA=A$ 的 $X$ 称 $A$ 的广义逆（generalized inverse）。 定义 3.2.12.1：设

A=S\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}S^{-1}, \tag{3.2.12.2}

$S,B$ 非奇异，$N$ 幂零（$A$ 幂零时无 $B$，非奇异时无 $N$）。Drazin 逆为

A^D=S\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}S^{-1}. \tag{3.2.12.3}

存在性：用 Jordan 形，$B$ 为所有非奇异块之和，$N$ 为所有幂零块之和。 良定义性：若另有 $A=T\begin{bmatrix}C&0\\0&N'\end{bmatrix}T^{-1}$ (3.2.12.4)，则 $\operatorname{rank}A^n=\operatorname{rank}B^n=\operatorname{rank}B$ = $B$ 的阶，同理 = $C$ 的阶，故同阶；$R=T^{-1}S$ 满足 $R(B\oplus N)=(C\oplus N')R$，由 2.4.4.2（$B,N'$ 谱不交）$R=R_{11}\oplus R_{22}$，$C=R_{11}BR_{11}^{-1}$，$N'=R_{22}NR_{22}^{-1}$，$T=SR^{-1}$，代入得 $T(C^{-1}\oplus0)T^{-1}=S(B^{-1}\oplus0)S^{-1}=A^D$。练习：$A$ 非奇异时 $A^D=A^{-1}$；$AA^DA=A$（是广义逆）。刻画：设 $q$ 为 0 作为 $A$ 特征值的指标，

AX=XA\ (3.2.12.5),\qquad A^{q+1}X=A^q\ (3.2.12.6),\qquad XAX=X\ (3.2.12.7).

$X=A^D$ 满足这三个等式；反之满足三式的 $X$ 必为 $A^D$：设 $A=B\oplus N$，$X=[X_{ij}]$；(3.2.12.5)+2.4.4.2 ⟹ $X_{12}=X_{21}=0$，$NX_{22}=X_{22}N$；(3.2.12.6) ⟹ $B^{q+1}X_{11}=B^q$ ⟹ $X_{11}=B^{-1}$；(3.2.12.7) ⟹ $X_{22}=X_{22}NX_{22}=NX_{22}^2$ (3.2.12.8)，于是 $N^{q-1}X_{22}=N^qX_{22}^2=0$，$N^{q-2}X_{22}=(N^{q-1}X_{22})X_{22}=0$，……，$X_{22}=0$。 $A^D$ 是 $A$ 的多项式：由 2.4.3.4 取 $p$ 使 $p(B^{q+1})=(B^{q+1})^{-1}$，令 $g(t)=t^qp(t^{q+1})$，则 $g(A)=A^D$。练习：$Ax=\lambda x$（$\lambda\ne0$）⟹ $A^Dx=\lambda^{-1}x$。

3.2.13 秩一扰动的 Jordan 形

Brauer 定理（1.2.8、2.4.10.1）的 Jordan 版本：在一定条件下，秩一扰动可以几乎任意移动一个特征值，而不扰动其余 Jordan 结构。 定理 3.2.13.1：$n\ge2$，$A$ 的特征值 $\lambda,\lambda_2..\lambda_n$，存在非零 $x,y$ 使 $Ax=\lambda x$，$y^*A=\lambda y^*$，$y^*x\ne0$。则 (a) $A$ 的 Jordan 形为 $[\lambda]\oplus J_{n_1}(\nu_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\nu_k)$ (3.2.13.2)，$\{\nu_i\}\subset\{\lambda_2..\lambda_n\}$； (b) 对任意 $v$ 满足 $\lambda+v^*x\ne\lambda_j$（$j=2..n$），$A+xv^*$ 的 Jordan 形为 $[\lambda+v^*x]\oplus J_{n_1}(\nu_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\nu_k)$。证明：由 1.4.7 存在非奇异 $S=[x\ S_1]$ 使 $S^{-1}AS=[\lambda]\oplus B$，$B$ 的 Jordan 形即 $\oplus J_{n_i}(\nu_i)$。$S^{-1}(xv^*)S=e_1(v^*S)=\begin{bmatrix}v^*x&w^*\\0&0\end{bmatrix}$（$w^*=v^*S_1$），故 $S^{-1}(A+xv^*)S=\begin{bmatrix}\lambda+v^*x&w^*\\0&B\end{bmatrix}$。用 $\begin{bmatrix}1&\xi^*\\0&I\end{bmatrix}$ 相似得右上块 $w^*+\xi^*((\lambda+v^*x)I-B)$；因 $\lambda+v^*x$ 不是 $B$ 的特征值，取 $\xi^*=-w^*((\lambda+v^*x)I-B)^{-1}$ 消去，得 $[\lambda+v^*x]\oplus B$。

3.2 节习题（PDF p.207–211）

P1：族 $\mathcal F$ 中有非减次 $A_0$ 与所有成员交换 ⟹ 每个 $A_\alpha=p_\alpha(A_0)$（$\deg\le n-1$），$\mathcal F$ 交换。
P2：（3.2.4.2 的逆）若与 $A$ 交换的每个矩阵都是 $A$ 的多项式，则 $A$ 非减次。
P3：$A=B+iC$ 的实表示 $R_1(A)=\begin{bmatrix}B&C\\-C&B\end{bmatrix}\in M_{2n}$ 的 Jordan 形为 $J\oplus\bar J$，即成对 $J_k(\lambda)\oplus J_k(\bar\lambda)$（即使 $\lambda$ 实）。
P4：奇异 $A$ 秩 $r$，$h(t)=p_A(t)/t^{n-r-1}$ 零化 $A$（次数 $r+1$）：Jordan 形 $J\oplus J_{n_1}(0)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(0)$，$p_A(t)=p_1(t)t^\nu$，$p(t)=p_1(t)t^{n_{\max}}$ 零化 $A$；$k=n-r$，$\nu-n_{\max}\ge k-1=n-r-1$。
P5：求 $\begin{bmatrix}i&1\\1&-i\end{bmatrix}$ 的 Jordan 形（迹 0、行列式 0，非零幂零 ⟹ $J_2(0)$）。
P6：微分算子 $d/dt$ 在 $\{1,t,t^2,t^3\}$ 下的矩阵（超对角为 1,2,3）的 Jordan 形为 $J_4(0)$。
P7：$A^3=I$ ⟹ 可对角化（最小多项式无重根），Jordan 形为 $1,\omega,\omega^2$ 组成的对角阵。P8：$p_A=(t+3)^4(t-4)^2$ 的 $6\times6$ 矩阵所有可能 Jordan 形（$-3$ 对应 4 的分拆 × $4$ 对应 2 的分拆，共 $5\times2=10$ 种）。
P9–P12 伴随矩阵的 Jordan 形：$\operatorname{adj}J_k(\lambda)$ 为 $J_k(\lambda^{k-1})$（$\lambda\ne0$）或 $J_2(0)\oplus0_{k-2}$（$\lambda=0$）；非奇异 $A$ 时 $\operatorname{adj}A$ 的 Jordan 形 $\oplus J_{n_i}(\mu_i)$，$\mu_i=\lambda_i^{n_i-1}\prod_{j\ne i}\lambda_j^{n_j}$；奇异且只有一个奇异块 $J_{n_k}(0)$：$n_k\ge2$ 时 $J_2(0)\oplus0_{n-2}$（$\operatorname{rank}A<n-1$），$n_k=1$ 时 $\prod\lambda_i^{n_i}\oplus0_{n-1}$（$\operatorname{rank}A=n-1$）；两个以上奇异块 ⟹ $\operatorname{adj}A=0$。
P13–P15 相似的消去定理：$A\oplus B\sim A\oplus C\iff B\sim C$；$B^{\oplus k}\sim C^{\oplus k}\iff B\sim C$；$A\oplus B^{\oplus k}\sim A\oplus C^{\oplus k}\iff B\sim C$。
P16：非奇异 $A$ 的 $A^2$ 的 Jordan 形为 $\oplus J_{n_i}(\lambda_i^2)$（块结构不变，特征值平方）；但 $J_m(0)^2$ 的 Jordan 形不是 $J_m(0)$（见 3.1.P9）。
P17：$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^2$ ⟺ 0 的几何重数 = 代数重数（0 的块都是 1×1）；$A$ 可对角化 ⟺ 对所有特征值 $\operatorname{rank}(A-\lambda I)=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^2$。
P18 Jordan 分解的唯一性：若 $A=B+C$，$BC=CB$，$B$ 可对角化、$C$ 幂零，则 $B=A_D$，$C=A_N$。用到 $A_D=p(A)$、$A_N=q(A)$（Horn–Johnson 1991 第 6.1 节）：$B,C$ 与 $A$、进而与 $A_D,A_N$ 交换；$B,A_D$ 可同时对角化 ⟹ $A_D-B$ 可对角化；$C,A_N$ 可同时上三角化 ⟹ $C-A_N$ 幂零；$A_D-B=C-A_N$ 既可对角化又幂零 ⟹ 为 0。$A_D$ 称可对角化部分，$A_N$ 称幂零部分。
P19：(a) $\lambda$ 的所有 Jordan 块阶 ≥2 ⟺ 每个 $\lambda$-特征向量都在 $\operatorname{range}(A-\lambda I)$ 中；(b) 五个等价条件：有 1×1 块；存在 $Ax=\lambda x$ 且 $x\notin\operatorname{range}(A-\lambda I)$；$x$ 不正交于 $\ker(A^*-\bar\lambda I)$；存在 $Ax=\lambda x$、$y^*A=\lambda y^*$、$x^*y\ne0$；$A\sim[\lambda]\oplus B$。
P20：$AB\sim BA$ ⟺ $\operatorname{rank}(AB)^k=\operatorname{rank}(BA)^k$（$k=1..n$）；若 $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}AB=\operatorname{rank}BA$ 则 $AB\sim BA$（化为 $A=I_r\oplus0$ 后计算）。
P21：$A=\begin{bmatrix}J_2(0)&0\\x^T&0\end{bmatrix}$，$x^T=[1\ 0]$，$B=I_2\oplus[0]$：$AB$ 的 Jordan 形为 $J_3(0)$，$BA$ 为 $J_2(0)\oplus J_1(0)$——零特征值的 Jordan 结构可以不同。
P22：$AA^D$ 与 $I-AA^D$ 都是投影且 $AA^D(I-AA^D)=0$。P23：$k\ge q$ 时 $A^D=\lim_{t\to0}(A^{k+1}+tI)^{-1}A^k$。
P24：（2.4.P12 的类比）$D=AB-BA^T$，$AD=DA^T$ ⟹ $D$ 奇异；$A$ 可对角化 ⟹ $D=0$；再有 $DA=A^TD$ ⟹ $D$ 幂零；$A$ 非减次 ⟹ $D$ 对称且 $\operatorname{rank}D\le n-d$。
P25–P26：$A^2$ 非减次 ⟹ $A$ 非减次、$\lambda\ne0$ 时 $-\lambda$ 不是特征值、0 至多单重、$\operatorname{rank}A\ge n-1$、$A=p(A^2)$；若再有 $AB=B^TA$、$BA=AB^T$ 则 $B$ 对称。
P27：$\operatorname{adj}J_k(0)\sim J_2(0)\oplus0_{k-2}$；幂零且秩 $n-1$ ⟹ $A\sim J_n(0)$；幂零 ⟹ $(\operatorname{adj}A)^2=0$。
P28 Google 矩阵：在 3.2.13.1 的假设下，$v^*x=1$，$A(c)=cA+(1-c)\lambda xv^*$；$c\ne0$ 且 $c\lambda_j\ne\lambda$ 时 Jordan 形为 $[\lambda]\oplus J_{n_1}(c\nu_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(c\nu_k)$（对比 1.2.P21）——PageRank 阻尼因子对谱结构的影响。
P29：$A=J_k(\lambda)$，$C=AB-BA$，若 $AC=CA$，则 $C$ 为严格上三角 Toeplitz（幂零），$B$ 上三角（非 Toeplitz），特征值 $b_{11},b_{11}+\gamma_1,\dots,b_{11}+(k-1)\gamma_1$ 成等差数列。
P30–P31：子空间 $\mathcal S$ 是 $A$ 的不变子空间 ⟺ 存在与 $A$ 交换的 $B$ 使 $\mathcal S=\ker B$ ⟺ 存在与 $A$ 交换的 $B$ 使 $\mathcal S=\operatorname{range}B$（利用 $A$ 与 $A^T$ 经对称矩阵相似构造）。
P32：$n=2$，$A$ 与 $C=AB-BA$ 交换 ⟹ 可同时上三角化（$n>2$ 不成立，2.4.P12f）。P33：$A^*$ 非减次 ⟺ $A$ 非减次。P34：$A$ 非减次、$B$ 与 $A$ 和 $A^*$ 都交换 ⟹ $B$ 正规。
P35：（2.5.17 的部分逆）$A$ 非减次、$A\bar A=\bar AA$、$AA^T=A^TA$ ⟹ $A$ 正规；$n=2$ 时无需非减次；$n=3$ 也成立但证明繁琐；$n=4$ 反例 $A=\begin{bmatrix}B&C\\0&B\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}$，$C=\begin{bmatrix}1&i\\-i&1\end{bmatrix}$。
P36：共轭对合 $A=\bar A^{-1}$ 的 Jordan 形由 $J_k(e^{i\theta})$ 与成对的 $J_k(\lambda)\oplus J_k(1/\bar\lambda)$（$|\lambda|\ne1$）组成。
P37 半收敛（semiconvergent）：$\lim A^k$ 存在 ⟺ $\rho(A)\le1$ 且模为 1 的特征值只能是 $\lambda=1$ 且半单；此时 $\lim_{k\to\infty}A^k=I-(I-A)(I-A)^D$。

注记：最优性 3.2.9.4 及等号情形见 Brualdi–Pei–Zhan (2008)。$AB$ 与 $BA$ 的幂零 Jordan 块大小（降序、补零后）满足 $|m_i-n_i|\le1$（Johnson–Schreiner 1996；Lippert–Strang 2009 用 Weyr 特征给出另证）。3.2.P31–P32 的论证源自 I. Domanov，结论是 Halmos (1971) 的定理 3；3.2.P34 源自 G. Goodson。

3.3 最小多项式与友矩阵（The minimal polynomial and the companion matrix）（PDF p.211–220）

多项式 $p$ 零化（annihilate） $A$ 若 $p(A)=0$。Cayley–Hamilton 保证特征多项式 $p_A$（$n$ 次首一）零化 $A$；可能存在更低次的零化多项式。

定理 3.3.1：存在唯一的次数最小的首一零化多项式 $q_A(t)$，$\deg q_A\le n$；任何首一零化多项式 $p$ 都被 $q_A$ 整除：$p=hq_A$。证明：设 $m$ 为首一零化多项式的最小次数（$m\le n$）。对任意首一零化 $p$，带余除法 $p=qh+r$，$\deg r<m$；$0=p(A)=q(A)h(A)+r(A)=r(A)$；若 $r\ne0$，归一化得更低次首一零化多项式，矛盾；故 $r=0$。两个最小次首一零化多项式互相整除且同次，只差纯量倍，首一 ⟹ 相同。

定义 3.3.2：$q_A(t)$ 称 $A$ 的最小多项式（minimal polynomial）。

推论 3.3.3：相似矩阵最小多项式相同。证明：$q_B(A)=q_B(SBS^{-1})=Sq_B(B)S^{-1}=0$，故 $\deg q_A\le\deg q_B$，反之亦然，再由唯一性。练习：$A=J_2(0)\oplus J_2(0)$ 与 $B=J_2(0)\oplus0_2$ 最小多项式都是 $t^2$（特征多项式也都是 $t^4$），但不相似——最小多项式（连同特征多项式）不是完全的相似不变量。

推论 3.3.4：$q_A\mid p_A$；且 $q_A(\lambda)=0\iff\lambda$ 是 $A$ 的特征值，故 $p_A$ 的每个根都是 $q_A$ 的根。证明：整除由 3.3.1；若 $Ax=\lambda x$，$0=q_A(A)x=q_A(\lambda)x$，$x\ne0$ ⟹ $q_A(\lambda)=0$。于是若

p_A(t)=\prod_{i=1}^d(t-\lambda_i)^{s_i},\quad1\le s_i\le n,\ \sum s_i=n, \tag{3.3.5a}

（$\lambda_i$ 互异），则

q_A(t)=\prod_{i=1}^d(t-\lambda_i)^{r_i},\quad1\le r_i\le s_i. \tag{3.3.5b}

求最小多项式的算法：(1) 求特征值及代数重数，得到 (3.3.5a)；(2) 在有限多个形如 (3.3.5b) 的多项式中，从全部 $r_i=1$ 开始，逐个计算找出零化 $A$ 的最低次者。数值上对大矩阵不好（需要因式分解特征多项式），但手算小矩阵很有效。不依赖特征多项式或特征值的方法见 3.3.P5。

与 Jordan 形的关系：单块 $J=J_n(\lambda)$：$p_J=(t-\lambda)^n$，且 $k<n$ 时 $(J-\lambda I)^k\ne0$，故 $q_J=(t-\lambda)^n$。$J=J_{n_1}(\lambda)\oplus J_{n_2}(\lambda)$（$n_1\ge n_2$）：$p_J=(t-\lambda)^n$，但 $(J-\lambda I)^{n_1}=0$ 且没有更低次幂为零，$q_J=(t-\lambda)^{n_1}$。一般地，每个不同特征值 $\lambda_i$ 贡献因子 $(t-\lambda_i)^{r_i}$，$r_i$ 为该特征值最大 Jordan 块的阶。

定理 3.3.6：$A$ 的不同特征值 $\lambda_1..\lambda_d$，则

q_A(t)=\prod_{i=1}^d(t-\lambda_i)^{r_i}, \tag{3.3.7}

$r_i$ 为 $\lambda_i$ 对应的最大 Jordan 块阶（即 $\lambda_i$ 的指标）。实践中用处不大（求 Jordan 形通常比求最小多项式难；只知道特征值时用试错即可求最小多项式），但有重要理论推论：可对角化 ⟺ 所有块 1×1 ⟺ 所有 $r_i=1$。

推论 3.3.8：$A$ 的不同特征值 $\lambda_1..\lambda_d$，$q(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_d)$ (3.3.9)。则 $A$ 可对角化 ⟺ $q(A)=0$。这一准则在已知不同特征值时确实实用：构造 (3.3.9) 看是否零化 $A$；若零化，它必是最小多项式（更低次的多项式不可能以所有不同特征值为根）；否则 $A$ 不可对角化。

推论 3.3.10：以下等价：(a) $q_A$ 是互异一次因子之积；(b) 每个特征值都是 $q_A$ 的单根；(c) 对每个特征值 $q_A'(\lambda)\ne0$；(d) $A$ 可对角化。

反问题与友矩阵：给定首一多项式

p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+a_{n-2}t^{n-2}+\cdots+a_1t+a_0, \tag{3.3.11}

是否存在以它为最小多项式的矩阵？（矩阵至少 $n\times n$。）考虑

A=\begin{bmatrix}0&&&&-a_0\\1&0&&&-a_1\\&1&\ddots&&\vdots\\&&\ddots&0&-a_{n-2}\\&&&1&-a_{n-1}\end{bmatrix}\in M_n. \tag{3.3.12}

则 $Ae_k=e_{k+1}$（$k<n$），即 $e_{k}=A^{k-1}e_1$；且

Ae_n=-a_{n-1}e_n-\cdots-a_1e_2-a_0e_1=-a_{n-1}A^{n-1}e_1-\cdots-a_0e_1=(A^n-p(A))e_1,

故 $p(A)e_1=(p(A)-A^n)e_1+(A^n-p(A))e_1=0$；$p(A)e_k=p(A)A^{k-1}e_1=A^{k-1}p(A)e_1=0$，所以 $p(A)=0$。若有更低次 $m<n$ 的首一 $q(t)=t^m+b_{m-1}t^{m-1}+\cdots+b_0$ 零化 $A$，则 $0=q(A)e_1=e_{m+1}+b_{m-1}e_m+\cdots+b_0e_1$，与 $e_1..e_{m+1}$ 线性无关矛盾。故 $p$ 是 $A$ 的最小多项式；由 3.3.1（$p_A$ 也是 $n$ 次首一零化多项式）$p$ 也是特征多项式。

定义 3.3.13：(3.3.12) 称多项式 (3.3.11) 的友矩阵（companion matrix）。 定理 3.3.14：每个首一多项式既是其友矩阵的最小多项式，也是特征多项式。

若 $\deg q_A=n$，则 (3.3.7) 中 $r_1+\cdots+r_d=n$，即每个特征值的最大块就是唯一块——$A$ 非减次。特别地每个友矩阵都是非减次的。非减次矩阵未必是友矩阵，但它与其特征多项式的友矩阵 $C$ 有相同 Jordan 形（每个 $\lambda_i$ 一个块 $J_{r_i}(\lambda_i)$），故 $A\sim C$。 定理 3.3.15（练习补证）：以下等价：(a) $\deg q_A=n$；(b) $p_A=q_A$；(c) $A$ 非减次；(d) $A$ 相似于 $p_A$ 的友矩阵。

3.3 节习题（PDF p.215–220）

P1：$M_3$ 中幂零矩阵相似 ⟺ 最小多项式相同（$t,t^2,t^3$ 分别对应唯一 Jordan 形）；$M_4$ 中不成立（$J_2\oplus J_2$ 与 $J_2\oplus J_1\oplus J_1$）。
P2：最小多项式算法：对每个 $\lambda_i$ 计算 $(A-\lambda_iI)^k$，$r_i$ 为使 $\operatorname{rank}(A-\lambda_iI)^k=\operatorname{rank}(A-\lambda_iI)^{k+1}$ 的最小 $k$。
P3：幂等（投影）矩阵可对角化，最小多项式为 $t$、$t-1$ 或 $t(t-1)$；三幂等（$A^3=A$）与 $A^k=A$ 同样可对角化。
P4：$A^k=0$（某 $k>n$）⟹ 某 $r\le n$ 有 $A^r=0$（最小多项式 $t^r$ 整除 $t^k$ 且 $r\le n$）。
P5 用 Gram–Schmidt 求最小多项式（无需特征多项式或特征值）：$T:M_n\to\mathbb C^{n^2}$ 按列拉直（vec），是线性同构；$v_k=T(A^k)$，$k=0..n$，由 C–H 线性相关；对 $v_0,v_1,\dots$ 做 Gram–Schmidt，首次产生零向量在第 $k$ 步，则 $\deg q_A=k-1$；若该步给出 $\alpha_0v_0+\cdots+\alpha_{k-1}v_{k-1}=0$，则 $\alpha_0I+\alpha_1A+\cdots+\alpha_{k-1}A^{k-1}=0$，$q_A(t)=(\alpha_{k-1}t^{k-1}+\cdots+\alpha_1t+\alpha_0)/\alpha_{k-1}$（$\alpha_{k-1}\ne0$，否则前面已产生零向量）。
P6：用 P5 算法求 $\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ 的最小多项式（分别为 $(t-1)(t-2)$、$(t-1)^2$、$t-1$）。
P7：$A=E_{12}$、$B=E_{22}$：$AB=A$、$BA=0$，最小多项式不同；但 $CD$ 与 $DC$ 的特征多项式总相同（1.3.22）。
P8：$A_1\oplus\cdots\oplus A_k$ 的最小多项式是各 $q_{A_i}$ 的最小公倍式；由此另证 1.3.10。
P9：$A\in M_5$，$p_A=(t-4)^3(t+6)^2$，$q_A=(t-4)^2(t+6)$ ⟹ Jordan 形 $J_2(4)\oplus J_1(4)\oplus J_1(-6)\oplus J_1(-6)$。
P10：直接计算验证 (3.3.11) 是 (3.3.12) 的特征多项式。
P11：友矩阵的其他常见形式：$A_2=K_nAK_n$、$A_3=A^T$、$A_4=K_nA^TK_n$（$K_n$ 为反序矩阵），它们的最小多项式与特征多项式都是 $p(t)$。P12：$p_A=p_B=q_A=q_B$ ⟹ $A\sim B$；故这些友矩阵形式彼此相似。
P13 友矩阵的奇异值：任意 $n$ 个复数都可作为友矩阵的特征值，但奇异值受严格限制。$A=\begin{bmatrix}0&-a_0\\I_{n-1}&\xi\end{bmatrix}$，$\xi=[-a_1\dots-a_{n-1}]^T$，$A^*A=\begin{bmatrix}I_{n-1}&\xi\\\xi^*&s\end{bmatrix}$，$s=|a_0|^2+\|\xi\|_2^2$。则 $\sigma_2=\cdots=\sigma_{n-1}=1$，且
$\sigma_1^2,\sigma_n^2=\tfrac12\Big(s+1\pm\sqrt{(s+1)^2-4|a_0|^2}\Big); \tag{3.3.16}$ $\sigma_1\sigma_n=|a_0|$，$\sigma_1^2+\sigma_n^2=s+1$，$\sigma_1\ge1\ge\sigma_n$（$\xi\ne0$ 时严格）。奇异值只依赖于元素的绝对值（也可用对角酉等价说明）。5.6.P28、5.6.P31 用 (3.3.16) 给出多项式零点的界。
P14：友矩阵正规的条件：$n=2$ 时 ⟺ $|a_0|=1$ 且 $a_1=-a_0\bar a_1$（酉 ⟺ $|a_0|=1,a_1=0$）；$n\ge3$ 时 ⟺ $|a_0|=1$ 且 $a_1=\cdots=a_{n-1}=0$，即 $p_A=t^n-c$，$|c|=1$；此时 $A$ 酉，特征值为 $e^{i\varphi}e^{2\pi ik/n}$。
P15：$P(A)=\{p(A)\}$ 是 $A$ 生成的子代数，$\dim P(A)=\deg q_A\le n$。
P16：$A=p_1(C)$、$B=p_2(C)$ ⟹ $A,B$ 交换；但交换矩阵对不一定都如此：$A=J_2(0)\oplus J_1(0)$、$B=J_3(0)^2$，$AB=BA=A^2=B^2=0$，$\{I,A,B\}$ 是 $\mathcal A(A,B)$ 的基，维数 3；若 $A,B\in P(C)$ 则 $P(C)=\mathcal A(A,B)$ 维数 3，但 $C=\gamma I+\alpha A+\beta B$ 满足 $(C-\gamma I)^2=0$，$\dim P(C)\le2$，矛盾。
P17：与友矩阵交换的矩阵必是它的多项式（友矩阵非减次，3.2.4.2）。
P18 用友矩阵证明 Newton 恒等式：$A$ 为 $p$ 的友矩阵，$0=\operatorname{tr}(A^kp(A))=\mu_{n+k}+a_{n-1}\mu_{n+k-1}+\cdots+a_0\mu_k$ 即 (2.4.19)；由 (2.4.13)
$\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI-A))=nt^{n-1}+\operatorname{tr}A_{n-2}t^{n-2}+\cdots+\operatorname{tr}A_1t+\operatorname{tr}A_0, \tag{3.3.17}$ 结合 (2.4.17) 与 $\operatorname{tr}\operatorname{adj}(tI-A)=p_A'(t)=nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+\cdots+a_1$（0.8.10.2），比较系数得 $(n-k)a_{n-k}=\mu_k+a_{n-1}\mu_{k-1}+\cdots+a_{n-k+1}\mu_1+na_{n-k}$，即 (2.4.18)。
P19：若 $C=AB-BA$ 与 $A,B$ 都交换，则 $C^{n-1}=0$（比 Jacobson 的 $C^n=0$ 更强）；$n=2$ 时 $C=0$。
P20：友矩阵 $A$：$\lambda$ 是特征值 ⟺ $x_\lambda=[1\ \lambda\ \lambda^2\cdots\lambda^{n-1}]^T$ 是 $A^T$ 的特征向量；$A^T$ 的 $\lambda$-特征向量都是 $x_\lambda$ 的倍数，故每个特征值几何重数为 1；两个友矩阵的转置有公共特征向量 ⟺ 有公共特征值；若 $A,B$ 交换则必有公共特征值。
P21：$C_n$ 为 $t^n+1$ 的友矩阵，$L_n$ 为严格下三角全 1 矩阵，$E_n=L_n-L_n^T$，$\theta_k=\frac\pi n(2k+1)$：$C_n$ 特征值 $\lambda_k=e^{i\theta_k}$，特征向量 $x_k=[1\ \lambda_k\cdots\lambda_k^{n-1}]^T$；$E_n=C_n+C_n^2+\cdots+C_n^{n-1}$，特征值 $\lambda_k+\cdots+\lambda_k^{n-1}=\frac{1+\lambda_k}{1-\lambda_k}=i\cot\frac{\theta_k}2$；故 $\rho(E_n)=\cot\frac{\pi}{2n}$。
P22：$\deg q_A\le\operatorname{rank}A+1$，且对奇异矩阵此界最优（每个 $r=1..n-1$ 都有秩 $r$ 且 $\deg q_A=r+1$ 的例子）。
P23：友矩阵可对角化 ⟺ 特征值互异（友矩阵非减次）。
P24：用 3.3.3 前练习的例子（$J_2(0)\oplus J_2(0)$ 与 $J_2(0)\oplus0_2$）说明存在不相似的 $A,B$ 使对每个多项式 $p$，$p(A)=0\iff p(B)=0$。
P25 友矩阵的逆：$a_0\ne0$ 时
$A^{-1}=\begin{bmatrix}-a_1/a_0&1&0&\cdots&0\\-a_2/a_0&0&1&&0\\\vdots&\vdots&&\ddots&\\-a_{n-1}/a_0&0&&&1\\-1/a_0&0&\cdots&\cdots&0\end{bmatrix}, \tag{3.3.18}$ 其特征多项式为 $t^n+\frac{a_1}{a_0}t^{n-1}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_0}t+\frac1{a_0}=\frac{t^n}{a_0}p_A(t^{-1})$ (3.3.19)（互反多项式）。
P26（2.4.P16 的推广）：$q_A(t)=\prod(t-\lambda_i)^{\mu_i}$，$q_i(t)=q_A(t)/(t-\lambda_i)$，$\nu_i$ 为 Jordan 形中 $J_{\mu_i}(\lambda_i)$（最大块）的个数。则 (a) $q_i(A)\ne0$，其非零列是 $\lambda_i$ 的特征向量，非零行是 $\lambda_i$ 的左特征向量的共轭；(b) $q_i(A)=X_iY_i^*$，$X_i,Y_i\in M_{n,\nu_i}$ 秩 $\nu_i$，$AX_i=\lambda_iX_i$，$Y_i^*A=\lambda_iY_i^*$；(c) $\operatorname{rank}q_i(A)=\nu_i$；(d) 若某 $\nu_i=1$，存在 $p$ 使 $\operatorname{rank}p(A)=1$；(e) 非减次 ⟹ 存在 $p$ 使 $\operatorname{rank}p(A)=1$；(f) (d) 的逆也成立。
P27：$n$ 阶线性齐次 ODE $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$，令 $x_1=y,x_2=y',\dots,x_n=y^{(n-1)}$ 化为 $x'=Ax$，$A^T$ 正是友矩阵 (3.3.12)。
P28：对合 $K$（$K^2=I$）可对角化，相似于 $I_m\oplus(-I_{n-m})$。
P29：$K$ 对合、$A=KAK$ ⟹ $A\sim A_{11}\oplus A_{22}$ 且 $KA\sim A_{11}\oplus(-A_{22})$；$\lambda$ 是 $A$ 的特征值 ⟺ $+\lambda$ 或 $-\lambda$ 是 $KA$ 的特征值；中心对称矩阵（0.9.10）取 $K=K_n$：$\lambda\in\sigma(A)\iff\pm\lambda\in\sigma(K_nA)$（$K_nA$ 为行逆序）。
P30：$A=-KAK$ ⟹ $A\sim\begin{bmatrix}0_m&A_{12}\\A_{21}&0_{n-m}\end{bmatrix}$，$KA\sim\begin{bmatrix}0_m&A_{12}\\-A_{21}&0\end{bmatrix}$，$A\sim iKA$；斜中心对称矩阵 $A\sim iK_nA$。
P31：不存在最小多项式为 $x^2+1$ 的 $3\times3$ 实矩阵（非实根须成对，三阶实矩阵必有实特征值），但存在 $2\times2$ 实矩阵和 $3\times3$ 复矩阵。
P32 有理标准形（rational canonical form）：从 Jordan 形的块列表中，每轮对每个特征值取出一个最大块，组成 $J_j$（非减次），其特征多项式为 $p_j$、友矩阵为 $C_j$。则 $J_j\sim C_j$，$A\sim F=C_1\oplus\cdots\oplus C_r$；$p_1$ 是最小多项式，$p_1\cdots p_r$ 是特征多项式；$p_{j+1}\mid p_j$；$A$ 实则 $F$ 实；满足整除链条件的友矩阵直和形式唯一。$p_1..p_r$ 称 $A$ 的不变因子（invariant factors），$F$ 称有理标准形。虽然这里借助 Jordan 形（特征值）构造，但不变因子可仅通过对 $A$ 元素做有限次有理运算求出，无需知道特征值；元素在域 $\mathbb F$ 中时所有运算都在 $\mathbb F$ 内。
P33：多项式 (3.3.11) 的零点 $z_i$ 满足 $\frac1n\sum|z_i|^2\le1-\frac1n+\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}|a_i|^2<1+\max_i|a_i|^2$（由友矩阵的 Schur 不等式）。
P34：$C=AB-BA$ 与 $A$ 交换时，已知 $C^m=0$，$m=2\max\{r_1..r_d\}-1$；由此推出 2.4.P12(a,c)。
P35：秩一 $A$ 的最小多项式为 $t(t-\operatorname{tr}A)$，故可对角化 ⟺ $\operatorname{tr}A\ne0$。

注记：(3.3.16) 首证于 Kittaneh (1995)；任意域上的有理标准形见 Hoffman–Kunze (1971) 7.2 节或 Turnbull–Aitken (1945) V.4 节；3.3.P34 的结论见 Bračič–Kuzma (2007)（Kleinecke–Shirokov 定理的局部化）。

3.4 实 Jordan 标准形与 Weyr 标准形（The real Jordan and Weyr canonical forms）（PDF p.221–222，续见下一块）

本节讨论实矩阵的实版本 Jordan 形，以及在涉及交换性的问题中特别有用的另一种复标准形（Weyr 形，见下一块）。

3.4.1 实 Jordan 标准形

$A\in M_n(\mathbb R)$ 的非实特征值成共轭对出现。对任意 $\lambda\in\mathbb C$ 和 $k$：

\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}\overline{(A-\lambda I)^k}=\operatorname{rank}(A-\bar\lambda I)^k,

故共轭特征值对的 Weyr 特征相同（$w_k(A,\lambda)=w_k(A,\bar\lambda)$），由 3.1.18 其 Jordan 结构相同（$s_k(A,\lambda)=s_k(A,\bar\lambda)$）：非实特征值的所有 Jordan 块以等大小的共轭对出现。

例：若有 $k$ 个 $J_2(\lambda)$，则也有 $k$ 个 $J_2(\bar\lambda)$。$J_2(\lambda)\oplus J_2(\bar\lambda)$ 交换第 2、3 行列后置换相似于块上三角

\begin{bmatrix}D(\lambda)&I_2\\0&D(\lambda)\end{bmatrix},\quad D(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\bar\lambda\end{bmatrix}.

一般地

\begin{bmatrix}J_k(\lambda)&\\&J_k(\bar\lambda)\end{bmatrix}\in M_{2k} \tag{3.4.1.1}

置换相似于块双对角矩阵

\begin{bmatrix}D(\lambda)&I_2&&\\&D(\lambda)&\ddots&\\&&\ddots&I_2\\&&&D(\lambda)\end{bmatrix}\in M_{2k}, \tag{3.4.1.2}

主块对角线上 $k$ 个 $D(\lambda)$、块超对角线上 $k-1$ 个 $I_2$。

设 $\lambda=a+ib$（$a,b$ 实），计算得

C(a,b):=\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}=SD(\lambda)S^{-1},\quad S=\begin{bmatrix}-i&-i\\1&-1\end{bmatrix},\ S^{-1}=\frac1{2i}\begin{bmatrix}-1&i\\-1&-i\end{bmatrix}. \tag{3.4.1.3}

用 $S\oplus\cdots\oplus S$（$k$ 个）相似，(3.4.1.2)（$\lambda$ 非实）相似于实块矩阵

C_k(a,b):=\begin{bmatrix}C(a,b)&I_2&&\\&C(a,b)&\ddots&\\&&\ddots&I_2\\&&&C(a,b)\end{bmatrix}\in M_{2k}. \tag{3.4.1.4}

所以每个 (3.4.1.1) 形式的块对都相似于 $C_k(a,b)$。

定理 3.4.1.5（实 Jordan 标准形）：每个 $A\in M_n(\mathbb R)$ 经实相似相似于实块对角矩阵

C_{n_1}(a_1,b_1)\oplus\cdots\oplus C_{n_p}(a_p,b_p)\oplus J_{m_1}(\mu_1)\oplus\cdots\oplus J_{m_r}(\mu_r), \tag{3.4.1.6}

其中 $\lambda_k=a_k+ib_k$（$b_k>0$）是 $A$ 的非实特征值，$\mu_j$ 是实特征值；每个实块三角矩阵 $C_{n_k}(a_k,b_k)\in M_{2n_k}$ 对应 Jordan 形 (3.1.12) 中一对共轭块 $J_{n_k}(\lambda_k),J_{n_k}(\bar\lambda_k)$；实 Jordan 块 $J_{m_k}(\mu_k)$ 就是 (3.1.12) 中实特征值的块。证明：上面已证 $A$ 在 $\mathbb C$ 上相似于 (3.4.1.6)；由定理 1.3.28（两实矩阵复相似 ⟹ 实相似）得实相似。 (3.4.1.6) 称 $A$ 的实 Jordan 标准形。

推论 3.4.1.7：$A\in M_n$，以下等价： (a) $A$ 相似于某个实矩阵； (b) 对每个非零特征值 $\lambda$ 和每个 $k$，$J_k(\lambda)$ 与 $J_k(\bar\lambda)$ 的个数相等； (c) 对每个非实特征值 $\lambda$ 和每个 $k$，$J_k(\lambda)$ 与 $J_k(\bar\lambda)$ 的个数相等； (d) 对每个非实特征值 $\lambda$ 和每个 $k$，$\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}(A-\bar\lambda I)^k$； (e) 对每个非实特征值 $\lambda$ 和每个 $k$，$\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}(\bar A-\lambda I)^k$； (f) 对每个非实特征值 $\lambda$，$A$ 关于 $\lambda$ 与 $\bar\lambda$ 的 Weyr 特征相同； (g) $A$ 相似于 $\bar A$。（本块止于 PDF p.222 推论 3.4.1.7 的陈述；其证明、3.4.2 Weyr 标准形及以后内容见下一块。）

本块所涉第 3 章内容（3.0–3.4.1）的要点（第 3 章尚未结束，完整的章末三段由下一块补写）

要点：

Jordan 标准形定理（3.1.11）：任意复方阵相似于 Jordan 块直和，在块置换意义下唯一；存在性经 Schur 三角化 → 分块对角化 → 严格上三角的幂零 Jordan 化（3.1.5）三步完成；唯一性靠秩序列 $r_k(A,\lambda)=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k$ 及 Weyr 特征 $w_k=r_{k-1}-r_k$（3.1.17、3.1.18）；Segre 特征与 Weyr 特征为共轭分拆。
Jordan 形在数值上不稳定（秩不连续），不宜用软件计算；$\epsilon$-Jordan 形（3.1.21）。
推论：常系数线性 ODE 解的结构（$e^{\lambda t}\times$ 次数低于指标的多项式）；$A$ 与 $A^T$ 经对称矩阵相似（3.2.3.1）、每个矩阵是两个对称矩阵之积（3.2.3.2）；与非减次矩阵交换的矩阵是它的多项式（3.2.4.2）；收敛 ⟺ $\rho(A)<1$、幂有界 ⟺ $\rho(A)\le1$ 且单位圆上特征值半单（3.2.5.2）；Jordan 分解 $A=A_D+A_N$（唯一）；Jordan 形的非零非对角元最少（3.2.9.5）；$AB$ 与 $BA$ 的非零特征值 Jordan 结构相同（3.2.11.1）；Drazin 逆（3.2.12）；秩一扰动的 Jordan 形（3.2.13.1）。
最小多项式 $q_A=\prod(t-\lambda_i)^{r_i}$（$r_i$ 为指标，3.3.6）；可对角化 ⟺ 最小多项式无重根（3.3.8、3.3.10）；友矩阵的最小多项式与特征多项式都等于给定多项式（3.3.14）；非减次 ⟺ $p_A=q_A$ ⟺ 相似于友矩阵（3.3.15）；有理标准形与不变因子（3.3.P32）。
实 Jordan 形（3.4.1.5）：非实特征值块成共轭对，可换成实块 $C_k(a,b)$。

与量化交易的关联：

VAR / 状态空间模型的平稳性与脉冲响应：$x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t$ 平稳 ⟺ $A$ 收敛 ⟺ $\rho(A)<1$（3.2.5.2）；若存在单位根且对应 Jordan 块大于 1×1，则 $A^m$ 多项式增长——这正是"单位根""积分阶数 I(d)"在矩阵层面的含义，也是协整分析（Johansen 检验中 $\Pi=A-I$ 的秩）背后的线性代数。脉冲响应 $A^m$ 中出现 $m^j\lambda^m$ 型项，阶数由 Jordan 块大小决定，解释了接近重根时的"驼峰型"响应。
AR(p) 模型与友矩阵：AR(p) 递推 $y_t=\phi_1y_{t-1}+\cdots+\phi_py_{t-p}$ 写成一阶系统后状态矩阵正是特征多项式的友矩阵（3.3.12、3.3.P27）；平稳条件"特征根在单位圆内"即友矩阵谱半径 <1；3.3.P33 / (3.3.16) 给出用系数估计根模的界。
连续时间模型：$x'=Ax$ 的解结构（3.2.2）直接对应 Ornstein–Uhlenbeck / 多因子仿射利率模型的均值回复动力学，特征值实部决定回复速度，非实特征值带来振荡（周期性）成分。
马尔可夫链与 PageRank 类问题：3.2.P28 的 Google 矩阵、3.2.P37 的半收敛与 $\lim A^k=I-(I-A)(I-A)^D$ 可用于信用评级迁移矩阵、市场状态（regime）转移矩阵的长期分布计算。
数值实践警示：Jordan 形不应数值计算（3.1 末的例子），实际系统中应使用 Schur 分解（第 2 章）处理非对称矩阵，例如求 VAR 的特征根和不变子空间。
其余内容（Weyr/Segre 特征的组合性质、Drazin 逆、对称矩阵乘积分解）与量化实务关联很弱，属理论背景。

推荐习题（本块范围内）：

3.1.P7、3.1.P28：用秩序列判定 Jordan 结构与相似性。
3.1.P11：点图与 Weyr/Segre 共轭分拆。
3.1.P25–P27：不用谱定理证明正规矩阵可（酉）对角化。
3.2.P17、3.2.P18：可对角化的秩判据、Jordan 分解唯一性。
3.2.P37：半收敛矩阵与极限公式（马尔可夫链长期行为）。
3.3.P5：用 Gram–Schmidt 求最小多项式（可编程）。
3.3.P13：友矩阵奇异值公式 (3.3.16)。
3.3.P27：高阶 ODE 与友矩阵——对应 AR(p) 的状态空间表示。
3.3.P32：有理标准形与不变因子。